《误差理论与数据处理》习题2及解答

P (± 2σ ) = 2 2π
σ,
δ = tσ , 经变换上式成为：
∫
t
0
e
−t
2
2
dt = 2Φ (t ) = 2Φ ( 2 ) = 2 × 0.4195 = 0.84 = 84%
（2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为： σ = a
2
，所以区间［ − 2σ ， 2σ ］＝［ − a ， a ］ ，故
-8 -8
第二章 误差的基本性质与处理 习题及参考答案
2-1. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－ 2σ ， 2σ ］中的概率。 【解】 （1）误差服从正态分布时
P (± 2σ ) =
1
σ 2π
∫
2σ
− 2σ
e
−δ
2
( 2σ 2 )
dδ =
2
σ 2π
∫
2σ
0
e
−δ
2
( 2σ 2 )
dδ
引入新变量t： t = δ
2
②计算标准差：用贝塞尔公式计算： σ =
∑ν
i =1
i
n
2 i
n −1
=
0.02708 = 0.0823 ( mA ) 5 −1
0.332 5× 4 = 0.0930 ］
［若用别捷尔斯法计算： σ = 1.253 ×
∑ν
i =1
n
n(n − 1)
= 1.253 ×
［用极差法计算：n=5 时d n=2.33， σ = ω n = 168.59 − 168.40 = 0.19 = 0.0815 (mA) 2.33 2.33 dn 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差： ρ ≈ 2 σ = 2 × 0.0823 = 0.0549 ( mA )； 3 3 平均误差： θ ≈ 4 σ = 4 × 0.0823 = 0.06584 ( mA ) 5 5 算术平均值的标准差 σ x ： σ = σ = 0.0823 = 0.037 x n 5 算术平均值或然误差 R： R ≈ 2 σ = 2 × 0.037 = 0.0247 ( mA ) 3 X 3 算术平均值平均误差 T： T ≈ 4 σ = 4 × 0.037 = 0.0296 ( mA ) 5 X 5
=±0.0015（给定值）
4
② 若测量误差符合 t 分布 已知置信概率：P=0.95，则显著度α=0.05， 由极限误差： δ lim x = ±t a ×
σ
n
≤ ±0.0015
有关系：ta ≤ 1.5 n = 1.5
ν +1
当显著度α=0.05 时， ν=3，查t分度表，ta=3.18 > 1.5 ν + 1 = 3 （不合要求） ν=4，查t分度表，ta=2.78 < 1.5 ν + 1 = 3.354 （满足要求） 即求得：n=ν+1=4+1=5 为必要的测量次数。
8
∑ν
i =1
n
2 i
n −1
=
0.0251 = 0.0599 ( g ) 8 −1
2-3. 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题 2-2 的标准差，并比较之。
【解】 （1） 用别捷尔斯法计算
σ = 1.253 ×
（2） 用极差法计算
∑ν
i =1
n
i
n(n − 1)
= 1.253 ×
0.41 8× 7
σ
n
= ±2.6×
0.004 n
=±0.005（给定值）
σ
n
≤ ±0.005
有关系：ta ≤ 1.25 n = 1.25
ν +1
当显著度α=0.01 时，ν=7，查t分度表，有ta=3.50，满足上述等式。 即求得：n=ν+1=8 为必要的测量次数。
2-8. 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm，若要求测量的允许极限误差
］
2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015， 20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确
定测量结果。 【解】①求算术平均值 x ：
x=
∑l
i =1
n
i
n
=
100.0075 = 20.0015 (mm) 5
0.005 5
= ±0.00622 （mm）
2-7. 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm，若要求测量
结果的置信限为±0.005mm，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。 【解】① 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=99%，查正态分布表有：t=2.6， 则置信限为： δ lim x = ±t × 求得：n=4.32，取 n=5. ② 若测量误差符合 t 分布 已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01， 由置信限： δ lim x = ±t a ×
ν i2
0.0004 0.0036 0.0064 0.0081 0.0016 0.0025 0.0016 0.0009
x = x0 + ∆ x 0 = 236.43
∑ν
i
= −0.03
∑ν
i =1
8
2 i
= 0.0251
1
或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： x = 1 ∑ x i = 236.43 （g） 8 i =1 ②计算标准差：用贝塞尔公式计算： σ =
【解】①选参考值 x 0 = 168.5 ，计算差值 ∆xi = xi − 168.5 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 号
xi
168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
Δx i
-0.09 0.04 0.09 -0.10 0
∆ x0 = 1 5 ∑ ∆xi = −0.012 5 i =1
2-6. 对某工件进行 5 次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm，若要求测
量结果的置信概率为 95%，试求其置信限。 【解】因测量次数 n=5，次数比较少，按 t 分布求置信限（极限误差） 。 已知：P=95%，故显著度α=1－P＝0.05；而自由度ν＝n－1＝5－1＝4。 根据显著度α=0.05 和自由度ν查附录表 3 的 t 分度表，得置信系数 ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为： δ lim x = ±t aσ = ±2.78 × x
xi
26.2025 26.2028 26.2028 20.2025 26.2026 26.2022 20.2023 26.2025 26.2026 26.2022
Δx i
0.0005 0.0008 0.0008 0.0005 0.0006 0.0002 0.0003 0.0005 0.0006 0.0002
②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。 ③求测量列单次测量的标准差
用贝塞尔公式计算： σ =
∑ν
i =1
n
2 i
n −1
=
n
26 × 10 −8 = 0.000255 （mm） 5 −1
用别捷尔斯公式计算： σ ' = 1.253 ④求算术平均值的标准差
2-9. 已知某仪器测量的标准差为 0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量 10 次，测得值（单位为 mm）为 26.2025， 26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，
max
= ν 4 = 0.09
查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61
σ=
νi
Kn
max '
= 0.09 × 0.61 = 0.0549
(g)
2-4. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
= 0.0687 ( g )
8 个测量数据的极差为：ωn= x max − x min = x3 − x 4 =236.51－236.34=0.17，
查教材P18 表 2-4，n=8 时d n=2.85
σ=
（3） 最大误差法计算
ωn
dn
=
0.17 = 0.0596 (g) 2.85
8 个测量数据的最大残差为： ν i
a
P ( ± 2σ ) =
（3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为： σ = a
π∫
1
1 a2 − δ 2
−a
dδ = 1
3
，所以区间［ − 2σ ， 2σ ］＝［ − 2 a ， 2 a ］ ，故
3
3
P (± 2σ ) = ∫
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 a 3 − 2 a 3
2 1 1 dδ = × 2× a = 0.82 = 82% 3 2a 2a
为±0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次。 【解】本题与 2-7 相似。 ① 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96， 则极限误差为： δ lim x = ±t × 求得：n=1.7，取 n=2.
σ
n
= ±1.96×
0.001 n
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
8
νi
-0.078 +0.052 +0.102 -0.088 +0.012
ν i2
0.006084 0.002704 0.010404 0.007744 0.000144
x = x 0 + ∆ x 0 = 168.488
∑ν
i =1
5
i
=0
∑ν
i =1
5
2 i
= 0.02708
或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得： x = 1 ∑ x i = 168.488 （mA） 5 i =1
3
表 1 正态分布积分表，得置信系数 t=2.6。故： 单次测量的极限误差：
δ lim x = ±tσ = 2.6 × 0.000255 = 0.000663 ≈ 0.00066
算术平均值的极限误差： δ lim x = ±tσ x = 2.6 × 0.000114 = 0.0002964 ≈ 0.0003 ⑥求得测量结果为： x ± δ lim x = 20.0015 ± 0.0003 （mm）
2-2. 测量某物体重量共 8 次， 测得数据 （单位为 g） 为 236.45， 236.37， 236.51， 236.34， 236.39， 236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。 【解】①选参考值 x 0 = 236.00 ，计算差值 ∆x i = x i − 236.00 、 ∆ x 0 和残差 ∆ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 号
xi
236.45 236.37 236.51 236.34 236.39 236.48 236.47 236.40
Δx i
0.45 0.37 0.51 0.34 0.39 0.48 0.47 0.40
∆ x0 = 1 8 ∑ ∆xi = 0.43 8 i =1
8 i =1
νi
+0.02 -0.06 +0.08 -0.09 -0.04 +0.05 +0.04 -0.03
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10
-8 -8 -8 -8 -8
9×10 4×10 0 1×10 9×10
试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的 测量值，写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号