数学图论模型
图论模型(最优连线问题最短路问题)PPT课件
（3）当（2）不能继续执行时停止。
（其思想是：在剩余边集中找边权最小的边添加到生成树中，同时又 不能产生回路即以局部的最优谋求全局的最优。）
上述的描述实际上是最小生成树的逐 步生长过程，上例的最小生成树如下：
A 5
1 3
D
8 E
水厂
9
B 7
6 10
著名数学家欧拉
七桥问题
图的基本概念
无 向 图
1 定义：由顶点和边组成的图形称为图。 有 向 图
赋
权
图
2 边e与顶点u、v相关联。顶点u与v相邻。
e
u
边e1与e2相邻。
e1
v
e2
u=v时，边e称为环。
3度
定义：与顶点v关联的边的数目称为顶点的度数， 记为d(v)。（注：环算2度。）
对于有向图的顶点的度数，还可分为出度 d ( v ) 和 入度 d ( v ) 。
u3
u6
0 8
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第五步：min{8,11,11,9,8,12,7,11,11}，u3。
u2
1
2
u5
3
2
7
5
3
9
u1
u3
u6
0
8
7
1
6
u8
5
10
5
2
6
1
1
u4
10
u7
第六步：min{11,12,11,11,9}，u7。
u2
1
2
数学建模-图论模型
思路分析
• 每学期任课老师都有一定工作量的要求往往可能要上不止一门课 程。
• 每位同学需要在学期内完成若干门课程的学习。 • 某些对上课设施有特殊要求的课程，也不可以安排在同一时间。 • 为了方便开展一些全校性的活动，有些时段不安排课程。 • 受到教室数量的限制，在同一时段无法安排太多的课程。
模型建立
• 以每个课程为顶点，任何两个顶点之间连一条边当且仅当两门课 程的任课老师为同一人，或有学生同时选了这两门课或上课教室 冲突。
• 那么一个合理的课程安排就是将图中的点进行分化，使得每一个 部分里的点为一个独立集。
• 通过极小覆盖找出图中的极 大独立集，然后删去该极大 独立集，在剩下的图中找出 极大独立集，直到剩下的图 为一个独立集。
匈牙利算法
• 饱和点：Ｍ是图Ｇ的一个匹配，若Ｇ中顶点ｖ是Ｍ中某条边的端 点，则称Ｍ饱和ｖ,否则称ｖ是Ｍ的非饱和点。
• 可扩路：一条连接两个非饱和点x和y的由Ｍ外的边和Ｍ的边交错 组成的路称为Ｍ的(x,y)可扩路。
• 算法基本步骤：
Kuhn-Munkres算法
1.2 图的独立集应用
• 问题描述：各大学学期临近结束时，需要根据老师任课 计划和学生选课情况，再结合教室资源情况安排下一学 期的课程及上课时间和地点。下表所示是某大学电信学 院的大三各专业部分课程情况。该学院每届学生按专业 分班，统一选课。另外，学院只有一间普通机房和一间 高级机房。那么应该如何合理地排这些课程呢?
则称其是双连通或强连通的。对于不是双连通的图，都可以分解成 若干个极大的双连通分支，且任意两分支之间的边是同向的。
举例：
• 右图所示竞赛图不是双连通的
•
为一条有向
的D哈密尔A顿路B。 C E
数学建模图论模型
任意两点均有通路的图称为连通图。
连通而无圈的图称为树，常用T=<V,E>表示树。
若图G’是图 G 的生成子图，且G’又是一棵树， 则称G’是图G 的生成树。
例 Ramsey问题
图1
图2
并且常记: V = v1, v2, … , vn, |V | = n ; E = {e1, e2, … , em}ek=vivj , |E | = m
称点vi , vj为边vivj的端点 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的 始点和终点. 该图称为n,m图
8
对于一个图G = V, E , 人们常用图形来表示它, 称其 为图解 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
4、P'代替P,T'代替T,重复步骤2,3
定理2 设 T为V的子集，P=V-T，设 (1)对P中的任一点p,存在一条从a到p的最短路径,这条路径仅有P中的
点构成, (2)对于每一点t,它关于P的指标为l(t),令x为最小指标所在的点, 即:
l(x)mli(tn )} t{ ,T
(3)令P’=P Ux,T’=T-{x},l’(t)表示T'中结点t关于P'的指标,则
解：用四维01向量表示人,狼,羊,菜例在过河西河岸问的题状态(在
岸则分量取1;否则取0)，共有24 =16 种状态; 在河东岸 态类似记作。
由题设，状态(0,1,1,0)，(0,0,1,1)，(0,1,1,1)是不允许的
其对应状态：(1,0,0,1)， (1,1,0,0)，(1,0,0,0)也是不允许
图论模型讲义
目录目录 (1)第8章图论模型 (1)8.1图的基本知识 (2)8.1.1图的相关定义 (2)8.1.2图的顶点的度 (3)8.1.3子图及运算 (4)8.1.4 图的连通性 (5)8.1.5一些特殊图 (7)8.2图的矩阵表示 (7)8.2.1邻接矩阵 (7)8.2.2 关联矩阵 (8)8.3图的方法建模 (9)8.3.1 图的最小生成树问题及算法 (10)1．树及最小生成树 (10)2．克鲁斯卡尔算法 (11)3．普利姆算法 (13)8.3.2图的最短路问题及算法 (15)1．迪克斯特拉算法 (15)8.3.3图的匹配及应用 (20)1. 图的匹配 (20)2．指派问题： (23)3．最优指派 (27)8.3.4 图的覆盖及应用 (33)1. 逻辑算法 (34)2．启发式算法： (35)3．利用关联矩阵求极小覆盖： (37)8.3.5图的遍历问题 (38)1．边的遍历-中国邮差问题 (38)2．点的遍历-旅行商问题 (41)8.3.6 竞赛图问题 (48)1．竞赛图的定义 (48)2．循环比赛排名 (50)8.4 实战篇 (51)第8章图论模型图论（Graph Theory）18世纪起源于欧洲。
瑞士著名数学家欧拉(Euler）于1736 年发表的第一篇图论论文—“哥尼斯堡七桥问题”，不但解决了曾经困扰了人们多年的难题，同时它宣告了图论这门学科的诞生。
在普鲁士的小镇哥尼斯堡，一条河穿城而过，河中央有两个小岛，小岛之间及岛与河岸共有七座桥连接。
能否从四块陆地中的任何一处出发，恰好通过每座桥一次再回到起点，这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。
人们曾经做过很多尝试，但是都没有获得成功。
为了解决这个问题，欧拉将问题进行几何抽象：将陆地分别用“点”代替，将桥用连接这些点的“线”来代替，得到一个包含四个“点”，七条“线”的“图”，将问题转化为“如何从一点出发一笔画出这个图，最后回到起点”的问题。
因为每次经过一个点必须消耗掉两条与该点相关联的边（从一边进入，另一条边离开），所以和每个点相关联的边的数量应该是一个偶数，此问题显然是无解的。
图论模型及其解答
各种图论模型及其解答摘要：本文用另一种思路重新组织《图论及其应用》相关知识。
首先，用通俗化语言阐述了如何对事物间联系的问题进行图论建模；接着从现实例子出发，给出各种典型图论模型，每种图论模型对应于图论一个重要内容；再者，介绍相关知识对上述提到的图论模型涉及的问题进行解答；最后，补充一些图论其他知识，包括图论分支、易混概念。
符号约定：Q(Question)表示对问题描述，M(Modeling)表示数学建模过程，A(Answer)表示原问题转化为何种图论问题。
一、引言图论是研究点、线间关系的一门学科，属于应用数学的一部分。
现实生活中，凡是涉及到事物间的关系，都可以抽象为图论模型。
点表示事物，连线表示事物间的联系。
整个求解过程如下：原问题——>图论建模——>运用图论相关理论求解——>转化为原问题的解整个过程关键在于图论建模，所谓图论建模，就是明确点表示什么，连线表示什么，原问题转化为图论中的什么问题。
存在以下两种情况：①若事物间联系是可逆的(比如双行道，朋友)，则抽象成无向图②若事物间联系是不可逆的(比如单行道，状态转化不可逆)，则抽象成有向图如果需要进一步刻画事物间的联系（比如城市间的距离），就给连线赋一个权值，从而抽象成赋值图。
综上，根据实际问题，可建模成下列图论模型的一种：无向赋权图、有向赋权图、无向非赋权图、有向非赋权图。
例1.宴会定理：任何一宴会中，一定存在两个人有相同的数量朋友M：点表示人，连线表示当且仅当该两个人是朋友A：问题转化为任何一个图一定存在两个顶点的度相等二、图论模型接下来介绍若干典型的图论模型，每种模型几乎对应于图论的一个重要内容，这些内容将在第三章进行讨论，也就给出了这些模型的解答思路。
2.1 偶图模型凡涉及两类事物间的联系（即只考虑两类事物间的联系，而不考虑同类事物间的联系），均可抽象成偶图模型。
作图时，将两类事物分成两行或者两列。
这类模型通常被包含在后续的模型中，但因许多现实问题可抽象成该模型，所以单列出来讨论。
图论数学模型
关于工序流程图画法的说明
• （1） “拆卸”，“清洗”等这些具体工作称为 工 序 ，用实箭线“→”来表示。工序名称写在箭线上方， 完成这项工序的时间写在箭线下面，箭线的方向代表 了工序时间的流向 . • （2）工序之间交接处表示的圆圈称为 事项 或 结 点 ，用以标志前面工序的结束和允许后面工序的开始， 是工序完成或开始的瞬间符号，具有承上启下、把工 序衔接起来的作用 . • （3）若 A 工序必须在 B 工序完成之后才有条件进 行，则称 A 是 B 的 紧后工序 ，或称 B 是 A 的 紧 前工序 . 另外，同一对结点间不能表示两个及其以上 个工序，如图 2 － 21 （ 左图 ）的画法是不允许的， 为此引进了虚工序概念而将此表示式画成图 2 － 21 （右图）的形式 .
• 解：TCP;ABS;RD
• 例 3 工程流程图 • （ 第五届北京高中数学知识应用竞赛题） • 机床的大修有如下的工作项目：拆卸③，清洗④， 电器检修④，部件检查①，零件加工④，零件修 理⑤，床身和工作台研合②，部件组装（不含电 器）②，变速器组装①，试车③ . • 1. 画出工序的流程图，即用图表示出各项工作 的衔接关系 . • 2. 假定大修期间没有耽误任何时间，并把开始 拆卸时刻记为 0 ，试问：大修完成的时刻最早是 多少？ • 3. 在不影响最短时间完工的条件下，每个工作 项目最早和最迟开工时间各是多少？
第二章
图论数学模型 及其应用
2.3 建立图模型 解决实际问题的趣例
• 例 1 节目排序问题 • 一场文艺演出共有 8 个节目 , 全体演员中 有 10 人须参加两个以上的节目演出 , 情 况如表，表中的√号所示 , 如演员 1 要参 加三个节目 A 、 B 和 H. 若节目主办单 位希望首尾两个节目为 A 和 H, 或为 H 和 A, 并且希望每个演员不连续参加两个 节目的演出 , 试为主办单位安排一个节目 顺序表 .
数学建模方法之图论模型
定理 d (v) 2.
vV
推论 任何图中奇点 的个数为偶数． d (v1) 4
d (u3) 1
d (u3) 2
一个顶点记为 ui1，置 Si1 Si {ui1}.
3) 若 i 1，则停Hale Waihona Puke ；若 i 1，则用 i+1 代
替i，并转2).
S0 {u0},l(u j ) , j 1,2,...,7.
u1 S0 l(u1) min{,0 1}
Dijkstra算法: 求G中从顶点u0到其余顶点的最短路.
G[{v1,v2,v3}] G[{e3,e4,e5,e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为G的由V 导出的子图，记为 G[V ] .
4) 若E E，且 E ，以 E为边集，以 E 的端点 集为顶点集的图 G 的子图，称为 G 的由E 导出的
第二讲 图论模型
1. 问题引入与分析
2. 图论的基本概念
3. 最短路问题及算法
4. 最小生成树及算法
回
5. 旅行售货员问题
停
6. 模型建立与求解 下
1. 问题引入与分析
1) 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、 组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
数学建模图论模型(1)
e1 e2
e3 e4
e5
1 0 1 1 0 u1 1 1 0 0 回 0 u2 M 0 1 1 0 1 u3 0 0 0 1 1 u 停 4
u1 u2 u3 u4 0 0 A 0 0 1 1 1 u1 0 0 0 u2 回 1 0 0 u3 0 1 0 u4
下
停
3) 对有向赋权图 G (V , E ) , 其邻接矩阵 A (aij ) , 其中： wij , 若(vi , v j ) E , 且wij为其权， aij 0， i j, , 若(vi , v j ) E.
回
a4 (u4 , u5 ) ， a5 (u4 , u3 ) ， a6 (u3 , u4 ) ， a7 (u1, u3 ) . （见右图 3）
下
停
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
停 下 回
1) 图的概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中 : 1) V (G) {v1, v2 ,, v }是非空有限集，称为顶点集， 其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 (vi , v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.
下
图的矩阵表示
⑴ 邻接矩阵 A = (aij )n×n ,
第九章 图论模型
第九章 图论模型现实世界的许多实际问题都可以用图形来解释或说明.例如通讯网络就可以用图的形式直观的表现出来：点可以表示通讯中心，而边表示通讯线路.图论模型是应用十分广泛的数学模型,它已经在物理、化学、控制论、信息论、科学管理和计算机等领域.由于它具有图形直观，方法简单容易掌握的特点，因此在实际、生活和数学建模中，有许多问题可以运用图论的理论和方法解决.§9.1图论起源图论起源于18世纪欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究.哥尼斯堡是18世纪东普鲁士的一个城市，城中有一条普雷格尔河，河中有两个岛，河上有七座桥，如图1所示.图1 当时那里的居民热终于思考这样一个问题，一个人能否经过七座桥且每座桥只走过一次，最后回到出发点.能否用数学的方法解决这个问题一贯成为当时居民的一个悬而未决的问题.1736年欧拉创造性的将陆地用点表示，桥用边表示，从而将这个问题转化为如图2所示的一笔画问题，即能否从某个点开始一笔画出这个图形，最后回到原点而不重复.欧拉证明了这个问题是不可能的.图2欧拉解决七桥问题时，其方法超出了常用的数学方法，充分发挥自己的想象力，用了全新的思想方法，从而使得问题得到完美解决.由于这一项开创性的工作，产生了“图论”这门崭新学科，欧拉被认为是图论的创始人.ABCDABCD1e 2e 5e 6e 7e 4e 3e§9.2基本概念定义1 图G 由两个点集合V 以及边集合E 组成，记为(),G V E =，其中： (1)V 是顶点构成的集合；(2)E 是连接某些顶点对构成的边组成的集合.例1 {}1234,,,V v v v v =，{}12232434,,,E e e e e =，画出图(),G V E =.图3注：图分为无向图和有向图.定义2 若图(),G V E =的边均没有方向，这样的图成为无向图.例如图2，图3为无向图.无向图的边称为无向边，无向边是由两个顶点构成的无序对，无序对通常用圆括号表示. 例2 (),i j v v 表示一条无向边，(),i j v v 与(),j i v v 是同一条边.定义3 若图(),G V E =的边均有方向，这样的图称为有向图.有向图的边称为有向边，有向边是由两个顶点构成的有序对，有序对通常用尖括号表示.有向边又称为弧. 例3,i j v v 表示一条有向边，,i j v v与,j i v v 是两条不同的有向边.定义4 一条边的端点称为与这条边关联，反之，一条边称为与它的端点关联.与同一条边关联的两个端点是邻接的.如果两边有一个公共端点，则这两条边是邻接的。
美赛 7：图论模型、分类模型(十大模型篇)
目录五、图论模型1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法2.弗洛伊德（Floyd）算法六、分类模型1.逻辑回归2.Fisher线性判别分析五、图论模型图论模型主要解决最短路径问题，根据图的不同，对应采用迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法、弗洛伊德算法（Floyd）。
Matlab代码：% Matlab中的图节点要从1开始编号s = [9 9 1 1 2 2 2 7 7 6 6 5 5 4];t = [1 7 7 2 8 3 5 8 6 8 5 3 4 3];w = [4 8 3 8 2 7 4 1 6 6 2 14 10 9];G =graph(s,t,w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set ( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );%% Matlab作无向图% （1）无权重（每条边的权重默认为1）% 函数graph(s,t)：可在 s 和 t 中的对应节点之间创建边，并生成一个图% s 和 t 都必须具有相同的元素数；这些节点必须都是从1开始的正整数，或都是字符串元胞数组% 注意：编号从1开始连续编号s1 = [1,2,3,4];t1 = [2,3,1,1];G1 = graph(s1, t1);plot(G1)% 注意字符串元胞数组是用大括号包起来s2 = {'学校','电影院','网吧','酒店'};t2 = {'电影院','酒店','酒店','KTV'};G2 = graph(s2, t2);% 设置线的宽度plot(G2, 'line width', 2) % 画图后不显示坐标set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); % （2）有权重% 函数graph(s,t,w)：可在 s 和 t 中的对应节点之间以w的权重创建边，并生成一个图s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8,9,2];G = graph(s, t, w); plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] ); %% Matlab作有向图% 无权图 digraph(s,t)s = [1,2,3,4, 1];t = [2,3,1,1,4];G = digraph(s, t);plot(G)set( gca, 'XTick', [], 'YTi ck', [] ); % 有权图 digraph(s,t,w)s = [1,2,3,4];t = [2,3,1,1];w = [3,8, 9,2];G = digraph(s, t, w);plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2) set( gca, 'XTick', [], 'YTick', [] );1.迪杰斯特拉（Dijkstra）算法、贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法迪杰斯特拉算法是基于贪婪算法的思想，从起点出发逐步找到通向终点的最短距离。
图论模型简介
图论模型简介一、图及其矩阵表示1、起源：哥尼斯堡七桥问题：欧拉为了解决这个问题，建立数学模型：陆地——点，桥——边，得到一个有四个“点”，七条“边”的“图”。
问题转化为能否从任一点出发一笔画出七条边再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画判定法则：图是连通的，且每个顶点都与偶数条边相关联（这种图称为欧拉图）。
由此可以得出结论：七桥问题无解。
2、基本概念：图（graph）：由顶点和边（又称线，边的两端必须是顶点）组成的一个结构。
邻接：一条边的两个端点称是邻接的；关联：边与其两端的顶点称是关联的。
无向图（graph）：边无方向的图；有向图（digraph）：边有方向的图。
路(path)：由相邻边组成的序列，其中中间顶点互不相同。
圈(cycle)：首、尾顶点相同的路，即闭路。
连通图（connected graph）：图中任意两顶点间都存在路的图。
树（tree）：无圈连通图完全图（complete graph）：任意两个顶点之间都有边相连的无向图，记为K n。
竞赛图（tournament）：由完全图给每条边定向而得到的有向图。
二部图（bipartite graph）：图的顶点分成两部分，只有不同部分顶点之间才有边相连。
图G的子图H（subgraph）：H是一个图，H的顶点（边）是图G的顶点（边）。
网络（Network）：边上赋了权的有向图。
3、图的矩阵表示无向图 有向图01000101100101101100010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡011101000001001000001104、著名的图论问题例1 最短路问题（shortest path problem）出租车司机要从城市甲地到乙地，在纵横交错的路中如何选择一条最短的路线？例2 最小生成树问题（minimum-weight spanning tree problem）为了给小山村的居民送电，每户立了一根电杆，怎样连接可使连线最短？例3 中国邮递员问题（chinese postman problem）一名邮递员负责投递某个街区的邮件。
图论模型
65
2 3 4 2 2 3 4 5 70 2 3 4 2 4 2 3 4 5 1 3 4 5
1 80
50 2 30
5
100
20
3
第三次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 3) 30 0 20 110, D 0 70 65 115 100 120 0
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5
2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5
3
第二次迭代后得到：
1 0 50 130 1 0 80 ( 2) ( 2) 30 0 20 110, P 1 D 0 70 1 0 65 115 100 1
1 1 ( 3) 1 P 1 1
2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 2 2 3 4 5 1 3 3 5
第四次迭代后得到：
130 0 50 0 80 ( 4) 30 0 20 90 , D 0 70 65 115 100 120 0
65
1 1 ( 4) 1 P 1 1 2 3 4 2 2 3 4 5 2 3 4 4 2 3 4 5 1 3 3 5
1 80
50 2 30
5 70 4
100
20
3
第五次迭代后得到：
50 230 250 130 0 145 0 180 200 80 (5) 155 30 0 20 90 , D 135 185 170 0 70 65 115 100 120 0
十大经典数学模型
十大经典数学模型十大经典数学模型是指在数学领域中具有重要意义和广泛应用的数学模型。
这些模型涵盖了不同的数学分支和应用领域，包括统计学、微积分、线性代数等。
下面将介绍十大经典数学模型。
1. 线性回归模型线性回归模型用于描述两个变量之间的线性关系。
它通过最小化观测值与模型预测值之间的差异来拟合一条直线，并用该直线来预测未知的观测值。
线性回归模型在统计学和经济学等领域有广泛应用。
2. 概率模型概率模型用于描述随机事件发生的可能性。
它通过定义事件的概率分布来描述事件之间的关系，包括离散型和连续型概率分布。
概率模型在统计学、金融学、生物学等领域中被广泛应用。
3. 微分方程模型微分方程模型用于描述物理系统、生物系统和工程系统中的变化过程。
它通过描述系统中各个变量之间的关系来解释系统的动态行为。
微分方程模型在物理学、生物学、经济学等领域中具有重要应用。
4. 矩阵模型矩阵模型用于表示线性关系和变换。
它通过矩阵和向量的乘法来描述线性变换，并用于解决线性方程组和特征值问题。
矩阵模型在线性代数、网络分析、图像处理等领域中广泛应用。
5. 图论模型图论模型用于描述物体之间的关系和连接方式。
它通过节点和边的组合来表示图形，并用于解决最短路径、网络流和图着色等问题。
图论模型在计算机科学、电信网络等领域中有广泛应用。
6. 最优化模型最优化模型用于寻找最佳解决方案。
它通过定义目标函数和约束条件来描述问题，并通过优化算法来找到使目标函数最优的变量取值。
最优化模型在运筹学、经济学、工程优化等领域中被广泛应用。
7. 离散事件模型离散事件模型用于描述在离散时间点上发生的事件和状态变化。
它通过定义事件的发生规则和状态转移规则来模拟系统的动态行为。
离散事件模型在排队论、供应链管理等领域中有重要应用。
8. 数理统计模型数理统计模型用于从样本数据中推断总体特征和进行决策。
它通过概率分布和统计推断方法来描述数据的分布和抽样误差，包括参数估计和假设检验等方法。
图论模型 【数学建模精品资源】
Floyd 算法的基本思想是：从图的带权邻接 矩阵 A = [a(i, j)]nn 开始，在 A 中用插入顶点的 方法依次构造出 n 个矩阵 D(1)、D(2)、…、D(n)， 使最后得到的矩阵 D(n) 成为图的距离矩阵，即 矩阵 D(n) 的 i 行 j 列元素便是 i 号顶点到 j 号顶 点的距离。构造 D(i) 的同时，也引入一个路由 矩阵 P(i) 来记录两点间的最短路径。
4
0 2
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 3 1 3 5 0
插入点 v3，得：
di(jk) min{di(jk1), di(kk1) dk(jk1)},
0 1 5 7 2
1 2 2 3 5 6
1
0
4
6 3
1
2
3
3
5
1
D(3)
5
7
2
4 6 3
0 2 1
2 0 3 3
则由点vi到v j 的最短路的路径为： vi ,vak ,,va2 ,va1,vb1,vb2 ,,vbm ,v j.
vi vak va3 va2 va1 vb1 vb2 vbm v j
例 求下图中加权图的任意两点间的距离与路径.
0 1 2
1
0
4
4
D (0)
4
0 2
2 0
1 3 3,
3 0 5
2 4 1 3 5 0
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
R (0)
1
1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
数学建模图论模型及其算法设计(上午)
首先考虑换乘次数最少的线路选择模型，首 先建立直达矩阵如下：
数学建模-图论
二、图的矩阵表示（应用实例及解法分析）
0 0 A 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0
计算A2得到：
特别地， 若对任意 x X ，则 x 与 Y 中每个顶点 相邻，则称图 G (V , E ) 为完全二分图 ，记为 K X , Y 。
2 2012年8月11日
数学建模-图论
一、图的基本概念
设 v V (G ) ，是边 e E (G ) 的端点，则称 v 与 e 相关联， 与顶点 v 关联的边数之和称为该顶点的次数，记为 d (v ) 。
A的n次方矩阵中i行j列元素表示从结点i到结点j的长度为n的路 径条数。
数学建模-图论
二、图的矩阵表示
2 有向图的权矩阵A = (aij ) n×n （n为结点数）
a ij F v i v j , 0, , viv j E i j viv j E
例2：写出右图的权矩阵： 解：
1, v i , v j E a ij 0, v i , v j E
例1：写出右图的邻接矩阵（有向）： 解：
0 0 A 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0
数学建模-图论
二、图的矩阵表示
无向图的邻接矩阵 A = (aij )n×n （n为结点数）
a ij 1, ( v i v j ) E 0, ( v iv j ) E
例1：写出右图底图的邻接矩阵： 解：
0 1 A 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
数学建模之图论模型讲解
过河问题：摆渡人Ferryman,狼wolf,羊sheep,卷 心菜cabbage过河问题 . 如何摆渡使得它们不能互 相伤害.
考试安排问题：学校期末考试安排n门课的考 试时间时，不能把同一位学生选修的两门课安排在 同一时间考试，问学校考试最少要进行多长时间？
信道分配问题：发射台所用频率从小到大编号 为1,2, …称为信道。用同一信道的两个台站相距得 少于一个常数d，问各台至少需同时使用几个不同 的信道？
A—R，A—C，A—T，
R—P，P—S，S—T，
T—B，B—D，D—C，
A
R—S，R—B，P—D，
S—C，S—D.
T
每种药品作为一个顶 点，不能放在一起的 S 连边。相邻顶点用不 同颜色着色。
R P
这一问题就是图论中的顶点着色问题。
至少需用3个房间：A,S,B/D,T,R/C,P
B C
D
例3 最短路问题（SPP－shortest path problem） 一名司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲
问题变成了：能否从这个图上任一顶点出发，
经过每条边一次且仅一次而回到出发顶点。
--Euler-回路(圈)问题。
A
A
B
D
B
D
C
C
例2 药品存储问题
▪ 有8种化学药品A、B、C、D、P、R、S和T要放 进贮藏室保管,出于安全原因,下列各组药品不能 贮在同一室内:A—R，A—C，A—T，R—P， P—S，S—T，T—B，B—D，D—C，R—S， R—B，P—D，S—C，S—D，试为这8种药品设 计一个使用房间数最少的贮藏方案。
G[{v1,v2,v3}] G[{e3,e4,e5,e6}]
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为G的由V 导出的子图，记为 G[V ] .
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常用术语
6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
7) 若V (G) X Y，X Y ，且X 中任意两顶点不
相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或
偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称
为完全二部图或完全偶图,记为Km,n (m=|X|,n=|Y|)．
定义 设 G (V , E)和 G (V , E)是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. 2) 若V V，E E ，则称 G是G的生成子图.
3) 若 V V，且 V ，以 V 为顶点集，以两端点 均在V 中的边的全体为边集的图 G 的子图，称 为G的由 V 导出的子图，记为 G[V ] .
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本题是旅行售货员问题的延伸-多旅行售货员问题.
本题所求的分组巡视的最佳路线，也就是m条 经过同一点并覆盖所有其他顶点又使边权之和达
到最小的闭链（闭迹）. 如第一问是三个旅行售货员问题，第二问是四
个旅行售货员问题. 众所周知，旅行售货员问题属于NP完全问题，
即求解没有多项式时间算法. 显然本问题更应属于NP完全问题. 有鉴于此，
8) 图 K1,n 叫做星. X : x1 x2 x3
X : x1 x2 x3
K6
Y : y1 y2 y3 y4 二部图
Y : y1
y2 y3 K3,4
y4
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K1,4
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2) 赋权图与子图
定义 若图G=(V(G),E(G)) 的每一条边e 都赋以
一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
一定要针对问题的实际特点寻找简便方法，想找到 解决此类问题的一般方法是不现实的，对于规模较 大的问题可使用近似算法来求得近似最优解.
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二、图论的基本概念
1) 图的概念 2) 赋权图与子图 3) 图的矩阵表示 4) 图的顶点度 5) 路和连通
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1) 图的概念
若图G中的边均为无序偶对 viv j，称G为无向图.称 边e viv j 为无向边，称e连接vi 和 v j，顶点 vi 和v j 称
为e的端点. 既有无向边又有有向边的图称为混合图.
例 设H (V (H ),E(H ))，其中：
V (H ) {u1,u2,u3,u4,u5}， E(H ) {a1,a2,a3, a4, a5, a6, a7}， a1 (u1,u2)，a2 (u2,u2 )， a3 (u4,u2 )，a4 (u4,u5)， a5 (u4,u3)，a6 (u3,u4)， a7 (u1,u3). （见右图 3）
（见图 2）
定义 若一个图的顶点集和边集都是有限集，则称
其为有限图. 只有一个顶点的图称为平凡图，其他的
所有图都称为非平凡图.
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定义若图G中的边均为有序偶对(vi,vj)，称G为有向 图. 称边 e (vi ,v j )为有向边或弧,称 e (vi ,v j )是从 vi 连接 v j , 称vi 为e的尾， 称v j为e的头.
今年(1998年)夏天某县遭受水灾. 为考察灾情、 组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到 全县各乡（镇）、村巡视. 巡视路线指从县政府 所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政 府所在地的路线.
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1）若分三组（路）巡视，试设计总路程最 短且各组尽可能均衡的巡视路线.
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，其中: 1) V (G) {v1,v2, ,v }是非空有限集，称为顶点集，
其中元素称为图G的顶点. 2) E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对
(vi ,v j ) 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边. 定义 图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用 v 来表示；
数学建模简明教程
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第二章 图论模型
▪ 一、问题引入与分析 ▪ 二、图论的基本概念 ▪ 三、最短路问题及算法 ▪ 四、最小生成树及算法 ▪ 五、旅行售货员问题 ▪ 六、模型建立与求解
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一、问题引入与分析
1. 98年全国大学生数学建模竞赛B题“最佳灾 情巡视路线”中的前两个问题是这样的：
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常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联. 2)与同一条边关联的两个端点称
为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边. 3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆. 4) 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边 称为重边． 5) 既没有环也没有重边的图，称为简单图．
将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡 镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各 条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权， 所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论 中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网 络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一 次再回到点O，使得总权（路程或时间）最小.
2）假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2 小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V =35公里/小时. 要在24小时内完成巡视，至少应分 几组；给出这种分组下最佳的巡视路线.
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公路边的数字为该路段的公里数.
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Hale Waihona Puke 2.问题分析：本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不 同的条件下，灾情巡视的最佳分组方案和路线.
图的边的数目|E(G)|用 来表示. 用 G (V (G), E(G)) 表示图，简记 G (V , E).
也用 viv j 来表示边 (vi ,v j ).
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例 设 G (V (G), E(G)) ， 其 中 ： V (G) {v1,v2,v3,v4} ， E(G) {e1,e2, e3,e4,e5,e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3， e4 v1v4，e5 v3v4，e6 v3v4.