中档大题保分练(一)

中档大题保分练

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(推荐时间：50分钟)

1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝

⎛⎭⎫cos x ，－1

2，f (x )＝m ·n ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝1

4. (1)求角B 的值；

(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B

＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －1

2cos B

＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )， ∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝12， 又∵B 为△ABC 的内角，∴

2π3－B ＝π3即B ＝π

3

. (2)由BA →·BC →

＝6，及B ＝π3，

得ac ·cos π

3

＝6，即ac ＝12，

在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π

3

，

a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50， ∴a ＋c ＝5 2.

解方程组⎩⎨⎧ ac ＝12

a ＋c ＝52，得⎩⎨⎧ a ＝22c ＝32，或⎩⎨⎧

a ＝32c ＝22

.

2． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭

⎫n ，S n

n (n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝4

a n a n ＋1

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.

(1)解 由条件S n

n ＝2n －1，即S n ＝2n 2－n .

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1

＝()2n 2

－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.

又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式， 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．

(2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝4(4n －3)(4n ＋1)＝14n －3－1

4n ＋1.

∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭

⎫19－1

13＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－1

4n ＋1.

∵n ∈N *，∴－

1

4n ＋1

<0， ∴1－1

4n ＋1

<1，即T n <1.

3． M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名

毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．

(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？

(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．

解 (1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是820＝2

5

.

根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人， 所以选中的“甲部门”人选有10×2

5＝4人，

“乙部门”人选有10×2

5

＝4人．

用事件A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，

则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”， 则P (A )＝1－P (A )＝1－C 34

C 38＝1－456＝1314.

因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是13

14

.

(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3.

P (X ＝0)＝C 06C 34

C 310＝130，

P (X ＝1)＝C 16C 24

C 310＝310，

P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝1

2，

P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝1

6

，

因此，X 的分布列如下：

所以X 的数学期望E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝9

5

.

4． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC

＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥平面PBC ；

(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；

(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面P AD ？若存在，求PM

PB 的值；若不存在，请

说明理由．

(1)证明 因为∠ABC ＝90°， 所以AB ⊥BC .

因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC .

(2)解 如图，取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，

平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， 所以PO ⊥平面ABCD .