中档大题保分练(一)

中档大题保分练
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(推荐时间：50分钟)
1． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(cos(x －B )，cos B )，n ＝⎝
⎛⎭⎫cos x ，－1
2，f (x )＝m ·n ，f ⎝⎛⎭⎫π3＝1
4. (1)求角B 的值；
(2)若b ＝14，BA →·BC →＝6，求a 和c 的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝cos x ·cos(x －B )－12cos B
＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －1
2cos B
＝12(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝12cos(2x －B )， ∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝14，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝12， 又∵B 为△ABC 的内角，∴
2π3－B ＝π3即B ＝π
3
. (2)由BA →·BC →
＝6，及B ＝π3，
得ac ·cos π
3
＝6，即ac ＝12，
在△ABC 中，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得 14＝a 2＋c 2－2ac cos π
3
，
a 2＋c 2＝26，从而(a ＋c )2－2ac ＝26，(a ＋c )2＝50， ∴a ＋c ＝5 2.
解方程组⎩⎨⎧ ac ＝12
a ＋c ＝52，得⎩⎨⎧ a ＝22c ＝32，或⎩⎨⎧
a ＝32c ＝22
.
2． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭
⎫n ，S n
n (n ∈N *)均在函数y ＝2x －1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝4
a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求证：T n <1.
(1)解 由条件S n
n ＝2n －1，即S n ＝2n 2－n .
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1
＝()2n 2
－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.
又n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式， 所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．
(2)证明 b n ＝4a n a n ＋1＝4(4n －3)(4n ＋1)＝14n －3－1
4n ＋1.
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫15－19＋⎝⎛⎭
⎫19－1
13＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －3－14n ＋1 ＝1－1
4n ＋1.
∵n ∈N *，∴－
1
4n ＋1
<0， ∴1－1
4n ＋1
<1，即T n <1.
3． M 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生．这20名
毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位：分)，公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．
(1)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
(2)若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．
解 (1)用分层抽样的方法， 每个人被抽中的概率是820＝2
5
.
根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人， 所以选中的“甲部门”人选有10×2
5＝4人，
“乙部门”人选有10×2
5
＝4人．
用事件A 表示“至少有一名甲部门人选被选中”，
则它的对立事件A 表示“没有一名甲部门人选被选中”， 则P (A )＝1－P (A )＝1－C 34
C 38＝1－456＝1314.
因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是13
14
.
(2)依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X 的取值分别为0,1,2,3.
P (X ＝0)＝C 06C 34
C 310＝130，
P (X ＝1)＝C 16C 24
C 310＝310，
P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝1
2，
P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝1
6
，
因此，X 的分布列如下：
所以X 的数学期望E (X )＝0×130＋1×310＋2×12＋3×16＝9
5
.
4． 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC
＝90°，AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥平面PBC ；
(2)求平面ADP 与平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小；
(3)在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面P AD ？若存在，求PM
PB 的值；若不存在，请
说明理由．
(1)证明 因为∠ABC ＝90°， 所以AB ⊥BC .
因为平面PBC ⊥平面ABCD ， 平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ， AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC .
(2)解 如图，取BC 的中点O ，连接PO . 因为PB ＝PC ，所以PO ⊥BC . 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，
平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，PO ⊂平面PBC ， 所以PO ⊥平面ABCD .
以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直 于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系 O －xyz . 不妨设BC ＝2.
由AB ＝PB ＝PC ＝BC ＝2CD 可得， P (0,0，3)，D (－1,1,0)，A (1,2,0)． 所以DP →＝(1，－1，3)，DA →
＝(2,1,0)． 设平面ADP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 因为⎩⎪⎨⎪⎧
m ·DP →＝0，m ·
DA →＝0，所以⎩⎨⎧
x －y ＋3z ＝0，
2x ＋y ＝0.
令x ＝－1，则y ＝2，z ＝ 3. 所以m ＝(－1,2，3)．
取平面BCP 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝2
2
.
所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角(小于90°)的大小为π
4.
(3)解 在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面P AD ，此时PM PB ＝1
2.
取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ， 则MN ∥P A ，AN ＝1
2AB .
因为AB ＝2CD ， 所以AN ＝CD . 因为AB ∥CD ，
所以四边形ANCD 是平行四边形， 所以CN ∥AD .
因为MN ∩CN ＝N ，P A ∩AD ＝A ， 所以平面MNC ∥平面P AD . 因为CM ⊂平面MNC ， 所以CM ∥平面P AD .。