空间几何体·体积计算

柱体、锥体、台体的表面积与体积

[知识链接]

1．棱柱的侧面形状是；棱锥的侧面是

；棱台的侧

面形状是

．

2．圆柱、圆锥、圆台的底面形状是．

3．三角形的面积S ＝

(其中a 为底，h 为高)，圆的面积S ＝

(其中r 为半径)，扇形的面积公式S ＝(l 为扇形的弧长，r 为扇形的

半径)．

4．长方体的体积V ＝(其中a ，b ，c 为长、宽、高)．

1．多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．旋转体的表面积

名称图形公式圆柱底面积：S 底＝2πr 2

侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πrl ＋2πr 2

圆锥底面积：S 底＝πr 2

侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πrl ＋πr 2圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2下底面面积：S 下底＝πr 2

侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)

表面积：

S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )

3．体积公式

(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

Sh.

(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝1

3

(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则

V＝1

(S′＋S′S＋S)h.

3

要点一空间几何体的表面积

例1如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5cm，BC＝16cm，AD＝4cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．

规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．

2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．

跟踪演练1(2014·泸州高一检测)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积．

要点二空间几何体的体积

例2三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．

规律方法求几何体体积的常用方法

跟踪演练2如图所示的三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且PB＝1，PA＝3，PC＝6，求其体积．(一直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直)

要点三与三视图有关的表面积、体积问题

例3一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()

A．45，8B．45，8

3

D．8,8 C．4(5＋1)，8

3

规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作

出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．

跟踪演练3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．

球的体积和表面积

[知识链接]

1．长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.

2．棱长为a的正方体的表面积S＝6a2，体积V＝a3.

3．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆柱侧面积S侧＝2πrh，表面积S＝2πrh＋2πr2，体积V＝πr2h.

4．底面半径为r，高为h，母线长为l的圆锥侧面积S侧＝πrl，表面积S＝πr2

＋πrl，体积V＝1

3

πr2h.

[预习导引]

球的体积公式与表面积公式

(1)球的体积公式V＝4

3

πR3(其中R为球的半径) (2)球的表面积公式S＝4πR2

要点一球的表面积和体积

例1(1)已知球的表面积为64π，求它的体积．

(2)已知球的体积为500

3

π，求它的表面积．

规律方法 1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积．2．已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径．

跟踪演练1一个球的表面积是16π，则它的体积是()

A．64π B.64π

3C．32π D.32

3

π

要点二球的截面问题

例2平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()

A.6πB．43π

C．46πD．63π

规律方法有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．

跟踪演练2已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．

要点三球的组合体与三视图

例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积．

规律方法 1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．

2．求解表面积和体积时要避免重叠和交叉．

跟踪演练3已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．

【空间几何体的直观图】

1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()

A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直

C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点

2．关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()

A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形

B．正方形的直观图为平行四边形

C．梯形的直观图可能不是梯形

D．正三角形的直观图一定为等腰三角形

3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()

A．平行四边形B．梯形

C．菱形D．矩形

4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________．

一、基础达标

1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝()