高中数学好题速递

好题速递201题

解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线

()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．

解法一：由MA MB λ=得()()2

2

2222x y x b y λ⎡⎤++=-+⎣⎦

即()()()

222222211244x y b x b λλλλ-+--+=-

故2222

240

411

b b λλλ⎧+=⎪

⎨-=⎪-⎩，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ=

又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

到直

线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

的距离为52

解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得

13

11b b λ==+-，解得12

b =-，2λ= 好题速递202题

解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． 解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN =

'1cos PN PP PM m PN m PM PM

θ=⇒

===，其中'MPP NMP θ=∠=∠ 要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2

PMP MPP π

∠=-∠最小，

此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-， 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切，故264640k ∆=-=，解得1k = 故()4,2P ，2424a PM PN =-=-

由24c =

，得1e =

好题速递203题

解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线

()222

2

10,0x y a b a

b

-

=>>的左焦点F ，且与

双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．

解：由题意知122y y =

()

22

22224221

20x y b a y b cy b a b

x y c ⎧-=⎪⇒--+=⎨⎪=-⎩

212122

4

2

12122232b c

y y y b a

b y y y b a ⎧+==⎪⎪-⎨⎪==⎪-⎩

所以222

49

2

c b a =

-

，所以2218c a e =⇒=

好题速递204题

解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222

2

10,0x y a b a b -

=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦

点，O 坐标原点，若

12

PF PF OP

+

，则此双曲线的离心率是 ．

解：设12,PF m PF n ==，则()

22222222122422m n OP F F m n OP c +=+⇒+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+-

()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+

所以2

2244m n b OP OP +⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

所以m n

OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a

+=

所以222b a =，即6e =

好题速递205题

解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()2

2

119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与

圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ．

解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以2

211

k d k +=≥+，

解得34

k ≥-

好题速递206题

解析几何模块9．已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB =，则m 的最大值为 ． 解：由0PA PB =得P 在以AB 中点()1,0M 为圆心，

2

AB

为半径的圆上，所以P 的轨迹方程为()

2

221x y m -+=，所以圆M 的半径为m ，又由P 在圆

C 上，22:88310C x y x y +--+=的圆心()4,4C ，半

径为1，当圆M 与圆C 内切时，MP 最大为

516MC CP +=+=