高中数学好题速递

好题速递201题

解析几何模块4．已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线

()220m n x ny n m ++++=的最大距离为 ．

解法一：由MA MB λ=得()()2

2

2222x y x b y λ??++=-+??

即()()()

222222211244x y b x b λλλλ-+--+=-

故2222

240

411

b b λλλ?+=?

?-=?-?，将22b λ=-代入22241b λλ-=-得22520b b ++=，得12b =-，2λ=

又直线()220m n x ny n m ++++=恒过定点()2,0-，所以由几何性质知点1,22P ??

- ???

到直

线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为点()2,0-与1,22P ??

- ???

的距离为52

解法二：作为小题，由MA MB λ=知是阿氏圆轨迹，故取圆22:1C x y +=直径上的两个点()()1,0,1,0-，即可得

13

11b b λ==+-，解得12

b =-，2λ= 好题速递202题

解析几何模块5．已知M 是28x y =的对称轴和准线的交点，点N 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足PM m PN =，当m 取得最大值时，点P 恰在以M 、N 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 ． 解：作''PP MP ⊥，由抛物线定义'PP PN =

'1cos PN PP PM m PN m PM PM

θ=?

===，其中'MPP NMP θ=∠=∠ 要使m 取得最小值，即cos θ最小，即NMP θ=∠最大值，即''2

PMP MPP π

∠=-∠最小，

此时MP 是抛物线的切线． 设MP 的方程为2y kx =-， 与28x y =联立得()2820x kx --= 因为相切，故264640k ?=-=，解得1k = 故()4,2P ，2424a PM PN =-=-

由24c =

，得1e =

好题速递203题

解析几何模块6． 已知斜率为1的直线l 过双曲线

()222

2

10,0x y a b a

b

-

=>>的左焦点F ，且与

双曲线左、右支分别交于,A B 两点，若A 是线段BF 的中点，则双曲线的离心率为 ．

解：由题意知122y y =

()

22

22224221

20x y b a y b cy b a b

x y c ?-=??--+=??=-?

212122

4

2

12122232b c

y y y b a

b y y y b a ?+==??-??==?-?

所以222

49

2

c b a =

-

，所以2218c a e =?=

好题速递204题

解析几何模块7． 已知点P 是双曲线()222

2

10,0x y a b a b -

=>>上的动点，12,F F 是其左、右焦

点，O 坐标原点，若

12

PF PF OP

+

，则此双曲线的离心率是 ．

解：设12,PF m PF n ==，则()

22222222122422m n OP F F m n OP c +=+?+=+ 又2m n a -=，所以22224m mn n a -+= 所以2222224mn OP c a =+-

()222222222222444m n OP c OP c a OP b +=+++-=+

所以2

2244m n b OP OP +??

=+

???

所以m n

OP +的最大值在OP a =时取到，所以22446b a

+=

所以222b a =，即6e =

好题速递205题

解析几何模块8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()()2

2

119x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 相交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与

圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围是 ．

解：两圆有公共点的充要条件是15CM ≤≤，而5CM ≤恒成立，故只要min 1CM ≥时两圆必有公共点．由平面几何知识可知，min CM 为点C 到直线l 的距离d ，所以2

211

k d k +=≥+，

解得34

k ≥-

好题速递206题

解析几何模块9．已知点()1,0A m -，()1,0B m +，若圆22:88310C x y x y +--+=上存在一点P ，使得0PA PB =，则m 的最大值为 ． 解：由0PA PB =得P 在以AB 中点()1,0M 为圆心，

2

AB

为半径的圆上，所以P 的轨迹方程为()

2

221x y m -+=，所以圆M 的半径为m ，又由P 在圆

C 上，22:88310C x y x y +--+=的圆心()4,4C ，半

径为1，当圆M 与圆C 内切时，MP 最大为

516MC CP +=+=

好题速递207题

立体几何模块1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11B BCC 上的动点，并且1//A F 平面1AED ，则动点F 的轨迹是（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．抛物线

D ．线段

解：如图，取1BB 的中点M ，11B C 的中点N ，显然可证明平面1//A MN 平面1AED ，当F 在线段MN 上时，均有1//A F 平面1AED ，即动点F 的轨迹是线段MN 。

点评：善于转化是解决立体几何中平行与垂直问题的关键。例如，考虑“线线平行”时，可转化为“线面平行”或“面面平行”；考虑“线面平行”时，可转化为“线线平行”或“面面平行”；考虑“面面平行”时，可转化为“线线平行”或“线面平行”。

在斜二测画法画图时，平行关系不会改变，因为要找平行线，可以考虑在图象上推平行线，然后关注哪个位置看起来比较特殊，例如中点，中位线之类。

好题速递208题

立体几何模块2．如图，在三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 与1BB 上各有一个动点P ，Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的动点，则

111M ABQP

ABC A B C M ABQP

V V V ----的最大值是 ．

解法一：设111

ABC A B C V V -=，则11113

M ABQP M B BA C B BA B CBA V V V V V ----=≤==

（注：这里用到了梯形ABQP 的面积与1ABB ?的面积相等。） 即

M

与C 重合时，M ABQP

V -最大，

1111112

1

13

M ABQP

ABC A B C M ABQP

M ABQP

V V V

V V V V ----=

≤=--- 解法二：设M ABQP V V -=，111

0ABC A B C V V -=为定值，则()0V

f V V V

=

-是关于V 的增函数 所以()0

max 0001131

2

3

C ABQP C ABQP

V V f V V V V V --===--

好题速递209题

立体几何模块3．已知线段//AD α，且AD 与平面α的距离为4，点B 是平面α上的动点，且满足5AB =，若10AD =，则线段BD 长度的取值范围是 ． 解：如图，将线段AD 投影到平面α上，得到射影''A D ，将空间问题平面化，则动点B 的轨迹是以'A 为圆心，半径为

22543-=的圆，

又22''BD DD BD =+，103'103BD -≤≤+，'4DD =， 所以491616916BD +≤≤+，即65185BD ≤≤

好题速递210题

立体几何模块4．已知P 为正方体1111ABCD A B C D -对角线1BD 上的一点，且

()()10,1BP BD λλ=∈，下面结论：

①11A D C P ⊥；②若1BD ⊥平面PAC ，则13λ=；③若PAC ?为钝角三角形，则10,2λ??

∈ ???；

④若2,13λ??

∈ ???

，则PAC ?为锐角三角形．

其中正确结论的序号为 ．

解：在正方体1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面11ABC D ，又1C P ?平面11ABC D ，故11A D C P ⊥，①正确；

由题可知1BD AC ⊥，若1BD ⊥平面PAC ，则1BD CP ⊥

设正方体的棱长为1，则1BC =，12CD =，13BD =，在1Rt BCD ?中，21BC BP BD = 所以3BP =

，所以11

3

BP BD =，②正确； 在正方体1111ABCD A B C D -中，以11A B 为x 轴，11A D 为y 轴，1A A 为z 轴建系，设棱长为2，则()()()()10,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,0A B C D

设(),,P x y z ，由1BP BD λ=，得22,2,22x y z λλλ=-==-

所以()22,2,2PA λλλ=--，()2,22,2CP λλλ=--+-，()2,2,0CA =--

若PAC ?为钝角三角形，则APC ∠为钝角，21280PA PC λλ=-<，解得20,3λ??

∈ ???，③错；

同理，当2,13λ??

∈ ???

时，21280PA PC λλ=->，所以PAC ?为锐角三角形，④正确。

所以正确结论为①②④。

好题速递211题

立体几何模块5．如图，在棱长为1的正方体1111

ABCD A B C D -

中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点有 个． 解：点P 既在以1,A C 为焦点，长轴为2的椭球上，又在正方体的棱上。

因为112BA BC +=>，故点B 在以1,A C 为焦点，长轴为2的椭球外，所以椭球必与线段AB 相交（交点就是AB 的中点），同理在111111,,,,AD AA C B C D C C 上各有一个交点满足条件 又若点P 在1BB

上，则12PA PC +>，故1BB 上不存在满足条件的点

P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上也不存在满足条件的点P 。

好题速递212题

立体几何模块6．将一个长宽分别为(),0a b b a <<的铁皮的四个角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子（不计粘合处），若这个长方体的外接球的面积存在最小值，则

a

b

的取值范围是 ． 解：设切去的小正方形的边长为x ，长方体的外接球的半径为R 则()()()()22222224229402b R x a x b x x a b x a b x ?

?=+-+-=-+++<< ??

?

因为长方体的外接球的面积存在最小值，所以()20920a b b b a

+?

<

，解得514a b <<

好题速递213题

在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB BC ==

，CD ，AB BC ⊥，动点M 在以C 为圆心且过点D 的圆内运动（不含边界），设(),AM mAB nBC m n =+∈R ，则m n +的取值范围是 ．

解：建立直角坐标系，()','M x y ， ()1,0A ，()0,0B ，()0,1C

，D ?

????

由(),AM mAB nBC m n =+∈R 得'1,'x m y n =-= 动点M 在()2

2112x y +-≤

内运动，所以()()22

1112

m n -+-≤ 求目标函数m n +的取值范围是()1,3

好题速递214题

在曲线()22:20C x y x -=>上任取,A B 两点，则OA OB 的最小值为 ． 解：记()()1122,,,A x y B x y ，则1212OA OB x x y y =+

且()221

1120x y x -=>，()2222220x y x -=>， 同时满足()1,2i i x y i >=，即0i i x y +>，()01,2i i x y i ->= ()()()()

1212112211221

212

2

OA OB x x y y x y x y x y x y =+=+++--???

?≥?==

当且仅当1212,x x y y ==-时取得“=”，故OA OB 的最小值为2．

好题速递215题

已知函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

()()()11xf x x f x +=+，则52f f

?

?

??= ??????

?

． 解：令12x =-，则1111112

22222f f f ??????

-

=-= ? ? ???????，所以102f ??= ???

令0x =，则()00f =

当0x ≠时，由()()()11xf x x f x +=+得()()1

1x f x f x x

++= 则53

53535122031223

2322

2

f f f f ????????

==

=?= ? ? ? ?????????，故()5002f f f ????== ???????

好题速递216题

已知实数a b c <<，设函数()111

f x x a x b x c

=++

---的两个零点分别为()1212,x x x x <，则下列关系中恒成立的是（ ）

（A ）12a x x b c <<<< （B ）12x a b x c <<<< （C ）12a x b x c <<<< （D ）12a x b c x <<<< 解：()111

f x x a x b x c

=

++

---的两个零点， 即()()()()()()()g x x a x b x a x c x c x b =--+--+--的两个零点 因为()g x 开口向上，()()()g b b a b c =--，又a b c <<，所以()0g b < 即函数()g x 的零点一个大于b ，一个小于b ，且()0g a >，()0g c > 所以根据“一上一下，中间一点”的原则，可知12a x b x c <<<<，选C

好题速递217题

已知点()1,2A 在抛物线2:2y px Γ=上，若ABC ?的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边,,AB BC CA 所在直线的斜率分别为123,,k k k ，则

123

111

k k k -+= ． 解：2

:4y x Γ=，设211,4y B y ?? ? ???，222,4y C y ?? ? ???

所以22221212

1122123121211

221114444122444

y y y y y y y y k k k y y y y ---+++-+=-+=-+=---

点评：抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些，主要是基于抛物线上的点的设

法2,2y y p ??

? ???

，在化简过程中利用好平方差公式，可以使得计算简便。这个过程要做到比较熟练。

好题速递218题

已知函数()3f x x a =+与函数()32g x x a =+在区间(),b c 上都有零点，则222

2242a ab ac bc b bc c +++-+的最小值为 ． 解：由题意知，30

320b a b a +

+

，两式相加得20a b +<

30

320c a c a +>??

+>?

，两式相加得20a c +> 所以()()()()()()()()()2

222222

222222222412a b a c a b a c a b a c a ab ac bc b bc c b c b c b c --++??

??

++--++++??==-≥-

≥--+--- 当且仅当22a b a c --=+时取得等号。

点评：这里用到了基本不等式，如果一下子看不出来，也可以先利用齐次化思想，将分子分母同除以2a ，令,b c

x y a a

==，将式子简化，就容易发现了。

好题速递219题

已知函数()()4sin cos ,4cos bx x bx x

f x a a b x

++=+

∈+R ，若()f x 在R 上既有最大值又有最小值，

且最大值与最小值的和为4，则32a b -= ． 解：()4sin cos sin 4cos 4cos bx x bx x x

f x a a bx x x

++=+

=++

++ 已知()f x 在R 上既有最大值又有最小值，故0b = 又()sin 4cos x

f x a x

=+

+是奇函数，且最大值与最小值的和为4，则24a =，2a =

故326a b -=

好题速递220题

对于函数()y f x =，如果存在区间[],m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 内是单调的；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“和谐区间”．若()()11

0a f x a a x

+=

->存在“和谐区间”

，则a 的取值范围是 ． 解：因为()()11

0a f x a a x

+=

->在(),0-∞和()0,+∞上是增函数，所以[](),,0m n ?-∞或[](),0,m n ?+∞，且()f m m =，()f n n =

因此,m n 是方程

11

a x a x

+-=的两个不相等且同号的实数根，即()210ax a x a -++=有两个不相等且同号的实数根 又1210a x x a ++=

>且121a x x a ==，故只需()2

2140a a ?=+->，解得113

a -<< 又0a >，故01a <<

好题速递221题

已知以4T =为周期的函数(

))()

11213x y f x x x ?≤?==?--<≤??，其中0m >，若()3f x x =恰有5

个实数解，则m 的取值范围是 ．

解：当[]1,1x ∈-时，原函数式化为方程()2

2

2

11y x y m

+

=≥，表示一个半椭圆，当[]

1,3x ∈时，是两线段()112y x x =-<≤和()323y x x =-<≤组成的折线，再根据周期性画出大致图

象如图所示。

由图象可知，当直线3x y =与第二个半椭圆()()22

2410y x y m

-+=≥相交，而与第三个半椭圆

()

()22

2

810y x y m

-+

=≥无交点时，方程()3f x x =恰有5个实数解，

由方程组()()2

2

23041x y y y x m ?=??

≥??-+=??

消去y 得()2

2

229172350m x

m x m +-+=

由0?>，解得15m >

由方程组()()2

223081x y y y x m ?=??

≥??-+=??

消去y 得()

2222911445670m x m x m +-+= 由0?<，解得07m <<，所以

15

7m << 好题速递222题

（2015重庆理科第16题）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则a = ________． 解法一：按照1,1a a <-≥-两类分类讨论，画出()12f x x x a =++-的折线图，图象最低点的纵坐标为5，求得6a =-或4a =

解法二：由题意得125x x a ++-≥，从而1

522x x a +-≥-

设()()1

5,22

x g x x a h x +=-=-

()g x x a =-的图象是以(),0a 为顶点的开口向上的“V ”形

图。 ()1522x h x +=

-

的图象是以51,2??

- ???

为顶点的开口向下（开口比()g x x a =-的图象开口大）的“V ”形图，且与x 轴交点的坐标为()()6,0,4,0-。

当6a =-或4a =时，1

522

x x a +-≥-，所以若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则

6a =-或4a =

好题速递223题

若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ 的中点为

()00,M x y ，且()()22

00228x y -++≤，则22

00x y +的取值范围是________．

解法一：设点()11,P x y 满足1120x y --=，点()22,Q x y 满足2220x y --= 两式相加得点()00,M x y 的轨迹是直线0040x y --= 同时点()00,M x y 满足()()2

2

00228x y -++≤

所以满足条件的点M 在线段AB 上，其中点()0,4A -，()4,0B 分别为直线40x y --=与圆

()()22228x y -++=的交点，220

0x y +表示线段AB 上的点与坐标原点连线距离的平方，所以当M 运动到()0,4A -或()4,0B 时，

2200x y +取得最大值为16，当M 运动到圆心()2,2C -时，22

0x y +取得最小值为8，故[]22

08,16x y +∈ 解法二：将0040x y --=代入()()22

00228x y -++≤，得到[]04,0y ∈-

将0040x y --=代入2200x y +得()[]2

2220000028162288,16x y y y y +=++=++∈

好题速递224题

★设反比例函数()1

f x x

=

与二次函数()()20g x ax bx a =+>的图象有且仅有两个不同的公共点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <，则12

y

y = ．

解：()1

f x x

=

与()()20g x ax bx a =+>的图象有且仅有两个不同的公共点 ?方程

21

ax bx x

=+有两个不同的实数根12,x x ?方程3210ax bx +-=有两个不同的实数根12,x x

三次方程仅有两个实根，故必有一个是一次根，一个是重根。

?方程()

()2

32121ax bx a x x x x +-=--或()()232121ax bx a x x x x +-=--

对于第一种情况，等式两边展开比较系数得()122b a x x =--，21

1220x x x +=，2121ax x -=- 故1220x x +=，因为12x x <，所以120x x <<，122x x =- 12211

2

y x y x ==- 对于第二种情况，等式两边展开比较系数得()122b a x x =--，22

1220x x x +=，2

121ax x -=- 故1220x x +=，因为12x x <，所以120x x <<，但由2

12

1ax x -=-知10ax >，与10,0a x ><矛盾，故舍去。

点评：本题是自山东高考题改编而来，解法中运用了三次方程求根的因式分解，奇次根穿过与偶次根反弹的问题。浙江高考曾多次考过类似的问题，值得注意。例如：

（2014浙江文7）已知函数32()f x x ax bx c =+++，且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤，则 A ．3≤c B ．63≤c

解：方程(]32

()0,3f x x ax bx c t =+++=∈的三个根为1,2,3---， 故()()()32

123x ax bx c t x x x +++-=+++

比较系数得6c t -=，故(]66,9c t =+∈

（2012浙江理17）设a R ∈，若0x >时均有2[(1)1](1)0a x x ax ----≥，则a =____．

解：()()2

121x ax x x x x --=--，且120x x <<，因为2

[(1)1](1)0a x x ax ----≥对

0x >恒成立，则1

1

x a =

-必是二重零点 代入得：2

11011a a a ??

--= ?--??

，解之得：230==a a 或，舍去0=a ，得答案：23=a （2013浙江文16）设,a b ∈R ，若0x ≥时恒有()

2

43201x x ax b x ≤-++≤-，则

ab = 。

【解析】当1x =时，有00a b ≤+≤，所以得b a =-，代回原式

()()4343310x x ax b x x ax a x x a -++=-+-=-+≥

故1x =必定是重根，即3x a +中必有因子1x -，所以1,1a b =-=，所以1ab =-

点评：这三道题都是加深零点意义理解的好题。零点就像是x 轴上的守门员，关系着函数正负性变化的重任，“奇重零点穿过，偶重零点反弹”。

好题速递225题

设,x y 是正实数，且1x y +=，则22

21

x y x y +++的最小值是________． 解：设2x m +=，1y n +=，则题目变为“已知4m n +=，求

()()22

21m n m

n

--+

的最小值。

()()()()22

214141414262141149125224444m n m n m n m n

m n m n m n n m m n m n m n --????+

=+

-++-=+++-=+- ? ???????

??

=

?++-=++-≥-= ? ???

??

当且仅当2,4m n m n =+=，即84,33m n ==，即21

,33

x y ==时取得等号

点评：本题还是分母换元使得式子简化，灵活运用均值不等式。

好题速递226题

（重庆高考题）函数(

))02f x x π=

≤≤的值域是__________．

解：()()2

2

32cos 2sin 1cos 1sin x x x x --=-+-

设1sin ,1cos x a x b -=-=，则问题变为求2

2

y a b

=+的值域

解法一：当0a ≠时，有2

1y b a =

??+ ???

将

b a 视为圆()()22

111a b -+-=上任一点与原点连线的斜率，结合图形可知0b a

≥， 所以10y -≤<， 当0a =时，0y = 综上可知，[]1,0y ∈- 解法二：注意到2

2

y a b

=+，联想其结构特征与三角函数中的

正余弦定义式相似

于是设直线OP 的倾斜角为θ，则02

π

θ≤≤

所以[]cos 1,0y θ=-∈-

好题速递227题

已知(),a xb yc x y =+∈R ，2a b ==，1c =，()()

0a c b c -?-=，则a b -的取值范围是________．

解法一：考虑向量模的几何意义

由2a b ==和()()

0a c b c -?-=，可作出图形 c 的终点C 必在以AB 为直径的圆'O 上

又1c =，故c 的终点C 必在以O 为圆心，1为半径的圆上 所以问题转化为'O 与O （半径为1的小圆）有交点 注意到'O 的半径为

22AB a b -=，圆心距1

'2

OO a b =

+ 所以两圆相交需满足112

2

2

a b a b a b -+--

≤

≤+

且有222

2

216a b a b a b ??++-=+= ??

?

作一个整体换元，设a b x +=，a b y -=

问题转化为规划问题，已知221622

2,x y x y x y x y +?+=?

-≤-≤??+≥?

?∈?

R ，求y 的取值范围。

如图可得71,71y ?

?∈-+??

解法二：代数方法

2

2

282a b a a b b a b -=-+=-，因此只需求a b 的取值范围

由()()0a c b c -?-=得()

2

0a b a b c c -++= 所以()

1cos a b a b c a b c a b θ+=+=+≤+

即()

222

1282a b a a b b a b +≤++=+，解得77a b -≤≤

所以22

282827,827a b a a b b a b ??-=-+=-∈-+????

，故71,71a b ??-∈-+??

解法三：解析几何坐标方法

解：设()1,0c =，设A ，B 是以O 为圆心，2为半径的圆上两点，且AC ⊥BC ，则 | a －b | = AB = 2 MC ．

∵MO 2 + MA 2 = OA 2，而MA = MC ，∴MO 2 + MC 2 = 4． 设(),M x y ，则2222(1)4x y x y ++-+=， 即223

2

x y x +-=

．（*） | a －b | = AB = 2 MC = 222(1)x y -+223

221221522

x y x x x x =+-+=+-+=-． 由（*）知，

1717

x -+≤≤

， ∴82752827x --+≤≤，即715271x --+≤≤．

∴7171a b -≤-≤+．

y

x

O

M

C B

A

好题速递228题

已知实数,,a b c ，满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是________． 解：记2,2,2a b c x y z ===，则x y xy

x y z xyz +=??++=?

1

111

xy z xy xy =

=+

-- 因为24x y xy xy xy +=≥?≥ 故14

1113

xy z xy xy =

=+≤-- 即c 的最大值是24log 3

好题速递229题

设函数()2

41

x f x x =

+，()cos 2cos g x x k x ππ=+，若对任意的1x ∈R ，总存在2x ∈R ，使得

()()21g x f x =成立，则实数k 的取值范围是________．

解法一：由题意知()f x 的值域是()g x 值域的子集，易得()f x 的值域是[]2,2-

设cos t x π=，则()g x 的值域为()[]221,1,1h t t kt t =+-∈-的值域，再通过分类讨论进行解答

()()141212k h h ?-≤-???-≤-??≥???或()210482812k k h ?-≤-≤??--?≤-?

??≥??或()201482812

k k h ?<-

--?≤-???-≥?

?

或()()141212k h h ?-≥???

≤-??-≥??? 解得()

,2222,k ??∈-∞-+∞

?? 解法二：解法一常规，但计算量较大，作为填空题不划算。故从数形结合的角度，利用函数图象给出解法二。

()f x 的值域是[]2,2-，设[]cos 1,1t x π=∈-，

则问题可以转化为对任意实数[]2,2m ∈-，关于t 的方程221t kt m +-=在[]1,1-上有解，

即对任意实数[]2,2m ∈-，总存在k ，使得直线1y kt =-与22y m t =-在[]1,1-是有公共点， 即直线1y kt =-与一簇函数[][]22,1,1,2,2y m t t m =-∈-∈-个个都有公共点，

从图象上显然看到，只要直线1y kt =-与函数[]222,1,1y t t =--∈-有公共点即可，于是求

得()

,22,k ?∈-∞-+∞

?

好题速递230题

在ABC ?中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈R ，则

()PA PB PC +的最小值是 ．

解：因为()22sin cos AP AO AC θθθ=+∈R ，系数之和为1，故,,C P O 三点共线，且

[]22sin ,cos 0,1θθ∈，所以点P 在线段OC 上，设[]()0,2PQ t t =∈，

故()

()()2222124PA PB PC PO PC t t t t +==--=- 当1t =时，取最小值2-

好题速递231题

设数列{}n a 满足121,2a a ==，且12

1max ,44n n n

a a a ++?

???

??=

，则2015a = ． 解：找规律。易知31max 2,14412a ??????==?，411max ,1244216a ??????==?，511max ,11641842

a ????

??=

=?，611max ,8411416a ??????==?，71max 1,42148

a ????

??==?，……， 故数列{}n a 是周期为5的数列，所以201551

8

a a ==

好题速递232题

设数列{}n a 满足191,7a a ==，且2112

21

n n n n n a a a a a +++-+=+，则5a = ．

解：()()22

211112

11121111

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++--+-+===-+++

即()2

12111

n n n a a a ++++=

+

令1n n b a =+，则2

21n n n b b b ++=，即数列{}n b 是等比数列，且192,8b b ==，故54b =，即

53a =

好题速递233题

已知

1

13

k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121

x k

g x k =--

+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为 ． 解：()()()12122221021,21log 1,log 1x x x f x k k k x k x k =--=?=-=+?=-=+ ()343242

131131

2102,2log ,log 2121212121

x x x k k k k k g x x x k k k k k ++++=--

=?==?==+++++ 由（1）（2）得()()43212

2314log log 311k x x x x k k +??

-+-==- ?--??

因为1

13

k ≤<，故()()43212log 3x x x x -+-≥

好题速递234题

已知函数()()222147f x ax a x a =+-+-，其中*a ∈N ，设0x 为()f x 的一个零点，若0x ∈Z ，则符合条件的a 的值有 个．

解：()()()

()22

27

22147022x f x ax a x a a x x +=+-+-=?=≠-+

因为*a ∈N ，故

()

2

27

12x x +≥+，解得()312x x -≤≤≠-

由0x ∈Z 知，03,1,0,1x =--

当03x =-时，1a =；当01x =-时，5a =；当00x =时，7

4

a =（舍去）；当01x =时，1a = 综上，符合条件的1a =或5a =，有两个值。

好题速递235题

已知O 是ABC ?的外心，2AB a =，()2

0AC a a

=

>，120BAC ∠=，若

(),AO AB AC αβαβ=+∈R ，则αβ+的最小值为 ．

解：因为2222222242242a a AO AB AB AB AC

AO AC AB AC AC a

a αβαβαβαβ?=-?=+??

???=-+??=+??， 解得221

33a α=+ ，2233a β=+

故2

241233

3a a αβ+=++≥

点评：这里又是三角形外心与向量的常见结合题，“外心点积转边投影”是正道。

好题速递236题

★已知函数()()

2

,t f x x t t t =--∈R ，设a b <，()()()()()()(),,a a b b

a b f x f x f x f x f x f x f x

()y f x x a b =++-有四个零点，则b a -的取值范围是 ．

解：()()2

,t f x x t t t =--∈R 是开口形状确定，顶点(),t t -在y x =-上运动的抛物线，于是当,a b 取不同值时所对应的函数

()f x 图象如图所示，是“W 型”的图象

交点横坐标由()()22

x a a x b b --=--解得1

2

a b x +-=

函数()y f x x a b =++-有四个零点，可视为直线y x b a =-+-与函数()y f x =有四个交点，故只需两条抛物线的“交叉点”到直线y x =-的竖直距离大于b a -即可。

故2

11

22b a b a b a ----??+

>- ??

?，解得25b a ->+

好题速递237题

在ABC ?中，若2AB =，2210AC BC +=，则ABC ?的面积取得最大值时，最长的边长等于 ．

解法一：设CH h =，AH x =，

由题知2210a b +=，2c =，12

ABC S ch h ?==

因为()()22

222222223144h b x a x h x x x =-=--?=-++=--+≤ 故()max 2ABC S ?=，当且仅当1x =时，取得最大值，此时5,2a b c ===

解法二：由余弦定理知222223

9

cos sin 2AC BC AB AC BC C C AC BC AC BC

+-?-==?=

??

故2

2222111sin 9922222ABC

AC BC S AC BC C AC BC ???+=??=?-≤-= ? ???

当且仅当5AC BC ==时，等号成立，故最长边为5

好题速递238题

如图，,C D 在半径为1的O 上，线段AB 是O 的直径，则AC BD 的取值范围

是 ．

解法一：极化恒等式角度 ()

AC BD AD DC BD DC DB =+=-

显然当,DC DB 均为O 的直径时，DC DB 最大为4； 取BC 的中点M ，则由极化恒等式知

()2

22

2

2

2

11112

22

DM OM OD DC DB DM BM DM OM +=-=+-≥

-≥-=-

故14,2AC BD ??

∈-???

?

解法二：投影角度 AC BD AC CE =

要求max AC BD ，显然在AC 确定的情况下，CE 最大。 如图，当DE AE ⊥且DE AE ⊥与圆相切时，CE 最大。 此时设CE x =，则,1DF x OF x ==-，()21AC x =-

所以()2

1121222x x AC BD AC CE x x +-??

==-≤?= ?

?

? 显然当且仅当D 与A 重合，C 与B 重合，即AC 与BD 反向且

模长均为直径时，()

min

4AC BD =-

解法三：坐标角度

设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ

所以()()cos 1,sin cos 1,sin AC BD ααββ=+-

()()()cos 1cos sin sin cos 1βαβαβ=-++-

()()()22cos 1sin cos cos 1ββα?β=

-+++-

()22cos cos 1ββ≤-+-

令1cos 0,2t β?

?=-∈??

则AC BD 2

2

211

222t t t ??≤-=-++≤ ? ???

AC BD ()()()()22cos 1sin cos cos 122cos cos 1ββα?βββ=

-+++-≥-

-+-

令1cos 0,2t β?

?=-∈??

则AC BD 2

221

242t t t ??≥--=-++≥- ? ???

（当且仅当2t =时取得等号） 解法四：利用竞赛知识

设AOC α∠=，COD β∠=，BOD γ∠= 则αβγπ++= ()()

()()cos cos cos 1cos cos cos 1

AC BD OC OA

OD OB OC OD OA OD OC OB OA OB βαββγβγα=--=--+=-+-+-=++- 在竞赛中证明过一个不等式，在ABC ?中，有

3

cos cos cos 2

A B C ++≤

()2cos cos cos 2cos

cos cos 22

2cos cos 2cos 1

222

12cos cos cos 22214cos sin sin 14sin sin sin

222222

A B A B

A B C A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B C

+-++=-++-+=-++-+??

=+- ?

??+=+=+先证明

2

1sin

sin sin sin cos cos 222222211sin 1cos sin 1sin 222222sin 1sin 1122228A B C A B C B C A B C A A A A -+??=- ???+????

≤-=- ? ?

??????+- ?≤= ? ? ???

又