插值是基于基函数的插值方法解读
牛顿插值法的应用
牛顿插值法的应用
牛顿插值法是指在给定若干个离散数据点的情况下，通过构造一个基于这些数据点的插值多项式，来近似表示原始数据的方法。
该方法可以用于实际问题中的数据拟合和函数近似计算。
具体地，我们可以使用牛顿插值法来计算一个函数在某些特定点的近似值，或者在整个定义域内的近似函数值。
这种方法基于拉格朗日插值法，但是使用了前向和后向递推的方法来避免了计算插值多项式中高次导数的复杂度。
使用牛顿插值法的过程中，我们需要先根据给定的数据点，构造出一个插值多项式的基函数，然后通过递推来确定插值多项式本身。
基函数的构造依赖于数据点的数量，但是可以证明这些基函数是唯一的。
通过递推求解插值多项式，可以得到一个包含所有数据点的一元多项式，从而得到对函数在某些特定点的近似值或者对函数在整个定义域内的近似函数值。
总之，牛顿插值法是一种基于递推的插值近似方法，可以用于实际问题中的数据拟合与函数近似计算。
2 第二章 插值法
（7） l k ( x), l k 及x k 1上满足条件：
l k ( x) 1.l k ( x k 1 ) 0, l k 1 ( x k ) 0, l k 1 ( x k 1 ) 1. 我们称函数l k ( x)及l k 1 ( x)为线性插值基函数。见 下图：
设 y f ( x)在区间 [a, b] 上连续，且在n 1 个不同的点
a x0 x1 xn b
上的值分别为y0 , y1 ,, yn .
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的 函数类 中，求一简单函数 P( x), 使 P( xi ) yi (i 0,1, , n) (I ) 而在其它点 x xi 上，P( x)作为 f ( x) 的近似。
y L1 ( x)的几何意义就是通过两 点（xk , y k )与（xk 1 , y k 1 )的直线， 如上图所示， （x）的表达式可由几何意 L1 义直接给出： y y L ( x)
1
y f (x)
yk
y k 1
0
xk
x k 1
x
y k 1 y k L1 ( x) y k ( x xk ) xk 1 xk xk 1 x x xk L1 ( x) yk y k 1 xk 1 xk xk 1 xk
k 0
n1 ( x) 从而公式（ ）可改写成： n ( x) y k 13 L ( x xk ) n1 ( xk ) k 0
n
(15)
注：n次插值多项式 n ( x)一般应为次数为 的多项式。特殊情况下 L n 次数 可能小于n。如过三个共线点（ 0 , y 0 ), ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 )的二次插值多项 x 式L（x)就是一条直线而不是抛 物线。 2
计算方法Chapter01 - 插值方法
若函数族
中的函数 ( x) 满足条件
( xi ) = f ( xi ),
i = 0,1,, n
（ 1）
n ( x ) x f ( x ) 则称 为 在 中关于节点 i i =0 的一个插值函数。
f ( x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
xi in=0 ——插值节点； 式（1）——插值条件.
x12 x1n
2 n x2 x2
范德蒙行列式
x
2 n
n n
V=
x
0 i j n
( x j xi )
10
插值多项式的存在唯一性（续）
V= ( x j xi ) 0 i j n
由于 x0 , x1 , x2 , ..., xn 是 n 1 个互异的节点，即：
求插值函数(x)的问题称为插值问题。
5
插值问题
于是人们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x) 使其近似的代替 f (x)。
y 被插值函数 f (x) 插值函数 (x)
插值节点 0 x0 x1 x2 x3
… …… xn x
6
插值区间
多项式插值问题
对于不同的函数族Φ 的选择，得到不同的插值问题
( x0 , y0 ) 0
p2(x)
x0
x1
x2
x
19
抛物线插值（续）
p2 ( x ) = y0l0 ( x ) y1l1 ( x ) y2l2 ( x )
( x x1 )( x x2 ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
( x x0 )( x x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
第二章.插值1
Newton插值多项式
Lagrange插值多项式缺点，增加节点，所有基函数 重算，不便计算． 改进：增加一个节点时只需 增加一个基函数？递推方式定义：
令 w0 ( x) ≡ , w1 (x) (x- x0 ) 1 wi (x) (x- xi-1 ) wi-1 (x) , i 1, ,n. 称为 Newton插值以 x0 , , x n 为节点的基函数 .
i n 1 0 1 1 0 0
2. 建立逼近目标，确定模型参数。 根据逼近的意义规定出必须满足的确切条件,从而去 确定中待定参数集{Ci}即： 抽象出插值问题 与拟合问题的各种数学表达。
3。建立算法并作理论分析。 建立计算机算法及理论上分析 的存在、唯一性、 误差估计等。
第二章 插值法与数值微分
( 2)
(n!)!
当f
( n 1)
( 1) ≈ f
(1) n (2) n
( n 1)
( 2)时, 有
f(x) f(x)
易计算出 f(x)
(1) n
(x)
x x0 ≈ (x) x x n 1
x x0 (1) (2) (x)≈ n (x) n (x) x0 x n 1
代数多项式插值逼近f()问题的一般数学表达： 已知：在区间{a，b}上 n+1个点{i}上n+1个 函数值yi=f(i):
0 1 …n y y0 y 1 … y n
(i≠)
构造一个多项式n()满足: 1, n()是多项式且次数不大于n; (2-17) 2，n(i)= f(i)= yi ，i=0，1，…，n i称插值节点,n()称插值多项式。
1( x ) = y0 l 0 ( x ) + y1l1( x )
【插值】插值方法原理详解
【插值】插值⽅法原理详解插值问题详解1.我在具体的应⽤（如数学建模竞赛）中，常常需要根据已知的函数点进⾏数据、模型的处理和分析，⽽通常情况下现有的数据是极少的，不⾜以⽀撑分析的进⾏，这时就需要使⽤⼀些数学的⽅法，“模拟产⽣”⼀些新的但⼜⽐较靠谱的值来满⾜需求。
⼀般来说，我可以去调⽤MATLAB或者Python的⼀些库函数来实现，这个功能就是“插值”。
然⽽这有个⾮常让我苦恼的问题，我可以从⼿册上知道这个函数实现“三次多项式插值”，那个函数实现“样条插值”.......但究竟在什么情况下使⽤何种插值⽅法呢？若不对插值⽅法做深⼊的学习，这个疑团恐难以解开。
于是，在这个原因驱动之下，我决定对常见、常⽤的插值⽅法⽐较深⼊的学习⼀下。
我希望读者也是基于这个原因来读这篇⽂章，希望我的总结能对你有所帮助。
2. 插值简单讲，插值就是根据已知数据点（条件），来预测未知数据点值得⽅法。
具体来说，假如你有n个已知条件，就可以求⼀个n-1次的插值函数P（x），使得P（x）接近未知原函数f（x），并由插值函数预测出你需要的未知点值。
⽽⼜n个条件求n-1次P（x）的过程，实际上就是求n元⼀次线性⽅程组。
代数插值代数插值就是多项式插值，即所求插值函数为多项式函数：显然，系数a0.....an为所求。
如果已知n+1个条件，需要n+1个⽅程组如下：这时，便可以⽤待定系数求解。
⼀、泰勒插值⾸先需要回顾泰勒多项式：因⽽，泰勒插值的条件就是已知0-n阶的导数：余项：满⾜n阶可导这个条件实在是太苛刻，导致实际上泰勒插值并不常⽤，下⾯介绍拉格朗⽇插值与⽜顿插值，这两种⽅法在本质上是相同的。
⼆、拉格朗⽇插值上⾯引论中提到，⼀般来说多项式插值就是求n-1个线性⽅程的解，拉格朗⽇插值即是基于此思想。
拉格朗⽇创造性的避开的⽅程组求解的复杂性，引⼊“基函数”这⼀概念，使得快速⼿⼯求解成为可能。
DEF：求作<=n 次多项式 p n（x），使满⾜条件p n（x i）= y i，i = 0，1，…，n.这就是所谓拉格朗⽇（ Lagrange）插值先以⼀次（线性）为例，介绍基函数⽅法求解，再推⼴到任意次多项式：已知x0,x1;y0,y1，求P（x）= a0 + a1x，使得P(x)过这两点。
径向基插值
径向基插值
【原创实用版】
目录
1.径向基插值的定义和原理
2.径向基插值的应用场景
3.径向基插值的优点与局限性
正文
径向基插值是一种常用的插值方法，主要应用于数据分析、图像处理以及数值计算等领域。
它通过构建一组径向基函数，对给定的数据点进行加权平均，从而得到新的数据点。
这种方法不仅可以提高数据的精确度，还可以有效地降低计算复杂度。
径向基插值的原理非常简单，它主要通过一组径向基函数来描述给定的数据点。
这些函数通常是关于变量 x 的径向函数，例如幂函数、三角函数等。
插值过程中，每个数据点都被分配一个权重，这个权重由径向基函数在数据点处的值决定。
最后，将所有数据点的权重相加，得到新的数据点。
径向基插值的应用场景非常广泛，最常见的应用是在数据分析中。
例如，在处理由多个变量描述的数据集时，可以使用径向基插值来预测新的数据点。
另外，在图像处理中，径向基插值也可以用来处理图像的缺失部分，提高图像的质量。
尽管径向基插值具有很多优点，但它也存在一些局限性。
首先，它的计算复杂度较高，尤其是在处理大型数据集时。
其次，它的精度受到基函数选择的影响，如果选择不当，可能会导致插值结果不准确。
总的来说，径向基插值是一种有效的插值方法，它不仅可以提高数据的精确度，还可以有效地降低计算复杂度。
数值计算方法 5插值法
5.2.3 n次拉格朗日插值
➢问题描述
插值基点：x0，x1，…，xn（n+1个点互异） 插值函数：不超过n次的多项式
插值条件：Ln(xi)=yi, i=0,1,2,…,n
➢基函数
li (x)
(x x0 ) (x xi1 )(x xi1 ) (x xn ) (xi x0 ) (xi xi1 )(xi xi1 ) (xi xn )
定义5-3
设H
是
n
不超过n次的多项式的全体的集合，
0
(
x)
,1
(
x),
,n (x)
是H n中n
1个线性无关的多项式，则0 (x),1 (x),
,
n
(
x)是H
的
n
一组基函数。
注意：基函数是不唯一的；
n
H n中的任一多项式pn (x)均可由基函数唯一表示，即pn (x) kii (x) i0
➢定理5-1 (插值函数的存在唯一性定理)
由于多项式有其优良的特性，所以通常都是用多项式作为 插值函数。还有其它类型的插值函数，如有理函数插值、 三角函数插值等
➢函数插值涉及的基本问题
插值函数的存在唯一性问题
插值函数的构造问题
截断误差估计与收敛性问题
➢ 代数多项式插值函数的构造方法
拉格朗日插值法 埃尔米特插值法
牛顿插值法
样条函数插值法
拉格朗日插值函数均可表示为一组基函数与函数值的线性组 合，这些基函数与被插函数无关，只需用插值基点有来构造。
5.2.1 拉格朗日线性插值L1(x) ➢线性插值及几何意义
n=1时的n次多项式L1(x) 称为线性插值。此时，有两个互异的 插值基点:x0，x1，插值条件为: L1(x0)=y0, L1(x1)=y1 。
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析插值法
解 由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
故
又
可得过前四点的三次牛顿插值多项式
可得N3(x)的截断误差
差分与等距节点的牛顿插值多项式
设函数y=fx在等距节点xi=x0+ih i=01 …n上的函数值为fi=fxih为步长
定义2 fi=fi+1-fi 和 fi=fi-fi-1 分别称为函数fx在点xi处的一阶向前差分和一阶向后差分
求f2.8用牛顿后插公式且由 2.8=3+0.5t 得 t= -0.4
第四节 埃尔米特Hermite插值
一、 埃尔米特插值多项式
为了使插值函数能更好的切合原来的函数许多问题不但要求节点上的函数值相等还要求导数值相同甚至高阶导数也相等这类插值问题称为埃尔米特插值
xi[a, b] (i=0,1, …, n) 为n+1个互异节点,考虑函数值 与导数个数相等的情况。
二、误差估计
定理4 设fx在包含x0、x1的区间ab内存在四阶导数则当x∈ab时有
且与x有关)
例1 已知fx=x1/2在X=121和144时的函数值及其一阶导数的数据见下表用埃尔米特插值公式计算1251/2的近似值并估计其截断误差.
得
由
可求得
例2
第五节 分段低次插值
解 (1) 用线性插值
第三节 均差与牛顿插值公式
一、差商及其基本性质
定义1 称
为 f x在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
称为函数f x在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
一般地n-1阶差商的差商
称为f x在x0 x1 … xn点的 n 阶差商
差商的计算步骤与结果可列成差商表如下
xk
函数值
一阶差商
空间插值方法
空间插值方法一、空间插值方法概述空间插值方法是指在给定的有限点数据集合上，通过某种数学模型，对未知位置的数值进行估计或预测的方法。
它广泛应用于地理信息系统、遥感、气象、环境监测等领域中，是一种重要的数据处理和分析手段。
常见的空间插值方法包括：反距离权重法、克里金法、径向基函数插值法等。
二、反距离权重法1. 原理反距离权重法是一种基于距离加权平均的插值方法。
其基本思想是：对于未知点，用已知点到未知点之间的距离作为权重系数，将已知点的观测值按照这些系数进行加权平均，得到未知点的估计值。
该方法假设空间变量在空间上具有连续性，并且与其邻近区域内观测值相关。
2. 步骤（1）确定待插值点和邻近观测点（2）计算待插值点与邻近观测点之间的欧式距离或曼哈顿距离等（3）根据距离计算每个邻近点的权重系数（4）将邻近点的观测值按照权重系数进行加权平均，得到待插值点的估计值3. 优缺点反距离权重法简单易懂，计算速度快，适用于数据密度较小、空间变异性较大的情况。
但其估计结果容易受到邻近点数量和距离的影响，可能出现插值误差较大的情况。
三、克里金法1. 原理克里金法是一种基于统计学原理的空间插值方法。
其基本思想是：通过对已知点之间的空间关系进行建模，利用半方差函数来描述变量在空间上的相关性，并通过最小二乘法求解出半方差函数中未知参数，从而得到未知位置处的预测值。
该方法假设空间变量在空间上具有稳定性，并且与其邻近区域内观测值相关。
2. 步骤（1）确定待插值点和邻近观测点（2）计算待插值点与邻近观测点之间的欧式距离或曼哈顿距离等（3）根据距离和半方差函数计算每个邻近点的权重系数（4）利用最小二乘法求解半方差函数中的未知参数（5）将邻近点的观测值按照权重系数进行加权平均，得到待插值点的估计值3. 优缺点克里金法能够考虑空间变异性和空间相关性，插值结果较为准确，但需要对半方差函数进行拟合，模型复杂度较高，计算量大。
四、径向基函数插值法1. 原理径向基函数插值法是一种基于核函数的空间插值方法。
插值法概述
所以方程组（4）有唯一解。
从而 Ln( x) a0 a1 x a2 x2 ... an xn 唯一存在.
此定理说明只要n+1个节点互异，满足上述插值条件
的多项式是唯一存在的。
证毕
一般插值多项式的原理
我们的问题是如何确定
Ln ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n
yk
x xk xk1 xk
yk1
(两点式)
若令
lk (x)
x xk1 xk xk1
,
lk1( x)
x xk xk1 xk
线性插值 基函数
在
节点xk
及xk
上
1
满足条
件
lk xk 1, lk1 xk 0,
lk ( xk1 ) 0;
(k 0,1,2,...n)
Rn( x) K( x)n1( x) K( x)( x x0 )( x x1 )...( x xn )
作函数 (t) f (t) Ln(t) K( x)n1(t)
则( xk ) 0 (k 0,1,2,...n)
Lagrange插值余项与误差估计
)( )(
x xi1 )( x xn ) xi xi1 )( xi xn
)
,
i 0,1n
li
(x
j
)
1, 0,
i i
j j
Ln ( x j ) y j
n
则 Ln ( x) yili ( x) 即为
i0
拉格朗日(Lagrange) 插值多项式
于是lk（1 x）
(x ( xk1
计算方法 第二章插值法_20191105
下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x)
（1）插值法
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决， 有时则应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
xi x1 x2 … xn f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi), i=1,…n.
x)
b0
a0 a1 x a2 x2 b1 x b2 x2 b3 x3
n
一般地：F( x) cii( x) i=0
例：F(x) a bx csin x span1, x,sin x,
当插值函数是代数多项式时，插值问题称为代
代 数插值。
数 插
设 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn ,
y2
n 次插值多项式 :求次数≤n的多项式Ln(x), 使其满足
Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , ...... , Ln(xn)=yn
..(7)
令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 +… +ln(x)yn
求n 次多项式 lj(x) ,(j=0,1,…,n)使其满足条件
容易求得
三角插值：取
spani(
n
x) i=0
a1x a0
=spansin x,cos x,sin 2x,cos 2x, ,sin nx,cos nx
例：取 spansin x,cos x,
F ( x) a sin x bcos x
有理插值：F( x)= Pm ( x) Qn ( x)
例：F (
二次插值 (n=2) 求次数≤2 的多项式L2(x), 使其满足条件 L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2
数值分析中常用的插值方法
数值分析中常用的插值方法在数值计算中，许多问题都可以用插值方法来近似求解，比如曲线拟合、函数逼近和图像重建等。
插值方法是指在已知数据点的情况下，通过一些数值计算技巧，在每个数据点处构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
在数据点之间计算函数值时，就可以使用这个多项式函数进行估算。
接下来，我们就来详细介绍一些常见的插值方法。
一、拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一个经典的插值方法，它的思想是通过给定的数据点，构造一个经过这些点的多项式函数进行逼近。
具体来讲，拉格朗日插值法会首先构造一个基函数，该函数满足只在其对应的数据点处等于1，其余的数据点处等于0。
然后，根据基函数和数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在每个数据点处都能通过数据点。
最终得到的多项式函数就是插值函数。
优点：简单易懂，使用较为广泛。
缺点：多项式次数较高时造成的误差会较大，且在数据点密集的区域可以出现龙格现象，使得插值函数在某些区间内呈现大幅度振荡。
二、牛顿插值法牛顿插值法是一种递推式的插值方法，它通过利用已知的数据点和前面已经计算出来的差商，得到一个逐步逼近的插值函数。
具体来讲，牛顿插值法会先将已知的数据点连成一条曲线，然后逐个向这条曲线添加新的数据点，每次添加一个新的数据点后，将差商计算出来并加入到之前的差商序列中，最终得到一个多项式函数，它在每个数据点处都能通过数据点。
牛顿插值法的优缺点与拉格朗日插值法相似，但是由于牛顿插值法是递推式的，可以方便的添加新的数据点，因此在数据点多变的情况下，牛顿插值法具有很大的优势。
三、分段插值法分段插值法是一种将插值区间划分为多个子区间的插值方法，在每个子区间内使用插值方法进行插值，然后将所有子区间内的插值函数拼接起来，得到最终的插值函数。
分段插值法主要分为两种：线性分段插值和三次样条插值。
1.线性分段插值线性分段插值的思路很简单，即在每个数据点处构造两条直线，在数据点之间的区间内使用一条直线作为插值函数。
插值的概念和各种基本方法
k o o b n c . w ww( xi ) = yi （ i = 0, 1, 2, L , n ） 。 证明：
要证明 P( x) 存在惟一，就是要证明存在惟一的一个 P( x) = a0 + a1 x + L an x n 满足：
n ⎧a0 + a1 x0 + L an x0 = y0 ⎪ n ⎪a0 + a1 x1 + L an x1 = y1 ⎨ ⎪L ⎪a + a x + L a x n = y n n n ⎩ 0 1 n
点
函
l0 ( x) l1 ( x)
k o o b n c . w ww
x0 x1
1 0 0 0 0 1
t e .n
x2
0 1
t e n . k o o b n c .
l2 ( x )
由上表知 l0 ( x) 有 x1 和 x2 两个零点，故 l0 ( x) 有因子 ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) ，又因为它的次数不超过 3 ，故
t e n . t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t k e o n o . b k n o c o . b w n w c w . w ww t e n . k o c o . b w n w c w . w w w t e n . k o o
函 数 值
k o o b n c . w ww
x0 x1
0 1
l0 ( x)
1
l1 ( x)
0
由表 2 和图 3 可以看出两个基函数的性质。插值函数 P 1 ( x ) 实质上是插值基函数 l0 ( x ) 和 l1 ( x ) 的线
几种常用高程插值方法的比较 数学模型
几种常用高程插值方法的比较数学模型
高程插值是通过已知的高程数据点来预测未知点的高程。
一种好的插值方法应该能够准确地预测出未知点的高程，同时也要考虑到计算的复杂度和数据的可用性。
以下是几种常用的高程插值方法的比较。
1.线性插值法：线性插值法是一种简单的插值方法，它基于两点之间的线性关系进行插值。
这种方法适用于数据点分布均匀且密集的情况下，但在数据点分布不均的情况下，插值精度可能会受到影响。
2.克里金插值法：克里金插值法是一种基于地质统计学的插值方法，它考虑了空间自相关性和变异性，通过权重系数来计算未知点的高程。
这种方法适用于数据点分布不均的情况下，但计算复杂度相对较高。
3.径向基函数插值法：径向基函数插值法是一种通过构建径向基函数来对数据进行插值的方法。
它具有较高的插值精度和较好的稳定性，但计算复杂度也相对较高。
4.样条插值法：样条插值法是一种通过构建样条函数来对数据进行插值的方法。
它具有较好的连续性和平滑性，但可能会受到边界效应的影响。
综上所述，不同的高程插值方法各有优缺点，应根据具体情况选择适合的插值方法。
第二章：插值法
满足(2.1)式的 l i(x) 是否存在?若存在，具有什么形式呢?
先考虑 l0(x)。因 l0(x)是以 x1, x2 为零点的二次多项式,
所以它可写成 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 其中0 是待定系 数。 又因为 l0( x0)=1，所以0(x0－x1)(x0－x2)＝1，则可有
n
| x - xi |
i=0
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时， f (n1)( x) 0,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项式 是精确的。
例1 求经过A(0,1)，B(1,2)，C(2,3)三个插值点的插值多项式. 解：三个插值节点及对应的函数值为
-
3
);
1 2
cos x
3 2
0.00044
R2
5
18
0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
高次插值通常优于 低次插值
但绝对不是次数越 高就越好，嘿 嘿……
例3 考虑下述的插值法问题：求二次多项式P(x)，满足 P(x0) = y0, P(x1) = y1，P(x2 ) = y2， 其中 x0 x2，y0、y1、y2 是已给的数据并给出使这一问题的解存在且唯一的条件.
x0 )(x -
x1 )，
[ x0 , x1 ]
当n = 2时 ， 抛 物 插 值 的 余 项 为
R2 ( x) =
1 6
f ( )( x -
x0 )(x -
x1 )(x -
x2 )，
[x0 , x2 ]
注： 通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
三种常见插值方法思想比较及适应性分析
三种常见插值方法思想比较及适应性分析作者：于秀君来源：《科教导刊·电子版》2020年第20期摘要函数插值法是解决实际问题经常会用到的一种方法，在计算数学中占据非常重要的位置，被应用于各个领域。
本文就拉格朗日插值法、牛顿插值法以及牛顿型埃尔米特插值法的构造进行了简单的概述，并对其各自的优缺点及其各自的适应性进行了分析。
关键词拉格朗日插值法牛顿插值法牛顿型埃尔米特插值法中图分类号：TN927.2 文献标识码：A0引言函数插值法，简称插值法，正是函数插值法在对现实优化问题的解决过程中起到的重要，决定了函数插值法在数学、天文学等各大领域均被得到广泛应用，在当前最普遍的大机器生产过程中也凸显出了举足轻重的作用。
所谓插值就是从一组离散数据中求得我们所需要的、未直接给出的中间值。
例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工零件，根据设计可给出零件外形曲线的某些型值点，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值才能加工出表面光滑的零件。
构造一个函数作为的近似表达式，的构造则主要依赖于已知的函数值，而后计算在区间上的值作为原函数在这一点的近似值，这是插值函数的核心。
其中需满足以下要求：（1）次数应该不超过、其表达式足够简单，图像足够光滑;（2）在已知定点处。
函数插值既是一个重点性知识，又是一个容易令人困惑的难点。
在日常应用过程中常常会出现各种对插值方法混淆的问题。
基于函数插值的重要地位，本着能更好地将常见的插值方法进行明确的区分的目的，便于在日后的应用过程中更加熟练，本文就拉格朗日插值法、牛顿插值法以及牛顿型埃尔米特插值法的构造进行了简单的概述，并对其各自的优缺点及其各自的适应性进行了分析。
1拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值基本形式简述1.1拉格朗日插值拉格朗日插值法可以说是函数插值方法中最基本的一种插值方法，而插值基函数构造的准确性将直接影响着所构造多项式的效果。
要构造拉格朗日次插值多项式，首先在已知的个节点处分别构造次插值基函数。
曲线插值算法
曲线插值算法一、概述曲线插值算法是一种数学方法，用于在给定的控制点之间生成平滑的曲线。
该算法可以应用于各种领域，如计算机图形学、CAD和工程设计等。
曲线插值算法通过计算控制点之间的曲线来创建平滑的曲线，并且可以根据需要进行调整。
二、常见的曲线插值算法1. 贝塞尔曲线插值算法贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
这种方法通常用于计算机图形学中，用于绘制二维和三维图像。
2. 样条曲线插值算法样条曲线插值是一种基于函数逼近的方法，它通过拟合多项式函数来生成平滑的曲线。
该方法使用分段多项式函数来连接相邻控制点，并且保证函数在连接处连续可导。
这种方法通常用于CAD和工程设计中。
3. B样条曲线插值算法B样条曲线插值是一种基于参数化表示的方法，它通过计算参数化函数来生成平滑的曲线。
该方法使用B样条基函数来计算控制点之间的曲线，并且可以通过调整参数来改变曲线的形状。
这种方法通常用于计算机图形学和CAD中。
三、贝塞尔曲线插值算法详解1. 原理贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。
该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。
贝塞尔函数是一种多项式函数，它可以用于生成平滑的曲线。
2. 计算公式在贝塞尔曲线插值中，每个控制点都有一个权重系数，称为贝塞尔权重。
假设有n个控制点，第i个控制点的坐标为(Pi, Qi)，则第i个控制点的贝塞尔权重为Bi(n,t)，其中t是一个0到1之间的参数。
当t=0时，Bi(n,t)等于1；当t=1时，Bi(n,t)等于1；当0<t<1时，Bi(n,t)可以通过递归公式计算得出：Bi(n,t)= (1-t)*Bi-1(n-1,t)+t*Bi(n-1,t)对于两个相邻的控制点Pi和Pi+1，它们之间的曲线可以用下面的公式计算得出：P(t)= (1-t)*Pi+t*Pi+1其中，t是一个0到1之间的参数。