复变函数与拉氏变换(作业)

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复变函数积分变换复习题

复变函数及拉普拉斯变换复习题一、选择题 1.复数z=1625825-i 的辐角为（）02-4 A.arctan 12B.-arctan12 C.π-arctan 12D. π+arctan122.方程Rez 2=1所表示的平面曲线为（） A.圆 B.直线C.椭圆D.双曲线3.复数z=--355(cossin )ππi 的三角表示式为（） A.-+34545(cos sin )ππiB.34545(cos sin )ππ-iC. 34545(cos sin )ππ+iD.--34545(cos sin )ππi4.设z=cosi ，则（）A.Imz=0B.Rez=πC.|z|=0D.argz=π 5.复数e 3+i 所对应的点在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限6.设w=Ln(1-i)，则Imw 等于（） A.-π4B.2401k k ππ-=±⋅⋅⋅,,, C.π4D.2401k k ππ+=±⋅⋅⋅,,, 7.函数w=z 2把Z 平面上的扇形区域：0<argz<π3，0<|z|<2映射成W 平面上的区域（） A.0<argw<23π，0<|w|<4 B.0<argw<π3，0<|w|<4 C.0<argw<23π，0<|w|<2D.0<argw<π3，0<|w|<2 8.若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分f z z a dz n C ()()-+⎰1等于（）A.211πin f a n ()!()()++B.2πi n f a !()C.2πif a n ()()D.2πi n f a n !()()9.设C 为正向圆周|z+1|=2，n 为正整数，则积分dz z i n C()-+⎰1等于（）A.1B.2πiC.0D.12πi10.设C 为正向圆周|z|=1，则积分dzz C ||⎰等于（） A.0 B.2πi C.2πD.-2π11.设函数f z e d z()=⎰ξξξ0，则f(z)等于（）A.ze z +e z +1B.ze z +e z -1C.-ze z +e z -1D.ze z -e z +112.设积分路线C 是由点z=-1到z=1的上半单位圆周，则z z dz C +⎰12等于（）A.2+πiB.2-πiC.--2πiD.-+2πi13.下列积分中，积分值不为零的是（） A.()z z dz C323++⎰，其中C 为正向圆周|z -1|=2B.e dz z C ⎰，其中C 为正向圆周|z|=5C.zzdz C sin ⎰，其中C 为正向圆周|z|=1 D.cos zz dz C -⎰1，其中C 为正向圆周|z|=2 14．复数方程z=2+θi e (θ为实参数，0≤θ<2π)所表示的曲线为（）04-4 A ．直线 B ．圆周 C ．椭圆D ．抛物线15．已知4z arg 2π=，则argz=（） A ．8πB ．4π C ．2πD ．π16．Re(cosi)= （） A ．2e e 1-+B ．2e e 1--C ．2e e 1+--D ．2e e 1--17．设f(z)=(1-z)e -z ，则)z (f '=（）A ．(1-z)e -zB ．(z -1)e -zC ．(2-z)e -zD ．(z -2)e -z18．设e z =i 31+，则Imz 为（）A ．ln2B ．32π C ．2k π,k=1,0±…D ．3π+2k π,k=0, 1±… 19．设C 为正向圆周|z|=1，则⎰=C dz z zcos （） A ．i πB ．2i πC ．0D ．120．设C 为正向圆周|z -1|=1，则积分dz )1z (2z 3z 5C32⎰-+-等于（）A ．5i πB ．7i πC ．10i πD ．20i π21．设C 为正向圆周|ξ|=1.则当|z|>1时，f(z)==-ξ-ξξπ⎰C3)z )(2(d i21（）A ．0B ．1C ．3)2z (2-D ．3)2z (2--22．设z=3+4i,，则Re z 2=( )05-4 A ．-7B ．9C ．16D ．2523．下列复数中，使等式z1=-z 成立的是( ) A ．z=e 2πiB ．z=e πiC ．z=i2e π-D ．z=i 43e π24．设0<t ≤2π,则下列方程中表示圆周的是( ) A ．z=(1+i)tB ．z=e it +2iC ．z=t+tiD ．z=2cost+i3sint25．下列区域为有界单连通区域的是( ) A ．0<|z-i|<1B ．0<Imz<πC ．|z-3|+|z+3|<12D ．0<argz<43π26．若f(z)=u+iv 是复平面上的解析函数，则f '(z)=( )A ．y u i x u ∂∂+∂∂B ．x v i y v ∂∂+∂∂C ．xv i x u ∂∂-∂∂ D ．xvi y v ∂∂-∂∂ 27．设f(z)=⎪⎩⎪⎨⎧≠=-0z ,ze 0z ,A 1z 在整个复平面上解析，则常数A=( )A ．0B ．e -1C ．1D ．e28．设f(z)=ax+y+i(bx+y)是解析函数，则实常数a,b 为( ) A ．a=-1,b=1 B ．a=1, b=1 C ．a=-1,b=-1D ．a=1,b=-129．设z 为复数，则e -iz =( ) A ．cosz+isinzB ．sinz+icoszC ．cosz-isinzD ．sinz-icosz 30．设f(z)和g(z)在有向光滑曲线C 上连续，则下列式子错误．．的是( ) A ．⎰⎰=zCdz )z (f )z (g dz )z (f )z (gB ．⎰⎰--=CC ,dz )z (f dz )z (f 其中C －为C 的反向曲线C ．⎰⎰⎰±=±CCCdz )z (g dz )z (f dz ))z (g )z (f (D ．⎰⎰=CCdz )z (f 3dz )z (f 331．设C 为从-I 到I 的左半单位圆周，则⎰=Cdz |z |( )A ．iB ．2iC ．-iD ．-2i 32．设C 为正向圆周|z|=2, 则下列积分值不为．．0的是( ) A ．⎰-C dz 1z zB ．⎰C 3zdz cos zC ．⎰C dz zz sinD ．⎰-C zdz 3z e 33．设D 是单连通区域，C 是D 内的正向简单闭曲线，则对D 内的任意解析函数f(z)恒有( )A ．f(z)=⎰ζ-ζζπC d z )(f i 21, z 在C 的外部 B ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 21，z 在C 的内部，n ≥2 C ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπC n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 D ．f (n)(z)=⎰ζ-ζζπ+C 1n d )z ()(f i 2!n ，z 在C 的内部，n ≥2 34．设z 为非零复数，a ,b 为实数，若ib a zz+=_，则a 2+b 2的值（）08-4 A ．等于0 B ．等于1 C ．小于1D ．大于135．设2,3z w i z =+=,则（） A ．3arg π=w B ．6arg π=wC ．6arg π-=wD ．3arg π-=w36．=i 2ln （） A ．2ln B ．i 22ln π+C ．i 22ln π-D ．i i 2Arg 2ln +37．设C 为正向圆周|z |=1,则dz z C⎰=（）A ．i π6B ．i π4C ．i π2D ．038．设C 为正向圆周|z -1|=2,则dz z e zC2-⎰=（） A ．e 2 B ．i e 22π C ．i e 2πD ．i e 22π-39．设C 为正向圆周|z |=2，则dz z e z zC4)1(++⎰=（） A ．i e3π B ．e6πC ．ei π2D ．i e 3π 40．设z =1-i ,则Im(21z)=（）09-4 A ．-1 B ．-21 C ．21 D ．141．复数z =ii-+23的幅角主值是（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．43π 42．设n 为整数，则Ln （-ie ）=（）A ．1-2πiB ．)22(πn π-iC ．1+)i π(n π22-D ．1+i π(n π)22+43．设z =x +iy .若f (z )=my 3+nx 2y +i (x 3-3xy 2)为解析函数，则（） A ．m =-3,n =-3 B ．m =-3,n =1 C ．m =1,n =-3 D ．m =1,n =144．积分⎰=2i iπz dz e （）A ．)1(1i +πB ．1+iC ．πi2D ．π245．设C 是正向圆周,11=-z 则⎰-C dz z z 1)3/sin(2π=（） A ．i π23- B ．i π3- C ．i π43 D ．i π2346．设C 是正向圆周3=z ，则⎰-Cdz z z 3)2(sin π=（） A ．i π2- B ．i π- C ．i πD ．2i π47．拉普拉斯变换()[]()dt e t f t f L st ⎰=+∞-0中的f(t)的自变量的范围是（）（A ）()+∞,0 （B ）[)+∞,0 （C ）()+∞∞-, （D ）()0,∞-48．拉普拉斯变换()()dt e t f s F st ⎰=+∞-0中的参数s 是（）（A ）实变数（B ）虚变数（C ）复变数（D ）有理数49．若()[]()s F t f L =，那么()[]=-t f e L at （）（A ）()a s F - (B)()a s F + (C)()e s F as - (D)()a s F s+150．若t ≥0时函数f(t)有拉氏变换()[]1=t f L ，则（）（A ）()()t u t f = （B ）()t t f = （C ）()()t t f δ= （D ）()1=t f 51．若()[]()s F t f L =，那么()[]=+a t f L （）（A ）()s F e as - （B ）()s F e as （C ）()a s F e as -- （D ）()a s F e as +52．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t f t L 1（）（A ）()s F '- （B ）()s F s 1（C ）()ds s F s ⎰+∞ （D ）()ds s F s ⎰053．若()[]()s F t f L =，那么()[]='t f L （）（A ）()s F ' （B ）()s sF （C ）()s F s ' （D ）()()0f s sF -54．若()[]()s F t f L =，那么()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dt t f L t 0 （）（A ）()s F s 1（B ）()ds s F s ⎰+∞ （C ）()ds s F s ⎰0（D ）()s F s e -55．若()[]()s F t f L =，当0>a 时，那么()[]=at f L （）（A ）()s F a 1 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 1 （C ）⎪⎭⎫⎝⎛a s aF （D ）()a s F - 56．若()[]()s F t f L =，且()()000='=f f ，那么()[]=''t f L （）（A ）()s F s ' （B ）()s F '' （C ）()s F s 2 （D ）()s F s '2 二、填空题1.复数z=4+48i 的模|z|= .2.设z=(1+i)100，则Imz= .3.设z=e 2+i ，则argz= .4.f(z)=z 2的可导处为 . 5.方程lnz=π3i 的解为 . 6.设C 为正向圆周|z|=1，则()1zz dz C +=⎰. 7.设C 为正向圆周|z -i|=12，则积分e z z i dz z Cπ()-=⎰2.8.设C 为正向圆周|ξ|=2，f(z)=sinπζζζ3-⎰zd C，其中|z|<2，则'=f ()1 . 9．设i z 101103+-=，则=_z ____________.10．方程i z 31ln π+=的解为____________.11．设C 为从i 到1+i 的直线段，则=⎰zdz CRe ____________.12．设C 为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分=⎰dz z z C 3_)(____________.13．设C 为正向圆周|z |=2，则⎰=-Cdz z z 32)2(cos π____________.14．复数1i --的指数形式为__________.15．设z =x +iy 满足x -1+i (y +2)=(1+i )(1-i )，则z =__________. 16．区域0<arg z<4π在映射w =z 3下的像为__________.17．设C 为正向圆周,2=z 则⎰=-C zdz z e 12__________. 18.若z 1=e 1+i π,z 2=3+i ，则z 1·z 2=________.19.若cosz=0，则z=________.20.设f ′(z)=⎰==ζ<-ζζζL )z (f L )|z (|，则｜：｜， 55d ζz)( cos e 2________. 21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为。

复变函数与拉氏变换1

复变函数与拉氏变换模拟题1一、判断题1．复变函数()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

( )2．若0z 为函数)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在（）3．设函数)(z f 在单连域B 内处处解析， C 为B 内的任意一条正向简单闭曲线，则[]0})]([)({32='⋅⎰dz z f z f C ( ) 4． 2c o s 2z ≤ （）5．复级数]1)11[(12i n n n n ∑∞=++是发散的. ( ) 6．)!1(10,Re 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n e z s z n （）二、填空题1．复数3)3(i --的指数表达式为________.2．.________________________12=+i i3．⎰==1______z dz z .4．方程0=+-iz iz e e 的解为=z __________________.5．设)(),(z g z f 在D 内解析，C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线且它的内部全含于D ，如果)()(z g z f =在C 上处处成立，则在D 内必有_______处处成立。

)()()(),()()(),()()(z g z f C z g z f B z g z f A =<>6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-s s s L 2121=_________________________.三、计算题1．求z 平面上的曲线222=+y x 在映射z w 1=下的像曲线方程。

2．设C 是从原点o 到34i +的直线段, 求C zdz ⎰3．计算dz z z z C⎰--)2)(1(sin 的值，其中C 分别为正向圆周r z =，其中.2,1,0≠r 参考答案：1. 设iv u w +=，则22y x x u +=，22y x y v +-=，将222=+y x 代入得2122=+v u . 2.直线C 的参数方程：3,4,01x t y t t ==≤≤;复参数方程34z t ti =+，参数:01t →，(34)dz i dt =+，120(34)C zdz i tdt =+⎰⎰21(34)2i =+. 或34234001|2i i C zdz zdz z ++==⎰⎰21(34)2i =+ 3 . 当10<<r 时，C 内无奇点， 01==I I .当21<<r 时，C 内只含一级极点11=z ，2I I =1sin 2|2sin 21i z z i z ππ-=-== 当2>r 时，C 内既含11=z 又含22=z ，=I +-=1|2sin 2z z z i π2|1sin 2=-z z z i π )1sin 2(sin 2-=i π四、证明题设0z 为)(z f 的一级极点，且[]a z z f s =0),(Re ，而)(z ϕ在0z 点解析，0)(0≠=b z ϕ，试证：[]ab z z z f s =0),()(Re ϕ.参考答案：由已知)()()(0z z z g z f -=，其中)(z g 在0z 点解析且0)(0≠z g ， =]),([Re 0z z f s =-→)()(lim 00z f z z z z a z g z g z z ==→)()(lim 00=]),()([Re 0z z z f s ϕ00lim()()()z z z z f z z ϕ→-00lim ()()()()z z g z z g z z ab ϕϕ→===五、应用题1．若函数iv u z f +=)(解析,且)4)((22y xy x y x v u ++-=-，试求),(),(y x v y x u 和.2．利用Laplace 变换求微分方程t e y y y -=-'+''32 满足1)0(,0)0(='=y y 的特解。

复变函数-拉氏变换习题解答

π
πs
=
3 3 − e s s
−
πs
2
⎡ e − ( s − i)t +∞ e − ( s + i)t +∞ ⎤ π π −( s −i) −( s +i) |t = π |t = π ⎥ 3 3 −πs 1 ⎛ 2 2 ⎜ 1⎢ e e 2 2 + ⎢ + − ⎥= − e 2 + ⎜ 2⎜ s −i s+i − ( s + i) ⎥ s s 2 ⎢ − ( s − i) ⎝ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
− st ( t )⎤ ⎦ = ∫−∞ δ ( t ) ⋅ cos t ⋅ e dt − ∫0
+∞
+∞
sin te − st dt = cos t ⋅ e − st |t = 0 −
3．设 f (t ) 是以 2π 为周期的函数,且在一个周期内的表达式为
⎧sin t , 0 < t ≤ π ，求& [ f (t )]. f (t ) = ⎨ ⎩ 0, π < t < 2π
⎤ ⎡ be − bs 1 −bs 1 bs − bse − bs + 1 − e − bs − bs − 2 e −1 ⎥ = ⋅ ⎢− − bs s s s2 ⎦ 1− e ⎣
(
)
1 + bs b − 2 s s (1 − e −bs )
(2)已知 f (t ) 是周期 T = π 的周期函数,在一个周期内
0 2
π 2 +∞
3e − st −s
|
2
0
+
3e − st s
|
4 2
f (t )e − st dt = ∫ 3e − st dt + ∫π cos t ⋅ e − st dt

复变函数与积分变换之拉普拉斯变换

工
程大
数s i,
其中
0,
F(s)
f (t )estdt
学
0
在S平面的某区域内收敛，则称其为 f (t)的
复变
Laplace变换，记为
函
数与积分
L[ f (t )] F (s) f (t )estdt 0
变换
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为L1[F (s)]
因此, 按傅氏积分公式, 在f (t)的连续点就有
f (t)u(t) et
1
2
f
(
)u(
)
e
e
j
d
e
jt
d
1
2
e
jt
d
0
f
(
)
e(
j )
d
1
2
F ( j) ejtd, t 0
等式两边同乘以et, 则
f
(t
)
1
2
F ( j) e( j)td,t 0
f
(t)
eit 2
1 2
(L
eit
L
eit )
1 2
(
s
1
i
s
1
i
)
s
复变
s2 2
函
(Re(s) 0)
L[sint]
s2
2
数
与积
例2
求函数f t t2 coskt的拉氏变换.
分
变
换
解
L
t 2 cos kt
(1)2 ( s2
s
k
2
)
2s3 (s2
6k2s k 2 )3

拉氏变换

F ( )e d
j t
将非周期信号的连续频谱综合为原时间信号。意义：一个非周期信号可以看作无穷个频率连续变化的简谐分量之和。
2.3 拉氏变换
是建立系统传递函数的理论基础
对其改造:(1)为保证积分收敛,乘衰减因子 e ( 0) (2)工程实际应用积分区缩小,乘阶跃函数 1(t )
1 2 F ( s) , s 1 s 2 f (t ) et 2e2t
2、分母B(s)有重根： (设为三重根p1 )
A( s) A( s) F ( s) B( s) ( s p1 )3 ( s p2 )...(s pn )
a11 a12 a13 a2 an ... 3 2 ( s p1 ) ( s p1 ) s p1 s p2 s pn
| s | r 2 2 模
j arctan 辐角三角表示法： s r（cos j sin）
r

指数表示法： s re j 极坐标表示法： s r 欧拉公式：
0
e j cos j sin
3、复变函数
复数s j并以s为自变量，按某一确定关系构成函数G（s）。
2、应用拉氏变换方法求解线性微分方程是一种快捷的运
算方法。它将高阶微分方程的微积分运算转化为求解关于复变量s的高阶代数方程的代数运算。借助于查找拉氏变
换表可方便地得到输出量时间解的表达式。
a0 f (t ) an cos(n t n ) 2 n 1 2 T
频谱具：收敛性、离散性
2、非周期函数傅氏变换（T ）：
F ( )

f (t )e jt dt

复变函数部分习题解答分析(复拉)

1 分析: 双曲函数的定义. 解法一 chz = ch(−z ) = ch(iiz ) = cos(iz ) = 0, z = (k + 2 )πi. 解法二
∂u ∂y 2
= 2vvy = −vx 两式相乘并整理得 (4v 2 + 1)vx vy = 0. 由以上
ux = vy = 6xy ⇒ u = 3x2 y + D(y ) (4) 将(3),(4)代入(0)式,得 u =
3x2 y − y 3 + C, v = 3xy 2 − x3 + C .
chz =
ez +e−z 2
1 = 0, e2z + 1 = 0. 2z = Ln(−1) = ln | − 1| + i arg(−1) + 2kπi, z = (k + 2 )πi.
作业卷（三）一判断题 1.设 C 为 f (z ) 的解析域 D 内的一条简单正向闭曲线，则 |z | < 2 内解析， C 取 |z | = 1, 则
的解为 z =
分析：两边同乘以 eiz , 得e2iz = 1. 两边取自然对数，得 2iz = Ln1 = ln |1| + i arg(1) + 2kπi = 2kπi, z =
条件.
分析：f (z ) 在该点解析, 则 f (z ) 在该点的某一个邻域内可导，在该点当然连续。填必要.
分析: 解析的充要条件. ux =
复变函数部分习题解答分析
作业卷（一）一判断题 1.复数 7 + 6i > 1 + 3i. ×. 两个复数, 只有都是实数时, 才可比较大小. 2.若 z 为纯虚数,则 z = z ¯. √ . 按书上定义, 纯虚数指 yi, y = 0, 若 z = yi , 则 z ¯ = −yi. 3.函数 w = arg(z ) 在 z = −3 处不连续. √ . 当 z 从下方 → −3时, w = arg(z ) 的极限为 −π ; 当 z 从上方 → −3 时, w = arg(z ) 的极限为 π . 4. f (z ) = u + iv 在 z0 = x0 + iy0 点连续的充分必要条件是 u(x, y ), v (x, y ) 在(x0 , y0 ) 点连续. √ . Th1.4.3. 5.参数方程 z = t2 + ti ( t 为实参数)所表示的曲线是抛物线 y = x2 . ×. x = y 2 . 二填空题 1.若等式 i(5 − 7i) = (x + i)(y − i) 成立,则 x= 2.方程 Im(i − z ¯) = 3 表示的曲线是 3.方程z 3 + 27 = 0的根为 4.复变函数 w =

复变函数与拉氏变换

复变函数与拉氏变换
目
第一章复数与复变函数 1.1 复数及其运算 . . . . . . . . . 1.1.1 复数的概念 . . . . . . 1.1.2 复数的表示法 . . . . . 1.1.3 复数的四则运算 . . . 1.1.4 复数的n次方根 . . . . 1.2 复平面上的曲线和区域 . . . 1.2.1 复平面上的曲线方程 1.2.2 简单曲线与光滑曲线 1.2.3 区域 . . . . . . . . . . . 1.3 复变函数 . . . . . . . . . . . . 1.3.1 复变函数的概念 . . . 1.3.2 映射 . . . . . . . . . . . 1.4 复变函数的极限和连续性 . 1.4.1 复变函数的极限 . . . 1.4.2 复变函数的连续性 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。

10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。

z11、。

方程0273=+z 的根为_________________________________。

12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。

15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （）3、若 a 为实常数，则a a = （）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

复变函数试卷

1.复数i 258-2516z=的辐角为（）A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 212．方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．复数)5,-isin5-3(cosz ππ=的三角表示式为（）A ．)54isin,543(cos -ππ＋ B ．)54isin,543(cosππ－C ．)54isin,543(cosππ＋ D ．)54isin,543(cos-ππ－4．设z=cosi ，则（）A ．Imz=0B ．Rez=πC ．|z|=0D ．argz=π 5．复数i 3e +对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．设w=Ln(1-I),则Imw 等于（）A ．4π－ B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－C ．4πD ． 1,0,k ,42k ±=+ππ7．函数2z w =把Z 平面上的扇形区域：2||,03argz 0<<<z π＜映射成W 平面上的区域（）A ．4||,032argz 0<<<w π＜ B ．4||,03argz 0<<<w π＜ C ． 2||,032argz 0<<<w π＜ D ．2||,03argz 0<<<w π＜8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分⎰+-cn a z z f 1)()(等于（）A ．)()!1(2)1(a fn i n ++π B ．)(!2a f n i π C ．)(2)(a ifn π D ．)(!2)(a fn i n π9．设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分⎰+-cn i z dz 1)(等于（）A ． 1B ．2πiC ．0D ．iπ2110．设C 为正向圆周|z|=1，则积分⎰cz dz ||等于（）A ．0B ．2πiC ．2πD ．－2π 11．设函数f(z)=⎰zd e 0ζζζ，则f （z ）等于（）A ．1++z z e zeB ．1-+z z e zeC ．1-+-z z e zeD ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则⎰+c2dz z1z 等于（）A ．i 2π+B ．i -2πC ．i -2-πD ．i 2-π+13．幂级数∑∞=1n 1-n n!z的收敛区域为（）A ．+∞<<|z |0B ．+∞<|z |C ．-1|z |0<<D ．1|z |<14．3z π=是函数f(z)=ππ-3z )3-sin(z 的（）A ．一阶极点B ．可去奇点C ．一阶零点D ．本性奇点 15．z=-1是函数41)(z z cot +π的（）A ． 3阶极点B ．4阶极点C ．5阶极点D ．6阶极点 16．幂极数∑∞=+1n nz (2n)!1)!n （的收敛半径为（）A ． 0B ．1C ．2D ．＋∞ 17．设Q （z ）在点z=0处解析，1)-z(z Q(z)f(z)=,则Res[f(z),0]等于（）A ． Q （0）B ．－Q （0）C ．Q ′（0）D ．－Q ′（0）18．下列积分中，积分值不为零的是（）A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c3=++⎰为正向圆周｜其中B ．5|zC dz,e cz =⎰为正向圆周｜其中C ．1|z C dz,sinz z c=⎰为正向圆周｜其中 D ．2|z C dz,1-z cosz c=⎰为正向圆周｜其中19．映射2z z w 2+=下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）A ．21|1z |>+ B ．21|1z |<+ C ．21|z |>D ．21|z |<20．下列映射中，把角形域4argz 0π<<保角映射成单位圆内部|w|<1的为（）A ．1-z 1z w 44+= B ．1z 1z w 44＋－=C ．iz i z w 44＋－= D ．i-z i z w 44+=二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）21．复数484z +=i 的模|z|＝_____________________。

复变函数拉氏变换部分习题解答分析(复拉)(精品)

1 w,x
得z =
+ iy =
1 u+iv
=
u u2 +v 2
−
v i. u2 +v 2
v 又由 y = 1 得 − u2 + = 1, u2 + v 2 + v = 0. v2 π 3
4.求角形域 0 < arg(z ) < 解 arg(w) = arg(¯ z ), 解将x = 一判断题
z +¯ z 2 ,y
作业卷（二） 1.若 f ′ (z ) 在区域 D 内处处为零, 则 f (z ) 在 D 内必恒为常数. √ . 在 D 内 f ′ (z ) = ux + ivx ≡ 0, ux = vx = 0. 从而 vy = ux = 0, uy = −vx = 0. 综上结论成立. 2.若 u(x, y ) 和 v (x, y ) 可导,则 f (z ) = u + iv 也可导. 1
= 0, 1, 2, z = −3,
3 2
±
3 2
√
3i.
4.复变函数 w =
z −2 z +1
的实部 u(x, y ) =
, 虚部 v (x, y ) =
x2 −x+y 2 −2 , (x+1)2 +y 2 π 4
. v (x, y ) = .
3y . (x+1)2 +y 2
分析:将 z = x + iy 代入, 分离实部、虚部, 得 u(x, y ) = 5.设 z1 = 2i, z2 = 1 − i, 则 Arg(z1 z2 ) = 分析: arg(z1 ) = π , arg(z2 ) = − π 4 , Arg(z1 z2 ) = √ 2 6.复数 z = − 12 − 2i 的三角表示式为分析: 4[cos(− 5 6 π) + i sin(− 5 6 π )], 4e

拉氏变换

( II. 当 A(s) = (s − p1 )L s − pn ) = 0 有重根时
重根， (设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 Cm+1 Cn C1 F(s)= + + L+ + + L+ m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm+1 s-pn
Cm = lim (s − p1 )m.F(s) s→p1 Cm C m- 1 C 1 d f(t) = L−1[ + + L+ 1 lim (s − p1 )m.F(s) (s-p1 )m (s-p1 )m- 1 s-p1 Cm- 1 = s→p 1! 1 ds C m +1 Cn L ] + + L+ s-pm +1 s-pn 1 d( j) lim j (s − p1 )m.F(s) Cm m −1 Cm-1 m − 2 Cm-j = s→p =[ t + t + ... + C2t + C1 ].e p1t j! 1 ds (m − 1 )! (m − 2 )! L n ( m−1) 1 d + ∑ C i e pi t C m lim i = m +1 1 = (m-1 )! s→p1 dsm−1 (s − p1 ) .F(s)
模（3）复数的共轭（4）解析
F ( s ) = Fx − jF y
若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。在点的各阶导数都存在，在点解析。
2 拉氏变换的定义设f(t)为时间t的函数，并且当t<0时，f(t)=0，以下无穷积分存在

复变函数与积分变换练习题带答案(1)

f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .

8复变函数课后题答案（中国石油大学）

习题八答案 1．求下列函数的拉氏变换：(1) 3,,2()cos ,;2t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 解：由拉氏变换的定义知：22220231[()]3cos 1.1s s st stL f t e dt etdt e e s s ππππ+∞−−−−⎛⎞=+=−−⎜⎟+⎝⎠∫∫(2) ()cos ()sin ().f t t t t u t δ=⋅−⋅解：由拉氏变换的定义以及单位脉动函数的筛选性质知：0202221[()]cos ()sin ()cos |111.11st st st t L f t t t e dt t u t e dt t e s s s s δ+∞+∞−−−==⋅⋅−⋅⋅=⋅−+=−=++∫∫2. 求下列函数的拉氏变换：(1)2()1;f t t =−解：由拉氏变换的线性性质知：2332!121[()][][1].L f t L t L s s s s=−=−=− (2) ()1;tf t te =−解：由拉氏变换的线性性质和位移性质知：211[()][1][].(1)t L f t L L te s s =−=−− (3) ()cos ;f t t t =解：法一：利用位移性质。

()cos .2it ite ef t t t t −+==由拉氏变换的位移性质知：222211111[()][][].222()()(it its L f t L te L te s i s i s −⎡⎤−=+=+=⎢⎥−++⎣⎦211) 法二：利用微分性质。

令则()cos ,g t t =2221()[()],'().1(s s G s L g t G s s s −===++21) 由拉氏变换的微分性质知：[cos ][()]'().L t t L tg t G s ==−即 2221[()].(1)s L f t s −=+ (4) 2()sin 6;tf t et −=解：因为 26[sin 6],36L t s =+ 故由拉氏变换的位移性知：26[()].(2)36L f t s =++ (5) 2()cos ;f t t = 解：1cos 2().2tf t +=故22211112[()][][cos 2].22224(4)s s L f t L L t s s s s +=+=+⋅=++ (6)()(1);tf t u e −=−解：因为1,10(1),0,10ttte u e e −−−⎧−>⎪−=⎨−<⎪⎩ 即： 1,0(1).0,0t t u e t −>⎧−=⎨<⎩ 故01[()]1.st L f t e dt s+∞−=⋅=∫(7) 2()(1);tf t t e =−解：22()(1)2.ttttf t t e t e te e =−=−+ 法一：利用拉氏变换的位移性质。

242#——复变函数与拉氏变换

山东大学网络教育学院课程名称：年级：层次：专业：姓名：学号：2012年月日1、复习资料正确的答案是由班委整理上传，仅供参考，2、请学生打印模拟试题考试后作为作业上交复变函数与拉氏变换模拟题1一、判断题1．复变函数()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。

( √ )2．若0z 为函数)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在（ √ ）3．设函数)(z f 在单连域B 内处处解析， C 为B 内的任意一条正向简单闭曲线，则[]0})]([)({32='⋅⎰dz z f z f C ( √ ) 4． 2cos 2z ≤ （ X ）5．复级数]1)11[(12i n n n n ∑∞=++是发散的. ( X ) 6．)!1(10,Re 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n e z s z n （ X ）二、填空题1．复数3)3(i --的指数表达式为 i e π238 . 2．+i i 21 2222πππ--+k i k e e ()z k ∈3．⎰==1z dz z i π2 .4．方程0=+-iz iz e e 的解为=z 2ππ+k ()z k ∈ .5．设)(),(z g z f 在D 内解析，C 为D 内的任意一条正向简单闭曲线且它的内部全含于D ，如果)()(z g z f =在C 上处处成立，则在D 内必有____C___处处成立。

)()()(),()()(),()()(z g z f C z g z f B z g z f A =<> 6．⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-s s s L 2121= t e 22121-+三、计算题。

复变函数与积分变换-拉普拉斯变换的性质

2.微分性质:
L[ f (t)] F(s),Re(s) C,则
L[ f'(t)] sF (s) f (0)
L f (n) (t) snF (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f (n1) (0)
n 1,2, Re(s) c 特别当 f 0 f 0 f n1 0 0 时，有
s
1 1

s
1 1
d
s

1 2
ln
s s
1 1
s
1 ln s 1. 2 s 1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
4.位移性质：L f (t) F(s)Re(s) c,则
L et f t F (s ) Re(s ) c
f(t)
f(tt)
O
t
t
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例7
求函数
u(t
t )

0 1
t t 的拉氏变换. t t
已知 L[u(t)] 1 , 根据延迟性质 s
L[u(t t )] 1 est
s
u(t-t)
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
8.2 拉普拉斯变换的基本性质
本讲介绍拉氏变换的基本性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定
理的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c，

复变函数第九章拉式变换

+∞ x≠0 0, ρ (t ) = 且m = ∫ ρ(t )dt = 1 −∞ + ∞, x = 0
δ函数的筛选性质 — — ∫ δ (t ) f (t )dt = f (0),
−∞
+∞
∫
∫
−∞
+∞
−∞
δ (t-t0 ) f (t )dt = f (t0 ) ,∫ δ (t ) f (t-t0 )dt = f (−t0 )
例1
求下列函数的拉普拉斯变换
0, t < 0 (1) u(t ) = ; (2) f (t ) = ekt ; (3) f (t ) = sin kt 1, t > 0
解：(1)
L[u (t )] = ∫ u (t )e dt = ∫
− st 0
+∞
+∞
0
1 − st +∞ e dt = e 0 s
( n = 1, 2,L ) ( Re( s ) > c )
特别当 f ( 0 ) = f ′ ( 0 ) = L = f ( n −1) ( 0 ) = 0 时，有
Lf
(n )
( t )
= s n F (s )
此性质可以将f (t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 的代数方程.
例2
ε →0
类似地，类似地，可以得到另外两个性质
δ函数的导数 — —
∫ ∫
解：
+∞
−∞
δ' (t ) f (t )dt = − f ' (0) ,
+∞
−∞
δ ( n ) (t ) f (t )dt = (−1) ( n ) f ( n ) (0)

《复变函数与积分变换》作业

第一篇第1章1.已知12z ==，求||z ，Argz 。

解：||1z ==2arctan 2,0,1,2,12Argz k k π-=+=±±……2.已知1z =2z i ，求12z z 及12zz 。

解：41i z e π==622iz i eπ-==所以64121222i iiz z e e e πππ-==54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-=== 3.设1z 、2z 是两个复数。

求证：222121212|||||2Re()z z z z =+-|z -z 。

证明：2121212||()()z z =-z -z z -z 22121221||||z z z z z z =+--22121212||||z z z z z z =+--221212||||2Re()z z z z =+-4.证明：函数22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩在原点不连续。

证明：22(0)()0(0)xyz x y f z z ⎧=⎪+=⎨⎪≠⎩当点z x yi =+沿y kx =趋于0z =时，()1k f z k→+ 故当k 取不同值时，()f z 趋于不同的数∴()f z 在原点处不连续5.证明：z 平面上的直线方程可以写成az az c +=（a 是非零复常数，c 是常数）证明：设直线方程的一般形式为0az az c ++=（a ，b ，c 均为实常数，a ，b 不全为零）因为：,22z z z zx y +-==代入化简得： 11()()022a bi z a bi z c -+++= 令1()02a bi α-=≠得z z c αα+=反之，设有方程z z c αα+=（复数0α≠，c 是常数）用z x iy =+代入上式，且令1()2a bi α=+化简即得第2章1.试判断函数3223()3(3)f z x xy i x y y =-+-的可微性和解析性。

复变函数第七讲-Laplace变换

kt
0
1 sk
1 所以 L [e ] (Re( s) k ). sk 其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
3
2.拉氏变换的存在定理若函数f (t)满足:
(1) 在t 0的任一有限区间上分段连续;
(2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函
数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
|f (t)| M e ct, 0 t <
则 f (t)的拉氏变换
F ( s ) f (t )e d t 0 在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的
st

半平面内, F(s)为解析函数.
4
Mect f (t) M
0
f (t )e dt
st
f (t )称为F ( s )的Laplace逆变换，记为 f (t ) L1[ F ( s )]. F ( s )称为像函数，f (t )称为原像函数.
F ' s
0 st f ( t ) e ' dt L[tf (t )]
| sf (t )e st dt
sF ( s ) f (0 )
(n) n n 1 n2 L f ( t ) s F ( s ) s f (0) s f (0)
f ( n1) (0)
n 1,2, Re s c
f
17
3.微分性质: L f (t ) F ( s) Re s c , 则
L f (t ) s F ( s ) f (0+ )
st 0

复变函数

特别地， [

t
0
1 f (t )dt ] F ( s ) (Re (s) c) s
23
2 像函数的积分性质设
f (t ) F ( s)
s
(Re (s ) c )
若积分 G( s ) F ( s )ds 在半平面 Re (s) c
收敛,即在该平面内当 s 时, G( s) 0 则
( t 0, Re (s ) c ) 得

0
f (t ) st e dt F ( s )ds s t f (t ) （常用来计算积分） dt F ( s)ds 0 t
令s 0得

0
25
例

0

sin t dt t
1 ds arctgs |0 2 s 1 2
15
（2） cos(t )
解:
[cos( t )]
s [ cos(t )] 2 s 1
(Re (s ) 0)
（3）求单个半正弦波的拉氏变换。
解: 令
2 f 1 (t ) Eu (t ) sin t T
E
T 2 T 0 f 2 (t ) Eu (t ) sin (t ) 2 T 2
三、位移性质
1.延迟性质 -- 时域上的位移
设 f (t ) u(t ) f (t ) F ( s)
则对任意的 t0 0 有
(Re(s) c)
f (t t0 )u(t t0 ) F ( s)e t0s
(Re(s) c)
说明：
(1) t0 0 的条件不可缺少 (2) u(t t ) 不可缺少（比较sin(t t0 )与u(t t0 ) sin(t t0 )）