复变函数与拉氏变换(作业)
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复变函数与拉氏变换 作业题
一、判断题(正确打√,错误打⨯,每小题2分)
1. )7Im()5Re(6
3
i
i
e e π
π
<. ( )
2.设iv u z f +=)(,若
x v
x u ∂∂∂∂,存在,则()u v i f z x x
∂∂'+=∂∂. ( ) 3.设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线,则
⎰=c
dz z f 0)(.( )
4.若iv u z f +=)(是解析函数,则,u v 都是调和函数. ( ) 5.幂级数01()n n n a z z ∞
=-∑必在其收敛圆上收敛. ( )
6.01z =为函数2
cot ()(1)z
f z z π=-的三级极点. ( )
7.
⎰⎰⎰==+=+-++-=+-2224)3)(1
(1
)3)(1(1
)3)(1
(1
z z z dz z z dz z z dz z z ( ) 8.123111()2
L t u t s -⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦. ( ) 二、填空题(每小题4分)
1.复数=1+cos sin ()z i θθπθπ+-<≤的三角表示式为_________________.
2.若实数y x b a ,,,满足等式
()
i a y x iy e a ib x iy
++=+-,则=+22b a ______. 3.函数iz W =将z 平面上的曲线21=-z 映射到W 平面的曲线方程为
________.
4.方程的i
i
e iz +-=112全部解为______________________. 5.函数)
4)(1(1
)(++-=
z z z z z f 在10-=z 处可展罗朗级数的所有圆环域是
_________
6._______0,cos 1Re 2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-z z s .
7.广义积分0
sin _______t
dt t
+∞
=⎰
. 8.设11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =,则120
[()()]___________.t L f f t d τττ-=⎰
三、计算题(第1、2小题每题6分,其余每小题10分)
1.问k 取何值时, x
y
i y x k z f arctan )ln()(22++=在域0>x 内是解析函数。
2.将函数dz e z f z
z ⎰=02
)(在00=z 处展开成泰勒级数,并指出其收敛半径。
3.设C 为2)1(=+-i z 的正向, 求⎰+-C z z dz
)
1()1(2
2.
4.计算积分dz z C ⎰πtan ,其中C 为正向圆周4=z .
四、证明题(8分)
设(,),(,)x y x y ϕψ都是调和函数,而,y x x y s t ϕψϕψ=-=+,试证
s i t x i y ++是的解析函数。
五、应用题(12分)
利用Laplace 变换求积分方程301
443
t y y ydt t '-+=⎰满足条件(0)0y =的特
解。