苏州大学2014届高考考前指导卷(1)定稿
2014年高考江苏卷试题及答案
南通数学网 初高中课件、教案、习题应有尽有 2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）解析版数学Ⅰ江苏苏州 何睦 江苏扬州 孟伟业 江苏南京 王刚 整理提供一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A I ▲ . 【答案】{1,3}-【解析】由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B).2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位)，则z 的实部为 ▲ . 【答案】21【解析】由题意2(52i)=25+20i 42120i z =+-=+，其实部为21. 【考点】复数的概念 (B).3. 右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ▲ . 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n>的最小整数解，220n>整数解为5n ≥，因此输出的5n =. 【考点】流程图 (A).4. 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是 ▲ . 【答案】13【解析】从1，2，3，6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概念为2163P ==. 【考点】古典概型 (B).5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 ▲ . 【答案】6π 【解析】由题意cos sin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=， 所以2236k ππϕπ+=+或252()36k k ππϕπ+=+∈Z ，即22k πϕπ=-或2()6k k πϕπ=+∈Z . 又0ϕπ≤<，所以6πϕ=.【考点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质 (B)，三角函数的概念(B). （三角函数图象的交点与已开始 0←n 1+←n n 202>n输出n 结束 （第3题）NY知三角函数值求角）6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.015+0.025)⨯10⨯60=24. 【考点】总体分布的估计 (A). （频率分布直方图）7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ▲ .【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q q =+，4220q q --=， 解得22q =或21q =-（舍），所以4624a a q ==. 【考点】等比数列 (C). （等比数列的通项公式）8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ . 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为1r 、1h ，2r 、2h ，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =， 又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==. 【考点】柱、锥、台、球的表面积与体积 (A).9. 在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 ▲ . 255【解析】圆4)1()2(22=++-y x 的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为2222(1)3512d +⨯--==+，所求弦长为2292552245l r d =-=-【考点】直线与圆、圆与圆的位置关系 (B). （直线与圆相交的弦长问题）10. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ .组距频率100 80 90 110 0.0100.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm（第6题）【答案】2,0⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭【解析】画出二次函数的分析简图：由图象分析可得结论：开口向上的二次函数()f x在[],m n上恒小于0的充要条件为()0,()0.f mf n<⎧⎨<⎩开口向下的二次函数()f x在[],m n上恒大于0的充要条件为()0,()0.f mf n>⎧⎨>⎩22()0,2(1)0.230.2mf mmf mm⎧<<⎪⎛⎫<⎧⎪⇒⇒∈ ⎪⎨⎨ ⎪+<⎩⎝⎭⎪-<<⎪⎩. （江苏苏州何睦）【考点】一元二次不等式(C). （一元二次方程根的分布、二次函数的性质）【变式】变式1已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意()1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,22（江苏苏州何睦）变式 2 已知函数,1)(2-+=mxxxf若对于任意[)1,+∈mmx，都有0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ .⎥⎦⎤⎝⎛-0,22（江苏苏州何睦）变式3 已知函数,1)(2-+=mxxxf若存在]1,[+∈mmx，使得0)(<xf成立，则实数m的取值范围是__________ . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-22,23（江苏苏州何睦）变式 4 已知函数12)(2++=xxxf，若存在实数t，当],1[mx∈时，xtxf≤+)(恒成立，则实数m的最大值是__________ . 4 （江苏苏州陈海锋）变式5 若关于x的不等式012≥-++mmxx恒成立，则实数=m________. 2（江苏苏州陈海锋）变式6 设)(xf是定义在R上的奇函数，且当0≥x时,2)(xxf=,若对任意的]2,[+∈t tx，不等式)(2)(xftxf≥+恒成立，则实数t的取值范围是________.[)+∞,2（江苏苏州陈海锋）11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy+=2(a，b为常数)过点)5,2(-P，且该曲线在点P处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ▲ . 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452ba +=-①，又22b y ax x '=-，所以7442b a -=-②，由①、②解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩所以3a b +=-.【考点】导数的几何意义 (B).12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =u u u r u u u r ，2AP BP ⋅=u u ur u u u r ，则AB AD ⋅u u u r u u u r 的值是 ▲ . 【答案】22【解析】解法一：（基底法）考虑将条件中涉及的,AP BP u u u r u u u r向量用基底,AB AD u u u r u u u r表示，而后实施计算.14AP AD DP AD AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，34BP BC CP AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .则2213132()()44216AP BP AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅==+⋅-=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为8,5AB AD ==，则3122564162AB AD =-⨯-⋅u u ur u u u r ，故22AB AD ⋅=u u u r u u u r . （江苏苏州 何睦）解法二：（坐标法）不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+u u u r ，(6,)BP a t =-u u u r. 由2AP BP ⋅=u u u r u u u r，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，所求822AB AD a ⋅==u u u r u u u r. （江苏苏州 何睦）【考点】平面向量的加法、减法及数乘运算 (B)，平面向量的数量积 (C).13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[∈x 时，21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可知1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =的图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象有4个交点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. A B DP（第12题）（江苏扬州 孟伟业）【考点】函数与方程 (A)，函数的基本性质 (B). （函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题）14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+，则C cos 的最小值是 ▲ . 62-【解析】由正弦定理得22a b c =，由余弦定理结合基本不等式有： 2222222222231231(2242242cos 2222a b a b a b a b a b cC abab ab ab ++-+++-====2231226242a b -≥=，当且仅当6a =时等号成立. （江苏苏州 何睦） 【考点】正弦定理、余弦定理及其应用 (B)，基本不等式 (C). 变式1 △ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为________.21（江苏无锡 张芙华） 变式2 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A CB B AC C B A cos sin sin cos sin sin cos sin sin +=，若2ab c的最大值为_______. 23（江苏无锡 张芙华） 变式3 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是________． []5,2 （江苏苏州 陈海锋）变式4 已知三角形ABC ∆的三边长c b a ,,成等差数列，且84222=++c b a ，则实数b 的取值范围是_________. (]72,62（江苏南通 丁勇）拓展 在△ABC 中，已知(),0,1m n ∈，且sin sin sin m A n B C +=，求cos C 的最小值. 解：由正弦定理得ma nb c +=，由余弦定理结合基本不等式有：222222222(1)(1)21cos [(1)(1)]222a b c m a n b mnab a bC m n mnab ab b a+--+--===-+--22(1)(1)m n mn --.（当且仅当2222(1)(1)m a n b -=-时等号成立）.（江苏常州 封中华）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈，55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.【解析】本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差及二倍角的公式，考查运算求解能力.满分14分.(1) 因为α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，sin α5，所以cos α＝2251sin α-.故sin π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝sin π4cos α＋cos π4sin α2252510⎛+= ⎝⎭. (2) 由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝525425⎛=- ⎝⎭， cos2α＝1－2sin 2α＝1－25325⨯=⎝⎭，所以cos 5π5π5π2cos cos 2sin sin 2666ααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭＝3314433525⎛+⎛⎫⨯+⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考点】同角三角函数的基本关系式 (B)，两角和（差）的正弦、余弦及正切 (C)，二倍角的正弦、余弦及正切 (B)，运算求解能力.16. (本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥，6PA =，8BC =，5DF =.求证：(1) 直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 满分14分.(1) 因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥PA .又因为PA ⊄ 平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线PA ∥平面DEF .(2) 因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点， PA ＝6，BC ＝8，所以DE ∥PA ，DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4. 又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，（第16题）PDCEFBA所以∠DEF ＝90°，即DE 丄EF . 又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .【考点】直线与平面平行、垂直的判定及性质 (B)，两平面平行、垂直的判定及性质 (B)，空间想象能力和推理论证能力.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，顶点B的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(，且22=BF ，求椭圆的方程；(2) 若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分.设椭圆的焦距为2c ，则1(,0)F c -，2(,0)F c .(1) 因为()0,B b ，所以222BF b c a =+=，又22BF =故2a =因为点41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以22161991a b +=，解得21b =.故所求椭圆的方程为2212x y +=.(2) 解法一（官方解答）：（垂直关系的最后表征）因为()0,B b ，2(,0)F c 在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为1x yc b+=. 解方程组22221,1,x y c b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()2122221222,a c x a c b c a y a c ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 220,.x y b =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为22222222(),a c b c a a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为22222222(),a c b a c a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 因为直线1F C 的斜率为()()()22222222322023b a c b a c a c a c a c c c a c ---+=+--+，直线AB 的斜率为b c-，且1F C AB ⊥， 所以()222313b a c b a c c c -⎛⎫⋅-=- ⎪+⎝⎭，又222b a c =-，整理得225a c =. F 1 F 2Oxy BCA故215e =，因此5e =.解法二：（垂直关系的先行表征）设000012(,),(.),(,0),(,0)C x y A x y F c F c --， 由1,FC AB ⊥得001y b x c c ⋅=-+-，由A 在2BF 上，则001x y c b-+=； 联立20000,.cx by c bx cy bc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩解得：20222022,2.ca x b c bc y b c ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩又00(,)C x y 在椭圆上，代入椭圆方程整理得2242224(2)c a c a c +=-，即225a c =， 所以椭圆的离心率为5e =【考点】中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质 (B)，直线的平行关系与垂直关系 (B)，直线方程 (C)，运算求解能力. （椭圆的标准方程、椭圆的离心率）18. (本小题满分16分)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长；(2) 当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力. 满分16分.解法一（官方解法一）：(1) 如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴， 建立平面直角坐标系xOy . 由条件知()()0,60,170,0A C ， 直线BC 的斜率4tan 3BCk BCO =-∠=-.170 m60 m 东北OA BM C170 m60 m xyOA BM C（第18题）又因为AB BC ⊥，所以直线AB 的斜率34AB k =. 设点B 的坐标为(),a b ，则041703BC b k a -==--，60304AB b k a -==-解得80,120a b ==.所以22(17080)(0120)150BC -+-. 因此新桥BC 的长为150m.(2) 设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM d = m (060)d ≤≤. 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=.由于圆M 与直线BC 相切，故点()0,M d 到直线BC 的距离是r ，即2236806803543d dr --==+. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ， 所以80(60)80r d r d -≥⎧⎨--≥⎩，，即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩，解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大.解法二（官方解法二）：(1) 如图，延长OA ，CB 于点F . 因为4tan 3FOC ∠=，所以4sin 5FOC ∠=，3cos 5FOC ∠=.因为OA = 60，OC = 170，所以680tan 3OF OC FOC =∠=，850cos 3OC CF FOC ==∠. 从而5003AF OF OA =-=.因为OA OC ⊥，所以4cos sin 5AFB FCO ∠=∠=.又因为AB BC ⊥，所以400cos 3BF AF AFB =∠=.从而150BC CF BF =-=.因此新桥BC 的长为150 m.(2) 设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD BC ⊥，且MD 是圆M 的半径，并设MD r = m ，OM d = m (060)d ≤≤. 因为OA OC ⊥，所以sin cos CFO FCO ∠=∠. 故由(1)知3sin 68053MD MD r CFO MF OF OM d ∠====--，所以68035dr -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，170 m60 m xyOA BM C（第18题）F D所以80(60)80,r d r d -≥⎧⎨--≥⎩, 即68038056803(60)80.5dd d d -⎧-≥⎪⎪⎨-⎪--≥⎪⎩,解得1035d ≤≤.故当10d =时，68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM =10 m 时，圆形保护区的面积最大.(1)的解法三：连结AC ，由题意知6tan 17ACO ∠=，则由两角差的正切公式可得： 2tan tan()3ACB BCO ACO ∠=∠-∠=，故cos 150BC ACB AC =∠⋅= m. 所以新桥BC 的长度为150m. （江苏苏州 何睦）(2)的解法三：设BC 与圆切于点N ，连接MN ，过点A 作//AH BC 交MN 于点H . 设OM a =，则60AM a =-，由古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ， 那么80(60)80r a r a -≥⎧⎨--≥⎩，解得1035a ≤≤. 由4tan tan 3AMH OCN ∠=∠=，可得3(60)5MH a =-，由(1)的解法二可得100AB =，所以33100(60)13655MN x x =+-=-+，故MN 即圆的半径的最大值为130，当且仅当10a =时取得半径的最大值.综上可知，当10OM = m 时，圆形保护区的面积最大. （江苏兴化 顾卫）【考点】直线方程 (C)，直线与圆、圆与圆的位置关系 (B)，解三角形 (B)，建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(，其中e 是自然对数的底数. (1) 证明：)(x f 是R 上的偶函数；(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.【解析】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基本知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力. 满分16分.(1) 因为对任意x ∈R ，都有()()()e e e e xx x x f x f x -----=+=+=，所以()f x 是R 上的偶函数.(2) 解法一（官方解答）：由条件知()()e e 1e 10,x x x m --+-≤-+∞在上恒成立. 令e (0)x t x =>，则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立.因为()()1111211311t t t t -++≥-⋅=--，所以1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln2x =时等号成立.因此实数m 的取值范围是1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.解法二：考虑不等式两边同乘x e ，则不等式转化为2[(e )1]1(1)e x x m m +≤+-在(0,)+∞上恒成立. 令e (1)x t t =>，则问题可简化为：2(1)10mt m t m +-+-≤在()1,t ∈+∞上恒成立. 构造函数2()(1)1g t mt m t m =+-+-，由图象易得当0m ≥时不符合题意. 当0m <时，11,2(1)0.m m g -⎧≤⎪⎨⎪<⎩或11,21()0.2m m m g m-⎧≥⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩解得13m ≤-.综上可知，实数m 的取值范围为1(,]3-∞-. （江苏苏州 陈海锋）(3) 令函数()()31e 3e x x g x a x x =+--+，则()()21e 31e x x g x a x '=-+-.当1x ≥时，1e 0ex x ->，210x -≥，又0a >，故()0g x '>，所以()g x 是[)1,+∞上的单调增函数，因此()g x 在[)1,+∞上的最小值是()11e e 2g a -=+-.由于存在[)01,x ∈+∞，使0030e e (3)0x x a x x -+--+<成立，当且仅当最小值()10g <， 故1e e 20a -+-<，即1e e 2a -+>.令函数()(e 1)ln 1h x x x =---，则()e 11h x x-'=-，令()0h x '=，得e 1x =-. 当()0,e 1x ∈-时，()0h x '<，故()h x 是()0,e 1-上的单调减函数. 当()e 1,x ∈-+∞时，()0h x '>，故()h x 是()e 1,-+∞上的单调增函数. 所以()h x 在()0,+∞上的最小值时()e 1h -.注意到()()1e 0h h ==，所以当()()1,e 10,e 1x ∈-⊆-时，()()()e 110h h x h -≤<=. 当()()e 1,e e 1,x ∈-⊆-+∞时，()()e 0h x h <=，所以()0h x <对任意的()1,e x ∈成立. ①当()1e e ,e 1,e 2a -⎛⎫+∈⊆⎪⎝⎭时，()0h a <，即()1e 1ln a a -<-，从而1e 1e a a --<； ②当e a =时，1e 1e a a --=；③当()e,(e 1,)a ∈+∞⊆-+∞时，()()e 0h a h >=，即()1e 1ln a a ->-，故1e 1e a a -->.综上所述，当1e e ,e 2a -⎛⎫+∈⎪⎝⎭时，1e 1e a a --<，当e a =时，1e 1e a a --=，当()e,a ∈+∞时，1e 1e a a -->. (3)的民间思路：难题分解1：如何根据条件求出参数a 的取值范围？ 分解路径1：直接求函数的最值.解：令30000()()(3)g x f x a x x =--+，只要在0[1,)x ∈+∞上，0min ()0g x <即可. 002200()1'()3(1)x x e g x a x e-=+-. 当01x =时，0'()0g x =.； 当01x >时，2010x ->，02()10x e ->，则0'()0g x >.故在区间[1,)+∞上，0'()0g x ≥，即函数0()g x 为[1,)+∞的增函数，则1min 0()(1)20g x g e e a -==+-<，解得12e e a -+>.（江苏苏州 何睦）分解路径2：参数分离可以吗？解：欲使条件满足，则)03x ⎡∈⎣，此时3030x x -+>，则0300()3f x a x x >-+， 构造函数00300()()3f x g x x x =-+，即求此函数在03x ⎡∈⎣上的最小值. 0003200003200()(3)()(33)()(3)o x x x x e e x x e e x g x x x ----+-+-+'=-+. 因为03x ⎡∈⎣，000032000,30,0,330x x x x e e x x e e x --->-+>+>-+<， 则000032000()(3)()(33)0x x x x e e x x e e x ----+-+-+>. 则0()0g x '>在03x ⎡∈⎣上恒成立，故10min()(1)2e e g x g -+==， 故12e e a -+>（江苏苏州 何睦）难题分解2：如何根据求得的参数a 的取值范围比较1e -a 与1e -a 的大小？ 分解路径1：（取对数）1-a e 与1-e a 均为正数，同取自然底数的对数， 即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，即比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小. 构造函数ln ()(1)1xh x x x =>-，则211ln ()(1)x x h x x --'=-， 再设1()1ln m x x x =--，21()xm x x-'=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故()0h x '<在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,)+∞上单调递减.当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当a e >时，11e a a e --<.（江苏苏州 何睦） 分解路径2：（变同底，构造函数比大小） 要比较1ea -与e 1a-的大小，由于e 1(1)ln e aae--=，那么1[(1)ln (1)]1e e a a a a e e-----=，故只要比较1a -与(1)ln e a -的大小.令()(1)ln (1)h x e x x =---，那么1'()1e h x x-=-. 当1x e >-时，'()0h x <；当01x e <<-时，'()0h x >.所以在区间(0,1)e -上，()h x 为增函数；在区间(1,)e -+∞上，()h x 为减函数.又()0h e =，(1)0h =，则(1)0h e ->，1()02e e h -+>；那么当12e e a e -+<<时，()0h a >，()1h a e >，11e a a e -->；a e >当a e ≥时，()0h a ≤，()01h a e <≤，11e a a e --≤.综上所述，当12e e a e -+<<时，11e a a e -->；当a e =时，11a e e a --=；当时，11e a a e --<. （江苏苏州 王耀）【考点】函数的基本性质 (B)，利用导数研究函数的单调性与极值 (B)，综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.20. (本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明：}{n a 是“H 数列”；(2) 设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”，求d 的值； (3) 证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.【解析】本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力及推理论证能力. 满分16分.(1) 证明：由已知，当1n ≥时，111222n n n n n n a S S +++=-=-=，于是对任意的正整数n ，总存在正整数1m n =+，使得2n n m S a ==，所以{}n a 是“H 数列”.(2) 解法一（官方解答）：由已知，得2122S a d d =+=+，因为{}n a 是“H 数列”，所以存在正整 数m ，使得2m S a =，即()211d m d +=+-，于是()21m d -=.因为0d <，所以20m -<，故1m =，从而1d =-. 当1d =-时，2n a n =-，()32n n n S -=是小于2的整数，*n ∈Ν.于是对任意的正整数n ，总存在正整数()3222n n n m S -=-=-，使得2n m S m a =-=，所以{}n a 是“H 数列”，因此d 的值为1-.解法二：由{}n a 是首项为1的等差数列，则1(1)m a m d =+-，22n n n S n d -=+，又数列是“H 数列”，不妨取2n =时，存在满足条件的正整数m ，使得1(1)2m d d +-=+，即(2)1m d -=，（i ）当3m ≥时，此时0d >，不符合题意，应舍去； （ii ）当2m =时，不存在满足条件的d ；（iii ）当1m =时，1d =-. 此时数列{}n a 的通项公式为2n a n =-， 下面我们一起来验证{}n a 为“H 数列”:2n a n =-；232n n n S -=，此时2432n n m -+=，容易验证m 为正整数. （江苏苏州 何睦） 解法三：由题意设1(1)m a m d =+-；又等差数列{}n a 的前n 项和22n n nS n d -=+；由题意知对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，21(1)2n nm d n d -+-=+（*）；那么m 随着n 的变化而变化，可设满足函数关系式()m f n =.又0d <，那么要使（*）对任意自然数n 恒成立，则21()2m f n n Bn C ==++；代入得：221(1)(1)222d n n d Bnd d Cd n d ++-+=-+，即有1210d Bd d Cd ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩； 又当1n =时，1m n ==，即112B C ++=，由此可以解得3,22B C =-=,1d =-. 此时2n a n =-. （江苏苏州 王耀）解法四：,n m n N S a ∀∈=，所以1(2)n m S a n '-=≥，由题意得1n n S S -≤，所以m m a a '≤，即m m '≥. 对于任意的n ，存在,m m '使得n m m a a a '=-， 即1(1)1(1)[1(1)]n d m d m d '+-=+-=+-， 化简可得11n m m d'=--+.（*） 当1d <-时，此时1d不是整数，此时（*）式不满足； 当10d -<<时，此时11d ->，而0m m '-≥，所以113n m m d'=--+≥恒成立，不对n N ∀∈恒成立，所以1d =-. （江苏兴化 顾卫）解法五：由}{n a 是首项为1的等差数列，且数列}{n a 是“H 数列”，则2221S a a =+>，又0d <，所以22111S a a =+==，则20a =，从而211d a a =-=-，此时2n a n =-，21322n S n n =-+，由n m S a =得，2342n n m -+=为正整数，从而数列}{n a 是“H 数列”.（江苏常州 封中华） (3) 解法一（官方解答）：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()()()*11111()n a a n d na n d a n =+-=+--∈Ν. 令()()11,1n n b na c n d a ==--，则*()n n n a b c n =+∈Ν. 下证{}n b 是“H 数列”.设{}n b 的前n 项和为n T ，则()()*112n n n T a n +=∈Ν， 于是对任意的正整数n ，总存在正整数()12n n m +=，使得n m T b =，所以{}n b 是“H 数列”. 同理可证{}n c 也是“H 数列”.所以，对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得*()n n n a b c n =+∈Ν成立.解法二：由(2)的解答过程可知：等差数列{}n b 中若111b d =-时, {}n b 是“H 数列”， 则1111(1)2n b b n d b b n =+-=-. 同理等差数列{}n c 中若121c d =时，{}n c 是“H 数列”，121(1)n c c n d c n =+-=. 任意的等差数列{}n a ，则可表示为n a An B =+. 令11b c A -+=，12b B =，此时12B b =，12B c A =+.所以对任意的等差数列{}n a ，总存在两个等差“H 数列”{}n b 和{}n c ， 使得*()n n n a b c n N =+∈成立.【考点】数列的概念 (A)、等差数列 (C)，探究能力及推理论证能力.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠ OCB ＝∠ D ．【解析】本小题主要考查圆的基本性质，考查推理论证能力. 本小题满分10分.证明：因为,B C 是圆O 上的两点，所以OB OC =. 故OCB B ∠=∠.又因为,C D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故,B D ∠∠为同弧所对的两个圆心角， 所以B D ∠=∠. 因此OCB D ∠=∠.B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，x ，y 为实数．若=A αB α，求x ＋y 的值． 【解析】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解：由已知，得1222212y x y xy --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦A α，1122214y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦B α. 因为=A αB α，所以22224y y xy y -++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦，故222,24,y y xy y -+=+⎧⎨+=-⎩ 解得1,24.x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以72x y +=.(第21—A 题)C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程21,2)(2;x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x=相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解析】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力. 本小题满分10分.解法一（官方解答）：将直线l 的参数方程21,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入抛物线方程24y x =， 得222(2)4(1)22+=-. 解得120,2t t ==-所以1282AB t t =-=解法二：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4x y y x +=⎧⎨=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，或97.x y =⎧⎨=-⎩，即交点,A B 分别为()1,2和()9,6-，所以22(19)(26)8 2.AB =-++= （江苏镇江 陈桂明） 解法三：将直线l 的参数方程化为直角坐标方程为3x y +=，联立方程组23,4,x y y x +=⎧⎨=⎩ 消去y 有21090x x -+=，则121210,9x x x x +==.所以2212121()411100368 2.AB k x x x x =++-+-=（江苏镇江 陈桂明）D ．[选修4—4：不等式证明选讲]（本小题满分10分） 已知x ＞0，y ＞0，证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥．【解析】本小题主要考查算术－几何平均不等式,考查推理论证能力.本小题满分10分.证明：因为0,0x y >>，所以223130x y xy ++≥， 故222233(1)(1)339x y x y xy x y xy ++++≥.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22. (本小题满分10分)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． (1) 从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；(2) 从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3， 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E (X )．【解析】本小题主要考查排列与组合、离散型随机变量的均值等基础知识，考查运算求解能力. 满分10分.解：(1) 取出的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，所以222432296315.3618C C C P C ++++=== (2) 随机变量X 的所有可能的取值为2,3,4.{}4X =表示的随机事件是取到的4个球是4个红球，故44491(4)126C P X C ===；{}3X =表示的随机事件是取到的4个球是3个红球和1个其它颜色的球，或3个黄球和1个其它颜色的球，故313145364913(3)63C C C C P X C +===；于是13111(2)1(3)(4)1.6312614P X P X P X ==-=-==--= 所以随机变量X 的概率分布如下表：X 2 3 4 P111413631126因此随机变量X 的数学期望120()234.14631269E X =⨯+⨯+⨯=23. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． (1) 求12πππ2()()222f f +的值；(2) 证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立．【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数，考查探究能力及应用数学归纳法的推理论证能力.(1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+ ⎪⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++， (1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以12)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令=)(x g n *1),()(N n x xf x nf n n ∈+-所以x x xf x f x g cos )()()(101=+=，又)()()()1()()()()(111x g x xf x f n x f x x f x f n x g n n n n n n n++-=++='++'=' 故ΛΛ,sin )(,cos )(,sin )()(4312x x g x x g x x g x g -=-=-='= 所以)()(4x g x g n n =+，即22)4(=πn g ，命题得证.（江苏南通陆王华）。
江苏省苏州大学高考数学考前指导卷(1)
1 2
C1 A1
1
1
B1 F
1
E M C A
D
B
17．解： （1）如图，过 E 作 EM BC ， 垂足为 M，由题意得 MEF (0 tan 故有 MF 60 tan ， EF
4 )， 3
60 ， AE FC 80 60 tan ， cos 60 2 所以 W (80 60 tan ) 1 cos
16． （本小题满分 14 分） 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB AC AA1 3a， BC 2a，D 是 BC 的中点，E，F 分别是 A1A，C1C 上一点， 且 AE CF 2a． （1）求证：B1F⊥平面 ADF； （2）求三棱锥 B1 ADF 的体积； （3）求证：BE∥平面 ADF． A E A1
2 2 2 则 2 x1 3 y12 6c2 ， 2x2 3 y2 6c2 ．
2 得 2 x 3cx 0 ， 解 得 x1 0 （ 舍 ） 和 x2 c ， 即
MP MQ MP MQ ，则 MP PN , MQ QN ， ，∴设 PN QN PN QN x x2 x x2 y y2 y y2 ,x 1 ,y 1 求得 m 1 ，n 1 ， 1 1 1 1
1
C1
1
B1 F
1
C
D
B
2
17． （本小题满分 14 分） 如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线 AE 排水管 l1 ， 在路南侧沿直线 CF 排水管 l2 ， 现要在矩形区域 ABCD 内沿直线 EF 将 l1 与 l2 接通． 已知 AB = 60 m， BC = 80 m，公路两侧排管费用为每米 1 万元，穿过公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元，设 EF 与 AB 所成角为 ．矩形区域 ABCD 内的排管费用为 W． A E D （1）求 W 关于 的函数关系式； l1 （2）求 W 的最小值及相应的角 ．
2014年苏州市高考数学考前指导卷
．
π 2 x sin （0≤x≤1）的最小值为 g(θ)，则对一切 θ [0, ] ，g(θ)的最大值 x 2 2 cos
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出必要的文字说明、 ．．．．．．．． 证明过程或演算步骤．
15．如图，三棱柱ABC—A 1 B 1 C 1 的侧面AA 1 B 1 B为正方形，侧面BB 1 C 1 C为菱形，∠CBB 1 = 60°，AB⊥B 1 C． （1）求证：平面AA 1 B 1 B⊥平面BB 1 C 1 C； C C1 （2）若AB＝2，求三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 的体积．
20．已知函数 f ( x) x3 3 x 2 ax (a R ) ， g ( x) | f ( x) | ．
（1）求以 P 2, f (2) 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若 g ( x) ≤ kx 对一切 x[0，2]恒成立，求 k 的最小值 h(a) 的表达式； （3）设 a > 0，求 y g ( x) 的单调增区间．
要使竹篱笆用料最省，只需其长度 PQ 最短，所以 PQ 2 x 2 y 2 2 xy cos120 x y xy
2 2
(200 1.5 y )2 y 2 (200 1.5 y ) y 1.75 y 2 400 y 40000 （ 0 y
当y
400 ） 3
200 21 800 200 时， PQ 有最小值 ，此时 x ． 7 7 7 答：（Ⅰ）当 AP AQ 100 米时，三角形地块 APQ 的面积最大为 2500 3 平方米； 200 800 （Ⅱ）当 AP 米 , AQ 米时，可使竹篱笆用料最省． 7 7
苏州大学2015届高考考前指导卷1吴(第8稿)
苏州大学2015届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，则AB = ▲ ．2．实数,a b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋2i 与2－b i 互为共轭复数，则a b += ▲ ． 3．双曲线222x y -=的右准线方程为 ▲ ．4．一组数据：9.8，10.1，10，10.2，9.9，则该组数据的方差为 ▲ ．5．如右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ▲ ．6．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0，0)成中心对称，且x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝ ▲ ． 7．已知函数()ln (,)f x m x nx m n =+∈R ，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y --=，则m n += ▲ ．8．已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 3＝a 27，a 2＝a 4＋a 6．则数列{a n }的通项公式为 ▲ ．9．已知点(),P x y 的坐标满足条件1,1,350,x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤那么点P 到直线34130x y --=的距离的最小值为 ▲ ．10．如图，沿格子型路线从点A 到点C ，如果只能向右、向上走，则经过点B 的概率是 ▲ ．11．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ． 12．在△ABC 中，已知M 为BC 的中点，若3AN NB =，MN AM AC λμ=+（,λμ∈R ），则λμ+的值为 ▲ ． 13．已知函数24,22|2|, 0()3, 46,x x x x f x ---<=⎨⎩-⎧≤≤≤若存在12, x x ，当12406x x <≤≤≤时，12()()f x f x =，则12()x f x 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ，若存在非零实数t ，使得()12f t f t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则224a b +的最小值为 ▲ ．（第10题图）图C BA（第12题图）（第5题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足Bb Aacos 3sin =．（1）求B ∠；（2）若点M 为BC 中点， 且AM AC =，求sin BAC ∠的值． 16．（本小题满分14分）如图所示，已知在五棱锥–P ABCDE 中，底面ABCDE 为凸五边形，2AE DC ==，3AB BC ==，1DE =，120EAB BCD CDE DEA ∠=∠=∠=∠=︒，F 为AE 上的点，且32AF =，平面PAE 与底面ABCDE 垂直．求证：（1）//BC 平面PAE ；（2）PA FC ⊥．MCBA（第15题图）18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G :2214x y +=的左、右顶点，()()2,,0P t t t ∈≠R 且为直线2x =上的一个动点，过点P 任意作一条直线l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD 交于E ，F .（1）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求t 的值； （2）记直线AC ，AD 的斜率分别为12,k k .①若1t =-，求证：1211k k +为定值；②求证：四边形AFBE 为平行四边形.（第18题图）已知数列{}n a 的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且2415a a a a +=+，798a a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求使得1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++ 成立的所有正整数m 的值；（3）在数列{}n a 的奇数项中任取s 项，偶数项中任取k 项（s ，k ∈N *，s ＞1，k ＞1），按照某一顺序排列后成等差数列，当s ＋k 取最大值时，求所有满足条件的数列． 20．（本小题满分16分）已知函数2()2ln ()2x f x ax x a =++∈R 有一个极值点为1x =． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）设函数F (x )＝()(2)f x f x +，当3[, 1)4t ∈时，比较()F t 与(1)F 的大小． （3）若方程() ()f x m m =∈R 有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<, 证明：12(2,3)x x +∈．(参考数据ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈，ln 5 1.6094≈)苏州大学2015届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．(1, 2) 2．4 3．x = 1 4．0.02 5．25 6．－π6 7．128．a n ＝－5n ＋40 9．2 10．47 11．3 12．14- 13．[1, 4] 14．165二、解答题15. 解（1）由正弦定理得B bA a sin sin =，又有Bb A a cos 3sin =， 所以B B cos 3sin =，即2cos()06B π+=，所以,62B k k ππ+=π+∈Z ，又0B <<π，所以3B π=．(2)由（1）知3B π=，又M 为BC 中点，所以BM =MC =2a ，在ABM △与ABC △中，由余弦定理分别得 ,24cos 22)2(22222ac c a B c a c a AM -+=-+= ,cos 222222ac c a B ac c a AC -+=-+= 又AM AC =，所以2422acc a -+ac c a -+=22， 因为0a ≠，所以23ac =，故,b =由2πsin sin 3a BAC =∠，得721sin =∠BAC ． 16．证明 （1）如图凸五边形ABCDE ，延长,AE CD 交于点H ． ∵ 120AED EDC ∠=∠=︒，∴ 60HED HDE ∠=∠=︒． ∴ HED ∆为等边三角形，60H ∠=︒．∴ 60120180H BCD ∠+∠=︒+︒=︒，即有//BC AE ．又∵ AE ⊂平面PAE ，BC /⊂平面PAE ， ∴ //BC 平面PAE ．（2）连结AC ，∵ HED ∆为等边三角形 ∴ 1H E H D ED ===，∴ 3HA HC ==．又 ∵ 60H ∠=︒，∴ HAC ∆为正三角形．又∵ 12AF AH =，∴ CF AE ⊥．∵ 平面PAE ⊥平面ABCDE ， 平面PAE 平面ABCDE AE =，CF ⊂平面ABCDE ，∴ CF ⊥平面PAE ． 又∵ PA ⊂平面PAE ，∴ CF PA ⊥．17．解 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x =.CA B（1）为了使填入的土最少，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB ()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭， ∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+23t =， 当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当23t ⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <，()S t 单调递减， 所以当23t =时，()S t 有最大值12827为43m 时，可使填土的土方量最少. （2相切，如图2，设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222t t A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭， 所以此时梯形OABC 的面积()1222S t t t t ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭此时OA =m 时，可使挖土的土方量最少.18．解（1）由题意：上顶点()0,1C ，右焦点()E ，所以:1l y =+，令2x =，得1t =（2）直线()1:2AC y k x =+与2214x y +=联立，得 2112211284,1414k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 同理得2222222284,1414k k D k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由,,C D P 三点共线得CP DP k k =, 即122212221222124414142828221414k k t t k k k k k k --++=----++，化简得 ()12124k k t k k =+， ①1t =-时，12114k k +=-（定值） ②要证四边形AFBE 为平行四边形，即只需证E ，F 的中点即点O ，由()1,22t y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得1142E k x t k =-，同理2242F k x t k =-， 将12124k k t k k =+分别代入得()121121242E k k k x t k k k +==--，()122212242F k k k x t k k k +==--， 所以0E F x x +=,()02E F E F ty y x x +=+=. 即四边形AFBE 为平行四边形.19．解（1）由题意，解得2,2,n n n n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.（2）当m 为奇数时，由题意得1122(2)222m m m m m m +++⋅=+++，即122(21)22(1)m m m m ++-⋅=+．当m =1时，上式成立；当3m ≥时，1222(21)22121m m m m m m ++-⋅>+->+．所以，m =1． 当m 为偶数时，12m m m a a a ++⋅⋅为偶数，12m m m a a a ++++为奇数，所以满足条件的偶数m 不存在． 综上所述，满足1212m m m m m m a a a a a a ++++⋅⋅=++的正整数m 的值为1．（3）由（1）知，数列{}n a 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，抽出的项按某种顺序排成等差数列，则该等差数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，2p （1≤i < j < p ）， 则1122222i ji j --+=+为奇数，而i ≥1，j ≥2，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以i = 1． 又1122222j pj p --+=+为奇数，而j ≥2，p ≥3，则12j -，12p -均为偶数，矛盾． 因为k > 1，所以偶数有2项，则奇数最多有3项，s + k 的最大值为5，设此等差数列为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，则b 1，b 3，b 5为奇数，b 2，b 4为偶数，且b 2 = 2． 所以b 1 + b 3 = 2b 2 = 4，则b 1 = 1．此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．20．解 (1) 2'()f x x a x=++，则'(1)30f a =+=，3a =-，且2232'()x x f x x a x x -+=++=．当01x <<时，'()0f x >，()f x 在区间(0,1)上为增函数； 当12x <<时，'()0f x <，()f x 在区间(1,2)上为减函数； 当2x >时，'()0f x >，()f x 在区间(2,)+∞上为增函数；因此，函数()f x 的单调增区间为(0, 1)，(2, )+∞；减区间为(1, 2)．当2x =时，极小值为(2)2ln 24f =-；当1x =时，极大值为5(1)2f =-． (2) 因为3[, 1)4t ∈，32[, 2)2t ∈，由(1)可知 ()(1)f t f <，(2)(2)f t f >．设函数()()(1)()(2)(1)(2)g t F t F f t f t f f =-=+--，其中314t <≤．则(1)(54)'()t t g t t --=，当3445t <≤时，'()0g t >；当415t <<时，'()0g t <；那么，当3445t <≤时，34()()()45g g t g <≤；当415t <<时，4(1)()()5g g t g <<；经计算(1)0g =，333()()(2)()(1)424g f f f f =-+-4527913(2ln )(2ln2)032482=-+-->，因此，当3[, 1)4t ∈时，()0g t >恒成立，即 ()F t >(1)F ．(3) 由(1)可知 1(0, 1)x ∈，2(1, 2)x ∈，3(2, )x ∈+∞，首先有123x x +<．且211132ln 2x m x x =-+222232ln 2x x x =-+， 整理得()221212121()2ln ln 3()02x x x x x x -+---=，即1212124(ln ln )6()x x x x x x --+=-， 问题等价于[]12121212124(ln ln )()()6()x x x x x x x x x x -++-+=-， 令[]1212()6()w x x x x =+-+，12(01)x u u x =<<，则4(1)ln 1u w u u +=⋅-． 下要证明122x x +>，即证明8w >，只要证明2(1)ln 1u u u -<+(01)u <<．设函数2(1)()ln 1u h u u u-=-+(01u <<)，则22(1)'()(1)u h u u u -=+>0， 即'()0h u >恒成立，有()(1)0h u h <=，因此2(1)ln 1u u u -<+．综上可知，1223x x <+<，即()122, 3x x +∈．。
苏州大学2014届高考考前指导卷(2)
2 10 2 sin (sin 45 cos cos 45 sin ) 10 20 2 sin cos sin sin 2 cos 2 1 20 ． 2 sin(2 45) 1 因为 (0, 45) ，所以当 22.5 时有 AB 的最小值 20( 2 1) ．
15 所以 ak＋ak＋1＝2k－8＋2(k＋1)－8＝4k－14，即 16＜4k－14＜22，解得 ＜k＜9，又 k∈N*，所以 k＝8． 2 答案 8
2 x y 1, 9．若 x，y 满足约束条件 x y 2, 目标函数 z kx 2 y(k N * ) 仅在点(1,1)处取得最小值，则 k 的值为 y x 2,
_______． k 1 解析 作出不等式组对应的平面区域如图，目标函数为 y＝－ x＋ z，仅在(1,1)差取得最 2 2 k 小值时，有－1＜－ ＜2，解得－4＜k＜2，则 k 1 ． 2 答案 1 10．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x 的定义域为[a，b]，值域为[－1， 2]，则 b－a 的取值范围是________． π π 3π 解析 由条件可得，长度最小的定义域可能是 －2，4 ，此时 b － a ＝ 4 ，长度最大的定义域可能是 －π，π，此时 b－a＝3π，即 b－a 的取值范围是3π，3π． 2 4 2 2 3π 3π 答案 4，2 tanA → → → →2 11．已知△ABC 中，3( CA ＋ CB )· AB ＝4 AB ，则 ＝ tanB .
解析 由已知得： 3(CA CB) (CB CA) 4 AB ，即 3(a2 b2 ) 4c2 .
2
答案7
a 2 c 2 b2 tan A sin A cos B a a 2 c 2 b2 2 2ac 7. tan B sin B cos A b b c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 2bc
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6. 已知函数 y f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x) x2 ax(a R) ，且 f (2) 6 ，
则a=
．
7．一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧
面，以它们的公共顶点 P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当 x＝6 cm 时，该容器的容
8．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－7n，且满足 16＜ak＋ak＋1＜22，则正整数 k＝________．
2x y 1,
9．若
x，y
满足约束条件
x
y 2,
目标函数 z kx 2 y(k N* ) 仅在点(1,1)处取得最小值，则 k 的值为
y x 2,
_______．
10．已知函数 f(x)＝sin x＋cos x 的定义域为[a，b]，值域为[－1， 2]，则 b－a 的取值范围是________．
11．已知△ABC 中，3(→CA＋→CB)·→AB＝4→AB2，则ttaannAB＝
.
12．设平面点集 A＝Error!，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，则 A∩B 所表示的平面图形的面积为
意的正整数 n，都有 1＜cn≤ 6－ 2．
4 南京清江花苑严老师
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
苏州大学2014届高考考前指导卷(1)
苏州大学2014届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B=(5,6)，则实数a 的取值范围是________．解析 答案 62．设(1＋2i)2=a +b i(,a b R ∈)，则ab=________．解析 (1＋2i)2＝1＋4i －4＝－3＋4i ． 答案 -123．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝________．解析 因为函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，所以φ＝π2．答案 π24．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．解析 由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±bax ，带入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y25＝1．答案 x 220－y25＝15．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．解析 设恰好选出的是一男一女的事件为A ，则()3162P A ==．答案 126．已知函数2()ay x a R x =+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________．解析 2'2ay x x=-，当1x =时，22k a =-=，得到0a =．答案 07．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．解析 依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10． 答案 10 8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________．解析 利用a 1，a 2，a 5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )，故d ＝2a 1，代入不等式a 1＋a 2＋a 5＞13解得a 1＞1． 答案 (1，＋∞)9．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝______．解析 如图AB →＋AC →＝AD →，依题意，得|AD →|＝|BC →|，所以四边形ABDC 是矩形，∠BAC＝90°． 因为AB ＝1，AC ＝3，所以BC ＝2．cos ∠ABC ＝AB BC ＝12，BA →·BC→|BC →|＝|BA →|| BC →|cos ∠ABC |BC →|＝|BA →|cos ∠ABC ＝12．答案 1210．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________． 解析 由题意可以求出sin C ，得到∠C 有两解，借助余弦定理分别求出三角形中最大角的正切值．由S △ABC＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°．若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为∠B ，其余弦值cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－3． 答案 533或－ 311．在三棱锥P ABC -中，底面是边长为3的正三角形，且3PA =，4PB =，5PC =，则三棱锥P ABC -的体积P ABC V -= .解析 不妨设三条侧棱都3，则底面为直角三角形；由三棱锥的侧棱都相等可知顶点在底面的射影为底面的外心，即为底边的中点，且底面外接圆半径52r =；那么，三棱锥的高h ==. 则可知三棱锥的体积111(34)3322V Sh ==⋅⋅⋅⋅=答案.12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是________．解析 作出函数图象可知若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，即为a 2＋2a －1＝－(b 2＋2b －1)，整理得(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝4，设⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1＋2cos θ，b ＝－1＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π，5π4，所以ab ＋a ＋b ＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)． 答案 (－1,1)13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ． 解析 观察题目条件15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，我们可以构造函数32()35f x x x x =-+，则()1,()5f a f b ==，通过导数2()3650f x x x '=-+>，不难发现()f x 在R 上单调递增，故a b <．进一步尝试发现(0)0,(1)3f f ==，此时断定01a b <<<，特别关注()()(1)2f a f b f +=，32()35f x x x x =-+是中心对称图形．而323()35(1)2(1)3f x x x x x x =-+=-+-+可以看成是由32y x x =+平移得到，即()f x 关于点(1,3)中心对称，故2a b +=．答案 214．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是________．解析 相对固定b ,c ，即把b ,c 视为常数，代数式y ＝c a ＋b ＋bc随着正数a 的变大而变小，要使y 最小，只要a 最大，因为A ，B ，C 是平面上任意三点，且BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，故a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c ＋b c＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥2－12，即最小值是2－12． 答案 2－12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值． 解 (1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22． 因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ．（1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面F AC ，求DF ：FP ．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB 平面ABCD = AB ，P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ． 连结ACBD O =，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4，∴12A B B CB C C D==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ，∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆．A BCDFP P FDCBA O∴BDC ACB ∠=∠．∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面P AC ．（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB=. 又∵AB //CD ，且41==CD AB OD BO ，∴DF ：FP=4:1.17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．解 (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立． 但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△P AB 的外接圆经过定点．解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b+=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a ＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a ＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0． 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－004x y ． 所以直线l 方程为0014x x y y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -, △P AB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=． 整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩解得圆过定点(．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x ．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －mx有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x 2x ＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ，因为x ＋12x ≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1， 所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S =成立，求数列{a n }的通项公式； （2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a 1，a 2的值； (ⅱ)求数列{a n }的通项公式．解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ， 因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立； 当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1． (2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}， 故1＋a 2＝4，所以a 2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12·3n －1－12＝12·3n －12． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝⎛⎭⎫12·3n －1－12＝3n －1，而a 1＝1也满足a n ＝3n －1． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1．。
江苏省苏州大学高三数学考前指导试题(含解析)
2017年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣1，0，2}，B={2，a2}，若B⊆A，则实数a的值为．2．已知（2﹣i）（m+2i）=10，i是虚数单位，则实数m的值为．3．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．4．已知双曲线的离心率为，则b= ．5．如图是一个算法流程图，则输出的k值是6．若a，b∈{0，1，2}，则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺寸，容纳谷2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为丈．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q≠1，若，则q的值为．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=16，若直线ax+y﹣2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，则实数a的值是．11．设点A（1，2），非零向量，若对于直线3x+y﹣4=0上任意一点P，恒为定值，则= ．12．若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为．13．已知函数，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则的取值范围为．14．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SB=2，BC=3，．（Ⅰ）求证：SC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面ABCD⊥平面SAB．17．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．18．如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB=8（百米），BC=4（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE=0.5（百米），AH=4（百米），N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH=0.5（百米）．（1）求四边形FGHN的面积；（2）已知音乐广场M在AB上，AM=2（百米），若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q，为中心建一个休息区，使得QM=PM，且∠QMP=90°，问点P在何处，AQ最小．19．已知函数f（x）=，且方程f（x）﹣m=0有两个相异实数根x1，x2（x1＞x2）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求实数m的取值范围；（3）证明：x12x2+x1x22＞2．20．已知数列{c n}的前n项和为S n，满足2S n=n（c n+2）．（1）求c1的值，并证明数列{c n}是等差数列；（2）若，且数列{a n}的最大项为．①求数列{a n}的通项公式；②若存在正整数x，使a m，a n，xa k成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），则当T（x）=a m+a n+xa k 取得最大值时，求x的最小值．2017年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={﹣1，0，2}，B={2，a2}，若B⊆A，则实数a的值为0 ．【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】由B⊆A，可得a2=0，解得a．【解答】解：∵B⊆A，∴a2=0，解得a=0．故答案为：0．2．已知（2﹣i）（m+2i）=10，i是虚数单位，则实数m的值为 4 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：（2﹣i）（m+2i）=10，化为：2m﹣8+（4﹣m）i=0，∴2m﹣8=4﹣m=0，解得m=4．故答案为：4．3．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120 ．【考点】B3：分层抽样方法；C7：等可能事件的概率．【分析】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．4．已知双曲线的离心率为，则b= ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率列出关系式求解即可．【解答】解：双曲线，可得a=1，e=，可得c=，则b==．故答案为：．5．如图是一个算法流程图，则输出的k值是11【考点】EF：程序框图．【分析】先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，直到满足条件时输出k的值即可．【解答】解：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：k=2 S=4﹣5=﹣1 k=﹣1第2次循环：S=1﹣5=﹣4 k=﹣4第3次循环：S=16﹣5=11 k=11第3次循环：S=121﹣5=106 满足条件S＞100，跳出循环输出k的值为11．故答案为：11．6．若a，b∈{0，1，2}，则函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】当函数f（x）=ax2+2x+b没有零点时，a≠0，且△=4﹣4ab＜0，即ab＞1，由此利用对立事件概率计算公式能求出函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率．【解答】解：a，b∈{0，1，2}，当函数f（x）=ax2+2x+b没有零点时，a≠0，且△=4﹣4ab＜0，即ab＞1，∴（a，b）有三种情况：（1，2），（2，1），（2，2），基本事件总数n=3×3=9，∴函数f（x）=ax2+2x+b有零点的概率为p=1﹣．故答案为：．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为 3 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．8．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺寸，容纳谷2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为 5.4 丈．【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】根据圆柱的体积和高计算出圆柱的底面半径，从而求出圆周的底面周长．【解答】解：由题意得，圆柱形谷仓底面半径为r尺，谷仓高h=尺．于是谷仓的体积V==2000×1.62．解得r≈9．∴圆柱圆的周面周长为2πr≈54尺．故答案为：5.4．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，公比q≠1，若，则q的值为﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的前n项和公式，列方程求解即可．【解答】解：等比数列{a n}中，其前n项和为S n，公比q≠1，由得=，整理得2q2﹣q﹣1=0，即（q﹣1）（2q+1）=0，解得q=﹣或q=1（不合题意，舍去），所以q的值为﹣．故答案为：﹣．10．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=16，若直线ax+y﹣2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，则实数a的值是﹣1 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C的圆心C（1，a），半径r=4，由直线ax+y﹣2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，得到AB=4，由此利用圆心C（1，a）到直线AB的距离d==，能求出a．【解答】解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣a）2=16的圆心C（1，a），半径r=4，∵直线ax+y﹣2=0与圆C相交于AB两点，且CA⊥CB，∴AB==4，∴圆心C（1，a）到直线AB的距离：d==，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．11．设点A（1，2），非零向量，若对于直线3x+y﹣4=0上任意一点P，恒为定值，则= 3 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】设点P（x，y），由点P为直线上的任意一点，表示出向量，由•恒为定值，求出m、n的关系，再计算．【解答】解：设点P（x，y），∵点P为直线3x+y﹣4=0上的任意一点，∴y=4﹣3x，∴=（x﹣1，2﹣3x）；又非零向量=（m，n），∴•=m（x﹣1）+n（2﹣3x）=（m﹣3n）x+（2n﹣m），且恒为定值，∴m﹣3n=0，即m=3n；∴==3．故答案为：3．12．若a ＞0，b ＞0，且，则a+2b 的最小值为．【考点】7F ：基本不等式．【分析】把a+2b 变形为a+2b=，再利用已知可得a+2b=，利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，且，∴a+2b===﹣==．当且仅当，a ＞0，b ＞0，且，即，a=时取等号．∴a+2b 的最小值为．故答案为．13．已知函数，若f （x 1）=f （x 2）=f （x 3）（x 1＜x 2＜x 3），则的取值范围为 （﹣1，0） ．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用导数法，分析函数的单调性及极值，可得f（x1）=f（x2）=f（x3）∈（0，），即有﹣＜x1＜﹣，可得==1+，计算即可得到所求范围．【解答】解：函数，∴函数f′（x）=，故当x＜0时，函数为增函数，且f（x）＜，当0≤x＜1时，函数为增函数，且0≤f（x）＜，当x≥1时，函数为减函数，且0＜f（x）≤，若f（x1）=f（x2）=f（x3）（x1＜x2＜x3），则f（x1）=f（x2）=f（x3）∈（0，），即﹣＜x1＜﹣，故==1+∈（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．14．在△ABC中，若3sinC=2sinB，点E，F分别是AC，AB的中点，则的取值范围为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理得AC=AB，AE=AC，AF=，由余弦定理可求BE2=AB2﹣AB2cosA，CF2=AB2﹣AB2cosA，从而化简可得=，结合范围cosA ∈（﹣1，1），可求的取值范围．【解答】解：∵3sinC=2sinB ，可得：3AB=2AC ，即：AC=AB ，又∵点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴AE=AC ，AF=，∴在△ABE 中，由余弦定理可得：BE 2=AB 2+AE 2﹣2AB•AEcosA=AB 2+（AB ）2﹣2AB•AB•cosA=AB 2﹣AB 2cosA ，在△ACF 中，由余弦定理可得：CF 2=AF 2+AC 2﹣2AF•ACcosA=（AB ）2+（AB ）2﹣2•AB•AB•cosA=AB 2﹣AB 2cosA ，∴==，∵A ∈（0，π），∴cosA ∈（﹣1，1），可得：∈（，），∴可得： =∈．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．已知函数f （x ）=（1+tanx ）cos 2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的定义域和最小正周期；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由二倍角公式和两角和的正弦公式对函数化简，利用周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x≠+kπ，k∈Z}，∵f（x）=（1+tanx）cos2x=cos2x+sinxcosx，=cos2x+sin2x+=sin（2x+）+，∴f（x）的最小正周期为T=π．（Ⅱ）∵x∈（0，），∴＜2x+＜，∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）∈（0，]，即当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域为（0，]．16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，E为SA的中点，SB=2，BC=3，．（Ⅰ）求证：SC∥平面BDE；（Ⅱ）求证：平面ABCD⊥平面SAB．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于F，则F为AC中点，连接EF，可得EF∥SC，即SC∥平面BDE．（Ⅱ）由SB2+BC2=SC2，得BC⊥SB，又四边形ABCD为矩形，即BC⊥平面SAB，可证平面ABCD ⊥平面SAB．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于F，则F为AC中点，连接EF，∵E为SA的中点，F为AC中点，∴EF∥SC，又EF⊂面BDE，SC⊄面BDE，∴SC∥平面BDE．（Ⅱ）∵SB=2，BC=3，，∴SB2+BC2=SC2，∴BC⊥SB，又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，又AB、SB在平面SAB内且相交，∴BC⊥平面SAB，又BC⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面SAB．17．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（2，1）在椭圆C：上且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）不经过坐标原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点（不与点P重合），且线段AB的中为D，直线OD的斜率为1，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K4：椭圆的简单性质；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得x1+x2=y1+y2，利用点差法求得直线l的斜率，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1•k2为定值．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e===，则a2=2b2，由P（2，1）在椭圆上，则，解得：b2=3，则a2=6，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则D（，），由直线的斜率为1，则x1+x2=y1+y2，由点A，B在椭圆上，则，，两式相减整理得：，x1﹣x2+2（y1﹣y2）=0，则=﹣，设直线l的方程y=﹣x+t，，整理得：3x2﹣4tx+4t2﹣12=0，则x1+x2=，x1x2=，则k1•k2==，===，∴k1•k2为定值．18．如图，某地区有一块长方形植物园ABCD，AB=8（百米），BC=4（百米），植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG满足下列要求：E在CD的延长线上，H在BA的延长线上，DE=0.5（百米），AH=4（百米），N为AH的中点，FN⊥AH，EF为曲线段，它上面的任意一点到AD与AH的距离乘积为定值，FG，GH均为线段，GH⊥HA，GH=0.5（百米）．（1）求四边形FGHN的面积；（2）已知音乐广场M在AB上，AM=2（百米），若计划在EFG的某一处P开一个植物园大门，在原植物园ABCD内选一点Q，为中心建一个休息区，使得QM=PM，且∠QMP=90°，问点P在何处，AQ最小．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）建立坐标系，根据E点坐标得出曲线EF的方程，从而得出F点坐标，代入梯形的面积公式即可；（2）设P（x，y），用x，y表示出，，根据Q点位置求出x的范围得出P在曲线EF上，利用距离公式和基本不等式的性质得出AQ最小时的x的值即可得出P点位置．【解答】解：（1）以A为原点，以AB，AD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示：则E（﹣，4），∴曲线EF的方程为y=﹣，∴F（﹣2，1），N（﹣2，0），H（﹣4，0），G（﹣4，），∴FN=1，GH=，HN=2，∴四边形FGHN的面积为S==（平方百米）．（2）设P（x，y），则=（x﹣2，y），=（y，2﹣x），=（2+y，2﹣x），∴，解得﹣2≤x≤2，∴P点在曲线EF上，﹣2≤x≤﹣，∴y=﹣，∴|AQ|=====﹣x﹣+2≥2+2，当且仅当﹣x=即x=﹣时取等号．∴当P为（﹣，﹣）时，|AQ|最小．19．已知函数f（x）=，且方程f（x）﹣m=0有两个相异实数根x1，x2（x1＞x2）．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）求实数m的取值范围；（3）证明：x12x2+x1x22＞2．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（2）根据函数的单调性求出f（x）的最大值，通过讨论m的范围，结合函数的单调性判断出方程f（x）﹣m=0有两个相异实数根的m的范围即可；（3）由f（x1）=f（x2），得=，令x1=x2t，∵x1＞x2，∴t＞1，问题转化为证明lnt﹣1＞0，即证lnt﹣＞0，（*），令g（t）=lnt﹣，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递增；（2）由（1），令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=1，①m＞1时，f（x）=m无解，②m=1时，f（x）=1有1个解，③m≤0，x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，f（x）=m无解，x∈（0，1）时，f（x）递增，f（x）=m至多1个解，故x∈（0，+∞）时，f（x）=m至多1个解，④0＜m＜1时，x∈（0，1）时，f（x）递增，f（）=0，f（1）=1，f（x）的图象不间断，f（）＜m＜f（1），f（x）=m在（，1）内有1个解，即在（0，1）内有1个解，x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数，先证明lnx≤x，令g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故g（x）max=g（e）=0，故lnx≤x，x∈（1，+∞）时，f（x）=≤＜＜=，令=m，即x=时，f（）＜m，又m＜f（1），f（x）在（1，+∞）递减，故f（x）=m在（1，）内有1解，即在（1，+∞）内有1解，综上，当且仅当0＜m＜1时，f（x）=m在（0，+∞）内有2解，实数m的范围是（0，1）；（3）由f（x1）=f（x2），得=，令x1=x2t，∵x1＞x2，∴t＞1，=1+2lnx2，则lnx2=lnt﹣，下面证明x1x2＞1，∵lnx1+lnx2=2lnx2+lnt=lnt﹣1，故只需证明lnt﹣1＞0，即证lnt﹣＞0，（*），令g（t）=lnt﹣，∵g′（t）=＞0，∴g（t）在（1，+∞）递增，g（t）在（0，+∞）上的图象不间断，则g（t）＞g（1）=0，（*）成立，故x1x2＞1，由基本不等式得x1+x2＞2＞2，故x12x2+x1x22＞2．20．已知数列{c n}的前n项和为S n，满足2S n=n（c n+2）．（1）求c1的值，并证明数列{c n}是等差数列；（2）若，且数列{a n}的最大项为．①求数列{a n}的通项公式；②若存在正整数x，使a m，a n，xa k成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），则当T（x）=a m+a n+xa k 取得最大值时，求x的最小值．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）2S n=n（c n+2），2S1=2c1=c1+2，解得c1=2，n≥2时，2c n=2S n﹣2S n﹣1．化为：（n﹣2）c n﹣（n﹣1）c n﹣1+2=0．可得（n﹣1）c n+1﹣nc n+2=0，相减可得：2c n=c n+1+c n﹣1．即可证明．（2）①设数列{c n}的公差为d，则a n=．对d分类讨论，d≤0时舍去，d＞0，a n+1﹣a n=＜0，在n≥2时恒成立，可得a2为最大值．由a2==，解得d．可得a n．②存在正整数x，使a m，a n，xa k成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），可得2a n=a m+xa k，T（x）=a m+a n+xa k=3a n，由①可知：a2最大，首先考察a2．此时xa k=2a2﹣a1．即=，解得x=（k≥3）．利用其单调性即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=n（c n+2），∴2S1=2c1=c1+2，解得c1=2，n≥2时，2c n=2S n﹣2S n﹣1=n（c n+2）﹣（n﹣1）（c n﹣1+2）．化为：（n﹣2）c n﹣（n﹣1）c n﹣1+2=0．∴（n﹣1）c n+1﹣nc n+2=0，相减可得：2c n=c n+1+c n﹣1．∴数列{c n}是等差数列，首项为2．（2）①设数列{c n}的公差为d，则a n=．若d≤0，则a n=≤a1=1，与已知数列{a n}的最大项为矛盾．若d＞0，a n+1﹣a n=﹣=＜0，在n≥2时恒成立，可得a2为最大值．由a2==，解得d=3．∴a n=．②∵存在正整数x，使a m，a n，xa k成等差数列（m＜n＜k，m，n，k∈N*），∴2a n=a m+xa k，T（x）=a m+a n+xa k=3a n，由①可知：a2最大，首先考察a2．此时xa k=2a2﹣a1=﹣1=．即=，解得x=（k≥3）．考察3k﹣1=8，11，14，17，…．当k=11时，x取得最小值，x==96∈N*．∴当T（x）=a m+a n+xa k取得最大值时，x的最小值为96．- 21 -。
mjt-苏州大学2014届高考数学考前指导卷【1】及答案
苏州大学2014届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B={x |5<x <6}，则实数a 的值为 ． 2．设(1＋2i)2=a +b i(,a b ∈R )，则ab ＝ ．3．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．5．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．6．已知函数2()a y x a x=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________． 7．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为 ．9．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．11．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC -的体积为 .12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．14．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是 ．解 依题意,得b+c ≥a,于是c/(a+b)+b/c=[c/(a+b)]+[(a+b)/2c]-(1/2)≥2[c/(a+b)*(a+b)/c]^(1/2)-(1/2) =(根2)-(1/2).其中,等号当且仅当b+c=a 且c/(a+b)=(a+b)/2c,即a=(1+根2)c/2,b=(-1+根2)c/2时成立.所以,所求最小值为:(根2)-(1/2).二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ． （1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面F AC ，求DF ：FP ．17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．A BC D FPx 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有 且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△P AB 的外接圆经过定点．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x ．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S =成立，求数列{a n }的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合． (ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．苏州大学2014届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．6 2．-12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．126．07．108．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 3 1112．(－1,1) 13．214．2－12二、解答题15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB 平面ABCD = AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，京翰教育北京家教辅导——全国中小学一对一课外辅导班∴12AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆．∴BDC ACB ∠=∠． ∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面P AC ．（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB=. 又∵AB //CD ，且14BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足： 当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．18．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0． 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝PF D CBA O0，故k ＝－4y ． 所以直线l 方程为0014x xy y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -, △P AB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩ 解得圆过定点(．19．(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －mx有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x 2x＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ，因为x ＋12x≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1，所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =． 因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1．n n 1121222S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝⎛⎭⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。
苏州大学2018届高考考前指导卷2(终稿)
苏州大学2018届高考考前指导卷2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题．．卡相应位置上．．．．．．． 1．设全集{|2,}U x x x =∈N ≥，集合2{|5,}A x x x =∈N ≥，则UA = ▲ ．2．已知i 是虚数单位，复数(12i)(i)a -+是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．利用计算机随机产生0～1之间的数a ，则事件“310a ->”发生的概率为 ▲ ．4．某地区连续5天的最低气温（单位：C ︒）依次为8,4,1,0,2--，则该组数据的方差为 ▲ ． 5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．6．若抛物线24x y =的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则弦AB 的中点M 的纵坐标为 ▲ ．7．已知一个正方体的外接球体积为1V ，其内切球体积为2V ，则21V V的值为 ▲ ．8．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 9．已知0a >，函数2()()f x x x a =-和2()(1)g x x a x a =-+-+存在相同的极值点，则a = ▲ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4，若等边△PAB 的一边AB 为圆C 的一条弦，则PC 的最大值为 ▲ ．11. 若cos 2cos()4ααπ=+，则tan()8απ+= ▲ ．12. 已知0,0a b >>，则222a ba b b a+++的最大值为 ▲ ． 13. 在ABC △中，90C =∠°，24AB BC ==，,M N 是边AB 上的两个动点，且1MN =，则CM CN ⋅的取值范围为 ▲ ．14. 设函数()33,2,,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-⎩，≥若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDE 中，∠ABD =60º，BD =2AB ，AB ∥CE ，AB ⊥CD ， （1）求证：//AB 平面CDE ； （2）求证：平面ABC ⊥平面ACD . 16．（本小题满分14分）在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，8c =. （1）若点M 是线段BC 的中点， 3AMBM=，求b 的值； （2）若12b =，求△ ABC 的面积.C ABDE（第15题图）某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别有300，100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生行进的总路程为S （km ）． （1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，右准线方程为4x =，(,0)Q n 是椭圆C 的长轴上一点(Q 异于长轴端点)，过点Q 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①若2n =，求OA OB ⋅的最大值；②在x 轴上是否存在一点P ，使得PA PB ⋅为定值，若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由．O yxBAQ BDOA（第17题图）（第18题图）已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．①记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；②若数列{a nn}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x ，1()g x xx． （1）①若直线1ykx 与()ln f x x 的图像相切, 求实数k 的值；②令函数()()()h x f x g x ，求函数()h x 在区间[,1]a a上的最大值．（2）已知不等式2()()f x kg x 对任意的(1,)x 恒成立，求实数k 的范围．苏州大学2018届高考考前指导卷（2）参考答案一、填空题1．{2} 2．2- 3．234．16 5．11 6．2 7． 8．769．3 10．4 11．1312．2 13． 11[,9]4 14． 1(,)(7,)2-∞+∞填空题参考解答或提示 1．{}{|2}2UA x x x =<∈=N ≤．2． (12i)(i)(2)(12)i a a a -+=++-是纯虚数，所以实数a 的值为2-．3．本题为几何概型，因为13103a a ->⇒>，所以所求概率112313P -==． 4． 8(4)(1)0215x +-+-++==，所以该组数据的方差为52211()165i i s x x ==-=∑．5．第1次，33S I ==，；第2次，75S I ==，；第三次，117S I ==，． 6．设1122(,),(,)A x y B x y ，则126AB y y p =++=，所以1262222M y y y +-===． 7．设正方体棱长为a，则333311132224π214π2V R R V R R a ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪===== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭8．由题意得74430a a q +⋅=，又40a ≠，所以713q =-，321211421411()1731161()3S q S q ---===---． 9． 2322()()2+f x x x a x ax a x =-=-，所以22()34+(3)()f x x ax a x a x a '=-=--；由题意得132a a -=或12a a -=，又0,a >所以3a =． 10．由题意知，在PAC △中，由正弦定理可得，sin sin PC ACPAC APC=∠∠， 所以2sin 4sin sin30PC PAC PAC =∠=∠︒，所以当90PAC ∠=︒时，PC 的最大值为4． 11． cos 2cos(),cos()2cos()48888ααααπππππ=++-=++，所以3sin()sin cos()cos 8888ααππππ+=+所以11tan()833tan8απ+===π．12．设20,20m a b n b a =+>=+>，则22,33m n n ma b --==， 所以原式242222233222233333m n n mn m n m m n m n m n --=+=---⋅=-≤， 当且仅当233n mm n=即2n m =，也即3222b a +=时等号成立． 13．设MN 的中点为D ，则2221=()()4CM CN CD DM CD DN CD DM CD ⋅+⋅+=-=-， 故只需考虑||CD 的最大、最小值.如图，点D 在D 1及D 2处（1212AD CD AB =⊥，）分别取得最大、最小值.由222137,34CD CD ==，所以CM CN ⋅的取值范围为11[,9]4. 14．由题意知，max ()4f x a >①当0a <时，因为(0)0f =， max ()4f x a >显然成立；②当0a =时，()33,02,0,x x x f x x x ⎧-<=⎨-⎩，≥ max ()(1)204f x f a =-=>=，满足题意；③当0a >时，令332,x x -=解得121,2x x =-=，所以 i ）当02a <<时，max max ()(1)24,f x f a =-=>解得102a <<； ii ）当2a >时，3()3f x a a <-，由题意334a a a ->，解得7a >； 综上所述，实数a 的取值范围是1(,)(7,)2-∞+∞．二、解答题15. 证明（1）由题意AB ∥CE ，CE ⊂面CDE ，AB ⊄平面CDE ，所以//AB 平面CDE.（2）在△ABD 中，因为∠ABD =60º，BD =2AB ，所以︒⋅⋅-+=60cos 2222BD AB BD AB AD ，即223AB AD =， 因为222BD AD AB =+，所以AB AD ⊥， 又AB CD AD CD D ⊥=，，所以⊥AB 平面ACD ， 又⊂AB 面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD.16. 解（1）因为点M 是线段BC 的中点，3AMBM=，设BM x =，则3AM x =， 又60B =︒，8c =，在△ABM 中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯︒， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以△ ABC 中为正三角形，则8b =.（2）在△ ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C =，得8sin 2sin 12c BC b===. 又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos 3C =则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=++=， 所以△ ABC的面积1sin 4826S bc A ===17. 解（1）因为在△OAD 中，θ=∠ADO ，1OA =，所以由正弦定理可知1ππsin sin sin 33AD ODθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得πsin 3sin AD OD θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，且π2π(,)33θ∈，故πsin 33001001001sin S AD BD θθ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎥=+=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50sin θθ-=+，π2π(,)33θ∈， （2） 令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'= ，当1cos 3θ>时，0y '<； 当1cos 3θ<时，0y '>；可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有最小值22，当AD =时，此时总路程S有最小值50km ．答：当集合点D 离出发点Akm时，总路程最短，其最短总路程为50km ．18. 解（1）由2c e a ==，右准线方程为24a x c==，所以，a =2b =，即椭圆22:184x y C +=．（2）①由已知，(2,0)Q ，当直线AB 垂直于x 轴时，A，(2,B ， 2OA OB ⋅=．当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB ：(2)y k x =-，代入22184x y +=得2222(12)8880k x k x k +-+-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，212121212(2)(2)OA OB x x y y x x k x x ⋅=+=+--2221212(1)2()4k x x k x x k =+-++2222222(1)(88)8241212k k k k k k k +-=-⋅+++224812k k -=+210212k =-+＜2． 所以，当直线AB 垂直于x 轴时，OA OB ⋅取到最大值2． ②设点(,0)P t ，11(,)PA x t y =-，22(,)PB x t y =-， 当直线AB 不垂直于y 轴时，设AB ：x my n =+，代入22184x y +=得222(2)280m y mny n +++-=，12121212()()()()PA PB x t x t y y my n t my n t y y ⋅=--+=+-+-+221212(1)()()()m y y m n t y y n t =++-++-22222(8)(1)2()()2n m m n n t n t m -+--=+-+ 22222[82()]8()2m n n n t n n t m ---+-=+-+， 令2282()812n n n t n ----=得2384n t n+=， 当2384n t n +=时，2222222883894()()522416n n n PA PB n t n n n n --+⋅=+-=+-=+-．当直线AB 垂直于y 轴时，(A n ，(,B n ，238(,0)4n P n+ 2222238894()54216n n PA PB n n n n+-⋅=-+=+-．所以，在x 轴上存在点238(,0)4n P n +，使得PA PB ⋅为定值2294516n n+-．方法二 先利用直线l 垂直于x 轴和垂直于y 轴两种情况下PA PB ⋅的值不变，猜想点238(,0)4n P n+，然后再证明此时PA PB ⋅为定值2294516n n+-． 19. 解（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n2＋1．又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n2＋1．（2）①因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2＝b n ， 所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7．所以数列{c n }为等差数列．②设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i ＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列．设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76ii ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝76；当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76ii ＋6k ＝(a i －76i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )，①若a i ＞76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；②若a i ＜76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递增数列．综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－16}．当a 1∈B 时，数列{a nn}中必有某数重复出现无数次；当a 1 B 时，数列{a 6k ＋i6k ＋i }(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{an n }任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．20. 解（1）设切点00(,)x y ，1()f x x. 所以000001ln 1x y x y kx k ，，，所以20x e ，21ke . （2）因为1()g x xx在(0,)上单调递增，且(1)0g ．所以1ln ,01,1()()|()|ln ||1ln , 1.x x x xh x f x g x x xxxxx x当01x 时，1()ln h x x xx ，211()10h x xx ， 当1x ≥时，1()ln h x xxx ，222111()10x x h x xx x ，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，且max()(1)0h x h ．当01a 时，max()(1)0h x h ；当1a ≥时，max1()()ln h x h a a aa．（3）令1()2ln ()F x x k x x ，(1,)x ．所以222212()(1)kx xkF x k xxx ．设2()2x kx xk ，①当0k 时，()0F x ，所以()F x 在(1,)上单调递增，又(1)0F ，所以不成立；②当0k 时，对称轴01x k ， 当11k≤时，即1k ≥，(1)220k ≤,所以在(1,)上，()0x ，所以()0F x ，又(1)0F ，所以()0F x 恒成立；当11k时，即01k ，(1)220k，所以在(1,)上，由()0x ，0xx ，所以0(1,)xx ，()0x ，即()0F x ；0(,)xx ，()0x ，即()0F x ，所以max0()()(1)0F x F x F ，所以不满足()0F x 恒成立．综上可知：1k ≥.。
江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题(含答案)
C 江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题1.已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444x x xm n ==.（1）若1m n ⋅=,求2cos()3x π-的值；（2）记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.1.解：（1）23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin(262x π=++∵1m n ⋅= ∴1sin(262x π+= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332x x ππ-=-+=- ┉┉┉┉┉7分（2）∵（2a -c ）cos B =b cos C由正弦定理得(2sinA -sin C)cos B=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，∴1cos ,23B B π== ∴203A π<< ┉┉┉┉┉┉11分∴1,sin()(,1)6262262A A ππππ<+<+∈ ┉┉┉┉┉┉12分 又∵1()sin(262x f x π=++,∴1()sin(262A f A π=++ ┉┉┉┉┉┉13分故函数f (A )的取值范围是3(1,)2. ┉┉┉2．设锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边a ＝23，△ABC 的面积S ＝34(b 2＋c 2－a 2)．求：（1）内角A ；（2）周长l 的取值范围．3.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==.（1）求证：AF ⊥平面CBF ；（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --． 3.解：（1）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF . ………5分 （2）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 21， 则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . ………9分(3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3231=⋅=∴-， ………11分⊥CB 平面ABEF ，CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 612131=⋅⋅⋅=， ………14分ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．4．多面体PABCD 的直观图及三视图如图所示，E 、F 、G 分别为PA 、AD 和BC 的中点，M 为PG 上的点，且:3:4PM MG =．（1）求多面体PABCD 的体积； （2）求证：PC BDE 平面； （3）求证：FM ⊥平面PBC ．4.解：（14分（2）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO则在PAC ∆中，由E 、O 分别为PA 和AC 的中点，得EO PC ………………6分 因为EO BDE ⊂平面所以PC BDE 平面 ……………………………………………… 8分 （3）连接PF 与FG ，则BC ⊥平面PFG所以BC FM ⊥ ……………………………………………… 10分 在PFG ∆中，2,PF FG PG ==:3:4PM MG =可求得MG =，FM =，故222FM MG FG += 所以FM PG ⊥ ……………………………………………… 12分 又PG BC G ⋂=所以FM ⊥平面PBC ……………………………………………… 14分5．（本小题满分15分）P A B CD E F GM 左视图主视图 俯视图在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小. （1）写出圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围； （3）已知定点Q （4-，3），直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，若不存在，给出理由.5.解：（1）因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T （4，3）由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T （4，3）在圆上，所以圆O 的方程为2225x y +=. ………4分（2）A （-5，0），B （5，0），设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)00(5,)PA x y =---，00(5,)PB x y =--，由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，4[,0)2PA PB ∴⋅∈-………………………9分 （3）tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠||||sin 2MQNQM QN MQN S=⋅∠= . ………11分由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M （4，3），又知定点Q （4-，3），直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值32. ………14分即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32，此时直线l 的方程为250x y --=. ………15分6.如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形，∠BED ＝90︒，BE ∥CD ，AB ＝6，BC ＝5，CD BE ＝13，侧面ABE ⊥底面BCDE ．且∠BAE ＝90︒． （1）求证：平面ADE ⊥平面ABE ；（2）过点D 作平面α∥平面ABC ，分别与BE ，AE交于点F ，G ，求△DFG 的面积．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e ．（1）若直线l 的倾斜角为π6，求e 的值；（2）是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？若存在，请求出e 的值；若不存在，请说明理由．8．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 轴上两点M (1，0)，N (－1，0)．（1）若tan ∠ANM ＝－2，tan ∠AMN ＝12，求该椭圆的方程；（2）若MA →＝－2MB →，且0＜x 1＜x 2，ABC D E求椭圆的离心率e的取值范围．9．已知线段CD =CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）． （1）求动点A 所在的曲线方程；（2）若存在点A ，使AC AD ⊥，试求a 的取值范围；（3）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且AO OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．9．解：（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系若2AC AD a +=<0a <A 所在的曲线不存在；若2AC AD a +==a =，动点A所在的曲线方程为0(y x =≤；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-. ……………………………………………… 4分（2）由（1）知a A ，使AC AD ⊥， 则以O为圆心，OC =26a ≤所以aa . ……………………………………………8分（3）当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且AO OB ⊥ 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =， OB 的方程为1y x k=-解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得212414x k =+，212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+ …………………………………………… 10分 A O B ∆面积2S= ………………12分 令21(1)k t t +=>则S =令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+> 所以254()4g t <≤，即415S ≤< ……………………………………………… 14分当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤， 故S 的最小值为45，最大值为1. ……………………………………………… 10.（本小题满分15分）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务，已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置.现将工人分成两组同时开．．．始．加工，每组分别加工一种装置.设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；（2）比较g （x ）与h （x ）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 10. 解：（1）由题知，需加工G 型装置4000个，加工H 型装置3000个，所用工人分别为x 人，（216－x ）人.∴g （x ）=x64000，h （x ）=3)216(3000⋅-x ，即g （x ）=x 32000，h （x ）=x-2161000（0＜x ＜216，x ∈N *）. ……………………4分 （2）g （x ）－h （x ）=x 32000－x-2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g （x ）－h （x ）＞0，g （x ）＞h （x ）；当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g （x ）－h （x ）＜0，g （x ）＜h （x ）.∴f （x ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x xx x x……………………8分（3）完成总任务所用时间最少即求f （x ）的最小值. 当0＜x ≤86时，f （x ）递减，∴f （x ）≥f （86）=8632000⨯=1291000. ∴f （x ）min =f （86），此时216－x =130.当87≤x ＜216时，f （x ）递增，∴f （x ）≥f （87）=872161000-=1291000.∴f （x ）min =f （87），此时216－x =129. ∴f （x ）min =f （86）=f （87）=1291000.∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129……………………15分11.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.11.【解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯ 故所求概率为722366363=+=P 12.已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（2）设点（a ，b ）是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求()[1,)y f x =+∞在区间上是增函数的概率.12.解：（1）∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2abx =要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，当且仅当a >0且a b ab≤≤2,12即 ……………………………3分 若a =1则b =－1， 若a =2则b =－1，1； 若a =3则b =－1，1； ……………………5分∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为51153=. ……………………………7分（2）由（Ⅰ）知当且仅当a b ≤2且a >0时，函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭构成所求事件的区域为三角形部分. 由),38,316(208得交点坐标为⎪⎩⎪⎨⎧==-+ab b a …………11分 ∴所求事件的概率为31882138821=⨯⨯⨯⨯=P .13.如图，已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分别为,A F ，右准线为m 。
苏州大学2017届高考考前指导卷1(终稿)
苏州大学2017届高考考前指导卷1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,2}A =-，2{2,}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ． 2．已知(2i)(2i)10m -+=，i 是虚数单位，则实数m 的值为 ▲ ． 3．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体抽到的概率都为112，则总体中的个数为 ▲ ．4．已知双曲线2221(0)y x b b-=>b = ▲ ．5．右图是一个算法流程图，则输出的k 值是 ▲ ．6．若,{0,1,2}a b ∈，则函数()2f x ax x b 2=++有零点的概率为 ▲ ．7．设实数x ，y 满足约束条件,2,36,y x x y y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≥则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．8．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺133寸，容纳谷2000斛（1丈=10尺，1尺=10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3），则圆柱底面周长约为 ▲ 丈．9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q ≠，若3232S S =，则q 的值为 ▲ ．10．已知圆C ：22(1)()16x y a -+-=，若直线20ax y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且CA CB ⊥，则实数a 的值是 ▲ ．11．设点(1,2)A ，非零向量(,)m n a =，若对于直线340x y +-=上任意一点P ，AP ⋅a 恒为定值，则mn= ▲ ． 12．已知0,0a b >>，且11121a bb +=++，则2a b +的最小值是 ▲ ．13．已知函数()2,0,e,0,e xx x f x x x +<=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥若()()()()123123f x f x f x x x x ==<<，则()21f x x 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，已知3sin 2sin C B =，点M ，N 分别是边AC ，AB 的中点，则BMCN的取值范围 是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数2()(1)cos f x x x =． （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期；（2）当π(0,)2x ∈时，求函数()f x 的值域．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，SC =．（1）求证：SC ∥平面BDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面SAB ．SEDCBA在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，1)在椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>上，2．（1）求椭圆C 的方程；（2）不经过坐标原点O 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（不与点P 重合），且线段AB 的中点为D ，直线OD 的斜率为1．记直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．18．（本小题满分16分）如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB = 8（百米），BC = 4（百米）．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE = 0.5（百米），AH = 4（百米），N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH = 0.5（百米）． （1）求四边形FGHN 的面积；（2）已知音乐广场M 在AB 上，AM = 2（百米），若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM = PM ，且∠QMP = 90︒，问点P 在何处时，AQ 最小．Oy xDBA已知函数212ln ()xf x x +=，且方程()0f x m -=有两个互异的实数根1x ，2x (1x >2x )． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）求实数m 的取值范围； （3）证明：2212122x x x x +>． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n c 的前n 项和为S n ，满足2(2)n n S n c =+． （1）求1c 的值，并证明数列{}n c 是等差数列； （2）若2n n nc a =，且数列{}na 的最大项为54． ① 求数列{}n a 的通项公式；② 若存在正整数x ，使a m ，a n ，xa k 成等差数列（m < n < k ，m ，n ，k *∈N ）， 则当()m n k T x a a xa =++取最大值时，求x 的最小值．苏州大学2017届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．0 2．4 3．120 45．11 6．237．3 8．5.4 9．12- 10．-1 11．3 1212 13．(1,0)- 14．17,48⎛⎫ ⎪⎝⎭填空题参考解答或提示 1．由a 2 = 0，得a = 0．2．()(2i)(2i)224i =10m m m -+=++-，所以m = 4． 3．设总体的个数为n ，则10112n =，所以120n =． 4．由a = 1，ce a==c b=． 5．k = 2，S = -1；k = -1，S = - 4；k = - 4，S = 11；k = 11，S = 116．结束循环．输出k = 11． 6．无解时，a ≠ 0且=440ab ∆-<，即1ab >，（a ，b ）有三种情况（1，2），（2，1），（2，2），所以函数()2f x ax x b 2=++有零点的概率为32193P =-=． 7．如图，直线过点A （1,1）时取得最小值为 3．8．高1丈3尺133寸=403尺，由2V r h =π，得24020001.6233r ⨯=⨯⨯．所以r = 9，54r 2π=，所以周长为54尺，即5.4丈． 9．21312q q q ++=+，得2210q q --=，即()()1210q q -+=．因为1q ≠，所以12q =-． 10．圆心（1，a）到直线的距离d ==1a =-．11．设()00,P x y ，则00(1,2)AP x y =--，所以()()0000122AP m x n y mx ny m n ⋅=-+-=+--a ， 因为00340x y +-=，所以mn =3时，AP ⋅a 恒为定值． 另解：如图，由几何性质知()31n m ⨯-=-，所以mn=3．12．令2a b x +=，1b y +=，则111xy+=，0,1x y >>，所以()2=33111313334222222a b x y y x x y x y x y +⎛⎫⎛⎫+-=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1314.222+-=≥当且仅当123a =+，3b =时取等号．13．x ≥0时，()e x f x x =，()'1e x f x x =-，在1x =时，()f x 有极大值1e． 由图像知()()1210e f x f x =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，即1210e e x <+<．所以121e ex -<<-， 因此()()()211111122e ==11,0e f x f x x x x x x +=+∈-．14． 因为3sin 2sin C B =，由正弦定理得32AB AC =，设AB = 4t ，则AC = 6t ，所以2222222cos 91624cos =2cos 43624cos BM AM AB AM AB A A CN AN AC AN AC A A+-⋅+-=+-⋅+- 1514024cos A =--1491664⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．因此1748BM CN ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．二、解答题15．解（1）函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z ．因为2()(1)cos f x x x =2(1x =+ 2cos cos x x x =+1cos 222x x +=π1sin(2)62x =++， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）由π(0,)2x ∈，得ππ7π2666x <+<，所以1πsin(2)126x -<+≤，所以当π(0,)2x ∈时，3()(0,]2f x ∈，即函数()f x 在区间π(0,)2的值域为3(0,]2．NMC A16．证明 （1）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ，∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点，∴EF SC ∥，又EF ⊂面BDE ，SC ⊄面BDE ， ∴SC ∥平面BDE ．（2）∵2SB =，3BC =，SC =， ∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥． 又四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥．又AB ，SB 在平面SAB 内且相交，∴BC ⊥平面SAB ． 又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SAB ．17．解（1）由题意，因为离心率e ， 所以b 2a 2 = 1－e 2 = 12，即a 2 = 2b 2，所以椭圆C 的方程为x 22b 2＋y 2b 2 = 1．因为点P (2，1)在椭圆C 上，所以2b 2＋1b 2 = 1，解得b 2 = 3，所以椭圆C 的方程为x 26＋y 23= 1．（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (x 1＋x 22，y 1＋y 22)．因为直线OD 的斜率为1，所以x 1＋x 2＝y 1＋y 2．又点A ，B 在椭圆上，则x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，相减，得x 12－x 226＋y 12－y 223＝0，即x 1－x 2＋2(y 1－y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12．设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，由⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝－12x ＋t ，得3x 2－4tx ＋4t 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝4t3，x 1x 2＝4(t 2－3)3．从而k 1k 2 ＝(y 1－1)(y 2－1)(x 1－2)(x 2－2)＝y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14x 1x 2－(t －12)(x 1＋x 2)－2t ＋t 2＋1x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝t 2－33－(t －12)(4t 3)－2t ＋t 2＋14(t 2－3)3－2(4t3)＋4＝12．18．解（1）以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则1(,4)2E -，因为E 到AD 与AH 的距离乘积为2，所以曲线EF 上的任意一点都在函数2y x=-的图象上．由题意，N （- 2，0），所以F （- 2，1）．四边形FGHN 的面积为()11312222⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭平方百米．（2）设P （x ，y ），则()2,MP x y =-，(),2MQ y x =-+，()2,2AQ y x =+-+． 因为点Q 在原植物园内，所以{028,024,y x +-≤≤≤≤即-2≤x ≤2．又点P 在曲线EFG 上，x ∈[- 4,-12]，所以-2≤x ≤-12，则点P 在曲线段EF 上．AQ ．因为2y x =-，所以AQ2+2x x=-+-2≥．当且仅当2=x x--即=x 时等号成立．此时点P （，即点P 在距离AD 与AH AQ 最小．19．（1）因为212ln ()x f x x +=(0)x >，34ln '()xf x x -=； 当'()0f x >时，01x <<，所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)； （2）则f (x )max = f ① m > 1，f (x ) = m 无解； ② m = 1，f (x ) = m 有一解；③ m ≤0，x ∈(1,+∞)时，f (x ) > 0，f (x ) = m 无解，x ∈(0，1)时，f (x )是增函数，f (x ) = m 至多有一解．所以x ∈(0，+∞)时，f (x ) = m 至多有一解； ④ 0 < m < 1时，1）x ∈(0，1)时，f (x )是增函数，0f =，()11f =，f (x )图象不间断，()1f m f <<，所以f (x ) = m 在内有一解，即在(0,1)内有一解； 2）x ∈(1，+∞)时，f (x )是减函数，先证：1ln ex x ≤．令()1ln e g x x x =-，则()11e e e xg x x x-'=-=，令()0g x '=，得e x =．则()max g x = f (e ) = 0．所以ln ex x ≤．则在x ∈(1，+∞)时，22222112ln 122e ()xx x x f x x x x x x +++=<<=≤， 令2m x =，即2x m =，则2()f m m<．又()1m f <，f (x )在（1，+∞）内是减函数， 所以f (x ) = m 在2(1,)m内有一解，即在(1,)+∞内有一解．综上所述，当且仅当0 < m < 1时，f (x ) = m 在（0，+∞）内有两解． 实数m 的取值范围是（0，1）．（3）由12()()f x f x =，得12221212ln 12ln x x x x ++=． 令x 1 = x 2 t ，因为x 1 > x 2 ，所以t > 1．22212ln 2ln 12ln t x x t ++=+．则2211ln ln 12x t t =--． 下证x 1 x 2 > 1：因为 212221ln ln 2ln ln ln 11t x x x t t t ++=+=--．所以只要证221ln 101t t t +->-，即证221ln 01t t t -->+（*）． 令()221ln 1t g t t t -=-+，因为()()()()()()22222222212111011t t t t t g t t t t +---'=-=>++ 所以()g t 在（1，+∞）上是增函数，()g t 在（0，+∞）上图象不间断， 则()()10g t g >=．（*）式成立，所以x 1 x 2 > 1：由基本不等式，得122x x +>． 所以2212122x x x x +>．注：也可直接证明x 1 + x 2 > 2：因为 ()1221x x x t +=+，所以只要证221x t >+，即证22ln ln 1x t >+， 即证 2112ln ln 121t t t ->-+．即证()()2211ln 11ln 022t t t t +--+->．令 ()()()2211ln 11ln 22t h t t t t +=--+-， 因为 ()()2111112ln 12ln 1212t t h t t t t t t t t ++'=-++-=+-+，令 ()21112ln 2t u t t t+=+-，因为 ()()()23232212321011t t u t t t t t t t ++'=-+=->++， 所以()u t 在（1，+∞）上是增函数，()()10u t u >=． 则()0h t '>，()h t 在（1，+∞）上是增函数，()()10h t h >=． ∴x 1 + x 2 > 2成立．由①，②，得2212122x x x x +>．20．解（1）当1n =时，1122c c =+，得到12c =；22n n S nc n =+①，又112(1)22n n S n c n ++=+++②由② - ①，得112(1)2n n n c n c nc ++=+-+，即1(1)2n n n c nc +--=-③()2112n n nc n c ++-+=-④，由④ - ③，得2120n n n nc nc nc ++-+=．即211n n n n c c c c +++-=-． 所以数列{}n c 是首项为2的等差数列． （2）①设数列{}n c 的公差为d ，则(1)22n nn d a -+=．若d ≤0，则1(1)212n n n d a a -+==≤，与数列{}n a 的最大项为54矛盾． 所以d > 0，此时()11222(1)20222n n n n nn d nd n d a a ++---+-+-=-=<在n ≥2时恒成立． 从而a 2是最大项．由222524d a +==，得d = 3．所以数列{}n a 的通项公式为312n nn a -=．②()3m n k n T x a a xa a =++=，由①知，a 2最大，首先考察a 2，此时215322142k xa a a =-=⨯-=．即31322k k x -⋅=，13231k x k -⨯=-，（3k ≥）．考察3k -1，依次为8，11，14，17，20，23，26，29，32，…当k = 11时，x 取得最小值为10329632x ⨯==*∈N ， 即()m n k T x a a xa =++取最大值时正整数x 的最小值为96．。
数学_2010年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷(一)(含答案)
2010年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共90分．） 1. 已知i 是虚数单位，计算复数4+2i (1+i)2=________．2. 渐近线为y =±12x ，且过点(2, 2)的双曲线方程为________．3. 若样本a 1，a 2，a 3的方差是2，则样本2a 1+3，2a 2+3，2a 3+3的方差是________．4. 已知tanx −1tanx =32，则tan2x =________．5.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱AA 1，AB ，CC 1的中点，给出下列3对线段所在直线：①D 1E 与BG ；②D 1E 与C 1F ；③A 1C 与C 1F ．其中，是异面直线的对数共有________对．6. 用红、黄两种颜色随机地给正四面体的四个顶点染色，则“有同一个面上的三个顶点同色”的概率等于________．7. 右图是一个算法的流程图，最后输出的n =________．8. 设正数数列{a n }的前n 项之和为b n ，数列{b n }的前n 项之和为c n ，且b n +c n =1，则|c 100−a 100|=________． 9. 已知cos π3=12，cos π5cos2π5=14，cos π7cos2π7cos3π7=18，…，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是________．10. 已知f(x)=x 3−3x ，过A(1, m)可作曲线y =f(x)的三条切线，则m 的取值范围是________．11. 已知D 是由不等式组{x −2y ≥0x +3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2+y 2=4 围成的区域与区域D 的公共部分的面积为________．12. 过圆x 2+y 2=1上一点P 作圆的切线与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则OA +8⋅OB 的最小值是________．13. 在□ABCD 中，已知AB =2，AD =1，∠DAB =60∘，点M 为AB 的中点，点P 在BC 与CD上运动（包括端点），则AP →⋅DM →的取值范围是________．14. 已知正数x ，y 满足(1+x)(1+2y)=2，则4xy +1xy 的最小值是________．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知m →=(35, −45)，n →=(cosα, sinα)，|3m →−2n →|=3，求：（1）|3m →+n →|的值；（2）向量a →=3m →−2n →与b →=3m →+n →的夹角θ的余弦值．16. 已知△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，且EC ，DB在平面ABC 的同侧，CE =CA =2BD =2． （1）求证平面CAE ⊥平面DAE ； （2）求：点B 到平面ADE 的距离．17. 如图，A ，B ，C 是三个汽车站，AC ，BE 是直线型公路．已知AB =120km ，∠BAC =75∘，∠ABC =45∘．有一辆车（称甲车）以每小时96(km)的速度往返于车站A ，C 之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120(km)的速度从车站B 开往另一个城市E ，途经车站C ，并在车站C 也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A 、乙车从车站B 同时开出．（1）计算A ，C 两站距离，及B ，C 两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C 处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√6≈2.4，√331≈18.2）18.已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右准线l 的方程为x =4√33，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点B(1, 0)作直线l 与椭圆C 相交于P ，Q （异于A 1，A 2）两点，设直线PA 1与直线QA 2相交于点M(2x 0, y 0)．①试用x 0，y 0表示点P ，Q 的坐标； ②求证：点M 始终在一条定直线上．19. 已知无穷数列{a n }中，a 1，a 2，…，a m 是首项为10，公差为−2的等差数列；a m+1，a m+2，…a 2m 是首项为12，公比为12的等比数列(m ≥3, m ∈N ∗)，并对任意n ∈N ∗，均有a n+2m =a n 成立．（1）当m =12时，求a 2014； （2）若a 36=1256，试求m 的值；（3）判断是否存在m ，使S 128m+3≥2014成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20. 设函数f(x)=a |x|+2a x（其中常数a >0，且a ≠1）．（1）当a =10时，解关于x 的方程f(x)=m （其中常数m >2√2）；（2）若函数f(x)在(−∞, 2]上的最小值是一个与a 无关的常数，求实数a 的取值范围．2010年江苏省苏州大学高考数学考前指导试卷（一）答案1. 1−2i2.y 23−x 212=13. 84. −43 5. 2 6. 58 7. 100 8. 19. cos π2n+1cos 2π2n+1⋯cos nπ2n+1=12n10. (−3, −2) 11. π212. 2√65 13. [−12, 12] 14. 1215. 解：（1）由题意可得|m →|=1，|n →|=1 由|3m →−2n →|=3得|3m →−2n →|2=9，∴ 9m →2−12m →⋅n →+4n →2=9．则m →⋅n →=13∴ |3m →+n →|2=9m →2+6m →⋅n →+n →2=12∴ |3m →+n →|=2√3（2）∵ a →⋅b →=(3m →−2n →)⋅(3m →+n →)=9m →2−3m →⋅n →−2n →2=6 ∴ cosθ=|a →||b →|˙=2√3×3=√3316.解：（1）证明：取AC 中点M ，取AE 中点N ，连接MN 、MB ，DN ， ∵ N 是EA 的中点，∴ MN =12EC ．由BD =12EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DN // BM ． ∴ DN ⊥AC∵ CE =CA =2BD =2∴ 可得DE =DA ，N 是EA 的中点， ∴ DN ⊥EA ．又EA ∩MN =M ， ∴ DN ⊥平面ECA ，DN ⊂平面DEA ， ∴ 平面DEA ⊥平面ECA ． （2）：设点B 到平面ADE 的距离为ℎ ∵ △ABC 为正三角形∴ C 到AB 的距离d =√3，由BD ⊥平面ABC 可得C 到AB 的距离即为C 到面ABD 的距离， ∵ V B−ADE =V E−ADB =V C−ADB ． ∴ 13×12×DN ⋅AE ⋅ℎ=13×S △ABD ⋅d ．∴ ℎ=AB⋅d⋅d DN⋅AE=AB⋅d⋅d BM⋅AE =AB⋅d⋅d d⋅AE=AB⋅d AE=√3√22+22=√62． 17. 解：（1）在△ABC 中，∠ACB =60∘．∵ ABsin60∘=BCsin75∘=AC sin45∘，∴ AC =120sin45∘sin60∘=120×√22√32=40√6≈96(km)，BC =120sin75∘sin60∘=120×√6+√24√32=60√2+20√6≈132(km)．（2）甲车从车站A 开到车站C 约用时间为9696=1（小时）=60（分钟），即9点到C 站，至9点零10分开出．乙车从车站B 开到车站C 约用时间为132120=1.1（小时）=66（分钟），即9点零6分到站，9点零16分开出．则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上． （3）10点时甲车离开C 站的距离为5060×96=80(km)，乙车离开C 站的距离为4460×120=88(km)，两车的距离等于√802+882−2×80×88×cos120∘=8√100+121+110=8√331≈8×18.2=145.6(km)18. 解：（1）由{a 2c=4√33b =1a 2=b 2+c 2得{a 2=4b 2=1.∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1； （2）A 1(−2, 0)，A 2(2, 0)，方程为MA 1的方程为：y =y02x 0+2(x +2)，即x =2x 0+2y 0y −2．代入x 24+y 2=1，得(x 0+1y 0y −1)2+y 2=1，即[(x 0+1)2y 02+1]y 2−2(x 0+1)y 0y =0．∴ y P =2(x 0+1)y 0(x 0+1)2y 02+1=2(x 0+1)y 0(x0+1)2+y 02，则x P =2x 0+2y 0⋅2(x 0+1)y 0(x0+1)2+y 02−2=4(x 0+1)2(x0+1)2+y 02−2．即P(4(x 0+1)2(x 0+1)2+y 02−2, 2(x 0+1)y 0(x 0+1)2+y 02)．同理MA 2的方程为y =y 02x 0−2(x −2)，即x =2x 0−2y 0y +2．代入x 24+y 2=1，得(x 0−1y 0y +1)2+y 2=1，即[(x 0−1)2y 02+1]y 2+2(x 0−1)y 0y =0．∴ y Q =−2(x 0−1)y 0(x 0−1)2y 02+1=−2(x 0−1)y 0(x0−1)2+y 02．则x Q =2x 0−2y 0⋅−2(x 0−1)y 0(x−1)2+y 02+2=−4(x 0−1)2(x0−1)2+y 02+2．即Q(−4(x 0−1)2(x−1)2+y 02+2, −2(x 0−1)y 0(x0−1)2+y 02)．∵ P ，Q ，B 三点共线， ∴ k PB =k QB ，即y Px P−1=y QxQ −1．∴2(x 0+1)y 0(x 0+1)2+y 024(x 0+1)2(x 0+1)2+y 02−2−1=−2(x 0−1)y 0(x 0−1)2+y 02−4(x 0−1)2(x 0−1)2+y 02+2−1．即(x 0+1)y 0(x 0+1)2−3y 02=−(x 0−1)y 0−3(x 0−1)2+y 02．由题意，y 0≠0， ∴x 0+1(x 0+1)2−3y 02=x 0−13(x 0−1)2−y 02．3(x 0+1)(x 0−1)2−(x 0+1)y 02=(x 0−1)(x 0+1)2−3(x 0−1)y 02．∴ (2x 0−4)(x 02+y 02−1)=0．则2x 0−4=0或x 02+y 02=1． 若x 02+y 02=1，即(2x 0)24+y 02=1，则P ，Q ，M 为同一点，不合题意．∴ 2x 0−4=0，点M 始终在定直线x =2上．19. 解：（1）a n+24=a n ；所以a 2014=a 22 a 18是以12为首项，以12为公比的等比数列的第10项，所以a 2014=11024（2）1128=(12)7，所以m ≥7 因为a 52=1128，所以2km +m +7=(2k +1)m +7=52，其中m ≥7，m ∈N ，k ∈N(2k +1)m =45，当k =0时，m =45，成立． 当k =1时，m =15，成立； 当k =2时，m =9成立 当k ≥3时，m ≤457<7；所以m 可取9、15、45（3）S 128m+3=64S 2m +a 1+a 2+a 3=64(10m +m(m−1)2(−2)+12(1−(12)m )1−12)+10+8+6S 128m+3=704m −64m 2+88−64(12)m ≥2010704m −64m 2≥2010−88+64(12)m =1922+64(12)m设f(m)=704m −64m 2，g(m)=1922+64(12)m g(m)>1922；f(m)=−64(m 2−11m)，对称轴m =112∉N ∗，所以f(m)在m =5或6时取最大f(x)max =f(5)=f(6)=1920， 因为1922>1920，所以不存在这样的m 20. 解：（1）f(x)={10x +210x x ≥0310x x <0. ①当x <0时，f(x)=310x>3．因为m >2√2．则当2√2<m ≤3时，方程f(x)=m 无解； 当m >3，由10x =3m ，得x =lg 3m ． ②当x ≥0时，10x ≥1．由f(x)=m 得10x +210x=m ，∴ (10x )2−m10x +2=0．因为m >2√2，判别式△=m 2−8>0，解得10x =m±√m 2−82．因为m >2√2，所以m+√m 2−82>√2>1．所以由10x=m+√m 2−82，解得x =lg m+√m 2−82．令m−√m 2−82=1，得m =3．所以当m >3时，m−√m 2−82=m+√m 2−8<3+√32−8=1，当2√2<m ≤3时，m−√m 2−82=m+√m 2−8>3+√32−8=1，解得x =lgm−√m 2−82．综上，当m >3时，方程f(x)=m 有两解x =lg 3m 和x =lg m+√m 2−82；当2√2<m ≤3时，方程f(x)=m 有两解x =lg m±√m 2−82．（2）①若0<a <1， 当x <0时，0<f(x)=3a x<3；当0≤x ≤2时，f(x)=a x +2a x．令t =a x ，则t ∈[a 2, 1]，g(t)=t +2t在[a 2, 1]上单调递减， 所以当t =1，即x =0时f(x)取得最小值为3． 当t =a 2时，f(x)取得最大值为a 2+2a 2．此时f(x)在(−∞, 2]上的值域是(0, a 2+2a 2]，没有最小值． ②若a >1，当x <0时，f(x)=3a x >3；当0≤x≤2时f(x)=a x+2．a x，则t∈[1, a2]．令t=a x，g(t)=t+2t①若a2≤√2，g(t)=t+2在[1, a2]上单调递减，t，最小值与a有关；所以当t=a2即x=2时f(x)取最小值a2+2a2②a2>√2，g(t)=t+2在[1, √2]上单调递减，在[√2, a2]上单调递增，t所以当t=√2即x=log a√2时f(x)取最小值2√2，最小值与a无关．4时，f(x)在(−∞, 2]上的最小值与a无关．综上所述，当a≥√2。
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3.解：（1）证明： 平面 ABCD 平面 ABEF , CB AB ,
平面 ABCD 平面 ABEF = AB ，CB 平面 ABEF ，
AF 平面 ABEF ， AF CB ,
函数 f(A)的取值范围.
1.解：（1） m n
3 sin x cos x cos2 x
∵mn 1
1 cos(x ) 1 2sin2 ( x ) 1
2
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC
3
44
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC
(3)过点 F 作 FG AB 于 G ，平面 ABCD 平面 ABEF ，
FG
VF CBE
平面
ABCD ，VFABCD
CB 平面 ABEF ，
VCBFE
1 3 SBFE
VFABCD : VFCBE 4 :1 ．
CB
1 3
11 32
S ABCD
7
………5 分
………11 分
………14 分
2
2 左视图
2
所以 BC FM
……………………………………………… 10 分
在 PFG 中， PF 3, FG 2, PG 7 ， PM : MG 3 : 4
可求得 MG 4 7 ， FM 2 21 ，故 FM 2 MG2 FG2
5．（本小题满分 15 分）
在平面直角坐标系 xOy 中 ，已知以 O 为圆心的圆与直线 l ： y mx (3 4m) ， (m R) 恒有公共点，且要
江苏省2014年高考冲刺调研卷(一)
俄永乐城陷，帝临朝叹曰： “边民疲弊如此，独吕公 著为朕言之耳。”哲宗即 位，以侍读还朝。太皇太 后遣使迎，问所欲言，公 著曰：“先帝本意，以宽 省民力为先。而建议者以 变法侵民为务，与己异者 一切斥去，故日久而弊愈 深。法行而民愈困。诚得 中正之士，讲求天下利病， 协力而为之，宜不难矣。” 又乞备置谏员，以开言路。
（观点一分，理由4分。言之成理，至少能说出两条理由。）
吕公著，字晦叔， 幼嗜学，至忘寝 食。父夷简器异 之，曰：“他日 必为公辅。”恩 补奉礼郎，登进 士第，召试馆职， 不就。神宗立， 召为翰林学士、 知通进银台司。
吕公著字晦叔。从小 嗜好学习，以至废寝 忘食。父亲吕夷简对 他很器重，认为他与 众不同，说：“今后 必定为王公辅臣。” 凭恩荫补奉礼郎，登 进士第，召试馆职， 没有赴任。神宗即皇 帝位，召吕公著为翰 林学士、知通进银台 司。
试卷一
11、最大的善行就像水一样，最上 等的水只能是泉水； 而济南的泉水千百年来默默流淌， 滋养着城市，具有最好的德； 同时济南的泉水坚持隐忍，生命坚强， 身处低微不改凌云之志，堪为人师， 具有最好的品。 自然是表现 济南城区的泉水格外恣肆，自由自在和 充满活力的特点；
罢免，这是让有言事职责的 人不能尽情地表达自己的意 见呀。” 吕公著又说：“制命不
由门下省，那么封驳的职责，因 我而废弃。希望治我的罪，以端 正纪纲。”神宗告诉他说：“调 动司马光官职的原因，是依赖他 劝勉人们学习，不是因为言事的 缘故。”吕公著不停地请求， （但）最终被解除掌管通进银台 司的职务。
3．某校利用宣传橱窗举办关于“辽宁”号的专题展览，展览包括三个板 块。请根据下面的材料，为展览拟写总标题和各板块标题。要求：简明生 动，每个标题不超过8个字。（4分） 中国“辽宁”号航空母舰是中国人民解放军海军的第一艘航空母舰。 其外壳原是苏联海军库兹涅佐夫级航空母舰的二号舰“瓦良格”号。中国 改造的“瓦良格”号是一艘常规动力航母，由苏联在上世纪80年代开始建 造。苏联解体后，建造工程被迫下马。1998年，废旧的“瓦良格”号被中 国公司收购，2003年3月抵达中国大连港。中国对“瓦良格”号航母进行 改造，这是海军装备建设新的发展成果，标志着中国没有航母的历史从此 结束。2012年9月25日，该舰被命名为“辽宁”号，正式加入中国海军序 列。航母入列，对于提高中国海军综合作战力量现代化水平、增强防卫作 战能力，发展远海合作与应对非传统安全威胁能力，有效维护国家主权、 安全和发展利益，促进世界和平与共同发展，具有重要意义。 总标题：___________各板块标题：①________ ②_____ ③ _______
苏州大学2016届高考考前指导卷1
2
5
13
16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，侧面
PBC 是直角三角形， PCB 90 ,点 E 是 PC 的中点，且平面 PBC 平面 ABCD ．证明：
（1） AP// 平面 BED ； （2）平面 APC 平面 BED ．
2
17．（本小题满分 14 分）
4
5 20
3
9．2.
10． 2 3 . 11．[ 3 , 2] . 12． 6x 8y 19 0 . 13． (e 1) (1,e 1] .
x ≤1, g(x) kx 1 ，若方程 f (x) g(x) 0 有两个不同的实根，则实
f (x 1), x 1,
数 k 的取值范围是 ▲ ．
14．已知不等式 (ax 3)(x2 b) ≤0 对任意 x (0, ) 恒成立，其中 a, b 是整数，则 a b 的取值的
集合为 ▲ ．
苏州大学 2016 届高考考前指导卷（1）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接
填在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1．已知集合 A {1,a} ， B {1,3, 4} ，且 A B {1,3}，则实数 a 的值为 ▲ ．
2．i 是虚数单位，复数 z 满足 z 3i i ，则 | z | ＝ ▲ ． 4i
9．已知直线 x y b 是函数 y ax 2 的图象在点 P(1, m) 处的切线，则 a b m ▲ ． x
10．若 cos(π－θ)＝ 3，则 cos(5π＋θ)－sin2(θ－π)＝ ▲ ．
6
3
6
6
11．在等腰直角△ABC 中， ABC 90 ， AB BC 2 ，M，N 为 AC 边上的两个动点，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤．
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苏州大学2014届高考考前指导卷（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x <a }，若A B={x |5<x <6}，则实数a 的值为 ． 2．设(1＋2i)2=a +b i(,a b ∈R )，则ab ＝ ．3．若函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则φ＝ ．4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．5．从3位男生1位女生中任选两人，恰好是一男一女的概率是________．6．已知函数2()ay x a x=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行，则a =________．7．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为 ．9．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=，则BA →·BC→|BC →|＝ ．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．11．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC -的体积为 .12．已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围是 ．13．已知实数b a ,分别满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ， 则b a +的值为 ．14．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b ＋bc的最小值是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m·n 取最大值时，tan C 的值．16．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知AB =1，BC = 2，CD = 4，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面P AB ⊥平面ABCD ，P A ⊥AB ． （1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）已知点F 在棱PD 上，且PB ∥平面F AC ，求DF ：FP ．A B C D F P17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有 且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y 轴的交点为B ，求证：△P AB 的外接圆经过定点．19．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，g (x )＝e x ．(1)当a ≤0时，求f (x )的单调区间；(2)若不等式g (x )<x －mx有解，求实数m 的取值范围．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S 成立，求数列{a n }的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合． (ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．苏州大学2014届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．6 2．-12 3．π2 4．x 220－y 25＝1 5．126．07．108．(1, ＋∞) 9．12 10．533或－ 31112．(－1,1) 13．214．2－12二、解答题15．(1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4．(2)因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．证明（1）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB 平面ABCD = AB ， P A ⊥AB ，P A ⊂平面P AB ，∴ P A ⊥平面ABCD ．∵BD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BD ．连结AC BD O =，∵AB = 1，BC = 2，CD = 4， ∴12AB BC BC CD ==． ∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ， ∴Rt ABC ∆∽Rt BCD ∆．∴BDC ACB ∠=∠． ∴90ACB CBD BDC CBD ∠+∠=∠+∠=︒．则AC ⊥BD ．∵AC PA A =，∴BD ⊥平面P AC ．（2）∵PB //平面F AC ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面F AC= FO ，∴FO ∥PB ，∴DF DOPF OB =. 又∵AB //CD ，且14BO AB OD CD ==，∴DF ：FP=4:1. 17．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．对于函数模型f (x )＝x150＋2．P FD CBA O当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．18．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a ＝32， 所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． (2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0． 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－004xy ．所以直线l 方程为0014x x y y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -, △P AB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩ 解得圆过定点(．19．(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x(x >0)，1°当a ＝0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；2°当a <0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝－1a，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－1a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，综上所述：当a ＝0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减． (2)由题意：e x <x －mx有解，即e x x <x －m 有解，因此只需m <x －e x x ，x ∈(0，＋∞)有解即可，设h (x )＝x －e x x ，h ′(x )＝1－e xx －e x 2x＝1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x ，因为x ＋12x≥212＝2>1，且x ∈(0，＋∞)时e x >1，所以1－e x ⎝⎛⎭⎫x ＋12x <0，即h ′(x )<0．故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，故m <0．20．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =． 因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1．(2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3．(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝⎛⎭⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝⎛⎭⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。