无穷级数习题课二17页PPT
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第十一章 无穷级数课件
内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 1 2 2s 由自由落体运动方程 s g t 知 t 2 g 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1
但若二级数都发散 ,
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
边形,设 a0 表示
这个和逼近于圆的面积 A .
即
引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 1 2 2s 由自由落体运动方程 s g t 知 t 2 g 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 则小球运动的时间为
n 1
说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
性质2. 设有两个收敛级数
S
n 1
un ,
n 1
vn
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
k 1
证: 令 S n
n
u k , n vk ,
k 1
n
n
则
n ( u k vk )
k 1
S ( n )
这说明级数
n 1
( un vn ) 也收敛, 其和为 S .
说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .
(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn )
必发散 . (用反证法可证)
n 1
但若二级数都发散 ,
数敛散性相同.
当级数收敛时, 其和的关系为 S S k .
类似可证前面加上有限项的情况 .
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数 S u n , 若按某一规律加括弧, 例如
n 1
为原级数部分和 则新级数的部分和序列 序列 S n ( n 1 , 2 , )的一个子序列, 因此必有
文科考研第六章无穷级数PPT课件
n 1
n 1
n 1
n 1
解 由 0ann 1(n1,2, )，
得|(1)nan2|an 2n12
，而级数
n1
1 n2
收敛，
所 以 级 数 (1)nan 2绝 对 收 敛 .
n1
【答案】 应选(D). 25
例3 (91,3分 )设 0ann 1(n1,2, )， 则 下 列 级
数 中 肯 定 收 敛 的 是
3
收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛 散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
级数收敛的必要条件: ln i mun 0.
4
常数项级数审敛法
正项级数
第六章 无穷级数
1
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前言
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1、常数项级数
定义
unu1u2u3 un
n1
n
级数的部分和 snu1u2 un ui
i1
级数的收敛与发散
常 数 项 级 数 收 敛 ( 发 散 ) n l is n m 存 在 ( 不 存 在 ) .
必 收 敛 的 是 （ ） .
（A）
( A )a n( B )( 1 ) n a n( C ) a n ( D )( 1 ) n a n 2
n 1
n 1
n 1
n 1
解 【评注】
(A)、 (C)反 例 ： an21n；
0, n为奇数
高等数学-无穷级数ppt
级数分类
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
根据级数项的性质，无穷级数可分为正项级数、交错级数和任意 项级数。
收敛与发散性质பைடு நூலகம்
收敛性质
如果无穷级数的部分和数列有极限， 则称该无穷级数收敛，此时极限值称 为级数的和。
发散性质
如果无穷级数的部分和数列没有极限 ，或者极限为无穷大，则称该无穷级 数发散。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛
如果无穷级数的每一项的绝对值所构 成的级数收敛，则称原级数为绝对收 敛。
在量子力学中，波函数通常表示为无穷级数形式，用于 描述微观粒子的状态和行为。
电磁学中的场强计算
通过无穷级数的展开，可以计算电磁场中各点的场强分 布，进而分析电磁现象。
在工程学中的应用，如信号处理、控制系统设计等
信号处理中的滤波
在信号处理领域，利用无穷级数设计的滤波器可以对 信号进行平滑处理、降噪等操作。
要点二
洛朗级数展开
将函数f(z)在圆环域D内展开成双边幂级数形式，即f(z) = ... + a-2/z^2 + a-1/z + a0 + a1z + a2z^2 + ...，其中an是 洛朗系数，可通过计算f(z)在D内的各阶导数求得。
泰勒级数与洛朗级数的比较
适用范围不同
泰勒级数适用于在一点处展开 的情况，而洛朗级数适用于在 圆环域内展开的情况。
控制系统设计中的稳定性分析
在控制系统设计中，通过无穷级数的稳定性分析方法 ，可以判断控制系统的稳定性并进行相应的优化设计 。
THANK YOU
感谢聆听
幂级数展开
幂级数是指形如$sum_{n=0}^{infty} a_n x^n$的级数，其 中$a_n$为常数。幂级数在收敛域内可以逐项求导和逐项积 分，具有连续性和可微性。
无穷级数(课件)
∞
（1）
1
n1 (n 1)(n 4)
∞
（2）
1
n1 n(n 1)
解
（1）因为
(n
1 1)(n
＜1 4) n2
，而级数
∞ n 1
1 n2
收敛，所以根据比较审敛法，级数
∞ n1
(n
1 1)(n
4)
收敛。
（2）因为
1＞ n(n 1)
1 (n 1)2
1 n 1
，而级数
∞ n1
1 n+1
是级数
∞ n 1
1 n2
去掉
∞
第一项所成的级数，由第一节中的性质 6.3 可知级数
1
发散，所以根据比较审敛法，级
n1 n+1
∞
数
1 发散。
n1 n(n 1)
21
第二节 常数项级数的审敛法
∞
∞
定理 6.3（比较审敛法的极限形式） 设 un 和 vn 都是正项级数，如果
n 1
n1
lim un l,(0＜l＜ ∞) ，
（3）当 ＝1时，级数可能收敛也可能发散。
【例
11】判断级数
∞ n1
n 2n
1
n
的敛散性。
解
lim
n∞
n
un
lim n n∞ 2n 1
1＜1 ，所以级数收敛。 2
26
第二节 常数项级数的审敛法
二、交错级数及其审敛法
定义 6.5 设 un＞0 (n 1,2, ) ，形如
u1 u2 u3 u4 (1)n1un 或 u1+u2 u3 +u4 (1)n un 的级数称为交错级数。
fx第七章 无穷级数.ppt
n0 n!
n0 n!
n0
2n n!
xn
2
n1
(n
1 1)!
xn
2x
n1
(n
1 1)!
x n1
2x
m0
1 m!
xm
S(x) 2xe x e x . 11
第七章 无穷级数
12.展开 f
(x)
2
3 x
x2 为x的幂级数，求收敛域．
解：f
(x)
2
3 x
x2
1 2
x
1 1 x
1 2
1
1
x
1 1 x
n1
n1
证：lim an2 n an
lim
n
an
0.
（比较极限）
4. 若级数
a
2 n
，
bn2 收敛，证明
(an bn )2 收敛．
n1
n1
n1
证：(an bn )2 an2 bn2 2anbn
2anbn an2 bn2. （比较，绝收→收）
4
第七章 无穷级数
5.若级数 an ， bn 收敛（其中 an , bn 0 ），
1
0，
1
，故
(1)n 收 敛 ．
n n ln n
n ln n
n1 n ln n
en lim(n ln n) lim ln
en lnlim
ln limen ．
n
n n
n n
n
( 1 ) n ln n
1
1
(n
n ln n)2
n1 n(n ln n)2
0．
3
第七章 无穷级数
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
第13页/共122页
对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
第4页/共122页
对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
第30页/共122页
例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
第22页/共122页
定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
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1
x4
1 2(x 2)
121x12n 0(2n1)1n(x2)n,
2
x2 1 2
故
f(x )1[(x 2 )n1( 1 )n (x 2 )n ]
3n 0
2n 0
2
13n 0[1(2n1)1n](x2)n
满足 | x2|1，即3x1，成立区间为：3x1
xn的收敛半径及收敛域。
2n1
解： lim an1 lim
n an
n
(n 2n
1)2
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
n2 1
R1 2
x ( 1 ,
1 )
22
当 x
1 2
1
时，级数为 n1 n 2 1
，该级数收敛。
当
x
1 时，级数为
2
n1
(1)n n2 1
，该级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [ 1 , 1 ] 。 22
n0 n!
f(x)
f (n)(0)xn
n0 n!
No 对f ( x) 积分
令 g(x)
x
f(x)dx
0
能利用已 知展开式
Yes 写出f ( x)的
展开式
No 对f ( x)求导 令g(x)f(x)
g(y)f(x0y)
将g( y)展成 y的
幂级数
g(x) bnxn n0
f(x)g(x) nn bxn1 n0
n1 n
故此幂级数的收敛域为[1, 3) 。
【例3】求幂级数
(1)n n1 n4n
x2n1 的收敛域。
解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法
lim un1 ( x) n un ( x)
limx2n1 n4n 1x21x2
n (n1)4n1 x2n1 4
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数收敛。
【例2】求幂级数
1 ( x 2)n 的收敛域。
n1 n
解：令 x2t，原级数变为
1 tn
n1 n
lim an1
n an
n
n
lim lim 1
n n1 n n1
R
1
1
所以 1x21，即1x3时，幂级数收敛。
当 x1时，级数为
1 (1)n，为交错级数收敛，
n1 n
当 x3时，级数为
1
，为P-级数发散，
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数发散。
4
当
x
2时，级数为
(1)n22n1 n1 n4n
(1)n，为交错级数收敛。
n1 2n
当x2时，级数为n 1(n 4 1)nn(2)2n1n 1(1 2)nn1，为交错级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [2,2]。
【例4】求幂级数
(1)n1
g( x) bn xn n0
x
f(x) g(x)dx
bn
xn1
0
n0n1
五、典型例题
【例5】将函数
f(x) x2
1 展开成的
5x4
x2
幂级数，
并指出收敛区间。
解：对 f ( x) 进行恒等变形：
f(x)1[ 1 1 ] 3 x1 x4
而
1 1 x1 1(x2)
(x2)n,
x21
n0
No No
逐项积分
恒等变换 直接求和
Yes
anxn S x
n0
Sx bnxn1 n0
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项积分
x
S
0
xdx
bnxn1
n0
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项求导
Sx0xS1xdx
SxS1x
三、典型例题
【例1】
求幂级数
n1
2n n2
1
一．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法
求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 a n x n 型、
n0
an( x x0 )n 型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。
n0
对于 a n x n
n0
型，通过求
lim
n
an1 an
，得半径 R
1
，
然后讨论 x R处的敛散性，从而得收敛域；
对于an( x x0 )n型，令t x x0, 化为 a n t n 型, 可得收敛域；
x
|
1) 2
令x
1 2
，则S(1) arctan1 (1)n1 22n1 (1)2n1 (1)n1 1
2
n1
2n1 2
n1
2n1
(1)n1
1
n1
2n1 4
二、函数的泰勒级数
1．泰勒级数定义：
n0
f (nn)(!x0)(xx0)n 称为
f ( x)在点
x0
的泰勒级数。
2．麦克劳林级数定义：
n0
n0
对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论
x R处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。
解题方法流程图
3
， ，其它 a n x 2 n
an x 2n1
un( x )
n0
n0
n0
用比值法
令y x2
lim un1(x) | x|m
n un(x)
当 | x | 1 时收敛
22n1
x2n1的和函数，并求
n1
2n1
(1)n1
1
的和。
n1
2n1
解：记
S(x) (1)n1
22n1
x2n1 (1)n1
1 (2x)2n1
n1
2n1
n1
2n1
求导得 S(x)2 (1)n1(2x)2n2
n1
1
2 4x2
(|2x|1)
积分得S(x)
x2 0 14x2
dx
x1
01(2x)2d(2x)arctan2x(|
m
当 | x | 1 时发散
m R 1
m
讨论 x R处的敛散性
收敛域
an yn
n0
求幂级数收敛域 判别幂级数类型
1
anxn
n0
lim an1 a n
n
R 1
讨论 x R处的敛散性
收敛域
2
an ( x x0 )n
n0
令 t x x0
antn
n0
二、幂级数和函数的求法
求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的
函数的性质（求导数或积分），将函数展
开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。
解题方法流程图
求f ( x)的幂级数展开式
关于 x的幂级数
关于(xx0) 的幂级数
直接展开法
间接展开式
f(x)f[x0(xx0)]
求 f (n)(0)
对f ( x) 进行恒等变形
令 y x x0
f (n) (0) x n
幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先
积分后求导”等技巧，并利用与形如
x n （或
xn
n0
n0 n!
幂级数的和函数，求出其和函数。
等）
解题方法流程图如下图所示。
解题方法流程图
求 a n x n 的和函数 n0
anxn S x
n0
Yes 逐项求导
能直接求 出和函数
令S x anxn n0
f (n) (0)xn称为 f ( x) 的麦克劳林级数。
n0 n!
四、将函数展开成泰勒级数(幂级数)
直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶 导数，写出泰勒展开式。
间接展开法：间接展开法通常要先对函数f ( x) 进行恒等 变形，然后利用已知展式（如函数 1 ， 1m x
e x , s i n x , (1 x )m 的展开式等）或利用和