无穷级数习题课二17页PPT

xn的收敛半径及收敛域。
2n1
解： lim an1 lim
n an
n
(n 2n
1)2
1
2
n2 1
R1 2
x ( 1 ,
1 )
22
当 x
1 2
1
时，级数为 n1 n 2 1
，该级数收敛。
当
x
1 时，级数为
2
n1
(1)n n2 1
，该级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [ 1 , 1 ] 。 22
【例2】求幂级数
1 ( x 2)n 的收敛域。
n1 n
解：令 x2t，原级数变为
1 tn
n1 n
lim an1
n an
n
n
lim lim 1
n n1 n n1
R
1
1
所以 1x21，即1x3时，幂级数收敛。
当 x1时，级数为
1 (1)n，为交错级数收敛，
n1 n
当 x3时，级数为
1
，为P-级数发散，
1
x4
1 2(x 2)
121x12n 0(2n1)1n(x2)n,
2
x2 1 2
故
f(x )1[(x 2 )n1( 1 )n (x 2 )n ]
3n 0
2n 0
2
13n 0[1(2n1)1n](x2)n
满足 | x2|1，即3x1，成立区间为：3x1
n1 n
故此幂级数的收敛域为[1, 3) 。
【例3】求幂级数
(1)n n1 n4n
x2n1 的收敛域。
解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法
lim un1 ( x) n un ( x)
limx2n1 n4n 1x21x2
n (n1)4n1 x2n1 4
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数收敛。
22n1
x2n1的和函数，并求
n1
2n1
(1)n1
1
的和。
n1
2n1
解：记
S(x) (1)n1
22n1
x2n1 (1)n1
1 (2x)2n1
n1
2n1
n1
2n1
求导得 S(x)2 (1)n1(2x)2n2
n1
1
2 4x2
(|2x|1)
积分得S(x)
x2 0 14x2
dx
x1
01(2x)2d(2x)arctan2x(|
n0 n!
f(x)
f (n)(0)xn
n0 n!
No 对f ( x) 积分
令 g(x)
x
f(x)dx
0
能利用已 知展开式
Yes 写出f ( x)的
展开式
No 对f ( x)求导 令g(x)f(x)
g(y)f(x0y)
将g( y)展成 y的
幂级数
g(x) bnxn n0
f(x)g(x) nn bxn1 n0
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数发散。
4
当
x
2时，级数为
(1)n22n1 n1 n4n
(1)n，为交错级数收敛。
n1 2n
当x2时，级数为n 1(n 4 1)nn(2)2n1n 1(1 2)nn1，为交错级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [2,2]。
【例4】求幂级数
(1)n1
函数的性质（求导数或积分），将函数展
开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。
解题方法流程图
求f ( x)的幂级数展开式
关于 x的幂级数
关于(xx0) 的幂级数
直接展开法
间接展开式
f(x)f[x0(xx0)]
求 f (n)(0)
对f ( x) 进行恒等变形
令 y x x0
f (n) (0) x n
g( x) bn xn n0
x
f(x) g(x)dx
bn
xn1
0
n0n1
五、典型例题
【例5】将函数
f(x) x2
1 展开成的
5x4
x2
幂级数，
并指出收敛区间。
解：对 f ( x) 进行恒等变形：
f(x)1[ 1 1 ] 3 x1 x4
而
1 1 x1 1(x2)
(x2)n,
x21
n0
No No
逐项积分
恒等变换 直接求和
Yes
anxn S x
n0
Sx bnxn1 n0
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项积分
x
S
0
xdx
bnxn1
n0
No
能直接求出
和函数S1 x
Yes 逐项求导
Sx0xS1xdx
SxS1x
三、典型例题
【例1】
求幂级数
n1
2n n2
1
m
当 | x | 1 时发散
m R 1
m
讨论 x R处的敛散性
收敛域
an yn
n0
求幂级数收敛域 判别幂级数类型
1
anxn
n0
lim an1 a n
n
R 1
讨论 x R处的敛散性
收敛域
2wk.baidu.com
an ( x x0 )n
n0
令 t x x0
antn
n0
二、幂级数和函数的求法
求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的
f (n) (0)xn称为 f ( x) 的麦克劳林级数。
n0 n!
四、将函数展开成泰勒级数(幂级数)
直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶 导数，写出泰勒展开式。
间接展开法：间接展开法通常要先对函数f ( x) 进行恒等 变形，然后利用已知展式（如函数 1 ， 1m x
e x , s i n x , (1 x )m 的展开式等）或利用和
幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先
积分后求导”等技巧，并利用与形如
x n （或
xn
n0
n0 n!
幂级数的和函数，求出其和函数。
等）
解题方法流程图如下图所示。
解题方法流程图
求 a n x n 的和函数 n0
anxn S x
n0
Yes 逐项求导
能直接求 出和函数
令S x anxn n0
x
|
1) 2
令x
1 2
，则S(1) arctan1 (1)n1 22n1 (1)2n1 (1)n1 1
2
n1
2n1 2
n1
2n1
(1)n1
1
n1
2n1 4
二、函数的泰勒级数
1．泰勒级数定义：
n0
f (nn)(!x0)(xx0)n 称为
f ( x)在点
x0
的泰勒级数。
2．麦克劳林级数定义：
一．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法
求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即 a n x n 型、
n0
an( x x0 )n 型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。
n0
对于 a n x n
n0
型，通过求
lim
n
an1 an
，得半径 R
1
，
然后讨论 x R处的敛散性，从而得收敛域；
对于an( x x0 )n型，令t x x0, 化为 a n t n 型, 可得收敛域；
n0
n0
对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论
x R处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。
解题方法流程图
3
， ，其它 a n x 2 n
an x 2n1
un( x )
n0
n0
n0
用比值法
令y x2
lim un1(x) | x|m
n un(x)
当 | x | 1 时收敛