2007年高考.上海卷.文科数学试题及解答

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷一)及答案

2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．2．（5分）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向4．（5分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种6．（5分）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）7．（5分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件10．（5分）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．11．（5分）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．12．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为．14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=．15．（5分）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．16．（5分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．（12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．19．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（12分）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．21．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．22．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P （Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设S={x|2x+1＞0}，T={x|3x﹣5＜0}，则S∩T=（）A．∅B．C．D．【分析】集合S、T是一次不等式的解集，分别求出再求交集．【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）α是第四象限角，cosα=，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A．36种B．48种C．96种D．192种【分析】根据题意，先分析甲，有C42种，再分析乙、丙，有C43•C43种，进而由乘法原理计算可得答案．【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（）A．（0，2） B．（﹣2，0）C．（0，﹣2）D．（2，0）【分析】本题考查的是不等式所表示的平面区域内点所满足的条件的问题，解决此问题只需将点代入验证即可【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．7．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g （x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g （x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=2cos2x的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】要进行有关三角函数性质的运算，必须把三角函数式变为y=Asin（ωx+φ）的形式，要先把函数式降幂，降幂用二倍角公式．【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．11．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．【分析】（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为0.25．【分析】由题意知本题是一个统计问题，需要用样本的概率估计总体中位于这个范围的概率，试验发生包含的事件数时20，袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的可以数出有5，利用概率公式，得到结果．【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：492496494495498497501502504496 497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）=3x（x∈R）．【分析】由题意推出f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，求解即可．【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x 对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为．【分析】先确定球心位置，再求球的半径，然后可求球的体积．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．（5分）（2007•全国卷Ⅰ）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获的利润不超过650元的概率．【分析】（1）3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的对立事件是3位顾客中无人采用一次性付款，根据独立重复试验公式得到3位顾客中无人采用一次性付款的概率，再根据对立事件的公式得到结论．（2）3位顾客每人购买1件该商品，顾客的付款方式为一次性付款和分期付款，且购买该商品的3位顾客中有1位采用分期付款，根据互斥事件的公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．【分析】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，说明SO⊥底面ABCD．利用三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，设AD∥BC，连接SE．说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，通过，求出直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，通过证明，推出SA⊥BC．（Ⅱ）.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC 的法向量，利用α与β互余．通过，，推出直线SD与平面SBC所成的角为．【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．【分析】（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）（2007•全国卷Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．【分析】（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，由此可以证出．（Ⅱ）设BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），由题意知|BD|=再求出|AC|=，由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。

2007年上海市春季高考数学试卷及解析

2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算=．2．（4分）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=．3．（4分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=．4．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．5．（4分）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=．6．（4分）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m有且只有一个公共点，则实数m=．8．（4分）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．9．（4分）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=．10．（4分）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有人．11．（4分）函数的反函数是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（4分）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜014．（4分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（14分）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．18．（14分）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．19．（14分）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？20．（18分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．21．（18分）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．2007年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2007•上海）计算=．【分析】变形为，然后取极限即可得到结果．【解答】解：==，故答案为：．2．（4分）（2007•上海）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=2．【分析】根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，再根据根与系数的关系即可得出．【解答】解：根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，根据根与系数的关系可得（1+i）（1﹣i）=q，∴q=2．故答案为：2．3．（4分）（2007•上海）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=4．【分析】a不等式即（x+1）（x﹣a）＞0，再再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，由此可得a的值．【解答】解：关于x的不等式即（x+1）（x﹣a）＞0．再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，故a=4，故答案为4．4．（4分）（2007•上海）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．5．（4分）（2007•上海）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f （1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=﹣3．【分析】先由函数y=f（x）是奇函数，求得f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）代入f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3求解．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）∴f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3可解得f（1）+f（2）=﹣3故答案为：﹣3．6．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=5．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=6，则P到准线的距离也为6，即x+=6，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+=6，∴x=5，故答案为：5．7．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m 有且只有一个公共点，则实数m=2．【分析】由曲线方程可知：曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧），从而根据曲线与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧）与直线L：x=m（L∥y轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为28．（4分）（2007•上海）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．9．（4分）（2007•上海）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=﹣1．【分析】先将方程两边化成同底的指数函数，根据函数的单调性建立等式关系，最后利用根与系数的关系求出两根的和．【解答】解：2x==根据指数函数的单调性可知x=设x1、x2为x=的两个根即x2+x﹣1=0的两个根x1、x2，根据根与系数的关系可知x1+x2=﹣1故答案为﹣110．（4分）（2007•上海）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有120人．【分析】设出女教师的人数，用女教师人数表示出到会的总人数，根据从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女教师的概率为，列出方程，解出女教师人数，从而得到总人数．【解答】解：设男教师有x人，由题得=，∴x=54，∴2x+12=108+12=120．故答案为：120．11．（4分）（2007•上海）函数的反函数是．【分析】由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域），最后再写成分段函数的形式即可．【解答】解：∵y=x2+1（x≥0），∴x=，y≥1，故y=x2+1（x≥0）的反函数为y=（x≥1），同样地，y=（x＜0）的反函数为y=（x＜0），∴函数的反函数是．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）（2007•上海）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．13．（4分）（2007•上海）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【分析】根据所给的图形知，点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，得到a与b 的符号．【解答】解：∵=a+b，由于点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，∴a＞0，b＜0．故选：B．14．（4分）（2007•上海）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项．【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge 时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x ＞lge时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选B．15．（4分）（2007•上海）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由a，b为正实数，对于①①利用基本不等式变形分析取值特点即可；对于②利用含绝对值不等式的性质即可加以判断；对于③取出反例数值即可；对于④利用均值不等式进行条件下的等价变形即可．【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．答案：D三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F 分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（法一）如图建立空间直角坐标系，把要求的角转化为向量的夹角，用坐标运算求解；（法二）：连接EB，可证A'FBE是平行四边形，可得异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角，在Rt△CEB中，可得，由反正切可得所求的角．【解答】解：（法一）如图建立空间直角坐标系．…（2分）由题意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．∴．…（6分）设直线A′F与CE所成角为θ，则．…（10分）∴，即异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）（法二）：连接EB，…（2分）∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F∥EB，∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．…（6分）由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．在Rt△CEB中，，则，…（10分）∴．∴异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）17．（14分）（2007•上海）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．【分析】利用逆向”问题的意义可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．或者（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（2，1）到直线3x+4y=0的距离为．“逆向”问题可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．设所求轨迹上任意一点为P（x，y），则，所求轨迹为3x+4y﹣10=0或3x+4y+10=0．（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．由，化简得4ab﹣3b2=0，b=0或4a=3b，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y=0．18．（14分）（2007•上海）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．【分析】（1）由已知易得c值与线段MF2的长度，在直角三角形MF1F2中勾股定理求出a即可写出椭圆C的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为b，另一个为|y n|．故只须求y n即可．【解答】解：（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a﹣1．又由Rt△MF1F2可知，a＞0，∴a=2，又a2﹣b2=2，得b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）直线BF2的方程为．由得点N的纵坐标为．又，∴．19．（14分）（2007•上海）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【分析】（1）图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，由此能够证明四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，求出W的表达式，借助二次函数的性质能求出E，F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省．【解答】解：（1）证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，∴△CEF为等腰直角三角形．∴四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a（元），则=a（x2﹣0.2x+0.24）=a[（x﹣0.1）2+0.23]（0＜x＜0.4）由a＞0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省．当CE=CF=0.1米时最省．20．（18分）（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【分析】（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2 sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=105°∴AB=2Rsin75°=4sin105°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=21．（18分）（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．【分析】（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出B n，再由分组求和法求出和式的值；（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3﹣2c2，化简后判断出符号，即得证；（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验是否为q，求出m和q；②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．【解答】解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，B3=1+（1+q）=2+q，…，B n=（n﹣1）+q，∴B1+B2+…+B n=1+2+…+（n﹣1）+nq=．（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，，由，即c1+c3＞2c2．（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由得，3+2q+q2=（2+q）2，．此时c1=1，，∴c1，c2，c3是一个公比为的等比数列．如果m≥4，c1，c2，…，c m为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．由上所述，此时，，，由于，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，c m一定不是等比数列．综上所述，当且仅当m=3且时，数列c1，c2，…，c m是等比数列．②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n ﹣1，则，若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则由，得，，，同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则．当k≠m时，．所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．。

2007年高考文科数学试题及答案(全国卷1)

如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
C
1 n
pk
(1
p) nk
(k
0,1,2，
球的表面积公式 S 4R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式
一、选择题
V 4 R3 3
1．a 是第四象限角， tan 5 ，则 sin 12
A． 1 5
B． 1 5
2．设 a 是实数，且 a 1 i 是实数，则 a＝ 1i 2
A． 1 2
B．1
3．已知向量 a＝（－5，6），b＝（6，5），则 a 与 b
n)
其中 R 表示球的半径
C． 5 13
C． 3 2
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们邓社新。出寻始小会的邓（找终平主关小1一代坚义）键平种表持的我2在对能.1中把科本国人社9够国发学质社5才会从4先展社，会年，主更进作会是主，人义深生为主解义毛才本层产执义放制在的质次1力政理生度《成所.认社1的兴论产还论长作.识发会发国和力刚十靠的社展主展的实，刚大教概会才义要第践发建关坚育括主是本求一的展立系2持。，义硬质、，要基生，》以人一，道理发大务本产还重发才方从理论展力是成力没要展资面而，把才促由果，有讲社的源强为把我是进中，消完话会办是调四中发们（硬先国抓灭全中主法第必、国展对2道进共住剥建提三义解一）须科的生社理生产“削立出、经决资采解学社产会，产党什，（代济前源取放技会力主是力的么消还1表基进。从和术主作义）对的执是除不中础科低发是义1为的吧社3发政社两完9国基的学级展.第建发社认二国5会展地会极全先本问技到6生一设展会识、内主，年位主分巩进建题术高产生在才主提发外义是底所义化固生立，实级力产改是义高1展一时中我决，的邓产的是力9，力革硬建到是切间5国定怎最思小力同实和国另3开道设了党积经共对的样终想年平的时行国家一放理的一执极验产农，建达。1一发，改民资方中2，根个政因教党业是设到（月再展我革教本面探是本新兴素训站、对社共2，强要国开育主指索）适任的国都的在手一执会同毛调求的放水义出出第创应务科在的调深时工、政主富1泽，政以平的4了一三造.时，学社第动刻坚代.业发规义裕东中一治来，过2解条节性代符水会一起总持前.和展律”。关社国个领我始度放发、地主合平阶要来结社列资才认这”于会社公域们终形和展社提题马。级务为。会，本是识个1总主会有也党是式发更会9出变克社二关中主保硬的根8路义主制发的衡。展快主了化思会6、系国义持道深本3线基义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制本体重主邓合国力民根主要基本.主变事所平化向业也，1整度制，大要小国家的享本9义。本质义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任原理6本的服问法设根社对刻表确的个化验年提和本段到会 1务理论第质同务题进与本会党揭一.述立确共，。出社主社和社主基，的二理时的行社体主实示、：，立同确苏“会义会目会3义本是提节论，基关改会现义了社.从为，富立共社文，社主的主一改矛巩出、的我本键造主和改其社会中当使裕了二会明就会义。义、造盾固，对重国方是。义根造所会之华代占，中十主程是主基建中的和和为第社要针这改本基承主一人中世这国大义度在义本设国基两发进一会意。靠不造要本担义本民国界是共以财的国基制内成特本类展一节主义的（自仅同求完的本质共一人我产后富重家本度涵果色完矛社步、义主2己保时。成历质理和切口们党毛属要直）制的包最伴社成盾会推中本要的证并，史论国发四必领泽于标接正度确括大随会，的主进国质矛发了举标第的这成展分须导东人志控确的立（，着主是学义改特理盾展2社。志五需是提立进之坚的提民。制处确是1.能社义我说采制革色论也。会实着章要对）出，步一持人出，和理立中够会建国，取度开社的发的践中。马把到奠的民要社支经，国社充经设强积的放会提生稳证国克解社定东民“会配济是历会分济道调极必和主出了定明历思放会了方主以下建4广史主体制路要引然社义变，.史主和主把制大专苏义的设大上义现度初严导要会二建化而党上义发义对度国政为的资和劳最的出和步经格、求主设。且坚长的展改企基进党的鉴致本社动深本对社探济区逐。义确道人极持达重生造业础入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产基的。了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千发力逐本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年展概步完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的，括实成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶对为现，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级于国这人制社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥建家是的度会线治道富资列家变一的本变类中了成制迅主社削设的一改的，第制路。本重的革、道变化不国强立度速义会制中社个造建这三主度。社大主，社路化，同这大，的发事主度国的会过结立是节要。会义关人也会，1社性场的标重展业义的特本主.渡合极世、内人主有系解和是主奠我会质巨思志大的的工结（色质义时起大界社容民义初。决社2义定国主的大想着意需发业束3社0。工期来地社（会被民原级了会基）世了社义矛而武我义要展化，会（业。，提会2主概则和3在生本把纪理会经盾深器国同），同实主2化党把高主对义括专，高一产制资中）论的济，刻。新经遵改总时现义新是在对了义手制为政第级个资度本国强基阶成在特的通民济循革之并了具民党这资工运二七度“实一形以料的主又调础级分新别社过主文自4过，举由有主在个本人动、届业在一质是式农的.（初义一消，关已民是它会（没主化愿于和的新重主过过主阶史新社二的中化上发之民主1步工次灭开系占主要是变4收义不互集平方民（大）义渡渡义级上民会中社国三已展）分为人确商划剥阔也绝主正中革官能利中改针主3的用社时时工和又主全会的改成生坚。主立）业时削了发对义确国，僚命满、的造，主理和会期期商广一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义论平的.的业大个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向和赎五总总搞劳历革造出改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3实买种路路糟动史命的使造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会践的经线线成人性理历中，化级是导的义后√ 1农为巨极。的会内体对革成本要的和如刻主意）方济的和为民的论史国党”专共、工的中村自变分邓主指部实生命的结建国初实的义积法成主总自的伟是经“ 和即政同稳家商半国的食。化小义导矛际产在走社束状设家步现社的。极改分体任食积大以验稳政社；致步资业殖社革阶其们平。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极胜一毛步府会人富前本的民会命级力吐对1有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性利、泽地采主民。进农社地第的必和出社制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和。适东由取义代”的业会半二阶须社了会已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农了工表这方是、主封节级走层会最主成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业积大段针国手义建、构农状主终义为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.社成村况义达本我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转领，制成采对业造东会主包，劳到质国领装已��

2007年全国统一高考数学试卷(文科)(全国卷ⅰ)答案与解析

2007年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．应选D.【解答】解：S={x|2x+1＞0}={x|x＞﹣}，T={x|3x﹣5＜0}={x|x＜}，则S∩T=，故选D．2．应选B.【分析】根据同角的三角函数之间的关系sin2+cos2α=1，得到余弦的值，又由角在第四象限，确定符号．【解答】解：∵α是第四象限角，∴sinα=，故选B．3．应选A.【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．应选A.【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．应选C.【解答】解；根据题意，甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，有C42种，乙、丙各选修3门，有C43•C43种，则不同的选修方案共有C42•C43•C43=96种，故选C．6．应选C.【解答】解：将四个点的坐标分别代入不等式组，解可得，满足条件的是（0，﹣2），故选C．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．应选D.【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D9．应选B.【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．应选D.【解答】解：函数y=2cos2x=1+cos2x，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得﹣π+kπ≤x≤kπ，k为整数，∴k=1即有它的一个单调增区是，故选D．【点评】利用同角三角函数间的关系式、诱导公式、二倍角公式可以化简三角函数式，化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；在化简三角函数时，应注意“1”的代换，1=sin2α+cos2α，1=tanα•cotα等，对于函数种类较多的式子，化简时，常用“切化弦法”，遇到象本题高次数的要用二倍角公式降幂．【解答】解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．12．应选C.【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．0.25【解答】解：从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g～501.5g之间的概率约为P==0.25．故答案为：0.2514．3x（x∈R）【解答】解．函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）与函数y=log3x（x＞0）互为反函数，f（x）=3x（x∈R）故答案为：3x（x∈R）15．【解答】解：正四棱锥S﹣ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半径是1，体积为．故答案为：16．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为三、解答题（共6小题，满分80分）17．（10分）【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．（12分）【解答】解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．P（）=（1﹣0.6）3=0.064，．（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．B0表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．B1表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则B=B0+B1．P（B0）=0.63=0.216，P（B1）=C31×0.62×0.4=0.432．P（B）=P（B0+B1）=P（B0）+P（B1）=0.216+0.432=0.648．19．（12分）【解答】解法一：（1）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连接SE．∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角．所以，直线SD与平面SBC所成的角为．解法二：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O﹣xyz，因为，，又，所以，，．S（0，0，1），，，，所以SA⊥BC．（Ⅱ），.与的夹角记为α，SD与平面ABC所成的角记为β，因为为平面SBC的法向量，所以α与β互余．，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为．20．（12分）【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．21．（12分）【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．22．（12分）【解答】证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当BD的斜率k存在且k≠0时，BD的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，并化简得（3k2+2）x2+6k2x+3k2﹣6=0．设B（x1，y1），D（x2，y2），则，|BD|=；因为AC与BD相交于点P，且AC的斜率为，所以，|AC|=．四边形ABCD的面积•|BD||AC|=．当k2=1时，上式取等号．（ⅱ）当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4．综上，四边形ABCD的面积的最小值为．。

2007年上海市春季高考数学试卷及解析

2007年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）计算=．2．（4分）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=．3．（4分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=．4．（4分）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是．5．（4分）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=．6．（4分）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=．7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m有且只有一个公共点，则实数m=．8．（4分）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．9．（4分）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=．10．（4分）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有人．11．（4分）函数的反函数是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件13．（4分）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜014．（4分）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx15．（4分）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（14分）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．18．（14分）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．19．（14分）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？20．（18分）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．21．（18分）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．2007年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2007•上海）计算=．【分析】变形为，然后取极限即可得到结果．【解答】解：==，故答案为：．2．（4分）（2007•上海）若关于x的一元二次实系数方程x2+px+q=0有一个根为1+i（i是虚数单位），则q=2．【分析】根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，再根据根与系数的关系即可得出．【解答】解：根据实系数一元二次方程得虚根成对原理可知：1﹣i也是方程x2+px+q=0的一个根，根据根与系数的关系可得（1+i）（1﹣i）=q，∴q=2．故答案为：2．3．（4分）（2007•上海）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），则实数a=4．【分析】a不等式即（x+1）（x﹣a）＞0，再再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，由此可得a的值．【解答】解：关于x的不等式即（x+1）（x﹣a）＞0．再由它的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），可得﹣1和4是（x+1）（x﹣a）=0的两个实数根，故a=4，故答案为4．4．（4分）（2007•上海）函数y=（sinx+cosx）2的最小正周期是π．【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数y=1+sin2x，根据最小正周期等于求出结果．【解答】解：函数y=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx=1+sin2x，故它的最小正周期等于=π，故答案为：π．5．（4分）（2007•上海）设函数y=f（x）是奇函数．若f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f （1）+f（2）+3，则f（1）+f（2）=﹣3．【分析】先由函数y=f（x）是奇函数，求得f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）代入f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3求解．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数∴f（﹣2）=﹣f（2），f（﹣1）=﹣f（1）∴f（﹣2）+f（﹣1）﹣3=f（1）+f（2）+3可解得f（1）+f（2）=﹣3故答案为：﹣3．6．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y2=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，则点P的横坐标x=5．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=6，则P到准线的距离也为6，即x+=6，将p的值代入，进而求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+=6，∴x=5，故答案为：5．7．（4分）（2007•上海）在平面直角坐标系xOy中，若曲线与直线x=m 有且只有一个公共点，则实数m=2．【分析】由曲线方程可知：曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧），从而根据曲线与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（y轴右侧）与直线L：x=m（L∥y轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为28．（4分）（2007•上海）若向量，满足||=，||=1，•（+）=1，则向量，的夹角的大小为．【分析】先由已知条件求出•=﹣1，代入两个向量的夹角公式求出cosθ的值，结合θ的范围求出θ值．【解答】解：设，的夹角为θ．∵•（+）=1，∴+•=1，又∵||=，∴•=﹣1．∴cosθ===﹣．又∵0≤θ≤π，∴θ=．故答案为．9．（4分）（2007•上海）若x1、x2为方程2x=的两个实数解，则x1+x2=﹣1．【分析】先将方程两边化成同底的指数函数，根据函数的单调性建立等式关系，最后利用根与系数的关系求出两根的和．【解答】解：2x==根据指数函数的单调性可知x=设x1、x2为x=的两个根即x2+x﹣1=0的两个根x1、x2，根据根与系数的关系可知x1+x2=﹣1故答案为﹣110．（4分）（2007•上海）在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有120人．【分析】设出女教师的人数，用女教师人数表示出到会的总人数，根据从这些人中随机挑选一人表演节目，若选到女教师的概率为，列出方程，解出女教师人数，从而得到总人数．【解答】解：设男教师有x人，由题得=，∴x=54，∴2x+12=108+12=120．故答案为：120．11．（4分）（2007•上海）函数的反函数是．【分析】由原函数的分段解析式分别解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域），最后再写成分段函数的形式即可．【解答】解：∵y=x2+1（x≥0），∴x=，y≥1，故y=x2+1（x≥0）的反函数为y=（x≥1），同样地，y=（x＜0）的反函数为y=（x＜0），∴函数的反函数是．故答案为：．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．12．（4分）（2007•上海）若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=2，则A={1，4}，B={2，4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．13．（4分）（2007•上海）如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）．若，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a、b满足（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【分析】根据所给的图形知，点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，得到a与b 的符号．【解答】解：∵=a+b，由于点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，∴a＞0，b＜0．故选：B．14．（4分）（2007•上海）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）A．y=x+lgx B．y=x﹣lgx C．y=﹣x+lgx D．y=﹣x﹣lgx【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项．【解答】解：在y=x+lgx中，＞0，∴y=x+lgx是（0，+∞）上单调递增函数，∴A不成立；在y=x﹣lgx中，，当0＜x＜lge时，＜0，当x＞lge 时，＞0．∴y=x﹣lgx的增区间是（lge，+∞），减区间是（0，lge），∴B成立；在y=﹣x+lgx中，．当0＜x＜lge时，＞0，当x ＞lge时，＜0．∴y=﹣x+lgx的减区间是（lge，+∞），增区间是（0，lge），∴C不成立；在y=﹣x﹣lgx中，＜0，∴y=﹣x﹣lgx是（0，+∞）上单调递减函数，∴D不成立．故选B．15．（4分）（2007•上海）设a、b是正实数，以下不等式：①＞；②a＞|a﹣b|﹣b；③a2+b2＞4ab﹣3b2；④ab+＞2恒成立的序号为（）A．①③B．①④C．②③D．②④【分析】由a，b为正实数，对于①①利用基本不等式变形分析取值特点即可；对于②利用含绝对值不等式的性质即可加以判断；对于③取出反例数值即可；对于④利用均值不等式进行条件下的等价变形即可．【解答】解：∵a、b是正实数，∴①a+b≥2⇒1≥⇒≥．当且仅当a=b时取等号，∴①不恒成立；②a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；③a2+b2﹣4ab+3b2=（a﹣2b）2≥0，当a=2b时，取等号，例如：a=2，b=1时，左边=5，右边=4×1×2﹣3×22=﹣4∴③不恒成立；④ab+≥2=2＞2恒成立．答案：D三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．16．（12分）（2007•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E，F 分别是A'B'和AB的中点，求异面直线A'F与CE所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】（法一）如图建立空间直角坐标系，把要求的角转化为向量的夹角，用坐标运算求解；（法二）：连接EB，可证A'FBE是平行四边形，可得异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角，在Rt△CEB中，可得，由反正切可得所求的角．【解答】解：（法一）如图建立空间直角坐标系．…（2分）由题意可知A′（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0）．∴．…（6分）设直线A′F与CE所成角为θ，则．…（10分）∴，即异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）（法二）：连接EB，…（2分）∵A'E∥BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四边形，则A'F∥EB，∴异面直线A'F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．…（6分）由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．在Rt△CEB中，，则，…（10分）∴．∴异面直线A'F与CE所成角的大小为．…（12分）17．（14分）（2007•上海）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”．试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．【分析】利用逆向”问题的意义可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．或者（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点（2，1）到直线3x+4y=0的距离为．“逆向”问题可以是：（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．设所求轨迹上任意一点为P（x，y），则，所求轨迹为3x+4y﹣10=0或3x+4y+10=0．（2）若点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．由，化简得4ab﹣3b2=0，b=0或4a=3b，所以，直线l的方程为x=0或3x+4y=0．18．（14分）（2007•上海）在直角坐标系中，设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点分别为F1，F2．过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积．【分析】（1）由已知易得c值与线段MF2的长度，在直角三角形MF1F2中勾股定理求出a即可写出椭圆C的标准方程．（2）此题可转化为求以线段为底边的两个三角形的和问题，一个三角形的高为b，另一个为|y n|．故只须求y n即可．【解答】解：（1）由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a．由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a﹣1．又由Rt△MF1F2可知，a＞0，∴a=2，又a2﹣b2=2，得b2=2．∴椭圆C的方程为．（2）直线BF2的方程为．由得点N的纵坐标为．又，∴．19．（14分）（2007•上海）某人定制了一批地砖．每块地砖（如图1所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3：2：1．若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？【分析】（1）图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，由此能够证明四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，求出W的表达式，借助二次函数的性质能求出E，F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省．【解答】解：（1）证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，∴△CEF为等腰直角三角形．∴四边形EFGH是正方形．（2）设CE=x，则BE=0.4﹣x，每块地砖的费用为W，制成△CEF、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a，2a，a（元），则=a（x2﹣0.2x+0.24）=a[（x﹣0.1）2+0.23]（0＜x＜0.4）由a＞0，当x=0.1时，W有最小值，即总费用最省．当CE=CF=0.1米时最省．20．（18分）（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．【分析】（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．【解答】解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2 sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=105°∴AB=2Rsin75°=4sin105°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=21．（18分）（2007•上海）我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为q的数列{a n}依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111 (1)第2行q第3行q2……第n行q n﹣1（1）设第2行的数依次为B1，B2，…，B n，试用n，q表示B1+B2+…+B n的值；（2）设第3列的数依次为c1，c2，c3，…，c n，求证：对于任意非零实数q，c1+c3＞2c2；（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究（只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．①能否找到q的值，使得（2）中的数列c1，c2，c3，…，c n的前m项c1，c2，…，c m（m≥3）成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．【分析】（1）根据题意分别求出B1、B2，利用归纳法求出B n，再由分组求和法求出和式的值；（2）根据题意分别求出c1，c2，c3，再进行作差：c1+c3﹣2c2，化简后判断出符号，即得证；（3）①先设c1，c2，c3成等比数列求出公比q，再去检验是否为q，求出m和q；②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，有条件分别求出各项，再求出对应的公比，再由k≠m进行判断．【解答】解：（1）由题意得，B1=q，B2=1+q，B3=1+（1+q）=2+q，…，B n=（n﹣1）+q，∴B1+B2+…+B n=1+2+…+（n﹣1）+nq=．（2）由题意得，c1=1，c2=1+（1+q）=2+q，，由，即c1+c3＞2c2．（3）①先设c1，c2，c3成等比数列，由得，3+2q+q2=（2+q）2，．此时c1=1，，∴c1，c2，c3是一个公比为的等比数列．如果m≥4，c1，c2，…，c m为等比数列，那么c1，c2，c3一定是等比数列．由上所述，此时，，，由于，因此，对于任意m≥4，c1，c2，…，c m一定不是等比数列．综上所述，当且仅当m=3且时，数列c1，c2，…，c m是等比数列．②设x1，x2，x3和y1，y2，y3分别为第k+1列和第m+1列的前三项，1≤k＜m≤n ﹣1，则，若第k+1列的前三项x1，x2，x3是等比数列，则由，得，，，同理，若第m+1列的前三项y1，y2，y3是等比数列，则．当k≠m时，．所以，无论怎样的q，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列．。

2007年上海高考数学试卷与答案(理科)

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）一．填空题（本大题满分44分）1．函数3)4lg(--=x x y 的定义域是．2．若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ．3．函数1)(-=x xx f 的反函数=-)(1x f ．4．方程 96370x x -∙-=的解是．5．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ∙的最大值是． 6．函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T ． 7．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．8．以双曲线15422=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是． 9．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是． 10．在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件： .11．已知P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点（原点O 除外），直线OP 的倾斜角为θ弧度，记||OP d =．在右侧的坐标致图形为系中，画出以()d θ，为坐标的点的轨迹的大二．选择题（本大题满分16分） 12．已知a b ∈R ，，且i ,i 2++b a （i 是虚数单位）是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，那么p q ，的值分别是（）Ａ．45p q =-=，Ｂ．43p q =-=，Ｃ．45p q ==，Ｄ．43p q ==，13．设a b ，是非零实数，若b a <，则下列不等式成立的是（）Ａ．22b a < Ｂ．b a ab 22< Ｃ．ba ab 2211< Ｄ．b aa b <14．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i j i+=+=3,2，则k 的可能值个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．415．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是（）Ａ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立Ｂ．若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立Ｃ．若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立Ｄ．若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分） 16．（本题满分12分）如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB．求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本题满分14分）4π,2==C a ，在ABC △中，a b c ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若5522cos=B ，求ABC △的面积S ． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%．以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123n a a a a ，，，，（n 为正整数）满足条件n a a =1，12-=n a a ，…，1a a n =，即1+-=i n i a a （12i n =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列01mm m m C C C ，，，就是“对称数列”．（1）设{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是项数为12-k (正整数1>k )的“对称数列”，其中121k k k c c c +-，，，是首项为50，公差为4-的等差数列．记{}n c 各项的和为12-k S ．当k 为何值时，12-k S 取得最大值？并求出12-k S 的最大值；（3）对于确定的正整数1>m ，写出所有项数不超过m 2的“对称数列”，使得211222m -，，，，依次是该数列中连续的项；当m 1500>时，求其中一个“对称数列”前2008项的和2008S ．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；（2）当21A A >21B B 时，求ab的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k答案要点一、填空题（第1题至第11题）1． {}34≠<x x x 且 2． 32- 3．）（11≠-x x x 4．7log 3 5． 161 6． π 7． 3.0 8． )3(122+=x y9．②④10． 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）11．二、选择题（第12题至第15题）三、解答题（第16题至第21题）16．解法一：由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．连接1BC ．1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，⊥∴11C A 平面C C BB 11，11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 52211=+=BC CC BC ，51tan 11111==∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ．即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为55arctan．解法二：由题意，可得体积11111122ABC V CC S CC AC BC CC ∆====， 21=∴CC ，如图，建立空间直角坐标系．得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，．则1(112)A B =--，，，平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为ϕ，则116cos 6A B n A Bn ϕ==-， 66arcsin ,66|cos |sin ===∴θϕθ，即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为66arcsin． 17．解：由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ，由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 %36，%38，%40，%42．则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥．解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61． 19．解：（1）当0=a 时，2)(x x f =，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，，取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122x x <≤， 22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121，要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数，xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数．当0>a 时，同解法一．20．解：（1）设{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，．（2）12112112-+--+++++++=k k k k k c c c c c c S k k k k c c c c -+++=-+)(2121 ，50134)13(42212-⨯+--=-k S k ，∴当13=k 时，12-k S 取得最大值．12-k S 的最大值为626．（3）所有可能的“对称数列”是： ① 22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，； ② 2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③ 122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④ 1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，．对于①，当2008m ≥时，1222212008200722008-=++++= S ．当15002007m <≤时，200922122008222221----+++++++=m m m m S 2009212212---+-=m m m 1222200921--+=--m m m ．对于②，当2008m ≥时，1220082008-=S ．当15002007m <≤时，2008S 122200821--=-+m m ．对于③，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 3222009-+=-mm ．对于④，当2008m ≥时，2008200822--=m m S ．当15002007m <≤时，2008S 2222008-+=-mm ．21．解：（1） ()()012(0)00F c F F ，，，，，021211F F b F F ∴==，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222． 2222)2(a c b b =+> ，222)2(a b b a ->-∴，得54<a b ．又21,222222>∴-=>a b b a c b ． 45b a ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭，．（3）设“果圆”C 的方程为22221(0)x y x a b +=≥，22221(0)y x x b c+=≤．记平行弦的斜率为k ．当0=k 时，直线()y t b t b =-≤≤与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是P t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，与半椭圆22221(0)y x x b c +=≤的交点是Q t ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ∴ P Q ，的中点M ()x y ，满足 221,2a ct x b y t ⎧-⎪=-⎨⎪=⎩，得122222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y c a x ． b a 2<，∴ 22220222a c a c b a c b b ----+⎛⎫-=≠ ⎪⎝⎭．综上所述，当0=k 时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上．当0>k 时，以k 为斜率过1B 的直线l 与半椭圆22221(0)x y x a b +=≥的交点是22232222222ka b k a b b k a b k a b ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．由此，在直线l 右侧，以k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线x kab y 22-=上，即不在某一椭圆上．当0<k 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．。

2007年高考试题——数学文(上海卷)

2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学 (文科) 全解全析一．填空题（本大题满分44分，本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）1．方程9131=-x 的解是．【答案】1-=x【解析】121331219x x x --==⇒-=-⇒=-2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．【答案】10x x x+≠（）【解析】由11(0)1y y x y x y+=⇒=≠⇒-()110x f x x x -+=≠（） 3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ．【答案】4arctan π- 【解析】tan 4,(,)2πθθπθ=-∴∈⇒=4arctan π-.。

4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的最小正周期=T ．【答案】π【解析】π1sec cos (sin )tan 2cos y x x x x T x π⎛⎫=+=-=-⇒= ⎪⎝⎭ 。

5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是．【答案】212y x =【解析】双曲线22145x y -=的中心为O （0,0），该双曲线的右焦点为F （3,0）则抛物线的顶点为（0,0），焦点为（3,0），所以p=6，所以抛物线方程是)212y x =。

6．若向量a b ，的夹角为60，1a b == ，则()a ab -= ．1CCB1B1AA【答案】21 【解析】()2211cos60122a ab a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-= 。

7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．【答案】66arccos【解析】11,AC AC ∴ 异面直线B A 1与AC 所成角为11BAC ∠，易求1A B ，1111111cos AC BAC BAC arc A B ∴∠===⇒∠=。

数学_2007年上海市浦东新区高考数学二模试卷(文科)_(含答案)

2007年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设集合A ={−1, 1, 2, 3}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =________．2. 等差数列{a n }中，a 1=4，a 2007=2010，则公差d =________．3. lim n →∞2n +3n 2n+1+3n+1=________． 4. 向量a →=(1−x, 3)，b →=(1, x)，若a →⊥b →，则实数x =________．5. 若圆x 2+y 2+4y −6=0关于直线2x +y +a =0对称，则实数a 的值为________．6. △ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若A =60∘，a =√21，b =4，则边c =________．7. 某工程的工序流程如下表所示（工时数单位：天），则工程总时数为________天．8. 任取x ，y ∈{−2, −1, 0, 1, 2}且x ≠y ，则点P(x, y)落在方程{x =√3cosθy =√3sinθ表示的曲线所围成的区域内的概率是________．9. 设变量x ，y 满足约束条件{y ≤x,x +y ≥2,y ≥3x −6,则目标函数z =2x +y 的最小值为________．10. 据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(km 2)与时间t （年）可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16km 2降至0.04km 2，则污染区域降至0.01km 2还需________年． 11. 如图，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚动．小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形沿着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA →围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正三角形的中心，则sin θ6+cos θ6=________．12. 对于函数f(x)=sin(ωx +ϕ)(−π2<ϕ<π2)，以下列四个命题中的两个为条件，余下的两个为结论，写出你认为正确的一个命题________．（序号表示）①函数f (x)图象关于直线x =π12对称；②函数f (x)在区间[−π6，0]上是增函数；③函数f (x)图象关于点(π3，0)对称；④函数f (x)周期为π．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一律得零分.13. x ∈R ，“x <2”是“|x −1|<1”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分且必要条件D 既不充分也不必要条件14. 函数f(x)=1log a x (a >1)的大致图象是（）A B C D15. 函数y ={2x−1−1x ∈(−∞,2]21−x −1x ∈(2,+∞)的值域为（） A (−12，1] B (−1,−12) C [−1, 1] D (−1, 1] 16. 如图，已知点P 在焦点为F 1、F 2的椭圆上运动，则与△PF 1F 2的边PF 2相切，且与边F 1F 2，F 1P 的延长线相切的圆的圆心M 一定在（）A 一条直线上B 一个圆上C 一个椭圆上D 一条抛物线上三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. 已知复数z =1+ai(a ∈R)，ω=cosα+isinα，α∈(0, 2π)，若z =z ¯+2i ，且|z −ω|=√5，求角α的值．18. 等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，首项a 1=4，S 9=0．（1）若a n +S n =−10，求n ；（2）设b n =2a n ，求使不等式b 1+b 2+...+b n >30的最小正整数n 的值．19. 据预测，某旅游景区游客人数在500至1300人之间，游客人数x （人）与游客的消费总额y （元）之间近似地满足关系：y =−x 2+2400x −1000000．（1）若该景区游客消费总额不低于400000元时，求景区游客人数的范围．（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．20. 两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积；（2）在（1）的条件下，求异面直线DE与CF所成的角．21. 记函数f(x)=f1(x)，f（f(x)）=f2(x)，它们定义域的交集为D，若对任意的x∈D，f2(x)=x，则称f(x)是集合M的元素．（1）判断函数f(x)=−x+1，g(x)=2x−1是否是M的元素；（2）设函数f(x)=log2(1−2x)，求f(x)的反函数f−1(x)，并判断f(x)是否是M的元素；∈M(a<0)，求使f(x)<1成立的x的范围．（3）f(x)=axx+b22. 已知直线l:y=−x+b与抛物线y2=4x相交于A、B两点，|AB|=8．（1）求直线l的方程；（2）求抛物线上横坐标为1的点D与点A、B构成的△DAB的面积；（3）设P(x, y)是抛物线上的动点，试用x或y来讨论△PAB面积S的取值范围．2007年上海市浦东新区高考数学二模试卷（文科）答案1. {−1, 1}2. 13. 134. −125. 26. 57. 138. 3109. 310. 211. −112. ③④⇒①②或①④⇒②③13. B14. A15. D16. A17. 解：由z=z¯+2i，得：1+ai=1+(2−a)i，所以a =2−a ，a =1，z =1+i ，z −ω=1−cosα+(1−sinα)i由|z −ω|=√(1−cosα)2+(1−sinα)2=√5得，1−2cosα+cos 2α+1−2sinα+sin 2α=5，sinα+cosα=−1 sin(α+π4)=−√22，α=π或α=3π2．18. 解：（1）设数列的公差为d ，则S 9=9a 1+36d =0，解之可得：d =−1， a n =4−(n −1)=5−n −−−−−−−−−−由a n +S n =−10，可得5−n +4n +n(n−1)2×(−1)=−10，化简可得n 2−7n −30=0，解之可得n =10−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−（2）由题意可得b n =25−n =322n ，b 1+b 2+⋯+b n =16[1−(12)n ]1−12=32[1−(12)n ]，------ 即32[1−(12)n ]>30，解之可得n >4，所以正整数n 的最小值为5．---------------19. 当景区游客的人数为1000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．20.解：（1）因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，所以|AB|=√(12)2+(12)2=√22．------- 故正四棱锥E −ABCD 的底面积S =|AB|2=12，且高ℎ=12，------ 故正子体体积V =13Sℎ×2=13×12×12×2=16．---------（2）记正方体为MNGH −M 1N 1G 1H 1，记棱MN 中点为P ，MM 1中点为Q ．-------则PQ // FC ，DM 1 // PQ ，所以DM 1 // FC ．--------异面直线DE 与CF 所成的角即为∠M 1DE ．----------又因为DE =DM 1=EM 1=√22，故∠M 1DE =60∘，--------异面直线DE 与CF 所成的角为60∘．21. （1）解：∵ f[f(x)]=−(−x +1)+1=x ，∴ f(x)=−x +1∈M… ∵ g[g(x)]=2(2x −1)−1=4x −3，∴ g(x)=2x −1∉M…（2）证明：f[f(x)]=log 2(a −2log 2(a−2x ))=log(a −a +2x )=x所以不论a 为何值，f(x)都是集合M 的元素 …（3）解：∵ f(x)=axx+b ∈M ，(a <0)，∴ f 2(x)=f[f(x)]=x 对定义域内的一切x 恒成立∴ a⋅ax x+b ax x+b +b =x ，解得(a +b)x 2−(a 2−b 2)x =0对定义域内的一切x 恒成立 …∴ a +b =0…由f(x)<1，得到ax x−a −1<0，∴ (a−1)x+a x−a <0… 由a <0，∴x−a 1−a x−a >0 又0>a 1−a >a…∴ x 的取值范围是x >a 1−a 或x <a…22. 解：（1）把y =−x +b 代入y 2=4x 得x 2−2(b +2)x +b 2=0．令△>0，得b >−1．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8， ∴ √b +1=√2，b =1，∴ 直线的方程为y =−x +1．（2）设D (1, y 0)，代入y 2=4x ，得y 0=±2．因此得到D 点坐标：D (1, 2 ) 或D′(1, −2)点D(D′)到直线y =−x +1的距离d =√2=√2．∴ △DAB 的面积为4√2．（3）设与直线y =−x +1平行且距离为√2的直线为y =−x +t ，得t =−1或3， y =−x −1与 y 2=4 x 的交点仅有一个为 (1, −2)，y =−x +3与y 2=4 x 的交点为 (1, 2)，(9, −6)．y =−x +1与y 2=4x 的交点为(3−2√2，−2+2√2)，(3+2√2,−2−2√2) ∴ 当y P ∈{−2, 2, −6}时，S =4√2．当y P ∈(−6,−2−2√2)∪(−2−2√2,−2)∪(−2,−2+2√2)∪(−2+2√2,2)时，S ∈(0,4√2)．当y P ∈(−∞, −6)∪(2, +∞)时，S ∈(4√2，+∞)．。

2007年上海春季高考数学解析版

2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1．计算221lim3(1)n n n n →∞+=+ ． 2．若关于x 的一元二次实系数方程20x px q ++=有一个根为1i +（i 是虚数单位），则=q ． 3．若关于x 的不等式01x ax ->+的解集为(,1)(4,)-∞-+∞，则实数=a ． 4．函数2(sin cos )y x x =+的最小正周期为．5．设函数)(x f y =是奇函数．若(2)(1)3(1)(2)3f f f f -+--=++，则(1)(2)f f += ． 6．在平面直角坐标系xoy 中，若抛物线24y x =上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标=x ．7．在平面直角坐标系xoy 中，若曲线24x y =-与直线x m =有且只有一个公共点，则实数=m ．8．若向量a ，b满足2a =，1b =，()1a a b ⋅+=，则向量a ，b的夹角的大小为．9．若21x x 、为方程11122xx-+⎛⎫=⎪⎝⎭的两个实数解，则=+21x x ．10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有人． 11．函数21,0,2,0x x y x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩ 的反函数是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分。

12．若集合{}21,A m =，{}2,4B =，则“2m =”是“{}4A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ （不包括边界）．若12OP aOP bOP =+，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b ><C ．0,0a b <>D ．0,0a b <<14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是（）A ．lg y x x =+B ．lg y x x =-C ．lg y x x =-+D ．lg y x x =--15．设b a 、是正实数，以下不等式①2ab ab a b >+，② a a b b >--，③ 22243a b ab b +>-，④ 22ab ab+> 恒成立的序号为（）A ．①、③B ．①、④C ．②、③D ．②、④三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

2007年高考文科数学试题及参考答案(上海卷)

一个二进制代码可以表示个信号。
• 7.一个二进制编码器若需要对12个输入信号进行
编码，则要采用位二进制代码。
• 8.74LS148是8线-3线优先编码器，I7’优先级别最高，规定输入输出都是低电平有效，若输入为
I7’ I6’ I5’ I4’ I3’ I2’ I1’ I0’=10111011，
输出Y2’ Y1’ Y0’=
• 21.三级触发器若构成环形计数器，其模值为，
若构成扭环形计数器，则其模值为。
5.7
6.13
6.19
6.21
D0 D1 D2 D3
EP
C
ET 74160 LD
CLK
RD
Q0 Q1 Q2 Q3
CLK R¢D LD¢ EP ET 0
10 1101
11
0
输输输输输输输输输 (输输输输输输 (输输输输输输输输 C输输输输输 C输 0输
1111
输输
(a)输输输输输输
输 b输输输输
输 6.3.14 4输输输输输输 74160(74LS160)输输输输输输输输输
• 1.6(2) 1.9(2) 1.11(4) • 2.3(b) 2.15 2.22(1) 2.23(4) • 4.3 4.5 4.12 4.18 4.19 • 5.5 5.7 5.10 5.13 5.14 • 6.3 6.6 6.13 6.19 6.21
A．从若干个输出中选择一路
B．从输出中选择若干路
C．从若干个输出中选一路作为输出
D．从若干个输入中选一路作为输出
• 13 .将本位的两个数和来自低位的进位数三者相加，

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国2[1]

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)kkn kn n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．cos 330=（）A ．12B ．12- C ．2D ．2-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C ．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（）A ．(32)-，B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞ ，，D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在A B C △中，已知D 是A B 边上一点，若123A D DBCD C A C B λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）A ．6B ．4C ．2 D ．28．已知曲线24xy =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．3C ．12D ．212．设12F F ，分别是双曲线2219yx +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（）A ．B ．CD ．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）在A B C △中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ． 20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S A B C D -中，底面A B C D 为正方形，侧棱SD ⊥底面A B C D E F ，，分别为A B SC ，的中点．（1）证明E F ∥平面S A D ；（2）设2SD D C =，求二面角A EF D --的大小．AEBCFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x -=相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求P A P B的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年(全国卷II)(含答案)高考文科数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分) 1．cos330= （）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，4．下列四个数中最大的是（） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞ ，， D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x +B ．e 2x -C ．2e x -D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF += （）A ．10B ．210C ．5D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC△中，已知内角Aπ=3，边23BC=．设内角B x=，周长为y．（1）求函数()y f x=的解析式和定义域；（2）求y的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD E F，，分别为AB SC，的中点．（1）证明EF∥平面SAD；（2）设2SD DC=，求二面角A EF D--的大小．A EB CF SD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线：43=-y x 相切（1）求圆O 的方程（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A |、|PO |、|PB |成等比数列，求PA PB ∙的取值范围。

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国2

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．cos330=（）A ．12B ．12-C ．32D ．32-2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B = ð（） A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}，3．函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭，B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C ．ln 2D ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-，B ．(2)+∞，C ．(3)(2)-∞-+∞ ，，D ．(2)(3)-∞-+∞ ，，6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（） A ．36B ．34C ．22D ．328．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x+B ．e 2x-C ．2ex -D ．2ex +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（） A ．13B ．33C ．12D ．3212．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF = ，则12PF PF +=（）A ．10B ．210C ．5D ．25第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式． 18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边23BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．CFSD21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年高考新课标全国卷_文科数学(含答案)

１2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （）Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-| Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（）Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（）4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)， 5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（）Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．26526．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（）Ａ．3Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2-7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ，在抛物线上，且y x11-2π- 3π- O 6ππyx11-2π- 3π- O 6π π yx11-2π-3πO6π- πyxπ 2π-6π- 1O1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始1k =0S =50?k ≤是2S S k =+1k k =+否输出S结束２2132x x x =+，则有（）Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（）Ａ．72-Ｂ．12- Ｃ．12 Ｄ．7210．曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π12．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ．312s s s >>Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>Ｄ．213s s s >>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为． 14．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ．15．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．甲的成绩环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩环数 7 8 9 10 频数4 6 6 4 2020正视图20侧视图10 1020俯视图３三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．18．（本小题满分12分）如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中，22AB AC BC ===，．等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ；（Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．19．（本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．DBAC４20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．５PD CBAAOSCB2007年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）1．Ａ 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ7．Ｃ8．Ｂ9．Ｃ10．Ｄ11．Ｄ12．Ｂ13．3 14．1 15．44i - 16．121．【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-.答案：A 2．【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x >答案：C3．【解析】π3()sin 2,32f ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

2007年高考上海卷及答案

2007年上海高考试卷考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、校验码等填写清楚.2．本试卷共10页，满分150分. 考试时间120分钟. 考生应用蓝色或黑色的钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上.3．本试卷一、四大题中，小题序号后标有字母A 的试题，适合于使用一期课改教材的考生；标有字母B 的试题，适合于使用二期课改教材的考生；其它未标字母A 或B 的试题为全体考生必做的试题。

不同大题可以选择不同的A 类或B 类试题，但同一大题的选择必须相同，若在同一大题内同时选做A 类、B 类两类试题，阅卷时只以A 类试题计分，4．第19、20、21、22、23题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤. 只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分. 有关物理量的数值计算问题，答案中必须明确写出数值和单位. 一．（20分）填空题. 本大题共5小题，每小题4分. 答案写在题中横线上的空白处或指定位置，不要求写出演算过程.本大题中第1、2、3小题为分叉题；分A 、B 两类，考生可任选一类答题，若两类试题均做，一律按A 类题计分.A 类题（适合于使用一期课改教材的考生） 1A ．磁场对放入其中的长为l 、电流强度为I 、方向与磁场垂直的通电导线有力F 的作用，可以用磁感应强度B 描述磁场的力的性质，磁感应强度的大小B ＝___________，在物理学中，用类似方法描述物质基本性质的物理量还有___________等。

2A ．沿x 轴正方向传播的简谐横波在t ＝0时的波形如图所示，P 、Q 两个质点的平衡位置分别位于x ＝3.5m 和x ＝6.5m 处。

在t 1＝0.5s 时，质点P 恰好此后第二次处于波峰位置；则t 2＝_________s 时，质点Q 此后第二次在平衡位置且向上运动；当t 1＝0.9s 时，质点P 的位移为_____________cm 。

3A ．如图所示，AB 两端接直流稳压电源，U AB ＝100V ，R 0＝40Ω，滑动变阻器总电阻R ＝20Ω，当滑动片处于变阻器中点时，C 、D 两端电压U CD 为___________V ，通过电阻R 0的电流为_____________A 。

2007年高考试题——数学文(全国Ⅰ卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓号和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

3.本卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B ) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B )＝P (A )·P (B ) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k )=C k n P k(1-P )n -k(k =0,1,2,…，n ) 一、选择题（1）设S ={}012>+x x ,T ={}053<-x x ,则S ∩T = (A)Ø (B)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<21x x(C)⎭⎬⎫⎩⎨⎧>35x x (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3521x x (2)α是第四象限角，cos α＝1312，则sin α= (A)135 (B)- 135 (C) 125 (D)- 125 (3)已知向量a =（-5，6），b =（6，5），则a 与b（A ）垂直（B ）不垂直也不平行（C ）平行且同向（D ）平行且反向 (4)已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（A ）112422=-y x （B ）141222=-y x（C ）161022=-y x （C ）110622=-y x （5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（A ）36种（B ）48种（C ）96种（D ）192种（6）是表示的平面区域内的点位于下面给出的四个点中⎩⎨⎧>+-<-+01,01,y x y x （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0)(7)如图，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为（A ）51 （B ）52（C ）53（D ）54（8）设a>1，函数f(x)=log,x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为,21则a= (A)2 （B ）2 （C ）22 （D ）4（9）f(x)，g(x)是定义在R 上的函数，h(x)=f(x)+ g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”，是“h(x)为偶数”的（A ）充分条件（B ）充分而不必要的条件（C ）必要而不充分的条件（D ）既不充分也不必要的条件（10）函数y=2cos 2x 的一个单调增区间是（A ）（4,4ππ-）（B ）（2,0π）（C ）（43,4ππ）（D ）（ππ,2）（11）曲线y=x x +331在点（1，34）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（A ）91 （B ） 92 （C ） 31 （D ）32（12）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l,经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l,满足为K ，则△AKF 的面积是（A ）4 （B ）33 (C) 43 (D)82007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。