整式的乘除法专题训练(含答案)
整式的乘除(习题及答案)
整式的乘除(习题及答案)知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
——XXX整式的乘除（题）例1：计算(2x^3y)^2·(-2y)+(-8x^8y^3+4x^2)/(-2x^2)。
操作步骤】1）观察结构划部分：(2x^3y)^2·(-2y)+(-8x^8y^3+4x^2)/(-2x^2)2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算。
第一部分：先算积的乘方，然后是单项式相乘；第二部分：多项式除以单项式的运算。
3）每步推进一点点。
过程书写】解：原式=4x^6y^2·(-2y)+(4x^6y^3-2)/(-2x^2)8x^6y^3+4x^6y^3-24x^6y^3-2巩固练1.①-5a^3b^2·(-ab^2)=5a^4b^4；②(-m)^3·(-2m^2n^2)=2m^4n^2；③(-2x^2)^3·(-3x^3y)^2=36x^7y^6；④3b^3·(-2ac)·(-2ab)^2=12a^2b^7c。
2.①3xy^2·(2xz^2+3x^2y)=6x^2y^3z^2+9x^3y^3；②-4xy·(y^3-2)/2=-2xy·(y^3-2)；③(ab^2c-3a^2b)·abc/3=ab^3c^2-3a^3b^2c；④(2ab^2)^2·(2a^2-b)=8a^5b^4-8a^3b^2；⑤-a·(3a^3+2a^2-3a-1)=-3a^4-2a^3+3a^2+a。
3.①(x+3y)(x-3y)=x^2-9y^2；②(a-2b)(a+2b+1)=a^2-4b^2-1；③(-2m-3n)(2m-4n)=-4m^2+2mn+12n^2；④(x+2y)^2=x^2+4xy+4y^2；⑤(a-b+c)(a+b+c)=a^2-b^2+c^2.4.若长方形的长为(4a^2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为8a^3-4a^2+2a-1.5.若圆形的半径为(2a+1)，则这个圆形的面积为4πa^2+4πa+π。
专题12.2整式的乘除法【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三[含答案]
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专题12.2整式的乘除法【十大题型】【华东师大版】【题型1由整式乘除法求代数式的值】【题型2由整式乘除法求字母的值】【题型3利用整式乘除法解决不含某项问题】【题型4利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【题型5利用整式乘除法解决污染问题】【题型6利用整式乘除法解决误看问题】【题型7整式乘除法的应用】【题型8整式乘除法中的规律问题】【题型9整式乘除法中的新定义问题】【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】知识点：整式的乘法、除法1．单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．2．单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．【注意】（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．3．多项式与多项式相乘（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．4．单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．5．多项式除以单项式多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【注意】（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．【题型1 由整式乘除法求代数式的值】【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）1．已知210a a +-=，则代数式()()()222a a a a +-++值为 ．【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）2．若3a b -=，4ab =-，则()()22a b -+值为 .【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）3．如果()()5612a a -+=，那么2228a a --+的值为 ．【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）4．已知2310x x --=，则代数式3102019x x -+值为 ．【题型2 由整式乘除法求字母的值】【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）5．已知(x +a )(x +b )=2x +mx +12，m 、a 、b 都是整数，那么m 的可能值的个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．8【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）6．若()()2133x x x mx +-=+-，则m 值是 ．【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）7．不论x 为何值，()()()2222222x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++,226()()x x a x kx ++=++，则k = ．【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）8．关于x 的整式21A x =+，它的各项系数之和为∶213+=(常数项系数为常数项本身)．已知B 是关于x 的整式，最高次项次数为2，系数为1．若(3),B x C C ×+=是一个只含两项的多项式，则B 各项系数之和的最大值为 ．【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】【例3】（23-24八年级·山东聊城·期末）9．已知多项式236M x ax =-+，3N x =+，且MN A =，当多项式A 中不含x 的2次项时，a 的值为（ ）A ．1-B ．13-C ．0D ．1【变式3-1】（23-24八年级·河南商丘·期末）10．已知关于x 的多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含x 的二次项，且一次项系数为5-，则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．-3D ．3【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）11．小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：2(32)()x x x a +--．(1)小万在做题时不小心将x a -中的x 写成了2x ，结果展开后的式子中不含x 的二次项，求a 的值；(2)小鹿在做题时将232+-x x 中的一个数字看错成了k ，结果展开后的式子中不含x 的一次项，则k 的值可能是多少？【变式3-3】（16-17八年级·四川成都·期末）12．已知(x 2+mx +1)(x 2﹣2x +n )的展开式中不含x 2和x 3项．(1)分别求m 、n 的值；(2)化简求值：(m +2n +1)（m +2n ﹣1）+（2m 2n ﹣4mn 2+m 3）÷（﹣m ）【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】【例4】（23-24八年级·湖南常德·期中）13．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式6351ax y x y -++-- 的值与x 的取值无关，求a 的值”，通常的解题方法是：把x y 、看作字母，a 看作系数合并同类项，因为代数式的值与x 的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式()365a x y =+-+，所以30a +=，则3a =-．理解应用：(1)若关于x 的多项式()22335m x m x ---的值与x 的取值无关，求m 值；(2)已知()()()213153A x x x y =+--+，2324B x xy -=+，且26A B -的值与x 的取值无关，求y 的值．【变式4-1】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）14．已知23A x x a =+-，B x =-，3235C x x =++，若A B C ×+的值与x 的取值无关，当4x =-时，A 的值为（ ）A ．0B ．4C ．4-D ．2【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中）15．若代数式()()()223236x x m x x ++-+的值与x 的取值无关，则常数m = ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．若代数式()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，则常数k 的值为（ ）A ．2B ．―2C ．4-D ．4【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】【例5】（23-24八年级·贵州遵义·期末）17．小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：()()4322222246643x y x y x y x y xy y -+¸-=-+-■，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（ ）A ．3218x y -B ．3218x y C ．322x y -D ．3212x y 【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）18．右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数式被墨水污染看不清了.（1）求被墨水污染的代数式；（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x 的取值范围.【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）19．小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是338x y -及中间的“¸”，污染后习题形式如下：33(8x y -)¸，小明翻看了书后的答案是“22436x y xy x -+”，你能够复原这个算式吗?请你试一试．【变式5-3】（23-24八年级·上海奉贤·期中）20．小红准备完成题目：计算（x 2x +2）（x 2﹣x ）．她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）；（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】【例6】（23-24八年级·山东菏泽·期中）21．某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（ ）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式6-1】（23-24八年级·江西萍乡·期中）22．小颖在计算一个整式乘以3ac 时，误看成了减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，该题正确的计算结果应是多少？【变式6-2】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）23．已知A B 、均为整式，()()221222A xy xy x y =+--+，小马在计算A B ¸时，误把“¸”抄成了“-”，这样他计算的正确结果为22x y -．(1)将整式A 化为最简形式．(2)求整式B ．【变式6-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）24．甲、乙二人共同计算一道整式乘法：()()23x a x b ++，由于甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-；而乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+．(1)你能否知道式子中的a ，b 的值各是多少？(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．【题型7 整式乘除法的应用】【例7】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）25．有总长为l 的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子的宽度为a ．(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l ，a 的代数式表示）．②当10030l a ==，时，求园子的面积．(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l ，a 的代数式表示）．【变式7-1】（23-24八年级·重庆·期末）26．某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）27．一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a 元/平方米，地板的价格(10)a -元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？【变式7-3】（23-24八年级·全国·专题练习）28．某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、2a ；配件②是一个正方体，其棱长为a(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【题型8 整式乘除法中的规律问题】【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）29．观察：下列等式()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-…据此规律，当()()65432110x x x x x x x -++++++=时，代数式20242x -的值为 ．【变式8-1】（23-24八年级·广东揭阳·期中）30．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2020年11月份的日历，我们任意用一个22´的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果没有，请说明理由．【变式8-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）31．“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技巧进行研究．小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．例如：()24261002346´=´´+´，结果为624；()42481004528´=´´+´，结果为2016；小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．例如：()456510046525´=´´++，结果为2925；()357510037525´=´´++，结果为2625；(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算6367´的速算过程；(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字母的等式表示该规律．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．【变式8-3】（23-24八年级·福建宁德·期中）32．下图揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过451天是星期 ．……1()a b a b+=+ (222)()2a b a ab b +=++……()3322333a b a a b ab b +=+++……()4a b +=【题型9 整式乘除法中的新定义问题】【例9】（23-24八年级·陕西榆林·期末）33．【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m ，n ，规定：()m n mn m n =-e ．例如：()1212122=´´-=-e ．【问题推广】（1）先化简，再求值：()()a b a b +-e ，其中12a =，1b =-；【拓展提升】（2）若()2p q q p x y x y x y x y =-e e ，求p ，q 的值【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）34．定义a bad bc c d =-，如131423224=´-´=-．已知21112x A nx x +=-，1111x x B x x +-=-+（n 为常数）(1)若4B =，求x 的值；(2)若A 中的n 满足12222n +´=时，且2A B =+，求3843x x -+的值．【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期末）35．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi + (a 、b 为实数)的数叫做复数，其中a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：()()()()253251372i i i i -++=++-+=+；()()()()()()2121212212213i i i i i i i ii i+´-=´+´-+´+´-=+-+-=+--=+根据以上信息，完成下列问题:(1)计算：3i ， 4i ；(2)计算：()()134i i +´-；(3)计算：23452023i i i i i i ++++++L 【变式9-3】（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）36．定义：()L A 是多项式A 化简后的项数，例如多项式223A x x =+-，则()3L A =，一个多项式A 乘多项式B 化简得到多项式C （即C A B =´），如果()()()1L A L C L A ££+．则称B 是A 的“郡园多项式”如果()()L A L C =，则称B 是A 的“郡园志勤多项式”．(1)若2A x =-，3B x =+，则B 是不是A 的“郡园多项式”？请判断并说明理由；(2)若2A x =-，24B x ax =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，则a =_____；(3)若23A x x m =-+，2B x x m =++是关于x 的多项式，且B 是A 的“郡园志勤多项式”，求m 的值．【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】【例10】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）37．教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“Ä”，对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定()(),,a b c d ad bc Ä=-，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：()()1,32,414232Ä=´-´=-．请解答下列问题：(1)填空：()()2,34,5-Ä=______；(2)若()()221,15,2x nx x +-Ä-的代数式中不含x 的一次项时，求n 的值；(3)求()()31,22,3x x x x +-Ä+-的值，其中2410x x -+=；(4)如图1，小长方形长为a ，宽为b ，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中5AB =，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为1S ，右上角长方形的面积为2S ．当122320S S -=，求()()2,63,36a b b b a b +-Ä--的值．【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）38．小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶(1)用含a ，b 的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．(2)当224592a b +=，48ab =时，求阴影部分面积．【变式10-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）39．如图，长为(cm)y ，宽为(cm)x 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm ．(1)小长方形的较长边为 cm （用代数式表示）；(2)阴影A 的一条较短边和阴影B 的一条较短边之和为(24)x y -+cm ，是 的（填正确/错误）；阴影A 和阴影B 的周长值之和与x （填有关/无关），与y （填有关/无关）；(3)设阴影A 和阴影B 的面积之和为S 2cm ，是否存在x 使得S 为定值，若存在请求出x 的值和该定值，若不存在请说明理由．【变式10-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）40．如图所示，有4张宽为a ，长为b 的小长方形纸片，不重叠的放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． 2EF GH =(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；(3)当a=12，92b=时，求区域①、区域②的面积的差．1．2-【分析】由已知得21a a +=，然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可．【详解】解：∵210a a +-=，∴21a a +=，∴()()()()22222242242142a a a a a a a a a +-++=-++=+-=´-=-，故答案为：2-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．―2【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把所求整式进行展开，然后再代值求解即可．【详解】解：∵3a b -=，4ab =-，∴()()22a b -+()24ab a b =+--464=-+-2=-；故答案为：―2．3．28-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出218a a --=-，再根据()--+=--+2222828a a a a 进行求解即可．【详解】解：∵()()5612a a -+=，∴2306512a a a -+-=，∴218a a --=-，∴()--+=--+=-´+=-2222828182828a a a a ，故答案为：28-．4．2022【分析】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可．【详解】由x 2−3x−1=0，变形x 2=3x+1，x 2-3x=1，x3−10x+2019，=x(3x+1)-10x+2019，=3x2-9x+2019，=3(x2-3x)+2019，=3+2019，=2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值．5．C【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．【详解】解：(x+a)(x+b)=2x+bx+ax+ab=2x+(a+b)x+ab．∵(x+a)(x+b)=2x+mx+12，∴a+b=m，ab=12．∵m、a、b都是整数，∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．综上：m=±13或±8或±7，共6个．故选：C．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．6．2-【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出22323x x x mx -=+--是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m 的值即可得到答案．【详解】解：∵()()2133x x x mx +-=+-，∴22333x x x x mx +--=+-，∴22323x x x mx -=+--，∴2m =-．故答案为：2-．7．5【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a 的值以及a 与k 的关系，然后可得答案．本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】∵2222222()()()x x a x ax x a x a x a ++=+++=+++，又∵226()()x x a x kx ++=++，∴22226()x a x a x kx +++=++，2a k \+=，26a =，3a \=，325k \=+=．故答案为：5．8．7【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程．根据题意对整式B 的表述，可设2(x ax b a B =++、b 为待求的常数），计算(3)B x ×+，整理后得到关于x 的三次四项式．由于条件说乘积是只有两项，故有两项的系数为0，需分3种情况讨论计算，列得关于a 、b 的方程组，据此求解即可．【详解】解：B Q 是关于x 的整式，最高次项次数为2，二次项系数为1，\设2b B x ax =++，a 、b 为常数，(3)B x \+2()(3)x ax b x =+++322333x ax bx x ax b=+++++32(3)(3)3x a x a b x b =+++++，Q 乘积是一个只含有两项的多项式，①3030a a b +=ìí+=î，解得：39a b =-ìí=î，239B x x \=-+，各项系数之和为1397-+=；②3030a b +=ìí=î，解得：30a b =-ìí=î，23x B x \=-，各项系数之和为132-=-；③3030a b b +=ìí=î，解得：00a b =ìí=î，2x B \=．各项系数之和为1；∵712>>-；则B 各项系数之和的最大值为7．故答案为：7．9．D【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵()()2=363MN x ax x -++322=36+3918x ax x x ax -+-+()()32336918x a x a x =+-+-+∴()()32336918A MN x a x a x ==+-+-+∵多项式A 中不含x 的2次项时，∴330a -=∴1a =故选D ．10．C【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x 的二次项，则二次项的系数为0．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系数为5-的要求建立方程组，即可求解．【详解】解：()()232ax b x x -++；3223232ax ax ax bx bx b =++---；()()323322ax a b x a b x b =+-+--；∵多项式ax b -与232x x ++的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为5-；∴3025a b a b -=ìí-=-î；解得：31a b =-ìí=-î，∴3a =-；故选：C ．11．(1)2a =-(2)1k =或6-【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键．（1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0，即可求出答案，（2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0，即可求出答案．【详解】（1）解：()()2232x x x a +--42323322x ax x ax x a =-+--+4323(2)32x x a x ax a =+-+-+Q 展开后的式子中不含x 的二次项，20a \+=，解得2a =-；（2）解：①若将232+-x x 中的3看成k ，2(2)(2)x kx x +-+3222224x x kx kx x =+++--32(2)(22)4x k x k x =+++--，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，220k \-=，1k \=．②若将232+-x x 中的2-看成k ，2(3)(2)x x k x +++3222362x x x x kx k =+++++325(6)2x x k x k =++++，Q 展开后的式子中不含x 的一次项，60k \+=，解得6k =-．③若指数2看作k ，当0k =时，原式(132)(2)x x =+-+2352x x =+-不符合题意；④若指数2看作k ，当1k =时，原式(32)(2)x x x =+-+2464x x =+-，不符合题意；1k =或6-．12．（1）m 的值为2，n 的值为3（2）2mn +8n 2﹣1；83【分析】（1）先将题目中的式子化简，然后根据()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，可以求得m 、n 的值；（2）先化简题目中的式子，然后将m 、n 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：（1）()()2212x mx x x n ++-+=4x ﹣23x +n 2x +m 3x ﹣2m 2x +mnx +2x ﹣2x +n=4x +（﹣2+m ）3x +（n ﹣2m +1）2x +（mn ﹣2）x +n∵()()2212x mx x x n ++-+的展开式中不含2x 和3x 项，∴20210m n m +=ìí+=î﹣﹣，解得23m n =ìí=î，即m 的值为2，n 的值为3；（2）（m +2n +1）（m +2n ﹣1）+（22m n ﹣4m 2n +3m ）÷（﹣m ）=[（m +2n ）+1][（m +2n ）﹣1]﹣2mn +42n ﹣2m =2m 2n +（）﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2m +4mn +42n ﹣1﹣2mn +42n ﹣2m =2mn +82n ﹣1当m =2，n =3时，原式=2×2×3+8×23﹣1=83．【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．13．(1)35m =(2)23y =【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案；（2）先把A 进行化简，然后计算26A B -，结合多项式的值与x 的取值无关，即可求出答案．【详解】（1）解：223(35)m x m x ---22335m x m mx=--+2(53)23m x m m =-+-，Q 其值与x 的取值无关，530m \-=， 解得：35m =， 即：当35m =时，多项式223(35)m x m x ---的值与x 的取值无关；（2）解：(21)(31)(53)A x x x y =+--+Q ，2324B x xy -=+，2262[(21)(31)(53)]6(24)3A B x x x y x xy \-=+---+-+222(623153)121824x x x x xy x xy =-+----+-2212826121824x x xy x xy =----+-12826xy x =--4(32)26x y =--；26A B -Q 的值与x 无关，320y \-=，即23y =．【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．B【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求出A B ×的值是多少，然后用它加上C ，求出A B C ×+的值是多少，最后根据A B C ×+的值与x 的取值无关，可得x 的系数是0，据此求出a 的值，最后代入求值即可．【详解】解：23A x x a =+-Q ，B x =-，3235C x x =++，A B C\×+()()()232335x x a x x x =+--+++3232335x x ax x x =--++++5ax =+，A B C ×+Q 的值与x 的取值无关，2233A x x a x x \=+-=+，当4x =-时，()()24344A =-+´-=，故选：B ．15．3【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据与x 的取值无关得到260m -=，解方程即可．【详解】解：()()()()222232366262612262x x m x x x mx x m x x m x m ++-+=+++--=-+，∵代数式的值与x 的取值无关，∴260m -=，解得3m =，故答案为：3．16．A【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y 的取值无关，可知关于y 的项的系数为0，从而可以求得k 的值．【详解】解：()()()2253334x kx xy k x y x ----2222225334912kx x y kx y kx x y x =--++-222239612kx y kx x y x =-++-()22236912k x y kx x =-++-∵关于y 的代数式：()()()2253334x kx xy k x y x ----的值与y 无关，∴360k -+=，解得2k =，即当2k =时，代数式的值与y 的取值无关．故选：A.17．B【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．【详解】解： ( −4x 2y 2+3xy −y ) • (−6x 2y )=24x 4y 3−18x 3y 2+6x 2y 2，∴■=18x 3y 2．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键．18．（1）24x --；（2）4x £-．【分析】（1）根据题意，被墨水污染的代数式=()2()(252236)x x x x ++－－－，再结合整式的乘法法则及加减法则解题，注意运算顺序；（2）由（1）中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．【详解】解：（1）由已知可得，()2()(252236)x x x x ++－－－2224510236x x x x x =-+---+=24x -- ；（2）由已知可得，244x -³-28x ³-解得4x £-．【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．19．复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．【详解】解：338x y -Q 对应的结果为：224x y ，\除式为：3322842x y x y xy -¸=-，根据题意得：()()223322243628612x y xy x xy x y x y x y -+×-=-+-，\复原后的算式为()()3322286122x y x y x y xy -+-¸-．【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．20．（1）43222x x x x +--；（2）1【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；（2）设一次项系数为a ，计算()()222x ax x x ++-，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据此即可求得a 的值，即原题中被遮住的一次项系数．【详解】解：（1）（x 2+3x +2）（x 2﹣x ）433223322x x x x x x=-+-+-43222x x x x=+--（2）设一次项系数为a ，()()222x ax x x ++-4332222x x ax ax x x=-+-+-()()432122x a x a x x=+-+--Q 答案是不含三次项的10a \-=1a \=【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．21．A【分析】设这个多项式为M ，根据题意可得221M x x =-+-，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【详解】解：设这个多项式为M ，∵计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，∴224321M x x x +=+-，∴222321421M x x x x x =+--=-+-，∴正确的结果为()()22432214484x x x x x x -+-=-+-，故选A ．22．222-abc a bc【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去3ac ，得到的答案是12333--bc ac ab ，得出这个整式为123333bc ac ab ac --+，然后用3ac 乘这个整式得出结果即可．【详解】解：根据题意得：1233333æö--+ç÷èøac bc ac ab ac12333æö=-ç÷èøac bc ab 222=-abc a bc ．故该题正确的计算结果应是222-abc a bc ．23．(1)22x y xy --；(2)B xy =-．【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；（2）根据题意可得22A y B x -=-，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．【详解】（1）()()221222A xy xy x y =+--+，22222222x y xy xy x y =-+--+，22x y xy =--；（2）由题意，得22A yB x -=-由（1）知22A x y xy =--，∴2222x y xy B x y ---=-，∴B xy =-．24．(1)5a =-，2b =-(2)261910x x -+【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到2311b a -=①，29b a +=-②，解关于①②的方程组即可求出a 、b 的值；（2）把a 、b 的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为()()23x a x b -+，得到的结果为261110x x +-，那么()()()222362361110x a x b x b a x ab x x -+=+--=+-，可得2311b a -=①乙抄错为()()2x a x b ++，得到的结果为22910x x -+，可知()()()222222910x a x b x b a x ab x x ++=+++=-+可得29b a +=-②，解关于①②的方程组，可得5a =-，2b =-；（2）正确的式子：()()22041253265106191x x x x x x x --=+-=+--【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键．25．(1)①()2a l a -；②1200(2)增大；22al a a-+【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键．（1）①先用l 和a 的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把100l =，30a =代入①中的代数式进行计算即可；（2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积．【详解】（1）解：①Q 总长为l ，宽为a ，\园子的长为：()2l a -，\园子的面积为：()2a l a -；故答案为：()2a l a -；②当100l =，30a =时，()222a l a al a -=-230100230=´-´30002900=-´30001800=-1200=；（2）解：Q 园子的宽不变，长增加了，。
整式的乘除测试题练习8套(含答案)
整式的乘除练习题（8套）含答案整式的乘除测试题练习一一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1、下面的计算正确的是( )A 、1234a a a =⋅B 、222b a )b a (+=+C 、22y 4x )y 2x )(y 2x (-=--+-D 、2573a a a a =÷⋅ 2、在n m 1n x )(x +-=⋅中，括号内应填的代数式是( )A 、1n m x ++B 、2m x +C 、1m x +D 、2n m x ++ 3、下列算式中，不正确的是( )A 、xy 21y x y x 21)xy 21)(1x2x (n 1n 1n n -+-=-+-+-B 、1n 21n n x )x (--= C 、y x x 2x31)y x 2x 31(x n 1n n 2nn --=--+D 、当n 为正整数时，n 4n 22a )a (=- 4、下列运算中，正确的是( )A 、222ac 6c b 10)c 3b 5(ac 2+=+B 、232)a b ()b a ()1b a ()b a (---=+--C 、c b a )c b a (y )a c b (x )1y x )(a c b (-+-----+=++-+D 、2)a b 2(5)b a 3)(b 2a ()a 2b 11)(b 2a (--+-=-- 5、下列各式中，运算结果为422y x xy 21+-的是( )A 、22)xy 1(+-B 、22)xy 1(--C 、222)y x 1(+-D 、222)y x 1(-- 6、已知5x 3x 2++的值为3，则代数式1x 9x 32-+的值为( ) A 、0 B 、－7 C 、－9 D 、3 7、当m=( )时，25x )3m (2x 2+-+是完全平方式 A 、5± B 、8 C 、－2 D 、8或－28、某城市一年漏掉的水，相当于建一个自来水厂，据不完全统计，全市至少有5106⨯个水龙头，5102⨯个抽水马桶漏水。
整式乘法计算50题(含解析)
整式乘除50题一、幂的运算1．计算：（1）x n﹣2•x n+2；（n是大于2的整数）（2）﹣（x3）5；（3）[（﹣2）2]3；（4）[（﹣a）3]2．2．若n为正整数且（m n）2=9，求．3．已知x a﹣3=2，x b+4=5，x c+1=10；求a、b、c间的关系．4．已知a n=2，b2n=3，求（a3b4）2n的值．5．计算：（1）﹣（）1000×（﹣10）1001+（）2013×（﹣3）2014（2）（8）100×（﹣）99×．6．化简：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）7．已知10x=a，10y=b，求103x+3y+103x﹣2y的值．8．己知53x+1÷5x﹣1=252x﹣3，求x的值．9．已知（x2n）2÷（x3n+2÷x3）与﹣x3是同类项，求4n2﹣1的值．10．我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10．（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×103．二、整式乘法计算题11．计算：4xy2•（﹣x2yz3）．12．计算：（a3b2）（﹣2a3b3c）．13．计算：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4．14．计算：（a n•b n+1）3•（ab）n．15．计算：[﹣2a2（x+y）3]•[3a3•b（x+y）2]．16．计算：﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（y﹣x）2．17．计算：．18．计算：（﹣5x2y3）2•（﹣2x4y2）3•（xy2）4．19．计算：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4．20．计算：．21．计算：（x﹣2）（x2+4）．22．计算：（﹣7x2﹣8y2）（﹣x2+3y2）23．计算：（2x﹣3y﹣1）（﹣2x﹣3y+5）．24．计算：（2x﹣x2﹣3）（x3﹣x2﹣2）．25．计算：（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）26．计算：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）27．计算：5x2﹣（x﹣2）（3x+1）﹣2（x+1）（x﹣5）28．计算：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）29．计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）30．计算：（x﹣y）（x2+xy+y2）三、乘法公式及应用31．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．32．已知2x+2y=﹣5，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．33．已知（a+b）2=17，ab=3．求（a﹣b）2的值．34．已知：x+y=﹣1，xy=﹣12，求x2+y2﹣xy和（x﹣y）2的值．35．已知x+y=2，x2+y2=10，求xy的值．36．已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．37．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．38．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，求a，b的值．39．已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，求（x+y）13•x10的值．40．已知a，b，c为实数，设．证明：A，B，C中至少有一个值大于零．41．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．42．已知a﹣b=2，b﹣c=2，a+c=14，求a2﹣b2．43．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．44．用平方差公式计算：（1）99.8×100.2=（2）40×39=45．计算3001×2999的值．46．计算：（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）47．计算：（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）48．计算103×97×10009的值．49．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？50．计算12﹣22+32﹣42+52+62+…+20002﹣20012．参考答案与试题解析一、幂的运算1．计算：（1）x n﹣2•x n+2；（n是大于2的整数）（2）﹣（x3）5；（3）[（﹣2）2]3；（4）[（﹣a）3]2．解答：解：（1）原式=x n﹣2+n+2=x2n；（2）原式=﹣x15；（3）原式=43=64；（4）原式=a6．2．若n为正整数且（m n）2=9，求．解答：解：∵（m n）2=9，∴m n=±3，∴=m9n×m4n=m13n=（m n）13=±×313=±310．3．已知x a﹣3=2，x b+4=5，x c+1=10；求a、b、c间的关系．解答：解：∵2×5=10，∴x a﹣3×x b+4=x c+1，∴x a+b+1=x c+1，∴a+b=c．4．已知a n=2，b2n=3，求（a3b4）2n的值．解答：解：∵a n=2，b2n=3，∴（a3b4）2n=a6n b8n=（a n）6×（b2n）4=26×34=24×34×22=64×4=5184．5．计算：（1）﹣（）1000×（﹣10）1001+（）2013×（﹣3）2014（2）（8）100×（﹣）99×．解答：解：（1）原式=（×10）1000×（﹣10）+（×）2013×=﹣10+=﹣；（2）原式=﹣（×）99××=﹣．6．化简：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）解答：解：（x+y）5÷（﹣x﹣y）2÷（x+y）=（x+y）5÷（x+y）2÷（x+y）=（x+y）2．7．已知10x=a，10y=b，求103x+3y+103x﹣2y的值．解答：解：∵10x=a，10y=b，∴103x+3y+103x﹣2y=103x×103y+103x÷102y=a3×b3+a3÷b2=a3b3+=．8．己知53x+1÷5x﹣1=252x﹣3，求x的值．解答：解：原式等价于52x+2=54x﹣62x+2=4x﹣6x=4．故答案为：4．9．已知（x2n）2÷（x3n+2÷x3）与﹣x3是同类项，求4n2﹣1的值．解答：解：（x2n）2÷（x3n+2÷x3）=x n+1，可得x n+1与﹣x3是同类项，即n+1=3，解得：n=2，则原式=16﹣1=15．10．我们约定：a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10．（1）试求：12⊗3和10⊗4的值；（2）试求：21⊗5×103．解答：解：（1）∵a⊗b=10a÷10b，如4⊗3=104÷103=10，∴12⊗3=1012÷103=109，10⊗4=1010÷104=106；（2）21⊗5×103=1021÷105×103=1019．二、整式乘法计算题11．计算：4xy2•（﹣x2yz3）．解答：解：4xy2•（﹣x2yz3）=﹣x3y3z3．12．计算：（a3b2）（﹣2a3b3c）．解答：解：（a3b2）（﹣2a3b3c）=﹣a6b5c．13．计算：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4．解答：解：（3a2）3×b4﹣3（ab2）2×a4=27a6×b4﹣3a2b4×a4=27a6b4﹣3a6b4=24a6b4．14．计算：（a n•b n+1）3•（ab）n．解答：解：原式=a3n×b3n+3×a n b n=a3n+n b3n+3+n=a4n b4n+3．15．计算：[﹣2a2（x+y）3]•[3a3•b（x+y）2]．解答：解：原式=﹣6a5b（x+y）5．16．计算：﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（y﹣x）2．解答：解：原式=﹣6a2b（x﹣y）3•ab2（x﹣y）2=﹣2a3b3（x﹣y）5．17．计算：．解答：解：原式=﹣x4y5．18．计算：（﹣5x2y3）2•（﹣2x4y2）3•（xy2）4．解答：解：原式=25x4y6•（﹣8x12y6）•（x4y8）=﹣x20y20．19．计算：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4．解答：解：（﹣x3y2）3•（2xy2）2﹣（﹣x4y3）2•x3y4=﹣x9y6•4x2y4﹣x8y6•x3y4=﹣x11y10﹣x11y10=﹣x11y10．20．计算：．解答：解：原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z．21．计算：（x﹣2）（x2+4）．解答：解：原式=x3+4x﹣2x2﹣8．22．计算：（﹣7x2﹣8y2）（﹣x2+3y2）解答：解：原式=﹣7x2•（﹣x2）+（﹣7x2）•3y2﹣8y2•（﹣x2）﹣8y2•3y2 =7x4﹣21x2y2+8x2y2﹣24y4=7x4﹣13x2y2﹣24y4．23．计算：（2x﹣3y﹣1）（﹣2x﹣3y+5）．解答：解：原式=﹣4x2﹣6xy+10x+6xy+9y2﹣15y+2x+3y﹣5=﹣4x2+（﹣6xy+6xy）+（10x+2x）+9y2+（3y﹣15y）﹣5=﹣4x2+12x+9y2﹣12y﹣5．24．计算：（2x﹣x2﹣3）（x3﹣x2﹣2）．解答：解：原式=2x4﹣2x3﹣4x﹣x5+x4+2x2﹣3x3+3x2+6=3x4﹣x5﹣5x3++5x2﹣4x+6．25．计算：（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）解答：解：原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=（c﹣b）2﹣2（c﹣b）d+d2﹣a2=c2﹣2cb+b2﹣2cd+2bd+d2﹣a2 26．计算：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）解答：解：（x+3）（x﹣5）﹣（x﹣3）（x+5）=x2﹣2x﹣15﹣（x2+2x﹣15）=x2﹣2x﹣15﹣x2﹣2x+15=﹣4x．27．计算：5x2﹣（x﹣2）（3x+1）﹣2（x+1）（x﹣5）解答：解：原式=5x2﹣（3x2﹣5x﹣2）﹣2（x2﹣4x﹣5），=5x2﹣3x2+5x+2﹣2x2+8x+10，=13x+12．28．计算：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）解答：解：3（2x﹣1）（x+6）﹣5（x﹣3）（x+6）=3（2x2+12x﹣x﹣6）﹣5（x2+6x﹣3x﹣18）=6x2+33x﹣18﹣5x2﹣15x+90=x2+18x+7229．计算：（a+b）（a2﹣ab+b2）解答：解：原式=a3+a2b﹣a2b﹣ab2+ab2+b3，=a3+b3．30．计算：（x﹣y）（x2+xy+y2）解答：解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3=x3﹣y3．三、乘法公式及应用31．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．解答：解：原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5．32．已知2x+2y=﹣5，求2x2+4xy+2y2﹣7的值．解答：解：∵2x+2y=﹣5，∴x+y=，∴2x2+4xy+2y2﹣7=2（x+y）2﹣7，当x+y=时，原式=2×（）2﹣7=．33．已知（a+b）2=17，ab=3．求（a﹣b）2的值．解答：解：∵（a+b）2=17，ab=3，∴a2+2ab+b2=17，则a2+b2=17﹣2ab=17﹣6=11，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=11﹣6=5．34．已知：x+y=﹣1，xy=﹣12，求x2+y2﹣xy和（x﹣y）2的值．解答：解：∵x+y=﹣1，xy=﹣12，∴x2+y2﹣xy=（x+y）2﹣3xy=1+36=37；（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=1+48=49．35．已知x+y=2，x2+y2=10，求xy的值．解答：解：将x+y=2进行平方得，x2+2xy+y2=4，∵x2+y2=10，∴10+2xy=4，解得：xy=﹣3．36．已知实数x满足x+=3，则x2+的值为7．解答：解：由题意得，x+=3，两边平方得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．37．求代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值．解答：解：5x2﹣4xy+y2+6x+25=4x2﹣4xy+y2+x2+6x+9+16=（2x﹣y）2+（x+3）2+16而（2x﹣y）2+（x+3）2≥0，∴代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25的最小值是16．38．已知（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，求a，b的值．解答：解：∵（a+1）2﹣（3a2+4ab+4b2+2）=0，∴2a2﹣2a+4b2+4ab+1=0，∴（a﹣1）2+（a+2b）2=0，∴a﹣1=0，a+2b=0，解得a=1，b=﹣．故a=1，b=﹣．39．已知13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，求（x+y）13•x10的值．解答：解：∵13x2﹣6xy+y2﹣4x+1=0，∴9x2﹣6xy+y2+4x2﹣4x+1=0，即（3x﹣y）2+（2x﹣1）2=0，∴3x﹣y=0，2x﹣1=0，解得x=，y=，当x=，y=时，原式=（+）13•（）10=（2×）10×23=8．40．已知a，b，c为实数，设．证明：A，B，C中至少有一个值大于零．解答：证明：由题设有A+B+C=（）+（）+（），=（a2﹣2a+1）+（b2﹣2b+1）+（c2+2c+1）+π﹣3，=（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c+1）2+（π﹣3），∵（a﹣1）2≥0，（b﹣1）2≥0，（c+1）2≥0，π﹣3＞0，∴A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，∴A，B，C中至少有一个大于零．41．计算：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）．解答：解：2（m+1）2﹣（2m+1）（2m﹣1），=2（m2+2m+1）﹣（4m2﹣1），=2m2+4m+2﹣4m2+1，=﹣2m2+4m+3．42．已知a﹣b=2，b﹣c=2，a+c=14，求a2﹣b2．解答：解：∵b﹣c=2，a+c=14，∴a+b=16，∵a﹣b=2，∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=16×2=32．43．若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．解答：解：∵a==（3分）b=（4分）20082﹣12＜20082（5分）∴a＜b（6分）说明：求差通分，参考此标准给分．若只写结论a＜b，给（1分）．44．用平方差公式计算：（1）99.8×100.2=（2）40×39=解答：解：（1）99.8×100.2，=（100﹣0.2）（100+0.2），=1002﹣0.22，=9999.96．（2）40×39，=（40+）（40﹣），=402﹣（）2，=1599．45．计算3001×2999的值．解答：解：3001×2999=（3000+1）（3000﹣1）=30002﹣12=8999999．46．计算：（x+y）（x﹣y）（x2+y2）（x4+y4）解答：解：原式=（x2﹣y2））（x2+y2）（x4+y4）=（x4﹣y4）（x4+y4）=x8﹣y8．47．计算：（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）解答：解：原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2﹣4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．48．计算103×97×10009的值．解答：解：103×97×10009，=（100+3）（100﹣3）（10000+9），=（1002﹣9）（1002+9），=1004﹣92，=99999919．49．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？解答：解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1 =（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．50．计算12﹣22+32﹣42+52+62+…+20002﹣20012．解答：解：原式=﹣[（20012﹣20002）+（19992﹣19982）+…+（62﹣52）+（42﹣32）+（22﹣12）] =﹣[（2001+2000）×1+（1999+1998）×1+…+（6+5）×1+（4+3）+（2+1）×1]=﹣（2001+2000+1999+1998+…+6+5+4+3+2+1）=﹣2003001．。
整式的乘除法专题训练(含答案)
整式的乘除法专题训练类型一：幂的运算性质幂的运算性质共有六个：1同底数幂的乘法；2. 幂的乘方；3. 积的乘方；4.同底数幂的除法；5.负整数指数幂；6.零次幂运算需要注意的问题：1. 看清楚运算符号加、减、乘、除、乘方；2. 计算时注意“—”号；3. 3.认清楚指数和底数；4.正确联系运算性质和法则一、计算1.4353x x x x x ••+•2.()()()()x 211x 21x 21x 2432-•-+-•-3.()()4n 31n 35x x x x -•+•--4.()()()()a b b a a b b a 432-•-+-•-5.()()()344321044x 5x 2x 2x 2x 2•+-•+-6.()()()()y x xy 2y 2x x 32332•-•+-••-7.()()()2222332x x x 3x 2•+-+-8.()()()72335m m m-••-9.()()36x -x -÷10.()()63243x x x 2÷÷-11.()()()223223x -x -x x x x •÷+÷÷12.()()[]()[]322313x 2-y y -x 2y -x 2÷÷类型二：幂的运算性质的灵活运用13.已知的值。
求b a b a2,72,42+==14.已知,a 3a x =+用含a 的代数式表示.3x15.已知,5.133,63n m ==求m+n 的值。
16.已知的值。
求2n m n m a ,2a ,3a ++==17.已知的值。
求b 3a 2b a 10,610,510+==18.若的值。
求y x 328,03y 5x 3•=-+19.已知486331x 22x 2=-++，求x 的值。
20.已知(),a a a 113m 5=•求m 的值。
21.已知的值。
求n 2-1m n m 9,43,23+==22.若的值。
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘除法【十一大题型】【北师大版】【题型1 利用整式乘法求值】 (1)【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 (2)【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 (5)【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 (7)【题型5 整式乘法的计算】 (8)【题型6 整式乘法的应用】 (9)【题型7 整式除法的运算与求值】 (12)【题型8 整式除法的应用】 (16)【题型9 整式乘法中的新定义问题】 (18)【题型10 整式乘法中的规律探究】 (22)【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 (26)【知识点 整式的乘法】单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．()xy xy x y 22312æö2×=ç÷33èø单项式×多项式：乘法分配律．()m a b c ma mb mc ++=++多项式×多项式：乘法分配律．()()m n a b ma mb na nb++=+++【题型1 利用整式乘法求值】【例1】（2023春·江苏无锡·七年级期中）若(x−1)(x +b)=x 2+ax−2，则a +b 的值为 ．【答案】3【分析】由多项式乘多项式计算得x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．【详解】解：∵（x ﹣1）（x ＋b ）＝x 2＋bx ﹣x ﹣b ＝x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ，∴x 2＋（b ﹣1）x ﹣b ＝x 2＋ax ﹣2，∴b ﹣1＝a ，﹣b ＝﹣2，解得：b ＝2，a ＝1，∴a ＋b ＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．【变式1-1】（2023·七年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=【答案】9.【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.【详解】解：∵x2+x+1=0，∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=x(x2+x+1)−2(x2+x+1)+9=9【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.【变式1-2】（2023春·上海松江·七年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5=．【答案】19【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19故答案为19.【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.【变式1-3】（2023·七年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且(x+a)⋅(x+b)=x2+mx+15，则所有的m的和为.【答案】0【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15∴a+b=m,ab=15，∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，∴m取值有16，-16，8，-8.则所有的m的和为0.故答案为0.【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.【题型2利用整式乘法解决不含某项问题】【例2】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．【答案】m=-4，n=-12.【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．∵不含x3和x2项，∴4+m=0，-3m+n=0，解得m=-4，n=-12.【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．【变式2-1】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（）A．-5B．5C．0D．3【答案】A【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，由结果不含y的一次项，得到m+5=0，解得：m=-5，故选：A．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·四川资阳·七年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（）．D．1A．－1B．0C．−23【答案】A【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．【详解】解：∵MN=(x2+3ax+6)(x+3)=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18=x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴A =MN =x 3+(3a +3)x 2+(9a +6)x +18∴3a +3=0∴a =-1故选A ．【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．【变式2-3】（2023春·七年级课时练习）若x 2+x 2−3x +n )的积中不含有x 与x 3项．(1)直接写出m 、n 的值，即m =___________，n = ___________；(2)求代数式(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016的值．【答案】(1)1，−13(2)9427【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x 与x 3项可以求解m 、n 的值．（2）将m 、n 的值代入代数式求值即可．【详解】（1）解：x 2+x 2−3x +n ) =x 4−3x 3+n x 2+3m x 3−9m x 2+3mnx−13x 2+x−13n=x 4+(3m−3)x 3+(n−9m−13)x 2+(3mn +1)x−13n ，∵积中不含有x 与x 3项，∴3m−3=0，3mn +1=0，解得m =1，n =−13．故答案为：1，−13．（2）解：当m =1，n =−13时，(−m 2n )3+(9mn )2+(3m )2014n 2016=−12×−+9×1×−+32014×−=+(−3)2+3×−×−=127+9+19=9427．【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．【题型3利用整式乘法解决错看问题】【例3】（2023春·四川内江·七年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：(2y+a) (3y+b)．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．（1）求正确的a，b的值；（2）计算这道乘法题的正确结果．【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．【详解】（1）根据王建的解法得：(2y−a)(3y+b)=6y2+2by−3ay−ab=6y2+(2b−3a)y−ab=6y2+5y−10，∴2b−3a=5①根据李楠的解法的：(2y+a)(y+b)=2y2+2by+ay+ab=2y2+(2b+a)y+ab=2y2−7y+10，∴2b+a=−7②联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；（2）这道题的正确解法是：(2y−3)(3y−2)=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2＝3x2﹣7xy+2y2，则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．故选：C．【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，∴6+a＝8，∴a＝2；∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，∴b﹣a＝1，∴b＝3，∴（x+a）（a+b）＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6．【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，∴−2a+b=−7 a+b=2，解得：a=3b=−1，∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．【题型4利用整式乘法解决遮挡问题】【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3D．﹣10xy【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．故选：A．【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）A．9x2B．﹣9x2C．9x D．﹣9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，故选：B．【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，∴m﹣1＝﹣6，n＝6，∴m ＝﹣5，∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x 2y （2xy 2﹣xy ﹣1）＝6x 3y 3 ﹣3x 3y 2 ﹣3x 2y ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x 3y 3 ．【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：∵3x2y （2xy2﹣xy ﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y ，∴横线上应填写﹣3x3y2，故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．【题型5 整式乘法的计算】【例5】（2023春·重庆渝中·七年级校考期中）（1）计算：x ⋅2x +x(x−2)；（2）(m +1)(m−5)−m(m−6)【答案】（1）3x 2−2x ；（2）2m-5【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．【详解】（1）x ⋅2x+x(x−2)=2x 2+x 2−2x=3x 2−2x.（2）（m+1）（m-5）-m （m-6）=m 2-5m+m-5-m 2+6m=2m-5；【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.【变式5-1】（2023春·上海·七年级期中）−12x 2y 2⋅2−8xy +【答案】15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=14x 4y 2⋅(45x 2−8xy +13)=15x 6y 2−2x 5y 3+112x 4y 2．【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．【变式5-2】（2023春·七年级课时练习）先化简，再求值：x (x +2)+(1+x )(1−x )，其中x ＝－2．【答案】2x ＋1，-3【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．【详解】解：x(x+2)+(1+x)(1−x)=x2+2x+1−x2＝2x＋1，当x＝－2时，原式=2×(−2)+1=−3．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023春·七年级课时练习）计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.【题型6整式乘法的应用】【例6】（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？【答案】3a+3b-9【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；详解：根据题意得，原长方形的面积为：ab平方厘米，新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.【变式6-1】（2023春·上海静安·七年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x米，再根据长方形2面积计算公式即可得出答案；（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．=12−2x，【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3=−18+36=18m2．答：长方形ABCD面积为18m2．【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．【变式6-2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.【变式6-3】（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16(2)−12a 2+182a−400；代数式乘积的值为−230【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a ＝1代入求值即可．【详解】（1）第二次按键后，A 区显示的结果为25−2a ，B 区显示的结果为6a−16 故答案为：25−2a ，6a−16（2）（-2a+25）（6a -16）=−12a 2+182a−400 当a ＝1时原式=﹣12+182﹣400=−230【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．【知识点2 整式的除法】单项式÷单项式：系数相除，字母相除．xy xy y21æö2¸=6ç÷3èø（）多项式÷单项式：除法性质．()a b c m a m b m c m++¸=¸+¸+¸多项式÷多项式：大除法．()()x x x x23+3¸+1=3【题型7 整式除法的运算与求值】【例7】（2023春·河北承德·七年级统考期末）下列计算27a 2÷13a 3÷9a 2的顺序不正确的是（ ）A ．27a 2÷(13a 3÷9a 2)B ．(27a 2÷13a 3)÷9a 2C ．(27÷13÷9)a 2−3−2D ．(27a 2÷9a 2)÷13a【答案】A【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．【详解】解：A 、∵27a 2÷(13a 3÷9a 2)=27a 2÷127a =729a ，27a 2÷13a 3÷9a 2=81a −1÷9a 2=9a −3，∴27a 2÷(13a 3÷9a 2)≠27a 2÷13a 3÷9a 2，故A 项错误；B 、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷13a 3)÷9a 2，故B 项正确；C 、根据单项式除以单项式的法则，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27÷13÷9)a 2−3−2，故C 项正确；D 、根据运算顺序及除法的性质，可知27a 2÷13a 3÷9a 2=(27a 2÷9a 2)÷13a ，故D 项正确．故选∶A ．【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）已知4m 2−7m +6=0，求代数式(3m 2−2m )÷m−(2m−1)2的值．【答案】3【分析】首先求出4m 2−7m =−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m 2+7m−3，代入即可得出答案．【详解】解：∵ 4m 2−7m +6=0∴ 4m 2−7m =−6∴ (3m 2−2m )÷m−(2m−1)2=3m−2−(4m 2−4m +1)=3m−2−4m 2+4m−1=−4m 2+7m−3=−(4m 2−7m )−3=6−3=3．【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m 2−7m =−6，正确化简代数式是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x 2﹣4x ﹣1除以一个多项式A ，得商式为2x ，余式为x ﹣1，则这个多项式A ＝_____．【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．【解答】解：由题意可得：A =[(2x 2−4x −1)−(x −1)]÷2x =(2x 2−5x)÷2x =x −52故答案为：x−52【变式7-3】（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．如图1：∴278÷12=232，∴(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3．即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．②用竖式进行运算．③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．例如：(x3+2x2−3)÷(x−1)=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a=______ ；(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为(a+8b)的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．【答案】(1)x+3(2)3(3)能，另一边长为(2a+5b)【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．【详解】（1）解：列竖式如下：x+2x+3x2+2x3x+63x+6∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，故答案为：x+3；（2）列竖式如下：x−2x2+4x+(8−a)x3−2x24x2−ax−104x2−8x(8−a)x−10(8−a)x−2(8−a)2(8−a)−10∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，∴2（8−a）−10=0，解得：a=3，故答案为：3；（3）解：能，理由如下：根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式如下：a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b2∵余式为0，∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．【题型8 整式除法的应用】【例8】（2023春·七年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．【答案】5:8:12【分析】设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，据此求出水果黄瓜的产量是8xy ，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x ，再根据种植面积的比值即可得到答案．【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x ，则白黄瓜的亩产量为12x ，白黄瓜的种植面积为2y ，青黄瓜的种植面积为3y ，水果黄瓜的种植面积为4y ，∴青黄瓜的产量为3xy ，白黄瓜的产量为xy ，∴水果黄瓜的产量是2(3xy +xy )=8xy ，∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y =2x ，∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x =5:8:12，故答案为：5:8:12．【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x 是解题的关键．【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a 、2a 、32a ，小长方体的长、宽、高分别为：2a 、a 、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a 3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a 的正方体体积，即可得出配件②的体积；（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a •2a •32a+2a •a •a2=172a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a •a •a ＝a3；（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A 作被除式，娜娜报的整式B 作除式，要求商式必须为﹣3xy （即A ÷B ＝﹣3xy ）（1）若丽丽报的是x 3y ﹣6xy 2，则娜娜应报什么整式？（2）若娜娜也报x 3y ﹣6xy 2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．【分析】根据A ÷B ＝﹣3xy ，可知：（1）B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3；【解答】解：（1）A ＝x 3y ﹣6xy 2，∴B ＝（x 3y ﹣6xy 2）÷（﹣3xy ）=−13x 2+2y ；（2）A ＝（x 3y ﹣6xy 2）（﹣3xy ）＝﹣3x 4y 2+18x 2y 3【变式8-3】（2023·七年级单元测试）甲、乙两个同学从A 地到B 地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A 地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B 地.那么，甲走全程的平均速度是多少？【答案】457千米/小时．【分析】根据题意甲、乙从A 地到B 地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x 15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．则根据题意，得x3+y15=x15+y5，解得y=2x．故甲的平均速度为(x+y)÷+=457（千米/时）；答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．【题型9整式乘法中的新定义问题】【例9】（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1S2S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，F s=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S′3=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．(1)若S 1=3，S 2=4，S 3=5，则S =_______．F s =_______．(2)当S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x 时．①求F s 的表达式；②若S 1+S 2+S 3=20，求三角形的面积．【答案】(1)6，11(2)①−x 2+10x−9；②三角形的面积S =2．【分析】（1）根据定义计算即可求解；（2）①根据F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；②先求得S 的值，再根据定义分别求得S 1、S 2、S 3的值，根据S 1+S 2+S 3=20，求得x =5，代入①中即可求解.【详解】（1）解：∵S 1=3，S 2=4，S 3=5，∴S =S 1S 2S 32=3452=6，S ′1=S−S 1=6−3=3；S ′2=S−S 2=6−4=2；S ′3=S−S 3=6−5=1；∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=3×2+2×1+1×3=11；故答案为：6，11；（2）解：①∵S ′1=x−3；S ′2=x +3；S ′3=5−x ，∴F s =S ′1×S ′2+S ′2×S ′3+S ′3×S ′1=(x−3)(x +3)+(x +3)(5−x)+(5−x)(x−3)=x 2−9+5x−x 2+15−3x +5x−15−x 2+3x =−x 2+10x−9；②∵S 1+S 2+S 3=20，∴S =S 1S 2S 32=10，∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，∴x=5，∴F S=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，∴S2=F s÷4=16÷4=4，故三角形的面积S=2．【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.【变式9-1】（2023春·浙江衢州·七年级统考期中）定义新运算|a b c d|=ad+3b−2c，如|1537|=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．（1）计算|23−14|的值；（2）化简：|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|．【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．【详解】（1）|23−14|=2×4+3×3−2×(−1)=19．（2）|x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y|=(x+y)(−3x−y)+3(7xy−x2)−2(2xy−3x2+1)=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2=−y2+13xy−2．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．【变式9-2】（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式a x2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式a x2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；【答案】(1)（3，2，-1）；(2)x4−8x2+16；(3)-6【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），故答案为：（3，2，-1）；（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）=(x+2)2(x−2)2=[(x+2)(x−2)]2=(x2−4)2=x4−8x2+16；（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为a x2−2x+4，∴（2x2+x+1）（a x2−2x+4）=2a x4+(a−4)x3+(6+a)x2+2x+4，∵乘积不含x2项，∴6+a=0，解得a=-6．【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：i3＝________，i4＝________；（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；（3）计算：i＋i2＋i3＋ (i2019)【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，故答案为-i，1；（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．【题型10整式乘法中的规律探究】【例10】（2023春·广东梅州·七年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．例如：24×26=624（积中的6=2×(2+1)，24=4×6）52×58=3016（积中的30=5×(5+1)，16=2×8）(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；。
初二整式的乘除必考练习题及答案
初二整式的乘除必考练习题及答案乘法练习题：1. 计算下列算式的乘积：a) 5 × 7 =b) 6 × 3 =c) 8 × 4 =d) 9 × 2 =e) 12 × 10 =2. 用竖式计算下列乘法问题：a) 24 × 3 =b) 15 × 6 =c) 27 × 4 =d) 18 × 5 =e) 32 × 12 =3. 用分配律计算下列乘法问题：a) 3 × (5 + 2) =b) 4 × (6 + 1) =c) 2 × (8 + 3) =d) 6 × (9 + 2) =e) 7 × (10 + 6) =除法练习题：1. 计算下列算式的商和余数：a) 14 ÷ 3 = 商____ 余____b) 21 ÷ 4 = 商____ 余____c) 36 ÷ 5 = 商____ 余____d) 47 ÷ 6 = 商____ 余____e) 52 ÷ 7 = 商____ 余____2. 用列竖式计算下列除法问题：a) 56 ÷ 8 = 商____ 余____b) 81 ÷ 9 = 商____ 余____c) 72 ÷ 6 = 商____ 余____d) 96 ÷ 12 = 商____ 余____e) 108 ÷ 9 = 商____ 余____3. 解决下列问题并用整式表达答案：a) Sara家有24个饼干，她打算将它们平均分给3个朋友。
每个朋友能得到多少个饼干？b) 在一个农场里，有36头牛，农民打算将它们平均分配在6个牲口场。
每个牲口场将有多少头牛？以上是初二整式乘除必考练习题及答案。
希望通过这些题目的练习能够提升你的整式的乘除能力。
加油！。
整式的乘除测试题(3套)及答案
第一章整式的乘除单元测试卷（一）一、精心选一选（每小题3分，共21分）43 31•多项式xy 2x y 9xy 8的次数是A. 3B. 4C. 5D. 62•下列计算正确的是 （）A. 2x 26x 412x 84 mB . y3mmyy C .x y 2 x 22 , 2y D. 4a 2a33.计算a ba b 的结果是()A. b 2 a 2B.2 ,2a bC. a 22ab b 2D.a 2 2ab b 224. 3a 5a1与 2a 2 3a 4的和为()A. 5a 22a 3 2小B. a 8a3 C.2a3a 52小D. a 8a55.下列结果正确的是()21 A.-1 B. 9 50C.53.7 01D. 2 31398m^n26.右 a b8 6a b，那么m 22n 的值是()A. 10B. 52C. 20D. 327•要使式子9x 225y 2成为一个完全平方式，则需加上( )二、耐心填一填（第1~4题每空1分，第5、6题每空2分，共28分）班级 ____ 姓名 ______ 学号 ________ 得分 ________A. 15xyB. 15xyC. 30xyD. 30xy1•在代数式3xy 2 ,个，多项式有一2m ，6a个。
2a 3 ， 12 ， 4x yz1 2xy 2 ， 中，单项式有 5 3ab2•单项式 5x 2y 4z 的系数是，次数是 。
,413•多项式3ab ab 有项，它们分别是。
54•⑴ x 2 x 5。
34⑵y 3。
23⑶2a b。
⑷x 5y24。
93⑸a a。
⑹ 10 5 2 40z 1 2 635.⑴ mnmn。
⑵x 5 x 5。
3 5⑶（2a b ）25 。
⑷ 12x 3小 2y3xy 。
/、m32m6•⑴ aa a。
⑵ 22a 8a242…。
20062 220051 ⑶ x y x y x y。
⑷3。
3三、精心做一做（每题5分，共15分）1. 4x 2 y 5xy 7x5x 2 y 4xy x2 2 32. 2a 23a 2 2a 1 4a 32 ^343.2x y 6x y 8xy 2xy1. X 1 2x 1 x 22. 2x 3y 5 2x 3y 5四、计算题（每题6分，共12分）1五、化简再求值：XX 2y x 12 2x，其中X -，y 25。
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整式的乘除法专题训练类型一：幂的运算性质幂的运算性质共有六个：
1 同底数幂的乘法；
2. 幂的乘方；
3. 积的乘方；
4. 同底数幂的除法；
5. 负整数指数幂；
6. 零次幂运算需要注意的问题：
1. 看清楚运算符号加、减、乘、除、乘方；
2. 计算时注意“—”号；
3. 3.认清楚指数和底数；
4. 正确联系运算性质和法则
一、计算
3?x5 x ?x3?x4
1.x
234
2.2x 1 2? 2x 1 32x 1 4? 1 2 x
3. x 5 ?x 3n 1 x 3n x 4
4. a b 2 ? b a 3 a b 4 ? b a
2 3
3 2 2 2 2
7. 2x 2 3x 3 x 2 ? x 25. 2x 4 4
2x 10 2x 23
44 2x 4 ?5 x 4 6. 2 3 3 x ? x 3 ? 2y
23 2xy ? x ? y
63 9. - x - x
32 2
11. x 3x 23 xx22 -x ?
-x
13
12. 2x-y 1332
2x - y
23 y- 2x
类型二：幂的运算性质的灵活运用13.已知2a 4,2b 7, 求2a b的值。
14.已知3x a
10. 2x3x 2 3x6
a,用含 a 的代数式表示3x.
15.已知3m6,3n13.5,求m+n 的值
m n m n 2
a m3,a n2, 求a m n 2的值
16.已知
17.已知10a5,10b6, 求102a 3b的值。
18.若3x 5y 3 0, 求8x?32y的值。
19.已知32x 232x 1486，求x 的值
20.已知a5? a m 3a11,求m的值
21.已知3m 2,3n 4,求9m 1-2n的值
1
212
2
22.若 10m 20,10n 1,求9m 32n 的值。
5 23.已知 25a ?52b 56,4b 4c 4，则代数式 a+2b-c 的值
类型三：运用幂的运算性质进行有理数的混合运
算
24. 48 0.258
2019 2018
25. 5 2019 0.22018
2118 2117
26. 8 0.125 2019 27. -1 1 0.252020
9 2019 2019
-4 2021
10
1
212
2
2 2018 28.
3 1.52018 - 1 30 29.-23 π-3.1
4 0 -1-2019
1 -1
-3
30.-22π-3 0-1-2
类型四：科学记数法
31. 用小数表示下列各数
（1） 3 106
（2）8.7 10-3
（3） 6.12 10-3
32. 滴水穿石的故事大家都听说过吧，现在测量出：水珠不断地滴在一块石头上，经过40 年，石头上形成一个深为 4 10-2m的小洞，问每年小洞的深度增加多少米？（用科学记数法表示）
33. _________________________ 成人每天维生素 D 的摄入量约为0.000 004 6克。
数据“ 0.000 004 6”用科学记数法表示为。
类型五：整式的乘法—单项式×单项式，单项式×多项式，多项式× 多项式
2 2 3
34.2m ? m?m23m3
35.（1-x）（0.6-x）
36.（x+y）（x2-xy+y2）
37.a ab3 22b2 3
2
38.2x 2 x 2x 5y y 2x y
类型六：整式乘法的综合运用
39.解答下列问题：
（1）计算：①（x+7）（x+9）；②（x-10）（x+20）；③（x-3）（x-2）
（2）由（1）的结果猜想（x+a）（x+b）的结果，用多项式乘法法则进行检验。
（3）请直接写出t 1 t 1的结果。
67
（4）已知a，b 均为整数，且x a x b x2 mx 36 ，请探讨m 的值。
答案 1.2x82.0 3.0 4.2 b a 5或-2 a- b 55.10x16 6. 12x5y3 7.
2x68.m289. x310.16 11.0 12.2x-y 13.28 14.
15.4 16.6a217.5400 18.8 19.2 20.2 21.694
22.81 23.4 24.1 25.-5 26.8 27.-4 28. 2 29.-4 3
30.5 31.（1）0.000003；（2）0.0087；（3）0.00612 32.1×10-3m 33.4.6× 10-6. 34.8m5. 35.x2-1.6x+0.6 36.x3+y3. 37. 8a4b12
38. 7xy y 2
39.（1）①（x+7）（x+9）=x2+16x+63；②（x-10）（x+20）
=x2+10x-200；
③（x-3）（x-2）=x2-5x+6
2）原式=x2+（a+b）x+ab
3）原式=t 2 1 t 1
42 42
4）根据题意ab=36，且a，b 是整数，m 的值共有10 个，m=± 37，
± 20，± 15，± 13，± 12。