专题：一元二次方程根的判别式(含答案)
第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)
专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。
一元二次方程之判别式专项练习60题（有答案）ok
一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）﹣a=01．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x5x﹣的取值范围．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．．=0．2．已知关于x的方程（）﹣p p2=0的方程（x x﹣3）（x﹣2）﹣）求证：方程有两个不相等的实数根；（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．时，求该方程的根．（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．的值与方程的根．+2kx+（3．已知关于x的方程x2+2kx+有实数根．﹣a+3=0有实数根．的方程 x4．若关于x的方程x2+4x+4x﹣的取值范围；（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．的取值范围；（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；为符合条件的最大整数，求此时方程的根．）在（11）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．（2）在（．展示你的分析能力：6．展示你的分析能力：有两个不相等的实数根．﹣m=8有两个不相等的实数根．+3x﹣已知关于x的方程x2+3x的最小整数值是多少？（1）求m的最小整数值是多少？﹣m=8中解出x的值．的值．+3x﹣（2）将（）将（11）中求出的m值，代入方程x2+3x7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程kx 2﹣2x+1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 使（使（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（2k+12k+12k+1））x+4x+4（（k ﹣）=0（1）判断方程根的情况；）判断方程根的情况；（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．1010．若关于．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）为k 选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．1111．已知关于．已知关于x 的一元二次方程的一元二次方程 x x 2+2mx++2mx+（（m+2m+2））（m ﹣1）=0=0（（m 为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m 的值；如果方程没有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．1212．当．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？ （2）没有实数根？）没有实数根？1313．已知关于．已知关于x 的方程是ax 2﹣3（a ﹣1）x ﹣9=09=0．． （1）证明：不论a 取何值，总有一个根是x=3x=3；； （2）当a ≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．时，利用求根公式求出它的另一个根．1414．若．若k 是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 最大可以取多少？为什么？多少？为什么？1515．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m+2m+2））x+2m x+2m﹣﹣1=01=0．． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）当m=m=﹣﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．1616．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=01=0，， （1）若方程有一个根是1，求k 的值；的值；（2）若方程没有实数根，求实数k 的取值范围．的取值范围．1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣9=0（1）求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1=m+1，求，求m 的值．的值．1818．已知．已知p 为质数，使二次方程x 2﹣2px+p 2﹣5p 5p﹣﹣1=0的两根都是整数，求出p 的所有可能值．的所有可能值．1919．．m 是什么实数时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根？个互不相等的实数根？2020．设关于．设关于x 的方程x 2﹣4x+4x+（（y ﹣1）|x |x﹣﹣2|+22|+2﹣﹣2y=0恰有两个实数根，求y 的负整数值．的负整数值．2121．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0+2mx+m+2=0．．（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．的取值范围．2222．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx+m 2﹣2m=02m=0．． （1）当m=1时，求方程的根．时，求方程的根． （2）试判断方程根的情况．）试判断方程根的情况．2323．已知．已知a 、b 、c 是三角形的三条边长，且关于x 的方程（的方程（c c ﹣b ）x 2+2+2（（b ﹣a ）x+x+（（a ﹣b ）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．试判断三角形的形状．2424．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m mx+m﹣﹣2=02=0，求证：无论，求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根．2525．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0．． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；的值； （2）若方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，求，求的值．的值．2626．关于．关于x 的方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k ﹣1是方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0的一个解，求k 的值．的值．2727．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+m +2x+m﹣﹣1=0 （1）若1是方程的一个根，求m 的值；的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．的取值范围．2828．若关于．若关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．2929．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（3k 3k﹣﹣2）x ﹣6k=06k=0，， （1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形ABC 的一边a=6a=6，另两边长，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．3030．已知一元二次方程．已知一元二次方程x 2﹣5x+k=05x+k=0．． （1）当k=6时，解这个方程；时，解这个方程；（2）若方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；的取值范围；3131．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（m+1m+1m+1））x+m=0（1）求证：不论m 取何实数，方程都有实数根；取何实数，方程都有实数根；（2）为m 选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．3232．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣2x+2k 2x+2k﹣﹣3=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．为符合条件的最大整数，求此时方程的根．3333．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=02=0．． （1）讨论此方程根的情况；）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值．的值．3434．关于．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2． （1）求p 的取值范围；的取值范围； （2）若，求p 的值．的值．3535．实数．实数k 取何值时，一元二次方程x 2﹣（﹣（2k 2k 2k﹣﹣3）x+2k x+2k﹣﹣4=0 （1）有两个正根；）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；）有两个异号根，且正根的绝对值较大； （3）一个根大于3，一个根小于3．3636．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围；的取值范围； ②试判断直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5），并说明理由．，并说明理由．3737．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=02=0．． （1）若﹣）若﹣11是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程根的情况，并说明理由．，判断方程根的情况，并说明理由．3838．证明：无论．证明：无论m 为何值，关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．总有两个不相等的实数根．3939．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求，若方程有两个相等的实数根，求m 的值．的值．4040．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx kx﹣﹣2=02=0．．（1）求证：无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根；取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1•x 2，求k 的值．的值．4141．已知方程．已知方程m 2x 2+（2m+12m+1））x+1=0有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．4242．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根．有两个实数根． （1）求m 的范围；的范围； （2）若方程两个实数根为x 1、x 2，且x 1+3x 2=8=8，求，求m 的值．的值．4343．如果关于．如果关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣m ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，当m 在它的取值范围内取最大整数时，求的值．的值．4444．若关于．若关于x 的一元二次方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，分别是x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；的取值范围； （2）若有x 1+x 2=x 1x 2，则k 的值是多少．的值是多少．4545．已知关于．已知关于x 的方程k 2x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+1=0有两个实数根x 1、x 2 （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k ，若不存在，请说明理由．，若不存在，请说明理由．4646．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0x+k=0．．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实根．取什么实数值，这个方程总有实根． （2）若等腰△）若等腰△ABC ABC 的一腰长a=4a=4，另两边，另两边b 、c 恰好是这个方程的两根，求△恰好是这个方程的两根，求△ABC ABC 的周长．的周长．4747．已知．已知x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0是关于x 的一元二次方程方程．的一元二次方程方程． （1）方程有两根不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围． （2）方程有一根为1，求k 的取值．的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k 的取值．的取值．4848．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k k ﹣1）x 2+2x +2x﹣﹣5=0有两个不相等的实数根，求：有两个不相等的实数根，求： ①k 的取值范围．的取值范围．②当k 为最小整数时求原方程的解．为最小整数时求原方程的解．4949．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（m m ﹣1）x 2﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）x+2=0x+2=0．． （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）若方程只有整数根，求整数m 的值．的值．5050．已知关于．已知关于x 的方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．． （1）小明同学说：“无论k 为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？”你认为他说的有道理吗？ （2）若方程的一个根是﹣）若方程的一个根是﹣11，求另一根及k 的值．的值．5151．已知关于．已知关于x 的一元二次方程．（1）m 取什么值时，方程有两个实数根？取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若y=ab y=ab﹣﹣2b 2+2b+1+2b+1，求，求y 的取值范围．的取值范围．5252．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根有实根 （1）求k 的取值范围的取值范围 （2）若方程的两实根的平方和等于1111，求，求k 的值．的值．5353．如果一元二方程．如果一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值．的值．5454．已知，关于．已知，关于x 的一元二次方程：的一元二次方程：ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=01=0，， （1）当a 取什么值时，方程有实数根？取什么值时，方程有实数根？（2）设x 1，x 2为方程两根，为方程两根，y=x y=x 1+x 2﹣x 1•x 2，试比较y 与0的大小．的大小．5555．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根． （2）对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．，判断方程的根的情况，并说明理由．5656．已知关于．已知关于x 的方程．（1）若方程只有一个根，求k 的值并求出此时方程的根；的值并求出此时方程的根； （2）若方程有两个相等的实数根，求k 的值．的值．5757．已知关于．已知关于x 的方程4x 2+4+4（（k ﹣1）x+k 2=0和2x 2﹣（﹣（4k+14k+14k+1））x+2k 2﹣1=01=0，它们都有实数根，试求实数，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．围．5858．已知关于．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3a=3，另两边，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．5959．已知关于．已知关于2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．）求证：该方程一定有两个不相等的实数根． （2）若已知该方程的一个根是﹣）若已知该方程的一个根是﹣11，请求出另一个根．，请求出另一个根．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△==（﹣（﹣55）2﹣4×2×（﹣×（﹣a a ）＞）＞00，解得a ＞﹣，即a 的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1=1，，解得a=a=﹣﹣2，方程化为2x 2﹣5x+2=05x+2=0，变形为（，变形为（，变形为（2x 2x 2x﹣﹣1）（x ﹣2）=0=0，， 解得x1=，x 2=2=2．．2．（1）证明：方程整理为x 2﹣5x+65x+6﹣﹣p 2=0=0，， △=（﹣（﹣55）2﹣4×1×（×（66﹣p 2） =1+4p 2， ∵4p 2≥0， ∴△＞∴△＞00，∴这个方程总有两个不相等的实数根；∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x 2﹣5x+2=05x+2=0，， △=1+4=1+4××4=174=17，，∴x=， ∴x 1=，x 2=．3．方程整理得x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+x+（（k ﹣2）2=0=0①，①，①， 由题意得（由题意得（2k 2k 2k﹣﹣1）2﹣4（k ﹣2）2=0=0，， 解得． 将代入①得，解得4．（1）△）△=4=42﹣4（3﹣a ）=4+4a =4+4a．． ∵该方程有实数根，∵该方程有实数根，∴4+4a 4+4a≥≥0． 解得a ≥﹣≥﹣11．（2）当a 为符合条件的最小整数时，为符合条件的最小整数时，a=a=a=﹣﹣1． 此时方程化为x 2+4x+4=0+4x+4=0，方程的根为，方程的根为x 1=x 2=﹣2 2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，）∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△=3=32﹣4×1×=9=9﹣﹣3m 3m＞＞0．解得m ＜3．∴m 的取值范围是m ＜3； （2）∵）∵m m ＜3，∴符合条件的最大整数是m=2m=2．． 解得x==． ∴方程的根为x 1=，x 2=．故答案为：故答案为：m m ＜3，x 1=，x 2=6．（1）化为一般形式得：）化为一般形式得：x x 2+3x +3x﹣﹣m ﹣8=0△=9+4=9+4（（m+8m+8）＞）＞）＞00， 解得m ＞﹣，∴m 的最小整数值m=m=﹣﹣1010．．（2）把m=m=﹣﹣10代入原方程得x 2+3x+10=8+3x+10=8，， 即x 2+3x+2=0解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=﹣27．∵△．∵△==（﹣（﹣55）2﹣4×m ×3=253=25﹣﹣12m 12m，， ∴由题意得：∴由题意得：252525﹣﹣12m=112m=1，， ∴m=2m=2，，当m=2时，方程为2x 2﹣5x+3=05x+3=0，， 两根为x 1=1=1，，x 2=．答：答：m m 的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k ≠0且△≥且△≥00，即4﹣4k 4k≥≥0，解得k ≤1，所以k 的取值范围为k ≤1且k ≠0； （2）存在，）存在，k=k=k=﹣﹣1．理由如下：．理由如下： 根据题意得x 1+x 2=，x 1•x 2=，∵（∵（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1，∴x 1•x 2+x 1+x 2+1=k +1=k﹣﹣1，即++1=k +1=k﹣﹣1， 化为整式方程得k 2﹣2k 2k﹣﹣3=03=0，， ∴（∴（k k ﹣3）（k+1k+1））=0=0，， ∴k 1=3=3，，k 2=﹣1， ∵k ≤1且k ≠0； ∴k=k=﹣﹣1 19．①∵△①∵△==（2k+12k+1））2﹣4×1×4（k ﹣）=4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣16k+8=4k 2﹣12k+9=12k+9=（（2k 2k﹣﹣3）2≥0， ∴该方程有两个实根；∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△②若方程有两个相等的实数根，则△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，， ∴（∴（2k 2k 2k﹣﹣3）2=0=0，， 解得：解得：k=k=，把k=时代入原式得：时代入原式得：x 2﹣（﹣（22×+1+1））x+4x+4（（﹣）=0 x 2﹣4x+4=04x+4=0，， 解得：解得：x=2x=2x=2；； ∴方程两根均为2．1010．．（1）根据题意得k ≠0且△且△==（k+2k+2））2﹣4k 4k××=4k+4=4k+4＞＞0， 解得k ＞﹣＞﹣11且k ≠0；（2）取k=1k=1，方程化为，方程化为x 2+3x+=0=0，， △=4k+4=8=4k+4=8，， ∴x==， ∴x 1=，x 2=1111．．△=（2m 2m））2﹣4（m+2m+2））（m ﹣1）=4m 2﹣4m 2﹣4m+8=4m+8=﹣﹣4m+84m+8．．（1分）分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＞＞0，所以m ＜2．（2分）分） （2）因为方程有两个相等的实数根，）因为方程有两个相等的实数根， 所以﹣所以﹣4m+8=04m+8=04m+8=0，所以，所以m=2m=2．．（2分）分） 因为方程没有实数根，因为方程没有实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＜＜0，所以m ＞2 21212．．（1）根据题题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＞0， 解得k ＜1且k ≠0；（2）根据题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＜0， 解得k ＞1 11313．．（1）证明，将x=3代入方程，得代入方程，得 左边左边=9a =9a =9a﹣﹣9（a ﹣1）﹣）﹣9=99=99=9﹣﹣9=0=9=0=右边，右边，右边， 所以，方程总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，△时，△=9=9=9（（a ﹣1）2+4+4××9=99=9（（a+1a+1））2， 所以，所以，x x 1==3=3，，x 2==﹣，即方程的另一个根是x=x=﹣﹣．1414．．∵一元二次方程∵一元二次方程（（1﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，实数根，∴1﹣k ≠0，且△＞，且△＞00，即22﹣4×（×（11﹣k ）×（﹣）×（﹣11）＞）＞00， 解得k ＜2， 又∵又∵k k 是整数，是整数，∴k 的取值范围为：的取值范围为：k k ＜2且k ≠1的整数，的整数， =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00， ∴方程有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=m=﹣﹣2时，方程变形为x 2﹣5=05=0，， 解得x 1=，x 2=﹣，∴方程的两根互为相反数∴方程的两根互为相反数1616．．（1）∵）∵x=1x=1是方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=0的一个根，的一个根，∴12+2+2××1+k 1+k﹣﹣1=01=0，，解得，解得，k=k=k=﹣﹣2； （2）∵方程没有实数根，）∵方程没有实数根，∴b 2﹣4ac 4ac＜＜0，即22﹣4（k ﹣1）＜）＜00， 解得k ＞2 21717．．（1）证明：方程的根的判别式△）证明：方程的根的判别式△==（m ﹣2）2﹣4×1×（﹣（﹣99）=（m ﹣2）2+36∵无论m 取何实效（取何实效（m m ﹣2）2+36+36＞＞0恒成立恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根∴这个方程总有两个不相等的实数根 （2）解由根与系数的关系．得α+β=2=2﹣﹣m 则2α+β=α+α+β=α+2+2﹣﹣m∵2α+β=m+1=m+1，∴，∴α+2+2﹣﹣m=m+1m=m+1，则，则α=2m =2m﹣﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m ﹣2）α﹣9=0 则（则（2m 2m 2m﹣﹣1）2+（m ﹣2）（2m 2m﹣﹣1）﹣）﹣9=0 9=0 整理，得2m 2﹣3m 一2=0 解，得m 1=2=2，，m 2=﹣．1818．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△∴△=4p =4p 2﹣4（p 2﹣5p 5p﹣﹣1）=4=4（（5p+15p+1）为完全平方数，）为完全平方数，）为完全平方数， 从而，从而，5p+15p+1为完全平方数为完全平方数设5p+1=n 2，注意到p ≥2，故n ≥4，且n 为整数为整数 ∴5p=5p=（（n+1n+1））（n ﹣1）， 则n+1n+1，，n ﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k n=5k±±1（k 为正整数）为正整数）∴5p+1=25k 2±10k+110k+1，，p=k p=k（（5k 5k±±2）， 由p 是质数，是质数，5k 5k 5k±±2＞1， ∴k=1k=1，，p=3或7当p=3时，已知方程变为x 2﹣6x 6x﹣﹣7=07=0，，解得x 1=﹣1，x 2=7=7；；当p=7时，已知方程变为x 2﹣14x+13=014x+13=0，解得，解得x 1=1=1，，x 2=13 所以p=3或p=7p=7．．1919．∵△．∵△．∵△=b =b 2﹣4ac=164ac=16﹣﹣4（5﹣m ）=4m =4m﹣﹣4＞0 ∴m ＞1当x ≥0时，方程是x 2﹣4x+54x+5﹣﹣m=0m=0，，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 ∴1＜m ＜5当x ＜0时，方程是x 2+4x+5+4x+5﹣﹣m=0m=0，方程有两个不同的根，，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 则1＜m ＜5∴1＜m ＜5时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数（|x |x﹣﹣2|2|﹣﹣2）[|x [|x﹣﹣2|+2|+（（1+y 1+y））]=0]=0，， 则|x |x﹣﹣2|=2或|x |x﹣﹣2|=2|=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 故2=2=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1））， 则y=y=﹣﹣3，当|x |x﹣﹣2|=22|=2，且，且1+y 1+y＞＞0时，时， 则y ＞﹣＞﹣11，故y 的负整数值为：﹣的负整数值为：﹣3 3 3 2121．．（1）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（3分）分）即∴﹣∴﹣22＜m ≤﹣≤﹣11…（7分）分）（2）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣＜﹣1 1 12222．．（1）当m=1时，原方程变为：时，原方程变为：x x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0 解得：；（2）△）△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×（×（m m 2﹣2m 2m））=8m =8m，， 当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有两个不相等的实数根； 当m=0时，原方程有两个相等的实数根；时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根时，原方程没有实数根2323．由已知条件△．由已知条件△．由已知条件△=4=4=4（（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4=4（（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0=0，， ∴a=b 或a=c a=c，， ∵c ﹣b ≠0则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形∴这个三角形是等腰三角形 2424．△．△．△=m =m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2525．．（1）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根， ∴（∴（m m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， ∴m 2﹣2m+12m+1﹣﹣4m 4m﹣﹣8=08=0，， m 2﹣6m 6m﹣﹣7=07=0，， ∴m=7或﹣或﹣11；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，， ∴m 2﹣9m+2=m+29m+2=m+2，， ∴m 2﹣10m=010m=0，， ∴m=0或m=10m=10，，当m=0时，方程为：时，方程为：x x 2+x+2=0+x+2=0，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去； ∴m=10m=10，， ∴=4 =42626．．（1）由题意，知（﹣）由题意，知（﹣22）2﹣4（k ﹣1）＞）＞00， 解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（）由题意，得（k k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k +k﹣﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1=1，，k 2=2=2（舍去）（舍去）（舍去） ∴k 的值为12727．．（1）把x=1代入方程，得1+2+m 1+2+m﹣﹣1=01=0，所以，所以m=m=﹣﹣2； （2）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞∴△＞00，即22﹣4（m ﹣1）＞）＞00， 解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜2 22828．∵关于．∵关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， ∴，解得k ＞．所以k 的取值范围是k ＞且k ≠2．2929．．（1）证明：∵△）证明：∵△=b =b 2﹣4ac=4ac=（（3k 3k﹣﹣2）2﹣4•（﹣6k 6k））=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=+12k+4=（（3k+23k+2））2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则，则△=0=0．．∴（∴（3k+23k+23k+2））2=0=0，解得：，解得：，解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：代入方程：662+6+6（（3k 3k﹣﹣2）﹣）﹣6k=0 6k=0 ∴k=k=﹣﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2=2，，x 2=6 即b=6b=6，，c=2此时△此时△ABC ABC 三边为6，6，2能构成三角形，能构成三角形， 综上所述：△综上所述：△ABC ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=146+6+2=14．．3030．．（1）k=6k=6，方程变为，方程变为x 2﹣5x+6=05x+6=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0=0，，∴x 1=2=2，，x 2=3=3；；（2）根据题意△）根据题意△==（﹣（﹣55）2﹣4k 4k＞＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x 1+x 2=5=5，，x 1，•x 2=k =k，， 而2x 1﹣x 2=2=2，， ∴x 1=， ∴x 2=， ∴k=×=3131．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣﹣（m ﹣1）]2﹣4m=m 2+2m+1+2m+1﹣﹣4m=4m=（（m ﹣1）2， 又∵不论m 取何实数，总有（取何实数，总有（m m ﹣1）2≥0， ∴△≥∴△≥00，∴不论m 取何实数，方程都有实数根．取何实数，方程都有实数根． （2）∵由求根公式得=∴x 1=m =m，，x 2=1=1，，∴只要m 取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．相等．如取m=2m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x 1=2=2，，x 2=1=1．．3232．．（1）△）△==（﹣（﹣22）2﹣4（2k 2k﹣﹣3）=8=8（（2﹣k ）． ∵该方程有两个不相等的实数根，∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2﹣k ）＞）＞00，解得k ＜2．（2）当k 为符合条件的最大整数时，为符合条件的最大整数时，k=1k=1k=1．． 此时方程化为x 2﹣2x 2x﹣﹣1=01=0，方程的根为，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x 1=1+，x 2=1=1﹣﹣．3333．．（1）当k=k=﹣﹣1时，方程﹣时，方程﹣4x 4x 4x﹣﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；此方程有一个实数根；当k ≠﹣≠﹣11时，方程（时，方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0是一元二次方程，二次方程，△=（3k 3k﹣﹣1）2﹣4（k+1k+1））（2k 2k﹣﹣2）=（k ﹣3）2． ∵（∵（k k ﹣3）2≥0，即△≥，即△≥00，∴k 为除﹣为除﹣11外的任意实数时，此方程总有两个实数根．外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0中a=k+1a=k+1，，b=3k ﹣1，c=2k c=2k﹣﹣2，∴x=，∴x 1=﹣1，x 2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k 为正整数，为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，0； 当k=3时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，﹣，﹣11． ∴k=1k=1，，3 33434．．（1）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴△≥∴△≥00，即12﹣4×1×（×（p p ﹣1）≥）≥00，解得p ≤， ∴p 的取值范围为p ≤；（2）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 12﹣x 1+p +p﹣﹣1=01=0，，x 22﹣x 2+p +p﹣﹣1=01=0，， ∴x 12﹣x 1=﹣p+1=0p+1=0，，x 22﹣x 2=﹣p+1p+1，， ∴（﹣∴（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）（﹣（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）=9=9，， ∴（∴（p+1p+1p+1））2=9=9，， ∴p 1=2=2，，p 2=﹣4，∵p ≤， ∴p=p=﹣﹣4 43535．．（1）设方程的两个正根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）≥）≥0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＞0 ②，②，解①，得：解①，得：k k 为任意实数，为任意实数， 解②，得：解②，得：k k ＞2，所以k 的取值范围是k ＞2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＜0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，解②，得：＜k ＜2，所以k 的取值范围是＜k ＜2； （2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， （x 1﹣3）（x 2﹣3）＜）＜0 0 ②，②， 解①，得：解①，得：k k ≠，由②，得：由②，得：x x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9+9＜＜0， 又x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4，代入整理，得﹣代入整理，得﹣4k+144k+144k+14＜＜0， 解得k ＞． 则k ＞．3636．．（1）∵关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根，等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac 4ac＞＞0∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣4（k 2+2+2）＞）＞）＞0 0 ∴4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣4k 2﹣8＞0， ∴4k 4k＞＞7， 解得，解得，k k ＞；（2）假设直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5）， ∴5=5=（（2k 2k﹣﹣3）×（﹣）×（﹣22）﹣）﹣4k+74k+74k+7，即﹣，即﹣，即﹣8=8=8=﹣﹣8k 8k，， 解得k=1k=1＜＜；又由（又由（11）知，）知，kk ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7不通过点A （﹣（﹣22，5）3737．．（1）把x=x=﹣﹣1代入原方程得：代入原方程得：1+m 1+m 1+m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，∴原方程为x 2﹣x ﹣2=02=0．．解得：解得：x=x=x=﹣﹣1或2， ∴方程另一个根是2；（2）∵△）∵△=b =b 2﹣4ac=m 2+8+8＞＞0，∴对任意实数m 方程都有两个不相等的实数根．方程都有两个不相等的实数根． 3838．∵△．∵△．∵△==（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×1×（﹣×（﹣2m 2m 2m﹣﹣4） =4=4（（m 2+2m +2m））+16 =4=4（（m 2+2m+1+2m+1﹣﹣1）+16 =4=4（（m+1m+1））2+12+12＞＞0，∴关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．根．3939．∵关于．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，个相等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，，即：（m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， 解得：解得：m=7m=7或m=m=﹣﹣1， ∴m 的值为7或﹣或﹣1 14040．．1）证明：∵）证明：∵a=1a=1a=1，，b=b=﹣﹣k ，c=c=﹣﹣2∴△∴△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣k k ）2﹣4×1×（﹣×（﹣22）=k 2+8+8，， ∵k 2＞0， ∴△＞∴△＞00，∴无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根．取何值，方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵，；又∵又∵x x 1+x 2=x 1•x 2 ∴k=k=﹣﹣2．4141．当．当m 2=0=0，即，即m=0m=0，方程变为：，方程变为：，方程变为：x+1=0x+1=0x+1=0，有解；，有解；，有解；当m 2≠0，即m ≠0，原方程要有实数根，则△≥，原方程要有实数根，则△≥00， 即△即△==（2m+12m+1））2﹣4m 2=4m+1=4m+1≥≥0， 解得m ≥﹣，则m 的范围是m ≥﹣且m ≠0； 所以，所以，m m 的取值范围为m ≥﹣ 4242．．（1）△）△=4=4=4﹣﹣4m 4m，，∵有两个实数根，∵有两个实数根， ∴4﹣4m 4m≥≥0， ∴m ≤1； （2）∵，解得，，∴m=x 1x 2=﹣3 34343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△∴△=4+4=4+4=4+4（（1﹣m ）=8=8﹣﹣4m 4m＞＞0，且1﹣m ≠0，∴，∴m m ＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m ≠0， 则m 的最大整数值为﹣的最大整数值为﹣11，所以=4=4××1+1=51+1=5．．答：=5=5．．4444．．（1）∵方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，有两个实数根， ∴△≥∴△≥00，即4k 2﹣4（ k 2+2k +2k﹣﹣5 ）≥）≥00， ∴﹣∴﹣8k+208k+208k+20≥≥0 ∴k ≤；（2）∵）∵x x 1+x 2=﹣2k 2k，，x 1x 2=k 2+2k +2k﹣﹣5， 而x 1+x 2=x 1x 2，∴﹣∴﹣2k=k 2k=k 2+2k +2k﹣﹣5，即k 2+4k +4k﹣﹣5=0 解得k 1=﹣5，k 2=1=1，， 又∵又∵kk ≤， ∴k=k=﹣﹣5或1 14545．．（1）（2k 2k﹣﹣1）2﹣4k 2×1≥0， 解得：解得：k k ≤， 且：且：k k 2≠0， ∴k ≠0， ∴k ≤且k ≠0；（2）不存在，）不存在，∵方程有两个的实数根，∵方程有两个的实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=02k+1=0，，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在∴不存在4646．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣（﹣（﹣（k+1k+1k+1））]2﹣4k=k 2+2k+1+2k+1﹣﹣4k=4k=（（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△）∵等腰△ABC ABC 的一边长a=4a=4，， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0中得，中得， ∴1616﹣﹣4（k+1k+1））+k=0+k=0，， 解得：解得：k=4k=4k=4，， 所以b+c=k+1=5∴△∴△ABC ABC 的周长的周长=4+5=9=4+5=9=4+5=9．．4747．．（1）∵方程有两根不相等的实数根，）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）＞）＞00， ∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+1+（（2k+12k+1））+k 2﹣2=02=0，， 整理得k 2+2k=0+2k=0，， 解得k=0或﹣或﹣22；（3）设两实数根为：）设两实数根为：x x 1，x 2，由根与系数的关系：由根与系数的关系：x x 1x 2=k 2﹣2=12=1，，解得k=k=±±4848．①由题意得，．①由题意得，．①由题意得，222﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞）＞00．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2k=2．则原方程为．则原方程为x 2+2x +2x﹣﹣5=0 故此时方程的解为：，4949．．（1）证明：∵△∵△=[=[=[﹣﹣（2m 2m﹣﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=12m+9=（（2m 2m﹣﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根； （2）x==，x 1==2=2，，x 2==，∵方程只有整数根，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=1=±±1， 解得：解得：m=0m=0或2 2 5050．．（1）有道理，）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+8+8，， ∴k 2≥0，∴k 2+8+8＞＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣）∵方程的一个根是﹣11， ∴2×（﹣×（﹣11）2﹣k ﹣1=01=0，，解得：解得：k=1k=1k=1，，把k=1代入方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=0得方程2x 2+x +x﹣﹣1=01=0，， 解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=， 故另一根是，k 的值是1 15151．．（1）∵△≥）∵△≥00，方程有两个实数根，，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0m=0，，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1m+1，， ∵m ≤1， ∴y ≤+1+1，， 即y ≤．5252．．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根，有实根，∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）≥）≥00，解得：；（2）设方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=﹣（﹣（2k+12k+12k+1）），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11=11，，∴（∴（x x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=11=11，， ∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣2（k 2﹣2）=11=11，， 解得k=1或﹣或﹣33； ∵k ≥﹣， ∴k=1k=1．．5353．∵一元二方程．∵一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2， ∴4+4m 4+4m﹣﹣n=0n=0①，①，①， 又∵根的判别式为0， ∴△∴△=m =m 2﹣4×（×（2m 2m 2m﹣﹣n ）=0=0，， 即m 2﹣8m+4n=08m+4n=0②，②，②， 由①得：由①得：n=4+4m n=4+4m n=4+4m，，把n=4+4m 代入②得：代入②得：m m 2+8m+16+8m+16﹣﹣0， 解得m=m=﹣﹣4， 代入①得：代入①得：n=n=n=﹣﹣1212，， 所以m=m=﹣﹣4，n=n=﹣﹣1212．． 5454．．（1）∵方程有实数根，）∵方程有实数根， ∴△≥∴△≥00， 即16+4a 16+4a≥≥0， 解得a ≥﹣≥﹣44．由于ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， 可知a ≠0，∴a ≥﹣≥﹣44且a ≠0． （2）∵）∵ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， ∴x 1+x 2=﹣， x 1•x 2=﹣， ∴y=y=﹣﹣+=﹣．当﹣当﹣44≤a ＜0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＞0； 当a ＞0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＜0． 5555．．（1）将x=2代入方程得：代入方程得：44﹣2m 2m﹣﹣2=02=0，， 解得：解得：m=1m=1m=1，，方程为x 2﹣x ﹣2=02=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x+1x+1））=0=0，， 解得：解得：x=2x=2或x=x=﹣﹣1， 则方程的另一根为﹣则方程的另一根为﹣11； （2）∵△）∵△=m =m 2+8+8≥≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． 5656．．（1）∵方程只有一个根，）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0=0，， ∴k=；代入原方程得﹣x=1x=1，解得，解得x=x=﹣﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k 1=0=0，，k 2=﹣6．5757．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根， ∴，解得﹣≤k ≤．5858．．（1）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0方程有实数根，方程有实数根，∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）≥）≥00， 解得：解得：k k ≥﹣且k ≠0；（2）①若a=3为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则△，则△，则△=0=0=0．． ∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）=0=0，， 解得：解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为3，2，2能构成三角形，能构成三角形， ∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+2+2=83+2+2=83+2+2=8；；②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：代入方程：kx kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0得：得：k k ×32+2+2（（k+4k+4））×3+3+（（k ﹣4）=0 ∴解得：∴解得：k=k=k=﹣﹣，∵x 1×x2=bc====3c =3c，，∴c=，∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+3+3+3+=．5959．．（1）证明：∵△）证明：∵△=k =k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+4+4＞＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根；∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得：，根据根与系数的关系可得：x x 1•x 2=﹣， ∵一个根是﹣∵一个根是﹣11， ∴x 1•（﹣1）=﹣，解得：解得：x x 1=6060．∵一元二次方程．∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=44ac=4（（m+1m+1））2﹣4m 2=8m+4=8m+4≥≥0， ∴，∵1212＜＜m ＜4040，，由求根公式由求根公式，∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴2m+1必须是完全平方数，必须是完全平方数， ∴m=24 m=24。
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练(含答案)
一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练10. (2008 甘肃省兰州市) 已知关于x 的一元二次方程220x x a --=．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程的两个实数根为12x x ，，且满足121123x x +=-，求a 的值．11. (2008 广东省梅州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2-mx -2=0． ……①(1) 若x =-1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；(2) 对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．12. (2008 广东省中山市) 已知关于x 的方程2(2)210xm x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．13. (2008 湖南省长沙市) 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？14. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．15. (2010 四川省成都市) 若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值.16. (2010 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2= 2（1－m ）x －m 2的两实数根为x 1，x 2．（1）求m 的取值范围；（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．17. (2010 四川省南充市) 关于x 的一元二次方程230x x k --=有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）请选择一个k 的负整数值，并求出方程的根．18. (2010 广东省茂名市) 已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根； （3分）（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值． （4分）19. (2009 四川省乐山市) 关于x 的一元二次方程22(23)0xk x k +-+=有两个不相等的实数根αβ、．（1）求k 的取值范围；（2）若6αβαβ++=，求2()35αβαβ-+-的值．20. (2009 四川省绵阳市) 已知关于x 的一元二次方程x 2+ 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．21. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．22. (2009 广东省茂名市) 设12x x 、是关于x 的方程2410x x k -++=的两个实数根．试问：是否存在实数k ，使得1212x x x x >+·成立，请说明理由．23. (2007 湖北省襄樊市) 已知关于x 的方程222(2)0xm x m --+=．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．24. (2009 湖北省鄂州市) 关于x 的方程2(2)04kkx k x +++=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．25. (2010 湖北省孝感市) 关于x 的一元二次方程210xx p -+-=有两实数根12x x 、．（1）求p 的取值范围；（4分）（2）若1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=，求p 的值．（6分）一元二次方程判别式及根与系数关系专题训练答案第10题答案.解：（1）2(2)41()44a a ∆=--⨯⨯-=+．1分 方程有两个不相等的实数根，0∴∆>． 2分即1a >-．3分 （2）由题意得：122x x +=，12x x a =- ．4分121212112x x x x x x a ++==-，121123x x +=-223a ∴=--． 6分3a ∴=． 7分第11题答案.解：（1） x =-1是方程①的一个根，所以1+m -2=0，1分 解得m =1．2分 方程为x 2-x -2=0， 解得， x 1=-1， x 2=2． 所以方程的另一根为x =2．4分 （2） ac b 42-=m 2+8，5分 因为对于任意实数m ，m 2≥0， 6分 所以m 2+8>0，7分 所以对于任意的实数m ，方程①有两个不相等的实数根． 8分第12题答案.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m 1分 =4)2(2+-m3分所以无论m 取何值时， △>0，所以方程有两个不相等的实数根． （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，5分根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ， 7分所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x9分第13题答案.由题意，△=(-4)2-4(m -21)=0…………………………………………（2分）即16-4m+2=0，m=29.………………………………………………（4分）当m=29时，方程有两个相等的实数根x 1=x 2=2.……………………（6分）第14题答案.解：由题意可知 0= ．即 2(4)4(1)0m ---=．解得 5m =．3分当5m =时，原方程化为2440x x -+=． 解得 122x x ==．所以原方程的根为 122x x ==．5分第15题答案.解：∵关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根， ∴244121680k k ∆=-⨯⨯=-≥． ……3分 解得2k ≤． ……2分 ∴k 的非负整数值为0，1，2． ……3分第16题答案.（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤21． （2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根，∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤21． 因而y 随m 的增大而减小，故当m =21时，取得极小值1．第17题答案.解：（1）方程有两个不相等的实数根，∴ 2(3)4()k ---＞0． 即 49k >-，解得，94k >-． ……（4分） （2）若k 是负整数，k 只能为－1或－2． ……（5分） 如果k ＝－1，原方程为 2310x x -+=．解得，1x =，2x = （如果k ＝－2，原方程为2320x x -+=，解得，11x =，22x =．） 第18题答案.解：（1）0436)(14)6(42222>+=-⨯⨯--=-k k ac b ，·················2分因此方程有两个不相等的实数根．·································3分（2）12661b x x a -+=-=-= ，·····································4分 又12214x x += ， 解方程组：12126,214,x x x x +=+=⎧⎨⎩ 解得：218.2,x x ==-⎧⎨⎩·····················5分方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--⨯--k ，················6分解得：4±=k ．·················································7分方法二：将21x x 和代入12c x x a =，得：1822k -=⨯-，······················6分解得：4±=k ．·················································7分第19题答案.解：（1） 方程22(23)0x k x k +-+=有两个不相等的实数根，0∴∆>，即22(23)410k k --⨯⨯>．解得34k <． （2）由根与系数的关系得：2(23)k k αβαβ+=--=，． 262360k k αβαβ++=∴-+-= ，．解得31k k ==-或．由（1）可知3k =不合题意，舍去．151k αβαβ∴=-∴+==，，．故()2235()519αβαβαβαβ-+-=+--=．第20题答案.（1）△= [ 2（k —1）] 2－4（k 2－1）= 4k 2－8k + 4－4k 2 + 4 =－8k + 8． ∵ 原方程有两个不相等的实数根，∴ －8k + 8＞0，解得 k ＜1，即实数k 的取值范围是 k ＜1． （2）假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2（k －1）· 0 + k 2－1 = 0， 解得 k =－1 或 k = 1（舍去）．即当 k =－1时，0就为原方程的一个根．此时，原方程变为 x 2－4x = 0，解得 x 1 = 0，x 2 = 4，所以它的另一个根是4．第21题答案.解：根据题意得：△()()2246b b =+--28200b b =+-=解得：2b = 或10b =-（不合题意，舍去）∴2b =………………………………………………………………………………４分 （1）当2c b ==时，45b c +=<，不合题意（2）当5c a ==时， 12a b c ++=…………………………………………６分第22题答案.解：∵方程有实数根，∴240b ac -≥，∴2(4)4(1)0k --+≥，即3k ≤．解法一：又∵2x ==∴12(2(24x x +=+=，12(2(21x x k ==+ 若1212x x x x >+ ，即14k +>，∴3k >．而这与3k ≤相矛盾，因此，不存在实数k ，使得1212x x x x >+ 成立． 解法二：又∵12441b x x a -+=-=-=， 12111c k x x k a +===+ ， （以下同解法一）第23题答案.解：设方程的两实根为12x x ，， 则：122(2)x x m +=-，212x x m = ．1分 令221256x x +=得：2221212()24(2)256x x x x m m +-=--=．3分即28200m m --=．10m ∴=或2m =-．5分当10m =时，222[2(102)]410164000∆=--⨯=-<，∴10m =不合题意，舍去．6分当2m =-时，222[2(22)]4(2)8160∆=---⨯-=->．故：存在实数m 使原方程的两实根的平方和等于56，m 的值是2-．7分第24题答案.（1）由2(2)404kk k∆=+->·得：1k >- 又0k ≠∴k 的取值范围是1k >-且0k ≠． （2）不存在符合条件的实数k ． 理由：设方程2(2)04kkx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有： 121212214110k x x k x x x x ⎧++=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩则20k k +-=，2k ∴=- 但由（1）知，2k =-时0∆<，原方程无解，故2k ≠-． 因此不存在符合条件的实数k ．第25题答案.解：（1）由题意得：2(1)4(1)0p ∆=---≥．2分 解得，54p ≤． 4分（2）由1122[2(1)][2(1)]9x x x x +-+-=得，221122(2)(2)9x x x x +-+-=．6分12x x 、是方程210x x p -+-=的两实数根，21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-=， 22112211x x p x x p ∴-=--=-，．(21)(21)9p p ∴+-+-=，即2(1)9p +=． 8分 2p ∴=，或4p =-．9分 54p ≤，∴所求p 的值为4p =-．10分说明：1．可利用121x x +=，得121x x =-，211x x =-代入原求值式中求解； 2．把已知等式按多项式乘法展开后求解．。
2020年初升高数学衔接辅导之一元二次方程(含答案)
03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根； 若该方程根的判别式的值等于，求的值．【能力提升】方程（x ﹣5）（2x ﹣1）=3的根的判别式b 2﹣4ac = ．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根2142b b ac x a --=，2242b b acx a--=， 则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a------+=+==-；2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+-----=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值．【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜02．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1B ．﹣1C ．23D ．32-3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9B ．（x ﹣2）2＝9C ．（x +2）2＝1D ．（x ﹣2）2＝14．有x 支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（ ） A ．12x （x ﹣1）＝90 B ．12x （x +1）＝90 C ．x （x ﹣1）＝90 D ．x （x +1）＝905．关于x 的一元二次方程x 2﹣x +m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m ≥36．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣m -3x +14＝0有实数根，则m 的取值范围（ ）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠27．关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝2a，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝2a．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣311．一元二次方程x（x+5）＝x+5的解为_____．12．一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值为_____．13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2+m＝0无实数根，则m的取值范围是_____．14．已知x1，x2是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个实数根，那么直线y＝（1211x x）x﹣（x12+x22）不经过第_____象限．15．已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根,则m=_____. 16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 19．解方程或不等式： （1）解方程：； （2）解不等式．20．关于x 的一元二次方程x 2﹣(2k ﹣1)x +k 2+1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． (1)求实数k 的取值范围；(2)若方程的两实数根x 1，x 2满足|x 1|+|x 2|＝x 1•x 2，求k 的值．21．关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2+1=0有两个不等实根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根x 1，x 2满足x 1+x 2=－x 1x 2，求k 的值． 22．已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k 的取值范围；若k 为负整数，求此时方程的根．专题03一元二次方程高中必备知识点1：根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=．①因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．典型考题【典型例题】关于的一元二次方程，其根的判别式为，求的值．【答案】．【解析】 由题意得，，整理得，， 解得：．【变式训练】已知关于的一元二次方程若方程的一个根为，求的值及另一个根；若该方程根的判别式的值等于，求的值．【答案】(1)；即原方程的另一根是．【解析】（1）设方程的另一根是x2．∵一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0的一个根为3，∴x=3是原方程的解，∴9m﹣（m+2）×3+2=0，解得m=；又由韦达定理，得3×x2=，∴x2=1，即原方程的另一根是1；（2）∵△=（m+2）2﹣4×m×2=1∴m=1，m=3．【能力提升】方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式b2﹣4ac= ．【答案】105【解析】先把方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可．方程（x﹣5）（2x﹣1）=3化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣11x+2=0，故△=b2﹣4ac=（﹣11）2﹣4×2×2=105．高中必备知识点2：根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 即p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．典型考题【典型例题】如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8． 【解析】（1）该方程是倍根方程，理由如下：x 2﹣6x +8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4， ∴x 2＝2x 1，∴一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程；（2）∵方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2， ∴方程的另一个根是1或4，当方程根为1，2时，﹣b ＝1+2，解得b ＝﹣3，c ＝1×2＝2； 当方程根为2，4时﹣b ＝2+4，解得b ＝﹣6，c ＝2×4＝8．【变式训练】求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2（x 1＞x 2），并求x 12+2x 2的值． 【答案】6 【解析】方程x 2﹣2x ﹣2＝0的根x 1，x 2，∴211220x x --=，.221=+x x∴()112122222222262.22x x x x x x =++=++=⨯+=+【能力提升】已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2＝0有两根α，β (1)求m 的取值范围； (2)若α+β+αβ＝0．求m 的值． 【答案】(1)m ≥﹣；(2)m 的值为3． 【解析】(1)由题意知，(2m +3)2﹣4×1×m 2≥0， 解得：m ≥﹣；(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m +3)，αβ＝m 2， ∵α+β+αβ＝0， ∴﹣(2m +3)+m 2＝0，解得：m 1＝﹣1，m 1＝3， 由(1)知m ≥﹣， 所以m 1＝﹣1应舍去， m 的值为3．专题验收测试题1．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣mx ﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（ ） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1≠x 2C ．x 1•x 2＞0D ．x 1＜0，x 2＜0【答案】B 【解析】解：∵△＝（﹣m ）2﹣4×1×（﹣3）＝m 2+4＞0， ∴方程x 2﹣mx ﹣3＝0有两个不相等的实数根， ∴x 1≠x 2． 故选：B ．2．已知关于x 的一元二次方程2x 2+mx ﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ） A ．1 B ．﹣1C ．23D ．32【答案】C 【解析】设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系可得：﹣1•x 1＝﹣32， 解得x 1＝32． 故选：C ．3．用配方法解一元二次方程x 2+4x ﹣5＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x +2）2＝9 B ．（x ﹣2）2＝9 C ．（x +2）2＝1 D ．（x ﹣2）2＝1【答案】A 【解析】解：x 2+4x ﹣5＝0， x 2+4x ＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．4．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x﹣1）＝90 B．12x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝90【答案】C【解析】解：由题意可得，x（x﹣1）＝90，故选：C．5．关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≤3B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣23x+m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×1×m＞0，解得m＜3．故选：C．6．关于x的方程（m﹣2）x2﹣m3x+14＝0有实数根，则m的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠2【答案】C 【解析】当m﹣2＝0，即m＝2时，关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有一个实数根，当m﹣2≠0时，∵关于x的方程（m﹣2）x2﹣x+14＝0有实数根，∴△＝3﹣m ﹣4（m ﹣2）•14≥0， 解得：m ≤52， ∴m 的取值范围是m ≤52， 故选：C ．7．关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 【答案】A【解析】由关于x 的一元二次方程x 2﹣（m +2）x +m ＝0，得到a ＝1，b ＝﹣（m +2），c ＝m ，△＝（m +2）2﹣4m ＝m 2+4m +4﹣4m ＝m 2+4＞0，则方程有两个不相等的实数根，故选A ．8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．2x 2+3＝0B ．x 2＝2xC ．x 2+4x ﹣1＝0D ．x 2﹣8x +16＝0 【答案】A【解析】A 、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B 、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C 、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D 、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A ．9．欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．AD 的长C ．BC 的长D ．CD 的长【答案】B【解析】欧几里得的《原本》记载，形如x 2+ax ＝b 2的方程的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝2a ， 设AD ＝x ，根据勾股定理得：（x +2a ）2＝b 2+（2a ）2， 整理得：x 2+ax ＝b 2，则该方程的一个正根是AD 的长，故选：B ．10．若关于x 的一元二次方程ax 2+2x ﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜3B ．a ＞3C ．a ＜﹣3D ．a ＞﹣3【答案】B【解析】试题分析：当x =0时，y =－5；当x =1时，y =a －3，函数与x 轴在0和1之间有一个交点，则a －3＞0，解得：a ＞3．考点：一元二次方程与函数11．一元二次方程x （x +5）＝x +5的解为_____．【答案】x 1＝﹣5，x 2＝1【解析】解：方程整理得：x （x +5）﹣（x +5）＝0，分解因式得：（x +5）（x ﹣1）＝0，解得：x 1＝﹣5，x 2＝1，故答案为：x 1＝﹣5，x 2＝112．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____．【答案】7【解析】解：∵一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，∴x 12＝3x 1+2，x 1x 2＝﹣2，x 1+x 2＝3，∴x 12+3x 2+x 1x 2﹣2＝3x 1+2＝3（x 1+x 2）+x 1x 2＝7，故答案为：7．13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +2+m ＝0无实数根，则m 的取值范围是_____． 【答案】14m >【解析】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4（2+m ）＜0， 解得m ＞14． 故答案为m ＞14． 14．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，那么直线y ＝（1211x x +）x ﹣（x 12+x 22）不经过第_____象限．【答案】二【解析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x ﹣6＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝﹣3，x 1•x 2＝﹣6， ∴121112x x +=， x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×（﹣6）＝21，∴y ═221212111()()212x x x x x x +-+=-， ∴该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二．15．已知x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+(m + 1)x -m 2=0的一个实数根,则m =_____.【答案】0或－1【解析】由题意可知：将1x =-代入方程()22 10x m x m ++-=可得22(1)(1)(1)0m m -++⨯--= 整理可得：20m m +=(1)0m m += ，即01m m ==-或故答案为：01-或16．已知α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____．【答案】1【解析】∵α、β是一元二次方程x2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α2﹣2019α＝﹣1，β2﹣2019β＝﹣1，αβ＝1，2019＝1．∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+2故答案为：1．17．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根之和等于3，求k的值以及方程的两个根．【答案】（1）见解析；（2）x1＝，x2＝．【解析】（1）证明：因为△＝k2﹣4（﹣k﹣2）＝k2+4k+8＝（k+2）2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根．（2）由题意，得﹣k＝3，所以k＝﹣3．当k＝﹣3时，方程为x2﹣3x+1＝0．所以x1＝，x2＝．根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握判别式公式，（2）正确掌握根与系数的关系公式．18．四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%；(2)第四天该单位能收到13310元捐款．【解析】(1)设第二天、第三天的增长率为x，由题意，得10000(1+x)2＝12100，解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)．则x＝0.1＝10%．答：捐款增长率为10%；(2)第四天收到的捐款为12100×(1+10%)＝13310(元)．答：第四天该单位能收到13310元捐款．19．解方程或不等式：（1）解方程：；（2）解不等式．【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：（2）解：由①得，由②得，故20．关于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【答案】(1)k＜﹣34；(2)-2．【解析】解：(1)根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4(k2+1)＞0，解得k＜﹣34；(2)x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，∵k＜﹣34，∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而x1x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴﹣(x1+x2)＝x1•x2，即﹣(2k﹣1)＝k2+1，整理得k2+2k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣2，而k＜﹣34，∴k＝﹣2．21．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2=－x1x2，求k的值．【答案】（1）k>；（2）2.【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=（2k+1）2-4（k2+1）＞0，解得：k＞，即实数k的取值范围是k＞；（2）∵根据根与系数的关系得：x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2+1，又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=-x1•x2，∴-（2k+1）=-（k2+1），解得：k1=0，k2=2，∵k＞，∴k只能是2．22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．求k的取值范围；若k为负整数，求此时方程的根．【答案】（；（时，．【解析】(1)由题意得Δ＞0，即9－4(1－k)＞0，解得k＞.(2)若k为负整数，则k＝－1，原方程为x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.。
一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中 ，没有实数根，故本选项错误；
一元二次方程根的判别式专题
一元二次方程根的判别式1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k= ．2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________.3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________.4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ）A ．一元二次方程2452x x ++=有实数根；B. 一元二次方程245x x ++=C. 一元二次方程245x x ++=有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根.5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= .7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 答案： k=29. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根.答案： 当m=1时，x=0, 1,–1,5; 当m=–1时，x=0,–3,–1,–310. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．11. (2010 四川省乐山市) 若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．解：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、，∴0∆≥， ………………………………………………………………………2分即224(2)4(12)0k k --+≥，解得2k -≤． …………………………………………………………………………4分（3）由根与系数的关系得：k k 24)]2(2[-=---=+βα， ……………………… 6分 ∴2424-=-=+=kk k k t βα， …………………………………………7分 ∵2k -≤，∴420k-<≤， ∴4422k --<-≤， 即t 的最小值为－4． ………………………………………………………10分12. (2010 甘肃省天水市) 已知ABC △的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）当k 为何值时，ABC △是直角三角形；（2）当k 为何值时，ABC △是等腰三角形，并求出ABC △的周长．解：（1）解方程22(23)320x k x k k -++++=得∵1∆=，∴无论k 取何值，方程均有实数根．11x k =+，22x k =+． 不妨设12AB k AC k =+=+， 2分因为第三边5BC =所以，当ABC △为直角三角形时，分两种情况：①当5BC =是斜边时，有222AB AC BC += 即22(1)(2)25k k +++=解得1225k k ==-，（舍去）4分②当AC 为斜边时，有222AB BC AC +=即22(1)5(2)k k 2++=+解得11k =6分 所以，当2k =和11时，ABC △为直角三角形．（2）∵12AB k AC k =+=+，，5BC = ∴当ABC △是等腰三角形时，有两种情况①5AC BC ==时，25k +=，∴3k =∴ABC △的周长为55114k +++=8分 ②5AB BC ==时，15k +=，∴4k =∴ABC △的周长为55216k +++=．10分 故，当3k =和4时，ABC △是等腰三角形，ABC △的周长分别是14和16．13．已知关于x 的两个一元二次方程： 方程：02132)12(22=+-+-+k k x k x ① 方程：0492)2(2=+++-k x k x ② (1)若方程①、②都有实数根，求k 的最小整数值；(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若k 为正整数，解出有实数根的方程的根．答案： (1)7；(2)①； 2－ 1＝（k －4)2＋4>0，若方程①、②只有一个有实数根，则 2>0>1；(3)k ＝5时，方程②的根为;2721==x x k ＝6时，方程②的根为x 1＝⋅-=+278,2782x 14．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)15．设两个方程的判别式分别为x 1，x 2，则x 1＝a 2－4c ，x 2＝b 2－4d ．∴x 1＋x 2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0．从而x 1，x 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．16．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根。
九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 一元二次方程根的判别式(含答案)
第二讲 一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2． 小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明 设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析 设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27． 又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例 已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析 把已知等式看成关于a 4的方程。
中考复习——一元二次方程的根的判别式(解析版)
中考复习——一元二次方程的根的判别式一、选择题1、一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（）．A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根答案：B解答：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）．A. k＜14B. k≤14C. k＞4D. k≤14且k≠0答案：B解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac≥0，∵a=1，b=-（2k+1），c=k2+2k，∴[-（2k+1）]2-4×1×（k2+2k）≥0，∴-4k≥-1，∴k≤14．选B.3、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：A解答：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选A.4、关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）．A. m≤12B. m≤12且m≠0C. m＜1D. m＜1且m≠0答案：B解答：∵Δ=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，∴m≤12．∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤12且m≠0．5、关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）．A. -1B. -4C. -4或1D. -1或4答案：A解答：由题意知α+β=-2（m-1）=2-2m，αβ=m2-m，且Δ=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，4（m2-2m+1）-4m2+4m≥0，4m2-8m+4-4m2+4m≥0，-4m≥-4，m≤1，由α2+β2=12可有（α+β）2-2αβ=12，（2-2m）2-2（m2-m）=12，4m2-8m+4-2m2+2m-12=0，2m2-6m-8=0，m2-3m-4=0，（m-4）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=4，∵m ≤1故m =-1． 故答案为：A.6、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m -1）2+（n -1）2≥2；③-1≤2m -2n ≤1．其中正确结论的个数是（ ）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：D解答：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1·x 2=2n ＞0，y 1·y 2=2m ＞0，y 1+y 2=-2n ＜0，x 1+x 2=-2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b 2-4ac =4m 2-8n ≥0，Δ=b 2-4ac =4n 2-8m ≥0， ∵4m 2-8n ≥0，4n 2-8m ≥0，∴m 2-2n ≥0，n 2-2m ≥0，m 2-2m +1+n 2-2n +1=m 2-2n +n 2-2m +2≥2，（m -1）2+（n -1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m -2n =y 1y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，由y 1、y 2均为负整数，故（y 1+1）（y 2+1）≥0，故2m -2n ≥-1，同理可得：2n -2m =x 1x 2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，得2n -2m ≥-1，即2m -2n ≤1，故③正确． 7、若关于x 的不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：C解答：解不等式x -2a ＜1得x ＜1+2a ， 而不等式x -2a＜1的解集为x ＜1， 所以1+2a=1，解得a =0， 又因为Δ=a 2-4=-4，所以关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0没有实数根．8、已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）．A. b=-1B. b=2C. b=-2D. b=0答案：A解答：Δ=b2-4，由于当b=-1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b=-1时，可说明这个命题是假命题．9、在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0答案：B解答：设3个函数的判别式分别为Δ1=a2-4，Δ2=b2-8，Δ3=c2-16，∵b2=ac，∴c=2ba，A选项，若M1=2，M2=2，则Δ1=a2-4＞0，Δ2=b2-8＞0，∵a＞2，b2＞8，∴c=2ba与4无法比较大小，∴Δ3=c2-16无法确定，故A错误；B选项，若M1=1，M2=0，则Δ1=a2-4=0，Δ2=b2-8＜0，∴a=2，0＜b2＜8，∴c=282ba＜=4，∴Δ3=c2-16＜0，∴M3=0，故B正确；C选项，若M1=0，M2=2，则Δ1=a2-4＜0，Δ2=b2-8＞0，∴0＜a＜2，b2＞8，∴C =2b a＞4，∴Δ3=c 2-16＞0， ∴M 3=2，故C 错误； D 选项，若M 1=0，M 2=0， 则Δ1=a 2-4＜0，Δ2=b 2-8＜0， ∴0＜a ＜2，0＜b 2＜8，∴c =2b a与4无法比较大小，∴Δ3=c 2-16无法确定，故D 错误． 选B.10、已知抛物线y =ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个公共点． 有下列结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根； ③a -b +c ≥0； ④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数是（ ）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：∵b ＞a ＞0， ∴-2ba＜0， 所以①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴b 2-4ac ≤0，∴关于x 的方程αx 2+bx +c +2=0中，Δ=b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a ＜0， 所以②正确；∵a ＞0及抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0， 所以③正确；· 当x =-2时，4a -2b +c ≥0 a +b +c ≥3b -3a a +b +c ≥3（b -a ）a b cb a++-≥3，所以④正确． 选D. 二、填空题11、若关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根，则n 的取值范围是______． 答案：n ≥0解答：∵关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根， ∴x 2+4x +4-n =0有实数根， ∴Δ=b 2-4ac =16-4（4-n ）=4n ≥0， ∴n ≥0， 故答案为：n ≥0．12、已知关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，则k 值为______． 答案：3解答：∵关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，∴Δ=（）2-4k =0，∴12-4k =0，解得k =3．13、已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根，则另一个根为______． 答案：-1解答：设另一个根为t ， 根据题意得4+t =3， 解得t =-1， 即另一个根为-1．14、若一元二次方程x 2+4x +c =0有两个不相等的实数根，则c 的值可以是______（写出一个即可）． 答案：3解答：若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=42-4c＞0，故c＜4．15、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．答案：k≤5且k≠1解答：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1．16、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m 的取值范围是______．答案：3＜m≤5解答：由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2=m-1，x1+x2=4，代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2，解得m＞3，又Δ=16-4（m-1）≥0，解得m≤5，综上可知：3＜m≤5．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．答案：-2或-9 4解答：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2．②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵Δ=（2k+1）2-4（2k+1）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．18、关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．答案：0解答：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1，∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴Δ=（2m-1）2-4（m2-1）≥0，既m≤5 4∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0．19、关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是______（填序号）．答案：①③解答：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0，当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；故答案为∶①③．20、对于函数y=x n+x m，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（mn为常数）．例如y=x4+x2，则y’=4x3+2x．已知：y=13x3+（m-1）x2+m2x．（1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m的值为______．（2）若方程y’=m-14有两个正数根，则m的取值范围为______．答案：（1）1 2（2）m≤34且m≠12解答：（1）y’=x2+2（m-1）x+m2=0方程有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=4（m-1）2-4m2=-8m+4=0，则m=12．（2）y’=x2+2（m-1）x+m2=m-14，∴x2+2（m-1）x+m2-m+14=0．要使方程有两个实数根，则Δ=4（m-1）2-4（m2-m+14）≥0，∴m≤34．要使方程有正根，则当x=0时x2+2（m-1）x+m2-m+14＞0，∴m≠12．答案为m≤34且m≠12．三、解答题21、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案：m＞0且m≠1．解答：∵一元二次方程有两个不等实根，∴Δ=22-4（m-1）×（-1）＞0，即m＞0，又m-1≠0，∴m≠1，∴m＞0且m≠1．22、已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围．（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．答案：（1）m＜9 4（2）2解答：（1）由题意得：Δ=（-3）2-4×1×m=94m0，解得：m＜94．（2）∵x1+x2=-ba=3，x1=1，∴x2=2．23、已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．答案：（1）k≤54．（2）k=-2．解答：（1）有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，∴-4k+5≥0，∴k≤54．（2）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，∴（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，∴（2k-1）2=16+3（k2-1）k2-4k-12=0，∴k=-2或k=6（舍），∴k=-2．24、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．答案：（1）m的取值范围为m≤5．（2）符合条件的m的值为4．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6①，x1·x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∴8=m+4，m=4．当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．25、已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？答案：（1）证明见解答．（2）此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）-2≤m≤2．解答：（1）∵Δ=k2-4×12×（k-12）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴关于x的一元二次方程12x2+kx+k-12=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）令y=0，则12x2+kx+k-12=0，∵x A+x B=-2k，x A·x B=2k-1，∴|x A-x B=2|k-1|=4，即|k-1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1，∴此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）由（2）知，抛物线的解析式是y =12x 2-x -32， 易求A （-1,0），B （3,0），C （1,-2），∴AB =4，AC，BC， 显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形，AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB =4，∴-2≤m ≤2．26、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若11x +21x =1，求132m-的值． （2）求111mx x -+221mx x --m 2的最大值． 答案：（1（2）当m =-1时，最大值为3．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =4（m -2）2-4（m 2-3m +3）=-4m +4＞0，∴m ＜1，结合题意知：-1≤m ＜1．∵x 1+x 2=-2（m -2），x 1x 2=m 2-3m +3 ∴11x +21x =1212x x x x +=()22233m m m ---+=1 解得：m 1=12，m 2=12（不合题意，舍去） ∴132m-． （2）111mx x -+221mx x --m 2 =()()1212121221m x x mx x x x x x +--++-m 2=-2（m-1）-m2=-（m+1）2+3．当m=-1时，最大值为3．。
初中数学竞赛专题选讲-一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题(解析版)
第3天一元二次方程的根与系数的关系与解决实际问题【知识回顾】1．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：△当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；△当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；△当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．2．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，12bx xa+=-，12cx xa⋅=．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：△不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．△已知方程及方程的一个根，求另1一个根及未知数．△不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．△判断两根的符号．△求作新方程．△由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．3．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．一．选择题（共10小题）1．（2020·云南一模）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，则11+αβ的值是（）A．13-B．13C．﹣3D．3【答案】B【解析】△α、β是一元二次方程x2+2x﹣6＝0的两根，△α+β＝﹣2，αβ＝﹣6，则11+-21 +===-63αβαβαβ，故选B．2．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）下列一元二次方程两实数根和为-42的是（）A．2240x x--=B．2440x x-+= C．24100x x++=D．2450x x-=+【答案】D【解析】A中1222 1x x -+=-=，故错误；B中12-44 1x x+=-=，故错误；C中24164024＜0b ac∆=-=-=-，故错误；D中124-4 1x x+=-=，故准确；故答案选D．3．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校月考）方程22310m m-+=和方程224m m-=-所有实数根之和为（）A．72B．32C．32-D．92【答案】B【解析】34△方程22310m m -+=根的判别式2=(-3)42110∆-⨯⨯=＞△方程22310m m -+=有两个实数根△两根之和为32△方程224m m -=-的根的判别式2=(-2)414-120∆-⨯⨯=＜△方程224m m -=-无实数根△方程22310m m -+=和方程224m m -=-所有实数根之和为32故选：B 4．（2020·渠县第四中学期中）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ）A ．1B ．3C ．－1D ．－3 【答案】B【解析】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=，△原式＝2－（－1）＝3故选B ．5．（2020·江苏如东二模）若x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两个根，则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值是（ ） A ．﹣5B ．﹣1C ．5D ．15【答案】C【解析】根据题意得x 1+x 2=3，x 1x 2=﹣2，所以x 1+x 2﹣x 1•x 2=3﹣(﹣2)=5．故选：C ．6．（2020·内蒙古海勃湾期末）一元二次方程2310x x -+=的两个根为12,x x ，则2121232x x x x ++-的值是（ ）A ．10B ．9C ．8D ．7【答案】D【解析】 1x 为一元二次方程2310x x -+=的根，21131x x ∴=-，2121232x x x x ∴++-=()12121212313233x x x x x x x x -++-=++-．根据题意得123x x +=，121=x x ，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．7．（2020·银川市第十五中学一模）已知关于x 的方程x 2－4x ＋c ＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为( )A．－1B．3C．1D．0【答案】B【解析】△方程x2−4x+c+1=0有两个相等的实数根，△△=(−4)2−4(c+1)=12−4c=0，解得：c=3.故答案选B.8．（2019·广东郁南月考）某中学要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（毎两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，求参加的球队支数，如果设参加的球队支数为x，则可列方程为（）A．12x（x+1）=21B．x（x+1）=21C．12x（x﹣1）=21D．x（x﹣1）=21【答案】C【解析】解：设邀请x个队，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：12x（x-1）=21，故选：C．9．（2020·深圳市宝安区北亭实验学校）若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2－10x＋21＝0的一根，则这个三角形的周长为( )67A ．7B ．3或7C ．15D ．11或15【答案】C【解析】x 2−10x+21=0，(x−3)(x−7)=0，则x−3=0，x−7=0，解得：x=3或7， 当x=3时，2+3=5<6，不能组成三角形，故x=3不合题意舍去，当x=7时，2+6=8>7，可以组成三角形，则三角形的周长为2+6+7=15，故答案选C.10．（2020·湖南隆回一模）扬帆中学有一块长30m ，宽20m 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm ，则可列方程为（ ）A ．()()3302020304x x --=⨯⨯B ．()()130********x x --=⨯⨯8C ．130********x x +⨯=⨯⨯ D ．()()33022020304x x --=⨯⨯ 【答案】D【解析】 设花带的宽度为xm ，则可列方程为330220203(4())0x x --=⨯⨯， 故选D ．二．填空题（共5小题） 11．（2020·江苏高淳期末）一元二次方程x 2+mx+2m=0的两个实根分别为x 1，x 2，若x 1+x 2=1，则x 1x 2=______.【答案】-2．【解析】根据题意得x 1+x 2=-m=1，x 1x 2=2m ，所以m=-1，所以x 1x 2=-2．12．（2020·温州市第二十三中学）已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，则方程的另一个根是___________．【答案】-4【解析】因为已知关于x 的方程260x x a ++=有一个根是-2，9 所以由12b x x a+=-得2226,4x x -+=-∴=-． 故答案为-4． 13．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）若,a b 是方程2220060x x +-=的两根，则23a a b ++= ．【答案】2004．【解析】2220060x x +-=的两根△a+b=-2，222006a a +=，△223=2+a =2006-2=2004++++a a b a a b故答案为：200414．（2020·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校期中）如果关于x 的一元二次方程()20ax b ab =>的两个根分别是11x m =+与224x m =-，那么b a的值为__________. 【答案】4【解析】方程化为一般式为：ax 2-b=0x 1+x 2=m+1+2m -4=0 △x 1·x 2=（m+1）（2m -4）=-b a △10解方程△，得m=1把m=1代入△，得b a=-2×（-2）=4. 故答案为：4.15．（2019·上海交大附中）设方程( 1) (11)(11)(21)x x x x ++++++(1)(21)0x x ++=的两根为12,x x ，则()()1211x x ++=______． 【答案】2003【解析】(1)(11)(11)(21)1)(20(1)x x x x x x ++++++++=， 221211x x x ∴++++23223122210x x x ++++=， 23662630x x ∴++=．△3a =，66b =，263c =，224664326343563156b ac ∆=-=-⨯⨯=-=12000>， 1212263223x x b a a x c x =-=∴+=-=，． ()()()1212122631112213x x x x x x ++=+++=-+=2003． 故答案为：2003． 三．解析题（共5小题）1116．（2019·广东郁南月考）关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】(1)△Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，△－8k ＋4≥0，△k ≤12； (2)△x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，△2(k －1)＝1－k 2，△k 1＝1，k 2＝－3.△k ≤12，△k ＝－3. 17．（2020·甘肃省庆阳市第五中学期末）已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根12,x x ．（1）求实数k 的取值范围．（2）是否存在实数k ，使得()22121216x x x x +-=成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）14k ≤；（2）存在这样的实数k ，k 的值为3-． 【解析】（1）由题意得：方程的根的判别式[]22(21)4(2)0k k k ∆=-+-+≥，12 解得14k ≤； （2）由一元二次方程根与系数的关系得：2121221,2x x k x x k k +=+=+，则()()2222121211221223x x x x x x x x x x +-=++-， ()212123x x x x =+-， ()()222132k k k =+-+， 221k k =-+，当()22121216x x x x +-=时，22116k k -+=， 即22150k k --=，因式分解得：(3)(5)0k k +-=，解得3k =-或154k =>（不符题意，舍去）， 故存在这样的实数k ，k 的值为3-．18．（2020·四川南充月考）关于x 的方程2220x mx m m -+-=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求m 的取值范围.（2）若221212x x +=，求211214x x x x +-的值.13【答案】（1）0m >；（3）0【解析】（1）△1a =，2b m =-，2c m m =-，△()()2224241b ac m m m =-=--⨯⨯- 40m =>△0m >；（2）由根与系数的关系，得：212122x x m x x m m +==-，，△221212x x +=，△()21212212x x x x +-=，△()224212m m m --=， △2+60m m -=，解得2m =或3m =-（舍去），△原方程为2420x x -+=，△212112420x x x x =-+=，，△211214220x x x x +-=-+=．19．（2020·湖南茶陵期末）已知关于x 的一元二次方程240x x m -+=．14（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实根为12,x x ，且满足12326x x +=，求实数m 的值．【答案】（1）4m ≤；（2）12=-m ．【解析】（1）△原方程有实数根，△方程的根的判别式1640m ∆=-≥，解得4m ≤；（2）由一元二次方程的根与系数的关系得：12441x x -+=-=， 又121211322()246x x x x x x +=++=⨯+=，12x ∴=-，将12x =-代入原方程得：2(2)4(2)0m --⨯-+=，解得12=-m ．20．（2020·渠县第四中学期中）某商场试销一件成本为60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y ＝kx ＋b ，且x ＝65时，y ＝55；x ＝75时，y ＝45．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商场想获得利润500元，求销售单价．【答案】（1）y ＝－x ＋120(60≤x≤120)；（2）销售单价为70元或110元．【解析】解：(1)根据题意，得6555 7545k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1120 kb=-⎧⎨=⎩△一次函数关系式为y＝－x＋120(60≤x≤120)．(2)(－x＋120)(x－60)＝500，整理得x2－180x＋7700＝0．解得x1＝70，x2＝110，答：当销售单价为70元或110元时，该商场获得500元利润．15。
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。
2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。
5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。
2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。
初中数学复习《一元二次方程根的判别式的参数问题》中考模似练习(含答案解析)
9．（2023•工业园区一模）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0． （1）若该方程有一个根是 x＝2，求 m 的值； （2）求证：无论 m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【分析】（1）直接把 x＝2 代入到原方程中得到关于 m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【解答】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0 的一个根为 x＝2， ∴22﹣4m+2m﹣1＝0， ∴；
4．（2023•东城区校级一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情
况是（ ）
A．无实根
B．有实根
C．有两个不相等实根 D．有两个相等实根 【分析】利用根的判别式得到Δ＝（k﹣1）2+4，根据非负数的性质可得Δ＞0，以
此即可判断．
【解答】解：∵x2﹣（k+3）x+2k+1＝0，
∴k≤2且k≠0．
故选：D．
6．（2023•西城区一模）若关于 x 的方程 mx2+3x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A．m＞﹣
B．m≥﹣
C．m＞﹣ 且 m≠0 D．m≥﹣ 且 m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式与一元二次方程根的关系列出不等式组， 解答即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（2k+2）]2﹣4×1×（2k+1） ＝4k2+8k+4﹣8k﹣4 ＝4k2≥0， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2k+2）x+2k+1＝0，
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题
完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。
2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。
3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。
6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。
9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。
2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。
10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。
2020年中考数学二轮专题——一元二次方程根的判别式的应用(含详细解答)
2020年中考数学二轮专题——一元二次方程根的判别式的应用1.(2019乐山模拟)若m，n是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个不同实数根，则代数式m2－m＋n 的值是( )A. －1B. 3C. －3D. 12. 有一个分裂细胞经过两次分裂后变成了100个，那么在每次分裂中，平均一个细胞可以分裂为( )A. 8个B. 9个C. 10个D. 11个3. (2019潍坊)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为( )A．m＝－2 B．m＝3C．m＝3或m＝－2 D．m＝－3或m＝24. (2019荆门)已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为________．5. (2019金牛区)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有两个实数根，求m的取值范围．6. (2019高新区一诊)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求实数m的取值范围；(2)若x2－x1＝1，求实数m的值．7. 已知关于x的方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)若此方程的一个根为1，求m的值；(2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．8. 已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0，其中m、n是常数．(1)若m＝4，n＝2，请求出方程的根；(2)若m＝n＋3，试判断该一元二次方程根的情况．9. (2019孝感)已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．10. (2019衡阳)关于x的一元二次方程x2－3x＋k＝0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m－1)x2＋x＋m－3＝0与方程x2－3x＋k＝0有一个相同的根，求此时m的值．11.关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．12.(2019南京)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2，扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？参考答案1. B 【解析】∵m 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的根，∴m 2－2m －1＝0，∴m 2－2m ＝1，∴m 2－m ＋n ＝m 2－2m ＋m ＋n ＝1＋m ＋n ，∵m 、n 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根，∴m ＋n ＝2，∴m 2－m ＋n ＝1＋2＝3.2. C 【解析】设平均一个细胞可以分裂x 个，则x 2＝100，解得x ＝10.3. A 【解析】设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋m 2＋m ＝0的解，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2＋m ，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2m )2－2(m 2＋m )＝2m 2－2m ＝12，解得m ＝－2或m ＝3.∵b 2－4ac ＝(2m )2－4(m 2＋m )＝－4m ≥0，∴m ≤0，∴m ＝－2.4. 1 【解析】∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋(3k ＋1)x ＋2k 2＋1＝0的两个不相等实数根，∴x 1＋x 2＝－(3k ＋1)，x 1x 2＝2k 2＋1，∵(x 1－1)(x 2－1)＝8k 2，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝8k 2，∴2k 2＋1＋3k ＋1＋1＝8k 2，化简，得2k 2－k －1＝0，解得k ＝－12或k ＝1.当k ＝－12时，b 2－4ac ＝(3k ＋1)2－4×1×(2k 2＋1)＝k 2＋6k －3＜0，故k ＝－12不合题意，舍去，∴k ＝1. 5. 解：∵(m －2)x 2＋2x ＋1＝0有两个实数根，∴4－4(m －2)≥0，∴m ≤3，又∵(m －2)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，∴m －2≠0，解得m ≠2，∴m 的取值范围是m ≤3且m ≠2.6. 解：(1)由题意可得：b 2－4ac ＝(－2)2－4m ＞0，解得m ＜1，即实数m 的取值范围为m ＜1；(2)由一元二次方程的根与系数的关系可得x 1＋x 2＝2，又∵x 2－x 1＝1，∴x 1＝12，x 2＝32， ∵x 1x 2＝m ＝34. ∴m ＝34. 7. (1)解：根据题意，将x ＝1代入方程x 2＋mx ＋m －2＝0，得1＋m ＋m －2＝0，解得m ＝12； (2)证明：∵b 2－4ac ＝m 2－4×1×(m －2)＝m 2－4m ＋8＝(m －2)2＋4＞0，∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．8. 解：(1)把m ＝4，n ＝2代入方程x 2＋mx ＋2n ＝0得x 2＋4x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝－2；即方程的根是x 1＝x 2＝－2；(2)∵m ＝n ＋3，∴x 2＋(n ＋3)x ＋2n ＝0，∴b 2－4ac ＝(n ＋3)2－4×1×2n ＝n 2－2n ＋9＝(n －1)2＋8，∵不论m 为何值，(n －1)2＋8＞0，∴b 2－4ac ＞0，∴当m ＝n ＋3时，该一元二次方程有两个不相等的实数根．9. 解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0，解得a ＜3，又∵a 为正整数，∴a ＝1或a ＝2；(2)∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2，x 21＋x 22－x 1x 2＝16，∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16，∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16，解得a 1＝－1，a 2＝6，∵a ＜3，∴a ＝－1.10. 解：(1) ∵关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根，∴(－3)2－4k ≥0，解得k ≤94； (2)∵k 符合k ≤94的最大整数是2， ∴x 2－3x ＋k ＝0可化为x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2.∵一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，∴①当这个根是x ＝1时，将x ＝1代入(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0中，得m －1＋1＋m －3＝0，解得m ＝32； ②当这个根是x ＝2时，将x ＝2代入(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0中，得4(m －1)＋2＋m －3＝0，解得m ＝1.当m ＝1时，不符合题意．综上所述，m 的值为32. 11.解：(1)∵方程有两个实数根，∴b 2－4ac ＝22－4(k ＋1)≥0，解得k ≤0；(2)由根与系数的关系可知：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝k ＋1， ∵x 1＋x 2－x 1x 2＜－1，∴－2－(k ＋1)＜－1，∴k ＞－2，由(1)知k ≤0，∴－2＜k ≤0，∵k 是整数，∴k ＝－1或0.12.解：设扩充后广场的长为3x m ，宽为2x m .根据题意，得3x ·2x ·100＋30(3x ·2x －50×40)＝642000. 解得x 1＝30，x 2＝－30(不合题意，舍去)． 所以3x ＝90，2x ＝60.答：扩充后广场的长和宽应分别为90 m 和60 m.。
部编数学九年级上册专题21.3一元二次方程根的判别式【八大题型】(人教版)(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！专题21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】【人教版】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 (1)【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 (2)【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 (4)【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】 (7)【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】 (8)【题型6 根的判别式与新定义的综合】 (10)【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】 (12)【题型8 根的判别式与三角形的综合】 (14)【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）A．无实数根B．有两个不等的实数根C．有两个相等的实数根D．不能判定【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，故选：A．【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【变式1-2】（2022春•长沙期末）关于x的一元二次方程x2+9=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．不能确定【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．【解答】解：方程x2﹣+9＝0，∵Δ＝（﹣2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，∴方程没有实数根．故选：C．【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝x﹣4，x2+x+1＝0，a＝1，b＝1，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，所以原方程无实数根．故选：D．【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】【例2】（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根【分析】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；故选：C．【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根C．当p＜0时，方程没有实数根D．方程的根的情况与p的值无关【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选项B符合题意；当p＜0时，Δ的正负无法确定，∴无法判断该方程实数根的情况，故选项C不符合题意；∵方程的根的情况和p的值有关，故选项D不符合题意．故选B．【变式2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程14x2−(k+2)x+2k2+5k+5=0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣（k+12）2−34＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×14（2k2+5k+5）＝﹣（k+12）2−34＜0，∴方程无实数根．故选：C．【变式2-3】（2022春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵Δ＝4（k+5）2﹣4（2k2+4k+50）＝﹣4（k﹣3）2﹣64＜0，∴方程无实数根．故选：B．【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）A．甲，乙，丙都正确B．只有甲不正确C．甲，乙，丙都不正确D．只有乙正确【分析】根据根的判别式的定义得到Δ＝b2+4a，根据特例可根的判别式的意义可对甲的条件进行判断；若a＝b+1，则Δ＝（b+2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对乙的条件进行判断；若a＝﹣b+1，Δ＝（b﹣2）2≥0，则根据根的判别式的意义可对丙的条件进行判断．【解答】解：Δ＝b2+4a，若a、b同号，a＝﹣1，b＝﹣1，此时Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数解，所以甲的条件不满足方程总有实数根；若a﹣b﹣1＝0，即a＝b+1，Δ＝b2+4（b+1）＝（b+2）2≥0，方程总有实数根，所以乙的条件满足方程总有实数根；若a+b﹣1＝0，即a＝﹣b+1，Δ＝b2+4（﹣b+1）＝（b﹣2）2≥0，方程总有实数根，所以丙的条件满足方程总有实数根；故选：B．【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）A．无实数根B．有且只有一个实数根C．两个实数根D．无数个实数根【分析】根据条件得到a+b＝c，a＞0，关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，根据判别式求根的情况即可．【解答】解：∵a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，∴a+b＝c，3a+b﹣（a+b）＞0，∴3a+b﹣a﹣b＞0，∴2a＞0，∴a＞0，∴关于x的方程ax2﹣cx+b＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣c）2﹣4ab＝c2﹣4ab＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，∴方程有两个实数根，故选：C．【变式3-2】（2022春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（ ）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【分析】利用一次函数的性质得k＜0，再计算判别式的值得到Δ＝b2﹣4k+4，然后判断△的符合，从而得到方程根的情况．【解答】解：由图象可得k＜0，∵Δ＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4，∵b2≥0，∴b2+4＞0，∵﹣4k＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：C．【变式3-3】（2022•＞0x−3＜1有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0根的情况为（ ）A．无法判断B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【分析】先解不等式组得到a＜x＜8，再利用不等式组有3个整数解得到4≤a＜8，对于一元二次方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0，计算根的判别式的值得到Δ＝﹣4a+1，利用a的范围可判断Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程根的情况．＞0①x−3＜1②，解①得x＞a，解②得x＜8，∵不等式组有解，∴a＜x＜8，∵不等式组有3个整数解，∴4≤a＜8，∵a≠0，∴方程ax2+（2a﹣1）x+a＝0为一元二次方程，∵Δ＝（2a﹣1）2﹣4a2＝﹣4a+1，而4≤＜8，∴Δ＜0，∴方程没有实数根．故选：D．【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】【例4】（2022春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1B．m＞0C．m＜1且m≠0D．m＞0且m≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝22﹣4×（m﹣1）×2＞0，然后求出两不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝22﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0，解得m＞0且m≠1．故选：D．【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤94B．k≥94C．k＞94D．k＜94【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≤9 4．故选：A．【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A．k＞﹣9B．k＞﹣9且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，然后解不等式组即可．【解答】解：根据题意得2k≠0k+1Δ=2−4×2k＞0，解得k≥﹣1且k≠0，即k的取值范围为k≥﹣1且k≠0．故选：C．【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，则a的取值范围是（ ）A．0≤a≤1B．o≤a＜1C．0＜a≤1D．0＜a＜1【分析】利用一次函数的性质得到a≥0，再判断Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵直线y＝x﹣a不经过第二象限，∴﹣a≤0，∴a≥0，当a＝0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元一次方程，解为x=1 2，当a＞0时，关于x的方程ax2﹣2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，∴a≤1．∴0≤a≤1，故选：A．【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】【例5】（2022•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）A．﹣1B．0C．﹣1或0D．4或1【分析】先把方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据根的判别式的意义得到Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，然后解关于m的方程即可．【解答】解：方程化为一般式为x2﹣2（m+1）x＝0，根据题意得Δ＝4（m+1）2﹣4×0＝0，解得m＝﹣1．故选：A．【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+1=0有两个相等的实数根，则a，b 的值可能是（ ）A．a＝﹣1，b＝﹣4B．a＝0，b＝0C．a＝1，b＝2D．a＝1，b＝4【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得Δ＝b﹣4a＝0，一元二次方程二次项系数不为0，可得a≠0，二次根式有意义可得b≥0，即可进行判断．【解答】解：根据题意，得Δ＝b﹣4a＝0，a≠0，b≥0，∵b＝﹣4＜0，故A选项不符合题意；∵a＝0，故B选项不符合题意；当a＝1时，b﹣4a＝0，解得b＝4，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+14=0有两个相等的实数根，则代数式a2﹣2a+1+1a的值（ ）A．.﹣3B．.3C．2D．﹣2【分析】先根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，则a2﹣3a+1＝0，再将a2＝3a﹣1代入代数式得到a+1a，通分后得到a21a，再代入a2+1＝3a计算即可．【解答】解：根据题意得3a﹣1≠0且Δ＝a2﹣4×（3a﹣1）×14=0，即a2﹣3a+1＝0，∴a2＝3a﹣1，所以原式＝3a﹣1﹣2a+1+1a=a+1a=a21a=3aa=3．故选：B．【变式5-3】（2022春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0D．﹣a（x﹣2）2＝0【分析】由一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0可得出x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出a（x+2）2＝0（a≠0），此题得解．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足4a﹣2b+c＝0，∴x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a（x+2）2＝0（a≠0）．故选：C．【题型6 根的判别式与新定义的综合】【例6】（2022•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆（2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）A．有一个实根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【分析】先根据新运算得到[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，再把方程化为一般式得到3x2﹣4x＝0，接着计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x⋆（2x﹣1）＝﹣3，∴[x+（2x﹣1）][x﹣（2x﹣1）]﹣2＝﹣3，整理得3x2﹣4x＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×0＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）A．﹣1≤a≤0B．﹣1≤a＜0C．a≥0或a≤﹣1D．a＞0或a≤﹣1【分析】根据新定义运算法则列出关于x的方程，根据根的判别式进行判断即可．【解答】解：由题意可知：a※x＝ax2﹣2ax﹣1＝0，当a＝0时，原来方程变形为﹣1＝0，方程无解；当a≠0时，∵关于x的方程a※x＝0有实数根，∴Δ＝4a2+4a＝4a（a+1）≥0，解得a≤﹣1或a＞0．故选：D．【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于x的方程（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）A．k≤54且k≠0B．k≤54C．k＜54且k≠0D．k≥54【分析】先根据新定义得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因为方程有两个实数解，所以k≠0且Δ＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤54且k≠0．故选：A．【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新运算把方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再计算判别式的值得到Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，∴关于x的方程x*k＝xk（k为实数）化为x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理为x2﹣3kx+k2﹣2＝0，∵Δ＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝5k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】【例7】（2021秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4（m﹣1）2+4＞0，即可证得结论．【解答】证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4，∵4（m﹣1）2≥0，∴4（m﹣1）2+4＞0，∴Δ＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根．【变式7-1】（2021秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．（1）求q关于p的关系式；（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．【分析】（1）把x＝2代入方程x2+px+q+1＝0可得到p、q的关系式；（2）先计算根的判别式得到Δ＝p2﹣4q，再消去q得到Δ＝p2+8p+20，然后利用配方法证明Δ＞0，从而得到结论．【解答】（1）解：把x＝2代入原式得4+2p+q+1＝0，所以q＝﹣2p﹣5；（2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5）＝p2+8p+20＝p2+8p+16+4＝（p+4）2+4，而（p+4）2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．【变式7-2】（2021秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到Δ＝4p2+9，则可判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式得到x由于一元二次方程有整数解，3或5或7等，然后分别计算出对应的p的值即可．【解答】（1）证明：原方程整理为：x2﹣5x+4﹣p2＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4（4﹣p2）＝4p2+9＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：x∵一元二次方程有整数解，3或5或7等，=3时，p＝0；=5时，p＝2；=7时，p=【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据根的判别式符号进行判断；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】（1）证明：Δ＝（m﹣2）2﹣4m×（﹣2）＝m2+4m+4＝（m+2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由题意可知，m≠0Δ＝n2﹣4m×（﹣2）＝n2+8m＝0，即：n2＝﹣8m．以下答案不唯一，如：当n＝4，m＝﹣2时，方程为x2﹣2x+1＝0．解得x1＝x2＝1．【题型8 根的判别式与三角形的综合】【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）A．1个B．2个C．3个D．3个以上【分析】分a＝b及a≠b两种情况考虑，当a＝b时，由方程有两个相等的实数根，可得出Δ＝0，解之即可得出m的值；当a≠b时，可得出x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，代入x＝3即可求出m的值，综上，即可得出结论．【解答】解：当a＝b时，关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×m＝0，∴m＝4；当a≠b时，x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，∴32﹣4×3+m＝0，∴m＝3．综上，m的值为4或3，即满足上述条件的m的值有2个．故选：B．【变式8-1】（2022春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【变式8-2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判断方程的根的情况；（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．【分析】（1）先计算根的判别式的值得到△＝4＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根据等腰三角形的性质讨论：当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，然后分别计算对应的三角形的周长．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）x=2m±22=m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，当m+1＝5时，解得m＝4，此时等腰三角形三边分别为5，5，3，△ABC的周长为5+5+3＝13；当m﹣1＝5时，解得m＝6，此时等腰三角形三边分别为5，5，7，△ABC的周长为5+5+7＝17；综上所述，△ABC的周长为13或17．【变式8-3】（2021秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．【分析】分a为腰及a为底两种情况考虑：①若a＝6是三角形的腰，将x＝6代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，结合三角形的周长计算公式，即可求出此三角形的周长；②若a＝6是三角形的底边，利用根的判别式Δ＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出m的值，将m的值代入原方程，解之即可得出b，c的值，利用三角形的三边关系可得出此情况不符合题意，需舍去．综上即可得出此三角形的周长．【解答】解：①若a＝6是三角形的腰，则b与c中至少有一边长为6．将x＝6代入原方程得：62﹣（3m+1）×6+2m2+2m＝0，解得：m1＝3，m2＝5．当m＝3时，原方程可化为x2﹣10x+24＝0，解得：x1＝4，x2＝6，∴此时三角形三边长分别为4，6，6，∴三角形的周长为4+6+6＝16；当m＝5时，原方程可化为x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10，此时三角形三边长分别为6，6，10，∴三角形的周长为6+6+10＝22．②若a＝6是三角形的底边，则b、c为腰且b＝c，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝[﹣（3m+1）]2﹣4×1×（2m2+2m）＝0，解得：m1＝m2＝1，∴原方程可化为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4＜6，∴不能构成三角形，舍去．综上所述，此三角形的周长为16或22．。
专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(解析版)
九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题08 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【典例1】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=•-=+212111a x x ， 解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．【典例2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k ≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，典例解读解得：k ＜2且k ≠1． 故答案为：k ＜2且k ≠1．【总结】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【典例3】已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1． 【总结】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1． 【典例4】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 【典例5】关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解． 【解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根， ∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0， 解得：m ＜21． ∴m 的取值范围为m ＜21． （2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根， ∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=()221x x +﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．【典例6】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数． 【解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【教材知识必背】一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；教材知识链接（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k xx k =+++； ⑦12||x x -==；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数2\1x x 为根的一元二次方程是()021212=++-x x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【变式1】下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+x+2=0 C ．x 2﹣1=0 D ．x 2﹣2x ﹣1=0【点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】精准变式题解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【变式2】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3 【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤34，且k ≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式3】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根【变式4】已知：关于x 的方程2(1)04kkxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.【变式5】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．【变式6】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3．1. 关于x 的方程2210mx x ++=无实数根，则m 的取值范围为( )． A ．m ≠0 B ．m ＞1 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ＞-1综合提升变式练【答案】B ；【解析】当m ＝0时，原方程的解是12x =-；当m ≠0时，由题意知△＝22-4·m ×1＜0，所以m ＞1． 2．若1x 、2x 是一元二次方程2210x x +-=的两根，则1211x x +的值为（ ）． A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：1212x x +=-，1212x x =-，从而121212111x x x x x x ++==． 3. 一元二次方程x 2﹣4x+4=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】B.【解析】在方程x 2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．4．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 【答案】B ；【解析】20ax bx c ++=(a ≠0)有两个不相等实数根240b ac ⇔->．5．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，∴△=（﹣2）2﹣8（a ﹣1）=12﹣8a ≥0且a ﹣1≠0， ∴a ≤且a ≠1，∴整数a 的最大值为0．故选：B ．6．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 【答案】D ；【解析】求得Δ=b 2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D .7．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ）A.k ≥4B.k ≤4C.k ＞4D.k=4【答案】B ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，∴b 2﹣4ac=42﹣4×1×k ≥0， 解得：k ≤4，故选B ．8．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 【答案】A ；【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：3αβ+=，32αβ=， 因此22()()4963αβαβαβ-=+-=-=9．等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根，则n 的值为（ ）.A ．9B ．10C ．9或10D ．8或10 【答案】B ；【解析】∵三角形是等腰直角三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b 两种情况， ①当a=2，或b=2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n ﹣1=0的两根， ∴x=2，把x=2代入x 2﹣6x+n ﹣1=0得，22﹣6×2+n ﹣1=0， 解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形， 故n=9不合题意，②当a=b 时，方程x 2﹣6x+n ﹣1=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣6）2﹣4（n ﹣1）=0 解得：n=10， 故选B ．10．设a ，b 是方程220130x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）． A ．2010 B ．2011 C ．2012 D ．2013 【答案】C ；【解析】依题意有22013a a +=，1a b +=-，∴222()()201312012a a b a a a b ++=+++=-=．11．若ab ≠1，且有25201290a a ++=，及29201250b b ++=，则ab的值是（ ）． A ．95 B ．59 C ．20125- D ．20129- 【答案】A ；【解析】因为25201290a a ++=及29201250b b ++=，于是有25201290a a ++=及2115()201290bb+•+=， 又因为1ab ≠，所以1a b ≠，故a 和1b可看成方程25201290x x ++=的两根， 再运用根与系数的关系得195a b •=，即95a b =．12．已知关于x 的方程221(3)04x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是________．【答案】1；【解析】由题意知△＝221[(3)]404m m ---⨯⨯>，所以32m <，因此m 的最大整数值是1． 13．关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，则m 的取值范围是__ ___． 【答案】54m <-； 【解析】因为关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m -+++-=无实数根，所以22(21)4(1)(1)0m m +-⨯--<，解得54m <-． 14．关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】k ≥﹣6； 【解析】当k=0时，﹣4x ﹣=0，解得x=﹣，当k ≠0时，方程kx 2﹣4x ﹣=0是一元二次方程，根据题意可得：△=16﹣4k ×（﹣）≥0， 解得k ≥﹣6，k ≠0，综上k ≥﹣6．15．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．【答案】-2.【解析】∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根为x 1、x 2，x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣1，∴+= =﹣2．故答案是：﹣2． 16．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举
专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是 ．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是 ．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。
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一元二次方程根的判别式 姓名
◆课前预习
1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况可用b 2－4ac•来判定，•b 2－4ac•叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b 2－4ac>0⇔方程_________；（2）b 2－4ac=0⇔方程_________；
（3）b 2－4ac<0⇔方程_________．
2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式．
◆互动课堂
【例1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－5x+3=0； （2）x 2；（3）3x 2+2=4x ； （4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）．
【例2】若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围．
【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4（k －12
）=0．（1）求证：无论k 取什么实数
值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC 有一边长a=4，另两条边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．
【例4】已知关于x 的方程x －2（m+1）x+m 2=0．（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？
（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．
◆跟进课堂
1．方程2x 2+3x －4=0的根的判别式△=________．
2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－10x+5=0有实数根，则m 的取值范围是______．
3．如果方程x 2－2x －m+3=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______，此时方程的根为________．
4．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0没有实数根，则k 的取值范围是______．
5．若关于x 的一元二次方程mx 2－2（3m －1）x+9m －1=0有两个实数根，则实数m•的取值范围是_______．
6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．
A ．x 2+2x －1=0
B ．x 2
C ．x 2
D ．－x 2+x+2=0
7．如果方程2x （kx －4）－x 2－6=0有实数根，则k 的最小整数是（ ）．A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）．
A ．x 2－x+1=0
B ．x 2－2x+3=0
C ．x 2+x －1=0
D ．x 2+4=0
9．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）．
A ．k<1
B ．k ≠0
C ．k<1且k ≠0
D ．k>1
10．关于x 的方程x 2+（3m －1）x+2m 2－m=0的根的情况是（ ）．
A ．有两个实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根 ◆课外作业
1.在下列方程中，有实数根的是（ ）
（A ）x 2+3x+1=0 （B （C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11
x -
2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是
A 、有两个不相等的同号实数根
B 、有两个不相等的异号实数根
C 、有两个相等的实数根
D 、没有实数根
3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）．
A 、1或－4
B 、1
C 、－4
D 、－1或4
4．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．
5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．
6.不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x 2 （2）x 2-（+4=0 (3 )x 2-2kx+（2k-1）=0 (x 为未知数)
7．关于x 的一元二次方程mx 2－（3m －1）x+2m －1=0，其根的判别式的值为1，求m•的值及该方程的解．
8．已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边长，当m>0时，关于x 的一元二次方程c （x 2+m ）+b （x 2－m ）－
有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．
9．等腰△ABC 中，BC=8，AB 、AC 的长是关于x 的方程x 2－10x+m=0的两根，求m 的值．
10．如果关于x 的方程mx 2－2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x 的方程（m －•5）x 2－2（m －1）x+m=0的根的情况．
11．已知关于x 的方程（n －1）x 2+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y 的方程m 2y 2－2my －m 2－2n 2+3=0 ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是－12
，求方程②的根．
12.若关于x 的一元二次方程2
(2)210a x ax a --++=没有实数解，求30ax +>的解集（用含a 的式子表示）．
13.要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，•鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长
为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．
（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．
*14. 若a ，b ，c ，d 都是实数，且ab =2(c ＋d )，求证：关于x 的方程x 2＋ax ＋c =0，x 2＋bx ＋d =0中至少有一个方程有实数根．
答案:
1．41 2．m≤5且m≠0 3．2，x1=x2=1 4．k<－1 5．m≤1
5
且m≠0
6．C 7．B 8．•C •9．C 10．A
11．m=2，x1=1，x2=3
2
12．Rt△13．m=25或16
14．当m=5时方程有一个实根；当m>4且m≠5时，方程有两个不等实根．15．略。