4.1柱面、锥面

第四章 常见的曲面与曲线
本章主要研究比平面与直线销复杂的常见的曲面与曲线。

此外，也粗略介绍由若干曲面围成的空间区域的解析表示及其直观简图的画法，它在数学分析中要用到。

前面已经看到，在选定坐标系之后，曲面作为动点轨迹如何用点的向径或坐标的方程来表出，例如夹面和球面等。

但是某些曲面也可以看作是曲线依某种规律运动所生成的。

例如，平面也可以看成是过定点且与定直线垂直的动直线的轨迹；球面也可以看作是一个圆绕其一直径旋转所产生的等等。

在§3.1、§3.2、及§3.6中，我们将按这种观点分别介绍柱面与锥面、旋转曲面及螺旋面等几种常见曲面，并且建立它们的方程。

§4.1 柱面与锥面
本节重点：掌握柱面与锥面的直角坐标方程的建立。

掌握柱面与锥面的特点：均是有直线构成的曲面。

(一)柱面
4.1.1定义 直线沿一定曲线Ｃ平行移动所产生的曲面叫做柱面。

Ｃ叫做柱面的导线（或准线），这族平行直线中的每一条都叫做柱面的母线（图4-1）。

图4-1
圆柱面是特殊的柱面。

显然，柱面被它的导线及母线方向完全确定。

但反对来，对于一个柱面，它的导线并不是唯一的，这是因为柱面上与其每一条母线都相交的曲线都可以作为它的导线。

1．柱面方程
设柱面的导线C 的方程为
⎩⎨⎧==0),,(0),,(2
1Z Y X F Z Y X F (1) 母线的方向系数为n m l ,,。

如果),,(1111Z Y X P 为导线C 上的任意点，那么过点1P 的母线方程为
n
Z Z m Y Y l X X 111-=-=- (2) 且有
0),,(1111=Z Y X F ， 0),,(1112=Z Y X F (3)
当点1P 跑遍C 时，就得出柱面上的所有母线，这族母线构成的柱面。

因此，从(2)与(3)两组式子中的四个等式，消去三个参数111,,Z Y X 后所得一个三元方程
0),,(=Z Y X F (4)
就是以(1)为导线，母线的方向系数为n m l ,,的柱面方程。

为了消参数的方便，常把母线方程(2)改写成参数式：
lt X X +=1， mt Y Y +=1， nt Z Z +=1 (2)'
从而解出
lt X X -=1， mt Y Y -=1， nt Z Z -=1
代入(3)消去参数111,,Z Y X ，得到
⎩⎨⎧=---=---0
),,(0),,(21nt Z mt Y lt X F nt Z mt Y lt X F (4.1.1) 再由此消去参数t ，即得所求的柱面方程(4)
例1、已知一柱面的导线是球面12
22=++Z Y X 与平面0=++Z Y X 的交线，母线平行于直线Z Y X ==，求这柱面的方程。

解：因为柱面母线平行于直线Z Y X ==，所以母线的方向系数即为这直线的方向系数1，1，1。

设（111,,Z Y X ）是导线上的任一点，则过这点的母线的参数方程为 t X X +=1， t Y Y +=1， t Z Z +=1 (1)
且有 1212121=++Z Y X ， 0111=++Z Y X (2)
由(1)解出 t X X -=1，t Y Y -=1，t Z Z -=1代入(2)，得
⎩
⎨⎧=-++=-+-+-031)()()(222t Z Y X t Z t Y t X 再从第二式得3
Z Y X t ++=，代入第一式即得所求柱面方程为
1)3
()3()3(222=++-+++-+++-
Z Y X Z Z Y X Y Z Y X X 可化简成 3)(2222=---++XZ YZ XY Z Y X
现在再来考察当母线平行于一个坐标轴时，柱面方程所具有的特殊形式。

设柱面的母线平行于Z 轴，则母线的方向系数为0，0，1，且每一条母线必与坐标面XOY 相交，从而柱面与XOY 面的交线可以作为导线，如果它的方程为
0),(=Y X f Z ＝0
那么这时(3.1.1)就是
0),(=Y X f Z t -＝0
消去参数t ，即得柱面方程为
0),(=Y X f (4.1.2)
柱面的母线平行于X 轴或Y 轴的情形，可类似地讨论，因此得到
4.1.2定理 柱面的母线平行于某个坐标轴的特征是其方程中不含相应的坐标。

必须注意，在空间中方程(3.1.2)代表母线平行于Z 轴（或垂直于XOY 面）的一个柱面；而在XOY 面上却代表一条平面曲线，这是这个柱面的一条导线（这时，应补充一个方程Z ＝0。

）
例２、讨论下列各方程所代表的曲面： (1) ;12222=+b Y a X (2) ;122
22=-b
Y a X (3)pX Y 22=
解：在坐标面XOY 上，这三个方程分别代表椭圆，双曲线与抛物线。

由上述可知，在空间中它们分别代表以这三种曲线为导线，母线平行于Z 轴的柱面。

它们依次叫做椭圆柱面（a ＝b 时，即圆柱面），双曲柱面与抛物柱面（图4-2）
图4-2
由二次方程表示的柱面叫做二次柱面。

此例中的三种柱面都是二次柱面。

在§3.5中，我们建立了空间直线的射影式方程，把空间直线看作是它对两个坐标的投
影平面的交线。

推广到空间曲线，可看作是它对两个坐标面的投影柱面（即以此曲线为导线，母线垂直于该坐标面的柱面）的交线。

由4.1.2定理可知，这两个投影柱面的方程可从曲线方程分别消去一个坐标变量而得。

但要根据曲线的范围对所得柱面方程给出相应的限制（否则只能说明得到的柱面是通过曲线的，从而包含其投影柱面，但不一定恰好是其投影柱面）。

例３、求曲线
⎩
⎨⎧=++-=-++036890364922222Z Y Z X Z Y Z X 对坐标面XOY 和XOZ 的投影柱面
解：从曲线方程分别消去Z Y ,，到同解方程
⎩⎨⎧=+=+0436922
2Y X Z Z X 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+Y X Z X 414)2(36222 由此可知曲线上的点应满足│X │≤6，所以曲线对XOZ 面的投影柱面是椭圆柱面14
)2(362
2=-+Z X ；而对XOY 面的投影柱面只是抛物柱面Y X 42-=满足│X │≤6的部分。

在§4.7中将要看到，利用曲线对两个坐标面的投影柱面常便于了解曲线的形状和画出曲线。

曲线对于一般平面的投影柱面，有
4.1.3定义 以曲线C 为导线, 而母线垂直于平面π的柱面叫做曲线C 对平面π的投影柱面，这投影柱面与平面π的交线叫做曲线C 在平面π上的投影。

（二）锥面
4.1.4定义 直线通过定点0P 且沿一定曲线C （不含点0P ）移动所产生的曲面叫做锥面。

C 叫做锥面的导线（或准线）；0P 叫做锥面的顶点；动直线叫做锥面的母线。

圆锥面是特殊的锥面。

显然，锥面被它的导线及顶点完全确定。

但反过来，对于一个锥面，它的导线并不是唯一的。

与柱面情形一样，锥面上与其每一条母线都相交的曲线都可以作为它的导线。

1、锥面方程
设锥面的导线C 的方程为
⎩⎨⎧==0),,(0),,(2
1Z Y X F Z Y X F 顶点0P 的坐标为（000,,Z Y X ），如果C 上任一点为1P （111,,Z Y X ），那么与建立柱面方程的方法一样， 所求的锥面方程可由过1P 的母线方程
10010010Z Z Z Z Y Y Y Y X X X X --=--=-- 及（111,,Z Y X ）所满足的条件
1F （111,,Z Y X ）＝0 2F （222,,Z Y X ）＝0 (2)
消去参数111,,Z Y X 得到。

例4、求顶点在原点，导线为
⎪⎩⎪⎨⎧≠==+)0(12222c c
Z b Y a X 的锥面方程。

解：过导线上任一点（111,,Z Y X ）的母线方程为
1
11Z Z Y Y X X == 且有
⎪⎩⎪⎨⎧≠==+)0(112
21221c c
Z b Y a X 当Z ≠0时，由（1）得
Z X Z X 11=， Z
Y Z Y 11= 再利用（2）消去参数111,,Z Y X ，即得所求锥面扣除了顶点的轨迹方程为
12
22
22222=+Z b Y c Z a X c 两边乘以2Z 并整理得方程
122
2222=-+c
Z b Y a X 则补上了顶点，因而（4）就是所求的锥面方程。

由二次方程表示的锥面叫做二次锥面。

（4）表示的锥面是二次锥面。

特别地，当a=b 时，即为圆锥面。

例5、 求从原点向球面16)1()5(2
22=+++-Z Y X 引切线所成锥面的方程。

解：显然所求锥面的顶点为原点，且所引切线的切点轨迹（圆），是这锥面的一条导线， 它可看作是已知球面与另一球面10222=++Z Y X 的交线，其方程为 ⎩⎨⎧=++=+++-10
16)1()5(222222Z Y X Z Y X 经过同解变形可以化成
⎩⎨⎧=--=++0
10510222Y X Z Y X 由此可见，上述导线（圆）也可看作是球面102
22=++Z Y X 与平面0105=--Y X 的交线。

这样，按照前面介绍的方法容易求得锥面方程为 010********=---XY Z Y X
2、锥面方程的齐次性
例４、例５中的锥面方程都有一个重要的特点：对于任意实数λ，若用X λ，Y λ，Z λ分别代替其左边的X ，Y ，Z 后，等于其左边乘2
λ，这种方程叫做关于X ，Y ，Z 的二次齐次方程。

一般的有
4.1.5定义 若方程0),,(=Z Y X F 对任意实数满足 ),,(),,(Z Y X F Z Y X F k λλλλ=
其中k 是非负整数(当k ＝0时，λ≠0)，则此方程叫做关于X ，Y ，Z 的k 次齐次方程。

由于N 次方程0),,(=Z Y X F 的左边函数0),,(=Z Y X F 是N 次多项式，因此只要它的每一项都是N 次的，它就是一个N 次齐次方程。

又例４中的方程(3)是零次齐次方程。

必须注意：锥面方程不一定都是齐次的，但有如下事实：
4.1.6定理 顶点在原点的锥面总可用X ，Y ，Z 的齐次方程表示（可能顶点除外）。

这个定理的证明留作习题。

下面考虑反过来的问题。

为此，先将锥面概念加以扩充。

关于0X X -，0Y Y -，0Z Z -的齐次方程表示的图形，若只含有点),,(000Z Y X 则它叫做以),,(000Z Y X 为顶点的虚锥面。

例如02
22=++Z Y X 表示以原点为顶点的虚锥面。

4.1.7定理 关于X ，Y ，Z 的齐次方程总表示顶点在原点的锥面(可能顶点除外)。

证：设0),,(=Z Y X F 是关于X ，Y ，Z 的k 次齐次方程。

若它表示的曲面不是虚锥面，则曲面上就存在与原点不同的点。

设 ),,(1111Z Y X P 是除原点外坐标满足此方程的任一点，则直线1OP 的参数方程为
t X X 1= t Y Y 1= t Z Z 1=
利用方程0),,(=Z Y X F 的齐次性，得到
=),,(Z Y X F ),,(111t Z t Y t X F ==),,(111Z Y X F t k 0
这就表明直线1OP 上任意点(k ＝0时不含原点) 都在曲面上，即曲面是由过原点的直线（可能不含原点）构成的， 这动直线可看作是原点与曲面上一曲线（导线）的点1P 的连线， 因而它是以原点为顶点的锥面（可能顶点除外）。

利用坐标系的平移公式[注]容易看出
[注]见§6.3,此公式的推导只用到第一章知识。

推论 关于0X X -，0Y Y -，0Z Z -的齐次方程总表示以),,(000Z Y X 为顶点的锥面(可能顶点除外)。

习题 4-1
1、求下列柱面的方程：
(1) 导线为 ⎩
⎨⎧==00),(Z Y X F 母线的方向系数为L,M,N (N ≠0) (2)导线为 ⎩
⎨⎧=-+=022Z Y X Z Z 母线平行于Y 轴 (3) 导线为 ⎩⎨⎧=+=Z
X Z Y X 22
2 母线垂直于导线所在的平面
２、求曲线 ⎩⎨⎧=-+-+=++1
)1()1(1222222Z Y X Z Y X 到X O Z 面的投影柱面及其在这坐标面上的投影。

３、求以原点为顶点，椭圆 ⎩⎨⎧==+1
63222Y Z X 为导线的锥面方程。

４、求以（3,-1,-2）为顶点,曲线 ⎩⎨⎧=+-=-+0
1222Z Y X Z Y X 为导线的锥面方程,并将它写成关于 X-3,Y ＋1,Z ＋2的齐次方程。

５、判定下列方程所代表的曲面类型：
(1) 06=-XY
(2) 0222=-+XY Z Y
(3) 0232=-Z Y
(4) ))()(()()(33X Z Z Y Y X Z Y Z X ---=-+- ６、证明 3.1.6定理。