第3章例题

第3章例题

例1.袋内装有五个白球，三个黑球。从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

解：试验的基本事件总数2

35+=C n ，组成所求事件A(取到两个白球)的基本事件数

2

5C m =，因此， 357

.0)(14528

25===

=

C C n

m

A P

例2.一百个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。规定一、二等品都为合格品。从中抽取一个产品，问抽到合格品的概率是多少？ 解：设事件A 、B 分别表示产品为一等品和二等品。则：

10060)(=A P ，10030)(=B P ，10090100

3060)(==

++B A P 。由此可以得

出结论：

)()()(B P A P B A P +=+

例3．50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，求其中有废品的概率。

解：设事件A 、B 、C 分别表示取到一个、两个、三个废品，则：

2112.0)(196004140350

24614===

∙C C C A P

0141.0)(19600276350

1

4624===

∙C C C B P

0002.0)(196004

350

3

4

===C C C P

2255

.00002.00141.02112.0)()()(=++=++C P B P A P

例4.(教材P116练习题2)某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。现要产生一名幸运者，试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；

P (A )= P (B )= P (AB )= P (A +B )=

例5.设随机事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.6，在事件A 发生的条件下B 发生的概率为0.8。试求：

（1）“A 发生或B 发生”这一随机事件的概率； （2）在B 事件发生的条件下A 发生的概率。 解(1)：已知，P(A)=0.5 P(B)=0.6 P(B |A)=0.8

P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(AB)=P(A)ΧP(B|A)=0.5Χ0.8=0.40

P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7

解（2）：∵P(AB)=P(B)P(A|B)

∴P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.40/0.6=2/3

例6. 已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。

解：设A=活到55岁，B=活到70岁。所求概率为

P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=63%/84%=0.75=75%

例7.一个具有n=64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。求下列情况的概率。 （1） ；（2） ；（3） 落在16和22之间。

解：根据题意，n=64 μ=20 σ=16,样本均值服从正态分布。样本均值的数学期望等于总体均值，即()

20==μx E 。样本均值的标准差为264

16==

=

n

x σσ

（1）224

64

/162016/-====

=

----n

x x x

x

x

z σμσμ

0227.09773.01)2(1)2()16(=-=Φ-=-Φ=

16x x

（2）

5.123

64

/162023/

=====---n

x x x

x

x

z σμσμ 0668

.09332.01)5.1(1)23(1)23(=-=Φ-=≤-=>x P x P （3）

}{

8186

.018413.09773.01)1()2()2()1()12()2216(64

/1620

2264/162016=-+=-Φ+Φ=

-Φ-Φ=<<-=<<=<<--z P z P x P

例8.某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求：

（1）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？ （2）使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？

（3）以均值为中心，95%的灯管的使用寿命在什么范围内？ 解：设X=“该种节能灯管的使用寿命”，根据题意：X ～N(1050,2

200)，因此，

（1）

{}

00298.099702.01)75.2(175.2)500(200

1050

500=-=Φ-=-=<

=<-Z P X P

由此可知该种节能灯管使用寿命在500小时以下的灯管约占0.298%。

（2）8186

.015865.097725.0)1()2()21()()1450850(200

1050

14502001050850=-=-Φ-Φ=≤≤-=

≤≤=≤≤--Z P Z P X P

由此可知该种节能灯管使用寿命在850～1450小时的灯管约占81.86%。 （3）95.0)(=≤K Z P ,由标准正态分布函数值表可知，K=1.96,即有：

{

}

{}95.0392105096.11050=≤-=≤=

-X P Z P X

95%的灯管的使用寿命在均值左右392小时（即658～1442小时）的范围内。

例9：总体的均值为50，标准差为8，现从该总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值和抽样分布的标准差分别是多少？

解：现从某一不知如何分布的总体中抽取容量为64的样本，可以断定该样本均值服从正态分布。因此，样本均值的数学期望等于总体均值，即：