第3章例题

第3章例题
例1.袋内装有五个白球，三个黑球。

从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。

解：试验的基本事件总数2
35+=C n ，组成所求事件A(取到两个白球)的基本事件数
2
5C m =，因此， 357
.0)(14528
25===
=
C C n
m
A P
例2.一百个产品中有60个一等品，30个二等品，10个废品。

规定一、二等品都为合格品。

从中抽取一个产品，问抽到合格品的概率是多少？ 解：设事件A 、B 分别表示产品为一等品和二等品。

则：
10060)(=A P ，10030)(=B P ，10090100
3060)(==
++B A P 。

由此可以得
出结论：
)()()(B P A P B A P +=+
例3．50个产品中有46个合格品与4个废品，从中一次抽取三个，求其中有废品的概率。

解：设事件A 、B 、C 分别表示取到一个、两个、三个废品，则：
2112.0)(196004140350
24614===
∙C C C A P
0141.0)(19600276350
1
4624===
∙C C C B P
0002.0)(196004
350
3
4
===C C C P
2255
.00002.00141.02112.0)()()(=++=++C P B P A P
例4.(教材P116练习题2)某技术小组有12人，他们的性别和职称如下表所示。

现要产生一名幸运者，试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；
P (A )= P (B )= P (AB )= P (A +B )=
例5.设随机事件A 发生的概率为0.5，事件B 发生的概率为0.6，在事件A 发生的条件下B 发生的概率为0.8。

试求：
（1）“A 发生或B 发生”这一随机事件的概率； （2）在B 事件发生的条件下A 发生的概率。

解(1)：已知，P(A)=0.5 P(B)=0.6 P(B |A)=0.8
P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(AB)=P(A)ΧP(B|A)=0.5Χ0.8=0.40
P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.4=0.7
解（2）：∵P(AB)=P(B)P(A|B)
∴P(A|B)=P(AB)/P(B)=0.40/0.6=2/3
例6. 已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁的概率为63%。

试求任一位刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少。

解：设A=活到55岁，B=活到70岁。

所求概率为
P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=63%/84%=0.75=75%
例7.一个具有n=64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。

求下列情况的概率。

（1） ；（2） ；（3） 落在16和22之间。

解：根据题意，n=64 μ=20 σ=16,样本均值服从正态分布。

样本均值的数学期望等于总体均值，即()
20==μx E 。

样本均值的标准差为264
16==
=
n
x σσ
（1）224
64
/162016/-====
=
----n
x x x
x
x
z σμσμ
0227.09773.01)2(1)2()16(=-=Φ-=-Φ=<x P
16<x 23>x x
（2）
5.123
64
/162023/
=====---n
x x x
x
x
z σμσμ 0668
.09332.01)5.1(1)23(1)23(=-=Φ-=≤-=>x P x P （3）
}{
8186
.018413.09773.01)1()2()2()1()12()2216(64
/1620
2264/162016=-+=-Φ+Φ=
-Φ-Φ=<<-=<<=<<--z P z P x P
例8.某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。

试求：
（1）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？ （2）使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？
（3）以均值为中心，95%的灯管的使用寿命在什么范围内？ 解：设X=“该种节能灯管的使用寿命”，根据题意：X ～N(1050,2
200)，因此，
（1）
{}
00298.099702.01)75.2(175.2)500(200
1050
500=-=Φ-=-=<
=<-Z P X P
由此可知该种节能灯管使用寿命在500小时以下的灯管约占0.298%。

（2）8186
.015865.097725.0)1()2()21()()1450850(200
1050
14502001050850=-=-Φ-Φ=≤≤-=
≤≤=≤≤--Z P Z P X P
由此可知该种节能灯管使用寿命在850～1450小时的灯管约占81.86%。

（3）95.0)(=≤K Z P ,由标准正态分布函数值表可知，K=1.96,即有：
{
}
{}95.0392105096.11050=≤-=≤=
-X P Z P X
95%的灯管的使用寿命在均值左右392小时（即658～1442小时）的范围内。

例9：总体的均值为50，标准差为8，现从该总体中随机抽取容量为64的样本，则样本均值和抽样分布的标准差分别是多少？
解：现从某一不知如何分布的总体中抽取容量为64的样本，可以断定该样本均值服从正态分布。

因此，样本均值的数学期望等于总体均值，即：
50)(==μx E
而样本均值抽样分布的标准差为，164
8==
=
n
x σ
σ
例10：某快餐店记录了过去5年每天的营业额，每天营业额的均值为2500元，标准差为400元。

由于在某些节日的营业额偏高，所以每天营业额的分布是右偏的。

假设现从这5年中随机抽取100天，并计算这100天的平均营业额，则样本均值的抽样分布是什么？
解：根据中心极限定理，对于一个抽自任意总体（均值为μ，标准差为σ）样本容量为n 的随机样本。

当n 充分大（n ≥30）时，样本均值 的抽样分布将近似于一个具有均值
和标准差 的正态分布。

因此， 样本均值的数学期望就是总体均值
而，标准差 最后得到样本均值的抽样分布是服从均值为2500元，标准差为40元的正态分布。

x μμ=x n x σσ
=2500==μμx 4010400
100400====n x σσ。