数的整除特征基础篇)
小学数学竞赛七数的整除特征
小学数学竞赛七数的整除特征数的整除是数学中的基本概念之一，广泛应用于数论和代数等数学领域。
在小学数学竞赛中，了解数的整除特征是非常重要的，因为它能够帮助我们更好地进行数的计算和分析。
本文将介绍数的整除的基本定义和特征，以及一些常见的整除规则和应用。
首先，我们来回顾一下数的整除的定义。
对于任意两个非零整数a和b，如果存在一个整数c使得a=bc，那么我们说a可以被b整除，或者说b可以整除a，记作b，a。
在这里，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
与此相关的概念还有倍数和约数。
如果一个数a可以被另一个数b整除，那么b是a的约数，a是b的倍数。
接下来，我们来研究数的整除的一些特征。
首先，任意整数a都可以被1整除，即1，a。
这是因为任意整数a都可以写成a=1×a，其中1是a的约数，a是1的倍数。
另外，任意整数a都可以被自身整除，即a，a。
这是因为任意整数a都可以写成a=a×1，其中a是a的约数，a是a的倍数。
再次，我们来研究一些整除的规则和性质。
首先，如果一个数a能够整除数b，而b能够整除数c，那么a一定能够整除数c。
这个性质可以用简单的代数证明来证明。
假设a，b，b，c，那么根据整除的定义，我们可以找到整数m和n使得b=am，c=bn。
代入式子中得到c=a(mn)，由此可知a，c。
这个性质可以帮助我们在计算中进行整除的简化，将较大的数按照因数的形式进行分解。
第二，如果一个数a能够整除数b，那么a一定能够整除b的倍数。
这个性质也可以通过代数证明来证明。
假设a，b，那么根据整除的定义，我们可以找到整数m使得b=am。
如果计算b的倍数，那么b的一些倍数可以写成nb=n(am)=(na)m，其中na是b的一些倍数。
所以，通过这个性质，我们可以将整除的计算转化为计算倍数，从而简化问题的解决过程。
接下来，我们来讨论一些常见的整除规则和应用。
首先，如果一个数是10的倍数，那么这个数一定能够被10整除。
整除特征初步
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），
并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即： 如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
2.数的整除性质
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积 能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
第8讲
整除问题初步
目录
01 简单的尾数判断法 02 数字和判断法 03 位置原理初识
第一部分添加：文字简添单加文的字尾数判断法
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
添加文字
知识点总结：数的整除特征
被2整除：一个数的个位数字如果是0，2，4， 6，8中的一个 被5整除：一个数的个位数字如果是0，5中的 一个
例1
下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？ 末一位 （2）哪些能被4整除？添哪加些文能字被25整除？ 末两位 （3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？
第三部分添加：文字同添时加文满字足多个数的整除 特征
例5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 （1）238 ，63 2能被2整除，又能被3整除。
（2）5 0，4 ， 89 同时能被2，5，3整除。
练5
在下面每个数的 里填上一个数字，使它符合所提要求。 5 2 既能被3整除，又能被2整除，又能被5整除，那么一 共有（ ）种填法。
数的整除特征(一)教案
数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
数的整除知识要点和例题讲解
要点考点一、整数和除尽的联系和区别整除和除尽，它们所除的结果都没有余数，这是它们的共同点。
“除尽”包括“整除”，“整除”是除尽的一种特殊情况。
二、整除数的特征1．能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8。
2．能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3．能被3(或9)整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。
例如：6，12，108，204，354都能被3整除，其中108又能被9整除。
注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但能被9整除的数一定能被3整除。
三、质数和合数1．一个数只有l和它本身两个约数，这个数叫做质数(素数)。
2．一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
3．1既不是质数，也不是合数。
4．自然数按约数的个数可分为：1、质数、合数。
5．自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数。
四、分解质因数1．每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=3×3×2，3、3和2叫作18的质因数。
2．把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
3．特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。
(1)如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数；较小数是它们的最大公约数。
(2)如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。
五、名师讲解例1：下面的式子中哪个表示除尽，哪个表示整除?A．6÷0．5=12 B．10÷0．2=50 C．5÷10=0。
5D．38÷19=2 E．1÷7=1/7[分析]根据除尽的概念可知，算式A、B、C、D的余数都为零，所以A、B、C、D都属于除尽。
整除不仅要求余数为零，而且被除数、除数、商都必须是自然数，所以符合整除的只有D。
第八讲 整除特征初步
1. 学会尾数判断法；2. 学会数字和判断法。
1. 尾数判断法（1）能被2, 5整除的数的特征：看个位。
如果一个数的个位能被2或5整除，则这个数就能被2或5整除。
（2）能被4, 25整除的数的特征：看末两位。
如果一个数的末两位能被4或25整除，则这个数就能被4或25整除。
（3）能被8, 125整除的数的特征：看末三位。
如果一个数的末三位能被8或125整除，则这个数就能被8或125整除。
2. 求和判断法能被4, 25整除的数的特征：如果一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数就能被3（或9）整除。
3. 同时满足多个数方法：逐一满足【例 1】 下面6个自然数：152，650，434，4375，9064，24125中， （1）哪些能被2整除？哪些能被5整除？（2）哪些能被4整除？哪些能被25整除？（3）哪些能被8整除？哪些能被125整除？（4）这些数除以4的余数分别是多少？【例 2】（1）修改5679中的一个数字，使这个四位数能被5整除，修改后的四位数是多少？（2）修改675479中的一个数字，使这个六位数能被25整除，修改后的六位数是多少？第八讲 整除特征初步例题精讲知识点拨教学目标()【巩固】（1）修改34575中的一个数字，使这个五位数能被4整除，修改后的五位数是多少？（2）修改675447中的一个数字，使这个六位数能被8整除，修改后的六位数是多少？【例 3】有六个自然数：5762；3105；9631；7953；2945；3281（1）哪些能被3整除？不能被3整除的余数分别是多少？（2）哪些能被9整除？不能被9整除的余数分别是多少？【例 4】AA能被3整除，求A。
（1）四位数31AA能被9整除，求A。
（2）五位数232【巩固】下面每个数中的字母分别是多少时，这个数能被3整除？都有哪些填法呢？B563C618D162A541【例 5】在下面每个数的□里填上一个数字，使它符合所提要求。
（1）能被2整除，又能被3整除。
数的整除知识点总结
数的整除知识点总结数的整除是数论中的一个基本概念，也是初等数学中的重要内容。
它与因数、倍数和约数等概念密切相关，对于解题和推理都有着重要的作用。
下面将对数的整除进行详细总结。
一、定义：如果整数a能够被整数b整除，即a/b是整数，那么称a是b的倍数，b是a的因数。
可以用数学表达式a=b*k来表示，其中k是整数。
二、性质：1.任何一个整数都是它自身的倍数，也是它自身的因数，即a是a的倍数，a是a的因数。
2.任何一个正整数都是1的倍数，即对于任何整数a，都有a是1的倍数。
3.任何一个整数都是它自身的因数，即对于任何整数a，都有a是a的因数。
4.如果a是b的倍数，b是c的倍数，那么a也是c的倍数，即若a是b的倍数且b是c的倍数，则a是c的倍数。
5.如果a是b的倍数，b是a的倍数，那么a和b是互为倍数，即a是b的倍数且b是a的倍数，则a和b互为倍数。
6.如果a是b的因数，b是c的因数，那么a也是c的因数，即若a是b的因数且b是c的因数，则a是c的因数。
三、判断一个数能否整除另一个数的方法：1.因式分解法：将被除数和除数都分解成质因数的乘积形式，然后进行比较。
如果被除数的质因数包含除数的质因数，并且对应质因数的指数均大于等于相应的质因数的指数，则被除数能够整除除数。
2.试商法：用除数去除被除数，如果商是整数且余数为0，则被除数能够整除除数，否则不能整除。
四、整除的性质：1.整除关系具有传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，则a 能够整除c。
2.整除关系具有反对称性，即如果a能够整除b，b能够整除a，则a 和b相等或互为相反数。
3.整除关系具有自反性，即任何一个数都能整除它本身。
4.整除关系具有非传递性，即如果a能够整除b，b能够整除c，但a 不能整除c。
例如：2能整除4，4能整除8，但2不能整除8五、整数的混合运算与整除的关系：1.若a整除b，b整除c，则a整除c。
2. 若a整除b，b整除c，则a整除bc。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。
2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。
3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。
4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。
5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。
6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。
【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。
问：这样的三位数有几个？【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了元， 问：每本词典多少钱？【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习：1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除问：这样的五位数共有几个 2、2、在内填上合适的数使七位数能被72整除。
3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。
4能被11整除，求这个六位数。
5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？6、一个六位数37A46B 一一一一一一一一是99的倍数，求这个数除以33的商。
7、在15整除填上什么数字就能被45整除填上什么数字就能被21整除8、四年级有72名学生，共交5平均每人交多少钱9、四位数能被2和3中应填（ ）。
数的整除特征(1--11)
数的整除特征
1.能被2整除的数的特征：
个位是：0、2、4、6、8.
2.能被3整除的数的特征：
各位数字之和是3的倍数。
3.能被4整除的数的特征：
一个数的末尾2位数能被4整除。
4.能被5整除的数的特征：
个位是0或5.
5.能被6整除的数的特征：
个位数字是：0、2、4、6、8.且各位数字之和是3的倍数。
6.能被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
7.能被8整除的数的特征:
若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。
8.能被9整除的数的特征：
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
9.能被10整除的数的特征：
个位是0。
10 . 能被11整除的数的特征：
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
数的整除
2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。
数的整除特征(基础篇)
数的整除特征(上)
什么是整除？
若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：
末位系：2，5：看末一位
4，25：看末两位
8，125：看末三位
数字和系：3，9：看数字和
数字差系：11：看奇位和与偶位和的差
7，11，13系列：
⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；
⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：
⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例1
例2
例3
例4
(★★★)
在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
【先睹为快】
(★★★)
能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
(★★★★)
请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？
例5
例6。
整除的数有哪些特征
整除的数有哪些特征？整除的性质：（1）如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。
（2）如果a能被b整除，那么ac也能被bc所整除。
（3）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c所整除。
（4）如果a能被b，c所整除，且（b,c）=1，那么a也能被b×c整除。
（5）如果a、b、c两两互质，且a、b、c都能整除m，那么abc能整除m。
能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、19整除的数有哪些特征？1：所有整数2：所有偶数3：各个数位和为3的倍数4：偶数中4的倍数，后两位能被4整除5：个位为0或5的6：是3的倍数的偶数7：后三位与前几位的差能被7整除8：偶数中8的倍数，后三位能被8整除9：各个数位和为9的倍数10：末位为011：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数13：末三位与前几位的差能被13整除14：7的倍数中的偶数15：3的倍数中末位为0或5的16：偶数中16的倍数，后四位能被16整除的17：末三位与前几位的差能被17整除18：9的倍数中的偶数19：19的倍数（7和13的可能不对，这都是小学的知识，现在都快忘了，除了那几个常用的，绝大部分应该都是正确的）11整除的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差可以被11整除。
举例132。
（1+2）-3=0=0*1113整除的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。
举例143。
14+3*4=26=13*2最佳答案能被7、11、13整除的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数是17的倍数。
4的规律是：末两位的两位数能被4整除，则原数是4的倍数.125的规律：末三位的三位数能被125整除，则原数是125的倍数.整除的性质及应用整除有几个性质。
数的整除的特征
数的整除的特征我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k （k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数的整除特征
数的整除特征首先，我们来定义一下整除的概念。
对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们称b整除a，记作b，a。
其中，整数k就是a除以b的商。
例如，2整除8，可以表示为2，8，因为8=2*4有了整除的定义，我们就可以讨论整除的一些基本特征了。
首先，任何数都能被1整除。
这是因为对于任意一个整数a，都存在一个整数k=1，使得a=k*a，即a，a。
其次，对于任意一个整数a，a除以a的商为1，即a=a*1、因此，任何一个数都能被自身整除，即a，a。
接下来，我们来讨论一下整除特征中的一个重要性质，即整除的传递性。
如果整数a能够被整数b整除，而整数b能够被整数c整除，那么整数a也能够被整数c整除。
这是因为如果有a=k*b和b=m*c，其中k和m都是整数，那么可以将a表示为a=(k*m)*c，即a=k'*c（其中，k'=k*m），这样就证明了a能够被c整除，即a，c。
最大公约数在整数的整除特征中有很重要的应用。
一个重要的结论是，如果整数a能够被整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。
即，如果a，b，则GCD(a,b)=b。
这可以通过a=k*b和b=m*b，其中k和m都是整数，来进行证明。
因此，对于整除的判断可以使用最大公约数的概念来简化。
最后，我们谈到了整除特征在分解因式和求解方程中的应用。
通过观察一个数的因子和倍数的关系，可以将一个数进行因式分解，找到它的素数因子。
而有一些数论定理也基于整除特征，如唯一分解定理，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。
在求解方程中，对于形如ax≡b (mod n)的同余方程，如果数x满足这个方程，那么a和n都能够整除(ax-b)。
根据同余方程的性质，我们可以利用整除特征来求解方程。
总结一下，整除特征是研究整数之间整除关系的基本性质。
它涉及到整除的定义、整除的传递性、最大公约数、最小公倍数以及整除在因式分解和求解方程中的应用等。
整除判断法则
整除判断法则若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零，b为被除数，a为除数，即a|b（“|”是整除符号），读作“a整除b”或“b能被a整除”。
a叫做b的约数（或因数），b叫做a的倍数。
整除属于除尽的一种特殊情况。
常用辨别方法（1）1与0的特性： [1]1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数的特征若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）能被3整除的数的特征1，若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2，由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。
如111能被3整除。
（4）能被4整除的数的特征若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）能被5整除的数的特征若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）能被6整除的数的特征若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）能被7整除的数的特征1.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
同能被17整除的数的特征。
2.末三位以前的数与末三位以后的差（或反过来）。
同能被11,13整除的数的特征。
（8）能被8整除的数的特征若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）能被9整除的数的特征若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）能被10整除的数的特征若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）能被11整除的数的特征若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）能被12整除的数的特征若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
数的整除特性 讲义
【例1】(★) 自然数：14， 35， 80， 152， 650， 434， 4375， 9064， 24125中，请 问： (1) 能被2整除的有__________，能被4整除的有________，能被8整除 的有_______. (2) 能被5整除的有__________，能被25整除的有________，能被125整 除的有_____.
【例6】(★★★)
4. 因数分拆： 72＝8×9，18＝2×9
在所有各位数字互不相等的四位数中，能被45整除的数的最小是多少？ 【今日讲题】
例2，例3，例5
【讲题心得】
_____________________________________________________________
【家长评价】
_____________________________________________________________
2
【例2】(★★) 有如下9个三位数：452、387、228、975、525、882、715、775、837.这 些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？
【拓展】(★★) 在□里填上适当的数，使得七位数 □7358□□能同时被8、9、25整除， 那么这个七位数是多少？
1
知识要点屋 3. 差系，7、11、13
【例5】(★★★)
知识大总结
两个四位数 A275和 275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B. 1. 尾数系， (2, 5) 、(4, 25)、 (8, 125)
2. 和系，3、9
⑴ 数字和能否被3、9整除.
⑵ 划数法，划掉3、9的倍数.
数的整除特征特点
数的整除特征特点
数的整除特征特点
一、尾数判断法:
(1) 能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除。
(2) 能被4、25 整除的数的特征：末两位能被4或25整除。
(3) 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除。
二、数字求和法
（1）能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除。
三、奇偶位求差法
（1）能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。
四、三位截断法
（1）能被7、11、13整除的数的特征：“末三位数字组成的数”与“末三位以前的数字组成的数”之差能被7或11或13整除。
整除特征：
7：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
（如果数字太大仍然不能直接观察出来，就重复此过程。
）13：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
17：个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
19：个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
小学数学知识点数的整除
小学数学知识点数的整除小学数学知识点汇总数的整除在我们上学期间，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是店铺帮大家整理的小学数学知识点数的整除，希望能够帮助到大家。
小学数学知识点数的整除篇1整除的意义整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）除尽的意义甲数除以乙数，所得的商是整数或有限小数而余数也为0时，我们就说甲数能被乙数除尽，（或者说乙数能除尽甲数）这里的甲数、乙数可以是自然数，也可以是小数（乙数不能为0）。
因数和倍数1、如果整数a乘整数b整除等于整数C，a和 b就是C的因数，C就是a和b的倍数。
（a.b.c都为非0整数）2、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
3、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的是它本身，它没有最大的倍数。
奇数和偶数1、能被2整除的数叫偶数。
例如：0、2、4、6、8、10……注：0也是偶数2、不能被2整除的数叫奇数。
例如：1、3、5、7、9……整除的特征1、能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8。
2、能被5整除的数的特征：个位上是0或5。
3、能被3整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3整除，这个数就能被3 整除。
质数和合数1、一个数只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（素数）。
2、一个数除了1和它本身外，还有别的约数，这个数叫做合数。
3、1和0既不是质数，也不是合数。
4、自然数按约数的个数可分为：质数、合数0和15、自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数分解质因数1、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=3×3×2，3和2叫做18的质因数。
2、把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法来分解质因数。
奥数专题数的整除特性
奥数专题
下列数字哪些能被2整除，哪些能被5 整除？
① 125，②756， ③1011， ④2450， ⑤7855 ,⑥8104，⑦9152，⑧70975
能被2整除：②、④、⑥、⑦ 能被5整除：①、④、⑤、⑧
（一）数旳整除特征：
假如具有某个条件旳数，都能被 整数b整除，反过来，能被b整除旳 数，都具有这个条件，那么这个条 件就叫做被b整除旳数旳特征.
（二）数旳整除特征
1.能被2或5整除旳数旳特征是： 这个数旳末 一位能被2或5整除. 2.能被4或25整除旳数旳特征是： 这个数旳末两位能被4或25整除. 3. 能被8或125整除旳数旳特征是： 这个数旳末三位能被8或125整除.
练习1
（1）下列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
能被4整除旳是： 能被25整除旳是：
练习1
（1）下列整数 ①53728， ②375， ③1011， ④328925，⑤8421862，⑥8150， ⑦73600，⑧309108.
能被4整除旳是：①、④、⑦、⑧ 能被25整除旳是：②、⑥、⑦、
练习1（2）能被4整除来自最大四位数________.（3）能被8整除旳最小四位数是
除数
• 能被整除旳数旳特征
2或5 4或25 8或125
末位数能被2或5整除 末两位数能被4或25整除 末三位数能被8或125整除
7、11、13 • 一种整数旳末三位与末三位此 前旳数字构成旳数旳差能被7， 11或13整除
，
最大三位数
..
练习1
（2）当m＝ 7 时，能被25整除.
（3）能被4整除旳最大四位数___9996__.
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数的整除特征(上)
什么是整除？
若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。
常见数的整除特征：
末位系：2，5：看末一位
4，25：看末两位
8，125：看末三位
数字和系：3，9：看数字和
数字差系：11：看奇位和与偶位和的差
7，11，13系列：
⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；
⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：
⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(★★★)
两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例1
例2
例3
(★★★)
四位偶数64WW能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
例4
(★★★)
在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
【先睹为快】
将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab
ab ab ab L 1442443
个正好是91的倍数，试求ab ＝___________。
(★★★)
能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
(★★★★)
请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？
例5
例6。