2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷
试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题(含答案解析)
2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日 上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a a b ab b a ab b--+=-+ 2. 若y xa x z+=，z y b y x +=，x z c z y +=，则()()()b c a c a b a b c +-+-+-的值为3. 已知ABCD 是等腰梯形， ABIICD ，AB=6，CD=16，△ACE 是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD ，则AE 的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。
12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n2014上海市初三数学竞赛试卷解答（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+= -+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z ++++++=的非负整数解（x ,y ,z ）的组数为5.在三角形ABC 中，∠ABC=440，D 是边BC 上的一点，满足DC=2AB, ∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy 上，由不等式221x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x 的方程2221130a x ax a ++-=有两个整数根的所有正实数a 是8. 设20142的所有正约数为d 1,d 2,…,d k ,则12111 (201420142014)k d d d +++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 解关于x 的方程：(1)xx x x x a x x+--=++⨯=⨯, 10.如图，在凸四边形ABCD中，已知∠ABC+∠CDA =3000，AB CD BC AD⨯=⨯求证：AB CD AC BD11. 已知边长为a的正方形ABCD的内部有n个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n个圆的面积之和小于a。
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
历届 最近十年 (新知杯)上海市初中数学竞赛试卷及答案(含模拟试题及解答)
新 知 杯 模 拟 试 题一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数b a ,，定义b a *=b b a a ++)(，已知5.285.2=*a ，则实数a 的值是_________。
2. 在三角形ABC 中，，其中，，a CA a BC b AB 2122==-=b a ,是大于1的整数，则=-a b 。
3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。
4. 已知关于x 的方程02)2()3(2234=++++++k x k x k x x 有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。
5. 如图，直角三角形ABC 中1=AC ，2=BC ，P 为斜边AB 上一动点。
BC PE ⊥,CA PF ⊥，则线段EF 长的最小值为 。
6. 设b a ,是方程01682=++x x 的两个根，d c ，是方程01862=+-x x 的两个根，则()()()()d b d a c b c a --++的值为 。
7. 在平面直角坐标系中有两点()1,1-P ，()2,2Q ,函数1-=kx y 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。
8. 方程2009=xyz 的所有整数解有 组。
9. 如图，四边形ABCD 中CD BC AB ==,78=∠ABC ,162=∠BCD 。
设BC AD ,延长线交于E ，则=∠AEB _________________.EEC10. 如图，在直角梯形ABCD 中，90=∠=∠BCD ABC ,10==BC AB ,点M 在BC上，使得ADM ∆是正三角形，则ABM ∆与DCM ∆的面积和是________________。
二、（本题15分）如图，ABC ∆中，90=∠ACB ,点D 在CA 上，使得，，31==AD CD 并且，BAC BDC ∠=∠3求BC 的长。
最新上海新知杯高中数学竞赛试卷及答案资料
ODCBA2012上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．如图，正六边形111111A B C D E F 的边长为1，它的6条对角线又围成一个正六边 形222222A B C D E F ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ．2．已知正整数1210,,,a a a 满足：3,1102>≤<≤ji a i j a ，则10a 的最小可能值是 ． 3．若17tan tan tan 6αβγ++=，4cot cot cot 5αβγ++=-，cot cot αβγβcot cot +αγcot cot +517-=，则()tan αβγ++= ．4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 ．5．如图，∆AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知90∠=︒AEF ， ,,==>AE a EF b a b ，则=x ． 6．方程1233213+⋅-+=mnn m 的非负整数解(),=m n ．7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 ．（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++===-=++n n n n na a a a a n n n .若201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为 ． 二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =， 对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=︒，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围．10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin )()1sin a x x f x x++=+的最小值．11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=； 求证：（1）43xy yz zx ++≥；（2）2x y z ++≥．12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥，记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件的子集A 的元素个数的最小值：①1,21nA A ∈-∈；②A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和．（1）求(3)f 的值；（2）求证：(100)108f ≤．2012上海市高中数学竞赛（新知杯）参考答案12、923、114、(){},04-∞ 52 6、()()3,0,2,2 7、25 8、40259．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得2222211()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ① …………………（2分）在△OBC 中，由余弦定理2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅∠，所以221OB OC OC +⋅=， ②由①，②得2OB OC ⋅= ③ …………………（5分）所以：144sin 2ABCD OBC S S OB OC BOC ∆==⋅⋅∠OC =⋅212x -=，故：()AB h x ⋅212x -=， 所以 ：21()2x h x x -=． …………………（10分）由③可得，210x ->，故1x >．因为222OB OC OB OC +≥⋅，结合②，③可得：221(1)22x +≥解得（结合1x >）11x <≤．综上所述，21()2x h x x-=，11x <≤． …………………（14分）10．解 (sin )(4sin )3(1)()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x ++-==++++++．当71a <≤时，02≤，此时：3(1)()1sin 221sin a f x x a a x-=++++≥++，且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立，故min ()2f x a =+． ………（6分）当73a >2>，此时“耐克”函数3(1)a y t t-=+在(内是递减，故此时min 3(1)5(1)()(1)2222a a f x f a -+==+++=．综上所述，min 72,1;3()5(1)7,.23a a f x a a ⎧+<≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩ …………………（14分） 11．证 （1）记t =33223xy yz zx xyz ++⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭．…………………（4分）于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+， 所以 ()()2323320t t t -++≥，而23320t t ++>，所以320t -≥，即23t ≥，从而43xy yz zx ++≥． …………………（10分） （2）又因为：2()3()x y z xy yz zx ++≥++，所以 2()4x y z ++≥，故 2x y z ++≥． …………………（16分） 12．解 （1）设集合{}31,2,,21A ⊆-，且A 满足（a ），（b ）．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ），故3A >．又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7, {}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ），故4A >．而集合{}1,2,4,6,7满足（a ），（b ），所以(3)5f =． …………………（6分） （2）首先证明：(1)()2,3,4,f n f n n +≤+=． ①事实上，若{}1,2,,21n A ⊆-，满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}1122,21n n B A ++=--，由于12221n n +->-，故()2B f n =+．又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-，所以，集合{}11,2,,21n B +⊆-，且B 满足（a ），（b ）．从而：(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分）其次证明： (2)()1,3,4,f n f n n n ≤++=． ②事实上，设{}1,2,,21n A ⊆-满足（a ），（b ），且A 的元素个数为()f n ． 令{}222(21),2(21),,2(21),21nn n n n B A=----，由于 222(21)2(21)2(21)21nnn n n -<-<<-<-，所以{}21,2,,21n B ⊆-，且()1B f n n =++．而12(21)2(21)2(21),0,1,,1k nknknk n +-=-+-=-， 2212(21)(21)nnnn-=-+-，从而B 满足（a ），（b ），于是：(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分）由①，②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③反复利用②，③可得(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）。
2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题
1
二. 解答题 (本题满分 60 分) 9. (本大题共 14 分) 在锐角三角形 ABC 中, 已知 ∠A = 75◦ , AC = b, AB = c. 求三角形 ABC 的外接正三角形面积的最大值.
10. (本大题共 14 分) 设 n 是给定的大于 2 的整数. 有 n 个外表上没有区别的袋子, 第 k 个袋中有 k 个红球, (n − k ) 个白球, k = 1, 2, . . . , n. 把这些袋子混合后, 任取一个袋子, 并且从中连续取 出三个球 (每次取出不放回), 求第三次取出. . . , 11}, 对 S 的每一个 7 元子集, 将其中的 7 个数从小到大排列, 取出中间的数, 则所有取出的中间数的和等于 .
8. 将 900000 个五位数 10000, 10001, . . . , 99999 打印在卡片上, 每张卡片上打印一个五位数. 有些 卡片上所打印的数, 如 19806 倒过来看是 90861, 有两种不同的读法, 会引起混淆, 则不会引起 混淆的卡片共有 张.
3
12. (本大题共 16 分) 求 1, 2, . . . , n 的排列 a1 , a2 , . . . , an 的个数, 使得 |ak − k | ≥ k = 1, 2, . . . , n 成立.
n−1 对正整数 2
4
2
11. (本大题共 16 分) 正实数 x, y, z 满足: 2 ≤ z ≤ min {x, y } 5 4 xz ≥ 15 1 yz ≥ 5
求
1 2 3 + + 的最大值. (这里, min {x, y } 表示实数 x, y 中的较小者.) x y z
2014 年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
上海历届新知杯试题
Image
轨迹的总长是＿＿＿＿＿（保留π）。 Image
9、如图，△ABC中，AB＝BC＝10，点M、N在BC上，使得MN＝AM＝4， ∠MAC＝∠BAN，则△ABC的面积是＿＿＿＿。
10、△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝10，BC＝8，则AC的长是＿＿＿＿。 二、（本题16分） ，均为正整数，若关于的方程的两个实数根都大于1，且小于2，
则S△DEF∶S△ABC= ．
14．已知a、b、c都是整数，且对一切实数x，都成立，则这样的有序数
组（a，b，c）共有 组．
15．如图，I是Rt△ABC（）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB
于E、F．已知，，则用m、n表示S△ABC=
．
B
C
A
E
F
m
n
I
求，的值。
三、（本题16分） 如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在
BC、CD上，使得△CMN的周长为2。求 （1）∠MAN的大小； （2）△MAN面积的最小值。
Image
四、（本题18分） 某学生为了描点作出函数的图象，取自变量的7个值：，且，分别算
出对应的的值，列出下表：
式的乘积，则这样的n共有＿＿＿＿＿个。 6、设正整数m，n满足m < n，且，则的值是＿＿＿＿。 7、数1，2，3，…，按下列方式排列：
12…
…
……
…
任取其中一数，并划去该数所在的行与列；这样做了次后，所取出的个 数的和是＿＿＿。
8、如图，边长为1的正三角形ANB放置在边长为MN＝3，NP＝4的正方形 MNPQ内，且NB在边NP上。若正三角形在长方形内沿着边NP、PQ、 QM、MN翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A在翻转过程中形成
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
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2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
试卷：2014年上海市新知杯初中数学试题
2014上海市初三数学竞赛试卷（2014年12月7日上午9：00—11:00）解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每小题10分，共80分）1.化简：3223222a ab ab ba ab b--+=-+2. 若y xax z+=，z yby x+=，x zcz y+=，则()()()b c a c a b a b c+-+-+-的值为3. 已知ABCD是等腰梯形，ABIICD，AB=6，CD=16，△ACE是直角三角形，∠AEC=900，CE=BC=AD，则AE的长为4. 方程2014xyz xy yz zx x y z++++++=的非负整数解（x,y,z）的组数为5.在三角形ABC中，∠ABC=440，D是边BC上的一点，满足DC=2AB,∠BAD=240，则∠ACB 的大小为6. 在直角坐标平面xOy上，由不等式221xyx y⎧≤⎪≤⎨⎪-≤⎩确定的区域的面积为7. 使得关于x的方程2221130a x ax a++-=有两个整数根的所有正实数a是8. 设20142的所有正约数为d1,d2,…,d k,则12111...201420142014kd d d+++=+++二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分）9. 解关于x 的方程：(1)x x x x x a x x+--=++10.如图，在凸四边形ABCD 中，已知∠ABC +∠CDA =3000，AB CD BC AD ⨯=⨯, 求证：AB CD AC BD ⨯=⨯11. 已知边长为a 的正方形ABCD 的内部有n 个圆，每个圆的面积都不大于1，且与正方形ABCD 的边平行的直线都至多与一个圆相交，求证：这n 个圆的面积之和小于a 。
12. （1）证明：可以将全体正整数分成3组A 1，A 2，A 3，使得对每一个整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3的每一组中都能取出两个不同的数，它们的和为n（2）证明：将全体正整数任意分成4组A 1，A 2，A 3，A 4，则存在整数15n ≥，在A 1，A 2，A 3 ，A 4中一定有一组A i ，在A i 中不存在两个不同的数，它们的和为n。
2000-2012年（新知杯）历年上海市初中数学竞赛试卷及答案（试题全与答案分开）
2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷解答本试卷可以使用科学计算器一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。
2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的值为______________。
3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。
4. 在矩形中，。
点分别在上，使得。
是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。
5. 使得是素数的整数共有___________个。
6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。
7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。
8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。
（这里表示不超过实数的最大整数。
）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。
已知，求证：或者，或者。
10. 解方程组。
11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。
（1）若，求的取值范围；（2）求证：。
12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程： 032=+-m x x ①， 02=++m x x ②，其中0≠m 。
若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。
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2013上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．若在区间2,3][上，函数c bx x x f ++=2)(与xx x g 6)(+=在同一点取相同的最小值，则函数)(x f 在2,3][上的最大值是 ．2．若d c b a ,,,为整数，且20137lg 5lg 3lg 2lg =+++d c b a ，则有序数组),,,(d c b a = ．3．已知函数222222)3()5()2(x x x x y +-+-+-=，则该函数的最小值是 ．4．已知线段9=+y x （0,0≥≥y x ）分别与y 轴，指数函数x a y =的图像，对数函数x y a log =的图像，x 轴交于点D C B A ,,,，其中1,0≠>a a ，若中间两点恰好三等分线段AD ，则a 的值是 ．5．如图，已知椭圆C ：12522=+y x 和⊙O ：122=+y x ，在椭圆内，且在⊙O 外的区域内（包括边界）所含圆的最大半径是 ．6．关于n m ,的方程431112=-+mn n m 的整数解),(n m = ．7．袋中有6 只红球与8 只白球, 任意抓5 只放入一个A 盒中，其余9 只球放入一个B 盒中，则A 盒中白球个数加B 盒中红球个数之和不是质数的概率是 (用数字作答)．8．若在集合},100!,99!,,3!,2!{1! 中删去一个元素后，余下元素的乘积恰好是一个完全平方数，则删去的这个元素是 ．二、解答题9．（本题满分12分）正整数列}{n a 的前n 项和为n b ，数列}{n b 的前n 项积为n c ，且12=+n n c b （*N n ∈），求数列}1{n a 中最接近2013 的数．10．（本题满分12分）已知正数p 及抛物线C ：px y 22=（0>p ），)0,6(p A 为抛物线C 对称轴上一点，O 为抛物线C 的顶点，M 为抛物线C 上任意一点，求||||AM OM 的最大值．11．（本题满分18分）已知不等式)()(5)(222*++>++ c b a ca bc ab k（1）若存在正数c b a ,,，使不等式)(*成立，求证：5>k ；（2）求所有满足下列条件的整数k ：存在正数c b a ,,使不等式)(*成立，且凡使不等式)(*成立的任意一组正数c b a ,,都是某个三角形的三边长．12．（本题满分18分）已知棱长为1 的正方体ABCDEFGH （如图），P 为它的8 个顶点构成的集合，对*N n ∈规定12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 满足A A =0，且对每个}12,,2,1,0{-∈n i ，1+i A 与i A 是P 中的相邻顶点．（1）求顶点n A 2所有可能的位置；（2）设n S 2表示C A n =2的所有12+n 个有序顶点组)(2210n A A A A 的个数, 求n S 2．。
2014年新知杯上海市高中数学竞赛_顾鸿达
）
＝
ｘ
－
ａｘ ＋
Ｙ
的 取值范 围 是
．
（
1
6
分 正 实数
）
ｉ
ａｔ 、
ｙ
、ｚ
满足
恒 为 正 值 则实 数
，
ａ
．
，
ｙ
＾ｚ ＾ｍ
ｎ
Ｕ
，
ｒ
｝
，
4
．
数 列 ⑷ 定 义如 下
2
＝
：
4
ｚ 7
＾
ｙ
ｌ
ｒ ＾ ＾
＝ ＋
1
2
（
2 ／ｌ ＋
1
Ｋ
＝
（
、
＋
＋
）
－
．
．
ｘｚ ＾
＇
Ｊ
，
取 出 中 间 厶ｃ ｏ
？
ｓ
0
（ ｌ
．
ｘ ＋ ａ ｓ ｉｎ 6
＇
－
ｊ
ａ ｂ ＝ 0
．
的 数 则 所有取 出 的 中 间 数 的 和 等 于
8
1
？
则
＼ ＿
ｄ
ｌ
2
将
9 0 0 0 0
1
，
个 五 位数
1
，
…
ｂ
＾＾
2 2
ｃ ｏＳ
ｄ
－
ａｂ
＼
0
0 0 0
2 4
中 等 数 学
2 0
1
4
．
年 新知 杯上 海市高 中 数 学 竞赛
(完整版)2007--2011年“新知杯”上海市初中数学竞赛试题(设好格式,A4打印即可)
QP E DC BAF P E DCBA2008年“新知杯”上海市初中数学竞赛一、填空题：1、如图：在正ABC ∆中，点D 、E 分别在边BC 、CA 上，使得AE CD =，AD 与BE 交于点P ，AD BQ ⊥于点Q .则=QBQP_____________. 2、不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 都成立.则实数a 的最大值为_____________. 3、设n a 表示数4n 的末位数.则=+++200821a a a _____________.4、在菱形ABCD 中，︒=∠60A ，1=AB ，点E 在边AB 上，使得12:EB :AE =，P 为对角线AC 上的动点.则PB PE +的最小值为_____________.5、关于x 的方程12122+=--a a x ax 的解为_____________. 6、如图：设P 是边长为12的正ABC ∆内一点，过P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F .已知321::PF :PE :PD =.那么，四边形B D P F 的面积是_____________.7、对于正整数n ，规定n !n ⨯⨯⨯= 21.则乘积!!!921⨯⨯⨯ 的所有约数中，是完全平方数的共有_____________个.8、已知k 为不超过2008的正整数，使得关于x 的方程02=--k x x 有两个整数根.则所有这样的正整数k 的和为_____________.9、如图：边长为1的正111C B A ∆的中心为O ，将正111C B A ∆绕中心O 旋转到222C B A ∆，使得1122C B B A ⊥.则两三角形的公共部分（即六边形ABCDEF ）的面积为_________. 第9题图 第10题图10、如图：已知︒=∠=∠9DAC BAD ，AE AD ⊥，且BE AC AB =+.则=∠B _____________.二、如图：在矩形ABCD 内部（不包括边界）有一点P ，它到顶点A 及边BC 、CD 的距离都等于1，求矩形ABCD 面积的取值范围.FEDC三、已知实数x 、y 满足如下条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+4220202y x y x y x y x ，求y x -的最小值.四、如图：在凹六边形ABCDEF 中，A ∠、B ∠、D ∠、E ∠均为直角，p 是凹六边形ABCDEF 内一点，PM 、PN 分别垂直于AB 、DE ，垂足分别为M 、N ，图中每条线段的长度如图所示（单位是米），求折线MPN 的长度（精确到0.01米）.五、求满足不等式n n n n n <⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡131132的最大正整数n ，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数.2009年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（第1－5小题每题8分，第6－10小题每题10分，共90分）1、对于任意实数a,b ，定义,a ∗b ＝a(a ＋b)＋b, 已知a ∗2.5＝28.5，则实数a 的值是 。
上海市历届高中数学竞赛(新知杯)试卷及答案(1980-2012)
【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分 60 分，前 4 题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）
1．如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1，它的 6 条对角线又围成一个正六边
形 A2B2C2D2E2F2 ，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是
.
6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A(3, a) ， B (3, b) 使 ∠AOB = 450 ，其中 a 、b 均为整数，且
a > b ，则满足条件的数对 (a,b) 共有
组.
( ) 7.已知圆 C 的方程为 x2 + y2 − 4x − 2 y +1 = 0（圆心为 C ），直线 y = tan100 x + 2 与圆 C 交于 A 、B
2
22
解得（结合 x > 1 ）
1< x ≤ 2 +1．
综上所述， h(x) = x2 −1 ，1 < x ≤ 2 +1 ． 2x
…………………（14 分）
10．解 f (x) = (a + sin x)(4 + sin x) = 1+ sin x + 3(a −1) + a + 2 ．
1+ sin x
6
5
= − 17 ，则 tan (α + β + γ ) =
．
5
4．已知关于 x 的方程 lg (kx) = 2 lg ( x +1) 仅有一个实数解，则实数 k 的取值
范围是
．
5．如图， ΔAEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形，已知 ∠AEF = 90° ，
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2．4x2- - 4y2一口2+62—0．
3． ( o， 2] ． 4． 硒 4028． 5． ( 一 5， 一 3)U( 1， 3) ．
6．1511．
7．1980．8．88060．
二、解答题
9．设三角形DEF是三角形ABC的外接正三 角形，如图1所示．记么BAF=a，则由正弦定理可
得 AE一 唑 黠 掣 ， AF=警 罴 产 ． 叫 分
上海中学数学·2014年第6期
正值，则实数a的取值范围是 Nhomakorabea．
o
4．数列{z。}定义如下：z。=÷，z 。+。一 。
否乏茅#谕(n一1，2，…)，则z，+zz+…+zz。 t
●___ __________ __。_。。_ _●‘_____ 一●
5．不等式l og占( z2+2x一3) >z2+2x一16的
4结语 已知S。的关系式求通项公式a 。，是高考的常
见内容，所以有必要对课本的原题进行深入分类拓 展．另外，改编原题也符合数学教学的根本目的，在 变题的训练过程中，不但巩固学生已有的知识结构， 更让学生的推理能力、归纳领悟能力得到进一步的 升华与提高．
通过变题训练，学生可以归纳出相关解题方法． ( 1) 当前72项和S。与通项公式口。的关系比较 直接时，消S。求口。，如改编1、2． ( 2) 当不能转化为前n项和S。与通项公式n。 的直接关系时，消口。求S。， 如改 编3．
类 似 的 ， 由 占 ≤ 撕 ， 羔 ≤ 1， 得 土 +土 ： 旦 +
NY
j
j
‘
)
{ + c Y + c 一z 专》 一 寺q》。 专q， ÷ z 一 羔 ， ≤q》隽j’ 瓢 导j2
I Y) 一 导( 芳一万 2) 2+虿9≤虿 9． ……． ．14分
综上可得土+呈+旦一( 土+土) +2( 上+土)
z
～
z
z
z
～
z
≤ 4+2 ·=13，
当 z一 了 2， y=虿 1， z一 吾 时 ， 等 号 成 立 ．
1
o
n
所以三+兰+兰的最大值为13．………16分
12．先考虑咒为偶数的情况．设，z一2m( m为正 整 )．
对是一1，2，…，2m，由ak- - 志I ≥堡尹一m一号
及口。为整数知，
a ^≥m+忌 或a ^≤志一m，
因此，当n=2m+1时，符合题意的排列有2—1 +2”- 1=2”个．
综上所 述，当n为偶数 时，符合题 意的排列恰有 1个；当咒为奇数时，符合题意的排列恰有2孚个． ． ……………………………………………16分
( 命题人：李大元、熊斌、顾鸿达、刘鸿坤、叶 声扬)
2．
当口。，a。一。，…，a：均取定后，a。的取值方式唯 一确定，从而根据乘法原理知a 。， a。一。，…，a。 的取 法有2—1种．…………………………………14分
以上 表明 ，在符 合题 意的 排列中 ，满 足a ，十。 一1 的 排列 共 有2— 1个 ． 同理 可 知， 满足 a。 +。 =2 m+1 的排列亦有2—1个．
+寺口。一1+1．
两式作差，口。一2行一1+可1口。一可1口。一，，即口。一 一n。 一1+4n一 2．
．’．口。一2，z一一[ 口。一l 一2( 咒一1) ]，即{口。一2n) 是 以2为首项，一1为公比的等比数列．
．’．％一27z 一2×( 一1) ”1，即％=2X( 一1) ”1+2咒， 当，z一1，nl - -- - 4符合上式，．‘．an-- - -- 2×( - -1) ”1+2n．
为 P严 譬 ． … … … … … … … … … … 6分 咒
而选到第是个袋子的概率为上．故所求的概率
为
P=奎
k=l
R·l 咒2 J●
k奎=l n-—，‘ -_k
i¨ 1一n-17砉(1咒一是) P一
=嘉 霎 i 一 鲁 ． … … … … … … 叫 4分
11 7 - z mi n{z Y} { 1 11．．由由。；≤≤z u
s。S。一。+虿1( s。一s。一- ) ，．．．s。一巫￡Sn_- - 1j，两边取
倒，圭一一虿}+2，．·．贾1一·一一‘葛兰一·)．
即{1专¨一1}是以2为首项，-- 1为公比的等比数列．
历可二万而‘
·‘·如一Sn—S—t 一孬可j }丁可一
獗下毒雨可，咒≥2·
即当咒≥2，口。一彳三；：雯薹数，
10．( 本题满分14分) 设7z是给定的大于2的 整数．有7" 1个外表上没有区别的袋子，第k个袋中有 k个红球，( 靠一愚) 个白球，志一1，2，…，7" ／．把这些袋 子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球 ( 每次取出不放回) ，求第三次取出的是白球的概率．
11．( 本题满分16分) 正实数z，3，，z满足：
条件咒 ≥2与竹一 1两种情况的 考虑，能注 意咒一1时 对口。的 检验，留意是 否需分段表示 n。．
2改编2：已知S．=，( a。。n)
已知数列{n。}前挖项和S。一竹2+妄n。+1，求通 项公 式a。．
解法分析：当九=1，n1一S1—1+÷n1+1，．．．
t 2l =4．
当72≥2，。．．S。一竹2+寺n。+1，．‘．s ：一l 一( n- - 1) 2
解集是
．
6．设a1，a2，…，a2。14是正整数1，2，…，2014的
一个排列，记S^=a。+…+a^，k=1，2，…，2014，则
S。，S。，…，S：叭中奇数个数的最大值是
．
7．设S一{1，2，…，11) ，对S的每一个7元子
集，将其 中的7个数从 小到大排列，取 出中间的数，
则所有取出的中间数的和等于
(一 ~／ 孑 可 ，o)到 直 线 — xco— sOTyTsi nO=1的 距 离 的
n
D
乘积是
．
2．已知线段AB、CD的长分别为a 、b( n，6>
o) ．若线段AB、CD分别在X轴、3，轴上滑动，且使 得A，B，C，D四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程
是——．
3．若z ∈( 一1，1) 时，厂( z) 一z2一口z+詈恒为
r '，- - -- -- -- - -- -． -- -— —．·- -- -- - -- -- - -- -- -- - -- -- - -- -． ．．．．．． ．．．．．． ．—- -- -- - -- -- -- - -- 一
：：2．、／—bz+cz+2—bc os45。 一圭·√62+c2+bc(cosl5。+捂sinl5。) √3
a。+1，a。+2，…， a2。的 取法也是 唯一的 ．
因此当咒 一2m时，符合题意 的排列恰有1个．
………………………………………………6分
再考 虑行为大 于1的奇数的 情况． 设n=2m+1
( m为正整数) ．
类似于偶数的情形知，①对最一1，2，…，2m+1
成立，因此志+m≤口。≤2m+1( 1≤忌≤优) ，
上海中学数学·2014年第6期
2014年上海市高中数学竞赛( 新知杯) 试卷
( 2014年3月30日 星期日 上午8：30～10：30)
说明 ：解答本 试卷不得 使用计算 器
一、填空题I 本题满分60分。前4小题每小题7分。 后4小题每小题8分)
1．给定正实数n，6( n>6) ，两点( √7二矿，o) 、
F
图1
9
所以EF—AE+AF=兰[ ( bs i nl 5。COSq+
, ／3
6c。 s， 5。 si m)+(譬 f∞ 跗 +丢 csi m)] 一 去 [ (号 +
6cosl 5。) si n口+( 宰c+6sinl5。) co跚]
≤去 ／(2+bcosl 5。)2+(--压-23c+bsinl5。)2
l 詈u ≤z≤mi n{z，y)
k≥ 去
．
1
3，z≥寺
L
u
求{+鲁+导的最大值(这里，mi n{z，y。 }表示
Z
V
Z
实数z，Y中的较小者) ．
12．( 本题满分16分) 求1，2，…，咒的排列a。，
口。，…，口。的个数，使得I口。一志J ≥写}对正整数忌=
1，2，… ，n都成立．
参考答案
一、填空题
+c2+拉k) ．…………………………………14分
10 ．设 选 出的 是 第k个 袋 子， 连 续三 次 取球 的 方法数是咒( 7z一1) ( 7z 一2) ．
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下4 种情况：
48
上海中学数学·2014年第6期
臼，臼，臼，取法有( n一是) ( ，z一是一1) ( 行一是一2) 种；
白，红，白，取法有志( n- - k) ( n- - k- - 1) 种； 红，白，白，取法有量( n- - k) ( n- - k- - 1) 种； 红，红，白，取法有k( k- - 1) ( n- - k) 种． 所以，第三次取出的是白球的种数为( n- - k) ( 咒 一k一1) ( 咒一k一2) +忌( 咒一是) ( n一是一1) +志( 竹一k) ( 7z—k一1) +k( k一1) ( 靠一k) 一( 7z一1) ( 咒一2) ( 行一 是) ．………………………………………………4分 故在第愚个袋子中第三次取出的是白球的概率