第七章 非线性动力学及混沌 讲义

lim x(t ) x0 (t ) lim c 2 e t 0
t t
渐进稳定的
三. 线性稳定性分析
1. 线性稳定性定理
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
设 xi 0 (t ) 为方程的一个解(参考解)， 为研究该解的稳定性， 令 xi (t ) xi 0 (t ) i (t ) 为此解附件另一解，称扰动解 。
洛仑兹方程

10x 10 y x 28x y xz y z xy 8 z / 3
初值敏感性

不可预测性，混沌
初值敏感演示
杜芬（Duffing）方程： （带阻尼弹性系统的强迫振动）
x kx x F cost m x
f ( x, x ) x
2阶，1维
x1 x x 1 x2 x
1 x2 x 2 f ( x1 , x2 ) x
1阶，2维
n+1维自治
（2）非自治的 n维非自治
i 1 xi t , x
Duffing方程
x kx x3 F cost m x
第七章 非线性动力学与混沌 Chapter 7 Nonlinear Dynamics and Chaos
宋若龙 songrl@jlu.edu.cn 吉林大学物理学院
参考书

刘秉正， 《非线性动力学与混沌基础》， 东北师范大学出版社，1994

林振山，《非线性力学与大气科学》，南 京大学出版社，1993 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
i (t ) fi ( x10 1, x20 2 x j 0 j ) x
n
f f i ( x10 , x20 , , xn 0 ) ( i ) 0 j j 1 x j (t ) i 0 (t ) x i
f i i ( )0 j j 1 x j

§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义 数学上：
f ( x) ax b 2 f ( x) ax bx c
线性
非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。 例：
kx 2x 2 m x k mx 2 x
2. 线性化方程组的解及其稳定性
1 11 1 12 2 2 211 22 2
试探解：1 Aet , 2 Bet
f i ij ( ) 0 x j
12 A 11 0 22 B 21
11 12 0 21 22
T 11 22 系数矩阵的迹 11 22 12 21 系数行列式的值
特征矩阵
T 0
2
特征根
T T 2 4 1, 2 2
A1 B 1
A2 B2

3
x10 1,
10 0 x 20 0 x20 1.000001 , x
三. 常微分方程的一般形式
1. 自治方程与非自治方程
F(x, x ) m x F(x, x , t) m x
不显含时间，自治的 显含时间，非自治的
2. 常微分方程一般形式
（1）自治的
x1 x, x2 x
3 x3 cost , x4 x
1 x2 x k 3 F x x x x x3 2 1 1 2 m m m m x 3 x4 2 x x3 4
一阶常微分方程组

数值计算 系统的状态 相空间
x2
x1
平衡点，奇点 2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值
爆炸，散射
x2
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。

周期振荡
x2

准周期振荡
x2
闭合曲线
x1
非闭合曲线
x1

混沌 相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
二. 解的稳定性
Lyapunov稳定性定义：
(1) 0
T 2 4 0 两根都是实的，且符号相同，此时奇点称为结点。
T 0 不稳定的结点
T 0 稳定的结点
(2) 0 , T 2 4 0, T 0
两根都是复的，此时奇点称为焦点。
T 0
不稳定的焦点
T 0 稳定的焦点
(3) 0, T 0 两根都是纯虚数，解是等幅振荡，此时奇点称为中心。
x0 (t ) 是Lyapunov稳定的
例2.
解：
tx x
x(t ) t 1 ce
t
x0 (0) 1
x0 (0) 1
c2
x0 (t ) t 1 2et
x(0) x0 (0) 1 c 1 2 c 2
x(t ) x0 (t ) t 1 ce t 1 2e t c 2 e t
f (x) x
(1)
x ( x1, x2 ,, xn ) f ( f1, f 2 ,, f n )
解t0时为 x(t0 ) ， t时为 x(t ) 。如果对于任意小的数 0 ，总有一小数 0
存在，使得当 x(t0 ) x0 (t0 ) 时，必有 x(t ) x0 (t ) , t0 t 则称解x 0 (t ) 是Lyapunov意义下稳定的，简称Lyapunov稳定的或稳 定的。
i fi ( x1 , x2 ,, xn ) x
i 1,2,, n
优点：

四. 相空间（相图）的概念
相空间，也就是状态空间，是由广义坐标和广义动量（速度） 张成的空间，也称相宇。相空间中运动状态的变化轨迹称为相图。
弹簧振子 通解
x 0 x
2 0
x A cos(0t ) x1 A0 sin(0t ) x2 x
设想一位智者在某一瞬间得知激励大自然所有力及组成它的物体 的相互位置，如果这位智者又能对众多的数据进行分析，把宇宙间最 庞大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式中，没有什么事物 是不确定的，将来就像过去一样清晰地展现在眼前。
——拉普拉斯（Laplace，法国数学家，1749-1827）
2. 力学决定论不断受到挑战
参考态
xi 0 也是渐进稳定的。

(2) 两特征根中至少有一个实部为正 原点 i 0 是不稳定的 lim i
t
参考态
xi 0 也是不稳定的。

(3) 两特征根中至少有一个实部为零，另一个实部为负
原点 i 0 是Lyapunov稳定的 参考态 xi 0 处于临界情况。
T T 2 4 1, 2 2 3. 奇点的分类 （取非线性方程的奇点为参考态）
中心
鞍点
(4)
0
两根都是实数，一正一负，此时奇点称为鞍点。

稳 定 焦 点 不 中稳 心焦 点 鞍点
T 2 4 0
稳定结点
不稳结点
T
T T 2 4 1, 2 2
例： 分析阻尼单摆定态的稳定性
解：
2 2 sin 0 0
令 x1 , x2
1 f1 x1 , x2 x2 x 2 2 f 2 ( x1 , x2 ) 0 sin x1 2x2 x
0 x2 2 0 0 sin x1 2 x2

求定态解
1 0 x 2 0 x
(0,0) 两奇点 ( ,0)
n
——非线性方程组在参考态 xi 0 (t ) 附近的线性化方程组
i (t ) x i 0 (t ) x
若线性化方程的原点 i 0 是不稳定的，
i 0
则原非线性方程的参考态xi 0 (t ) 是不稳定的。 ——Lyapunov间接法
若线性化方程的原点 i 0 是渐进稳定的，则原非线性方程的参考态 xi 0 (t )是渐进稳定的；
t
是渐进稳定的。
(3)
不满足上述条件的解是不稳定的。
例1.
2t x
x0 (0) 1
x0 (0) c 1
1 解： x(t ) 2t t 2 c 2 x(0) x0 (0) c 1
x 0 (t ) 2t
1 2 t 1 2
x(t ) x0 (t ) c 1
代入方程
2 02
当阻尼为正阻尼且很小时 0 0
i , 02 2
x1 x Ae t cos(t ) Ae t [ cos(t ) sin(t )] x2 x 2 2 Ae t sin(t 0 )
1 x2 x 2 x x1 2 0
2 x12 x2 1 2 2 A ( A0 )
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
阻尼弹簧振子
通解
2x x 0 x
2 0
x Aet
2 0
2 2 0
1 x2 x 2 x 0 x1 2 x2 2
二. 决定性系统与不可预测性
1. 力学决定论及其伟大成就
F(x, x , t) x m x 0 x x 0 , x

t t0

(t ) x(t ), x
存在且唯一， 可预测性
1757年，哈雷慧星（Hally comet）按预测回归。 1846年，海王星在预言的位置被发现。 今天，日月蚀的准确预测，宇宙探测器的成功发射与回收。

1883年，英国流体力学家雷诺(Reynolds)的湍流实验。 （香烟） 1903年，法国数学家昂利•庞伽莱（Henri Poincare）从动力系统 和拓扑学的全局思想出发，指出动力学系统可能存在混沌特征。 1963，美国气象学家洛仑兹（Lorenz）在研究天气预报中大气流 动问题时发现了天气“对初始条件的极端敏感性”，将使长时间 的预测无法进行。后被形象地称为“蝴蝶效应” ：一只蝴蝶在巴 西扇一下翅膀，就可能在美国得克萨斯州引起龙卷风。

(2k ,0) (2k ,0)
1. 在奇点(0,0)处线性化方程组为
f1 f1 2 2 1 x1 0 x2 0 f 2 f 2 2 1 - 2 2 2 1 2 0 x x 1 0 2 0 1
x
x2
t
时空轨迹 相图
x1
小结

非线性动力学系统 决定性系统与不可预测性（初值敏感性） 一阶自治常微分方程组



相空间
§7.2 运动稳定性分析
一. 非线性方程解的各种形式 i fi ( x1 , x2 ,, xn ) i 1,2,, n x
1. 定态解
i 0 x
i 1,2,, n
临界情况 渐进稳定
T T 2 4 1, 2 2
1 c1 A1e c2 A2 e 1t 2 t c B e c B e 1 1 2 2 2
不稳定
1t
2 t
不稳定
T
不稳定

(1) 两特征根实部都是负的
lim i 0
t
原点 i 0 是渐进稳定的
x y ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) ( xn yn )
2 2
设t=t0时方程的解为 x0 (t0 ) ，t时为 x 0 (t ) ，另一受扰动而偏离它的

2 12

ຫໍສະໝຸດ Baidu
两矢量间的距离
(2)
如果解 x 0 (t ) 是稳定的，且 lim x(t ) x 0 (t ) 0 则称此解