(完整版)初三圆的复习讲义

圆的复习知识要点第一部分：【圆的知识点复习】1、圆有关的公式：周长：2c R π=面积2s R π=弧长180n Rl π=扇形面积2360n R l π= 2、圆的有关概念：<1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径。

同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。

等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

圆既是轴对称图形<经过圆心的任一条直线都是对称轴），又是中心对称图形<圆心是对称中心）。

<2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．<3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．<4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．<5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3、点与圆的位置关系：点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外⇔r d >；点在直线上⇔r d =；点在直线内⇔r d <。

4、圆的确定：确定圆的基本条件：<1）圆心——确定圆的位置<2）半径——确定圆的大小确定圆的方式：<1）已知圆心的位置与半径的长度<2）已知直径及其位置<3）不在同一直线上的三点5、三角形的外心和内心：1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

b5E2RGbCAP2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。

p1EanqFDPw说明：<1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。

DXDiTa9E3d<2）三角形的内心到三边的距离是相等的。

注：锐角三角形的外心在该三角形的内部直角三角形的外心为斜边的中点钝角三角形的外心在该三角形的外部6、圆的有关性质：<1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．<2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．RTCrpUDGiT<3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半．7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧<或劣弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组相等，那么他们所对应的其他三组量也分别相等。

5PCzVD7HxA运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论的注意事项<1）条件“在同圆或等圆中”不能丢，它是等弦、等弧的必不可少的大前提<2）弦所对的“弧相等”，指的是“弦所对的劣弧与劣弧、优弧与优弧相等”定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等8、垂径定理及推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦<不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。

2、如果圆的直径平分弦<这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。

3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。

4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并平分这条弦所对的弧。

5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。

6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并平分这条弦。

注：在圆中，当一条直线：<1）过圆心；<2）垂直于弦；<3）平分弦；<4）平分弦所对的弧<包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。

其中当<1）<3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有<2）<4）成立。

口决：jLBHrnAILg垂径定理不一般；题设结论二推三；定理推论也重要，总结起来共十条；求半径，连半径，弦的计算与证明；巧作垂线过圆心，构造直角三角形第二部分：【直线与圆的位置关系】一、直线与圆的位置关系的定义及有关概念：1、相交、相切、相离直线与圆的位置关系：①当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆。

②当直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆。

这时直线叫做圆的。

③当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆。

这时直线叫做圆的。

2 、直线与圆的位置关系的性质和判定。

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d<1）直线l与⊙O相交＜＝＞；<2）直线l与⊙O相切＜＝＞；<3）直线l与⊙O相离＜＝＞；3 、切线的性质定理：<1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径<2）符号语言：∵直线l切⊙O于点A，∴l⊥AO4、切线的判定定理：<1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

<2）符号语言：∵OA⊥AB，A在⊙O上，∴AB是⊙O的切线。

说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆的切线，千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线。

xHAQX74J0X5 、切线的判定方法。

判定切线有三种方法：方法：<1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

<2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。

<3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径，有时需添加垂线段，这两种方法简记为：<1）“连半径，证垂直”<2）“作垂直，证半径”第三部分：【圆与圆的位置关系】1、圆与圆的位置关系：①两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆。

②两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆。

这个唯一的公共点叫做。

LDAYtRyKfE③两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆。

④两个圆有唯一的公共点，并且除去这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆。

这个唯一的公共点叫做。

Zzz6ZB2Ltk⑤两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆。

当两个圆的圆心重合时，称它们为。

dvzfvkwMI12、如果两个圆的半径长分别为1R、2R，圆心距为d,那么两圆的位置关系可用1R、2R和d之间的数量关系表达① 两圆内含：。

② 两圆内切：。

③ 两圆相交：。

④ 两圆外切：。

⑤ 两圆外离：。

3、相交两圆的连心线垂直平分。

4、相切两圆的连心线经过。

第四部分：【多边形的外接圆】如果一个圆经过多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形注意：多于三边的多边形不一定有外接圆正多边形的中心角的度数=n ο360正多边形常用的计算公式：设正n 边形的中心角、半径、边心距、周长、面积分别是n α、R 、n a 、n r 、n p 和n S ，则：<1）正n 边形的内角和是<2）正n 边形的内角是，即<3）正n 边形的外角是<4）正n 边形的对角线的条数是习题讲解与演练1：．如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且OC AB ⊥，垂足为D ，CD=__________cm.rqyn14ZNXI2：Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，以A 为圆心，AB 为半径的圆交BC 于D ，求弦BD 的长。

EmxvxOtOco3：在半径为5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为6cm,8cm,则这两条平行弦之间的距离是多少？4、矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是SixE2yXPq55、 已知半径分别是17cm 和10cm ，⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB 的长是16cm ，求圆心距0102的长.6ewMyirQFL6：<2004年上海中考）在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=2错误!,圆A 的半径为1,如图5所示,若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合>,设BO=x,△AOC 的面积为y,<1）求y 关于x 的函数解读式,并写出函数的定义域。

kavU42VRUs <2）以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时,△AOC 的面积.7年上海中考）已知：如图6，圆O 是的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求证：四边形CEDF 是菱形.y6v3ALoS89A ，B ，C 三根木柱，使得A ，BB C O图5-2图5-1之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240M ，A 到BC的距离为5M ，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．M2ub6vSTnP 9：<2007年上海中考）已知：60MAN =o ∠，点B 在射线AM 上，4AB =<如图10）．P 为直线AN 上一动点，以BP 为边作等边三角形BPQ <点B P Q ，，按顺时针排列），O 是BPQ △的外心．0YujCfmUCw <1）当点P 在射线AN 上运动时，求证：点O 在MAN ∠的平分线上；<2）当点P 在射线AN 上运动<点P 与点A 不重合）时，AO 与BP 交于点C ，设AP x =，AC AO y =g ，求y 关于x 的函数解读式，并写出函数的定义域；<3）若点D 在射线AN 上，2AD =，圆I 为ABD △的内切圆．当BPQ△的边BP 或BQ 与圆I 相切时，请直接写出点A 与点O 的距离．10：<2008年上海中考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚<如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．eUts8ZQVRd<1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；A BM Q N P O 图10 A B M Q NP O备用图 O CA BC 图5<2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息<图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．课后练习1：<2008年上海中考）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=o，AD BC ∥<如图13）．E 是射线BC 上的动点<点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点． <1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解读式，并写出函数的定义域；<2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长；<3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．2.已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠B=30º，BC=6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE=3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．sQsAEJkW5T <1）求证：△BDM∽△CEN；<2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD=x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解读式，并写出定义域．GMsIasNXkA <3）是否存在点D ，使以M 为圆心,BM 为半径的圆与直线EF 相切,如果存在，请求出x 的值；如不存在，请说明理由．TIrRGchYzg B A DM E C 图13B A DC 备用图 A F M N。