(完整版)初三圆的复习讲义

圆的复习

知识要点

第一部分：【圆的知识点复习】

1、圆有关的公式：

周长：2c R π=面积2s R π=弧长180n R

l π=扇形面积2

360n R l π= 2、圆的有关概念：

<1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，

其中，定点为圆心，定长为半径。

同心圆：圆心相等、半径不同的两个圆。

等圆：半径相同、圆心不同的两个圆。

圆既是轴对称图形<经过圆心的任一条直线都是对称轴），

又是中心对称图形<圆心是对称中心）。

<2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

<3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做

圆周角．

<4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧

称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

<5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3、点与圆的位置关系：

点P 与圆心的距离为d ，则点在直线外⇔r d >；

点在直线上⇔r d =；

点在直线内⇔r d <。

4、圆的确定：

确定圆的基本条件：<1）圆心——确定圆的位置

<2）半径——确定圆的大小

确定圆的方式：<1）已知圆心的位置与半径的长度

<2）已知直径及其位置

<3）不在同一直线上的三点

5、三角形的外心和内心：

1、三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。b5E2RGbCAP

2、三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。

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说明：<1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。DXDiTa9E3d

<2）三角形的内心到三边的距离是相等的。

注：锐角三角形的外心在该三角形的内部

直角三角形的外心为斜边的中点

钝角三角形的外心在该三角形的外部

6、圆的有关性质：

<1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

<2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的

圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径．RTCrpUDGiT

<3）圆心角与圆周角的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆

周角等于它所对的国心角的一半．

7、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优弧<或劣弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组相等，那么他们所

对应的其他三组量也分别相等。5PCzVD7HxA

运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论的注意事项

<1）条件“在同圆或等圆中”不能丢，它是等弦、等弧的必不可少

的大前提

<2）弦所对的“弧相等”，指的是“弦所对的劣弧与劣弧、优弧与

优弧相等”

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等

8、垂径定理及推论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦<不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．1、如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。

2、如果圆的直径平分弦<这条弦不是直径），那么这条直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧。

3、如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦。

4、如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线必经过圆心，并

平分这条弦所对的弧。

5、如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并垂直于这条弦。

6、如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直

线经过圆心，并平分这条弦。

注：在圆中，当一条直线：<1）过圆心；<2）垂直于弦；<3）平分弦；<4）平分弦所对的弧<包括优弧和劣弧）.在这四种关系中，只

要有两种关系成立，则其余两种关系也成立。其中当<1）<3）成立时，注意只有在这条弦不是直径的情况下，才有<2）<4）成立。口决：jLBHrnAILg

垂径定理不一般；

题设结论二推三；

定理推论也重要，

总结起来共十条；

求半径，连半径，

弦的计算与证明；

巧作垂线过圆心，构造直角三角形

第二部分：【直线与圆的位置关系】

一、直线与圆的位置关系的定义及有关概念：

1、相交、相切、相离

直线与圆的位置关系：①当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆。

②当直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆。这时直线叫做圆的。

③当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆。这时直线叫做圆的。

2 、直线与圆的位置关系的性质和判定。

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d

<1）直线l与⊙O相交＜＝＞；

<2）直线l与⊙O相切＜＝＞；

<3）直线l与⊙O相离＜＝＞；

3 、切线的性质定理：

<1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径

<2）符号语言：∵直线l切⊙O于点A，∴l⊥AO

4、切线的判定定理：

<1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线。

<2）符号语言：∵OA⊥AB，A在⊙O上，∴AB是⊙O的切线。

说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆

的切线，千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线。xHAQX74J0X

5 、切线的判定方法。

判定切线有三种方法：

方法：<1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

<2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。

<3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的

切线。

说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径，有时需添加垂线段，这两种方法简记为：

<1）“连半径，证垂直”<2）“作垂直，证半径”

第三部分：【圆与圆的位置关系】