《数值分析》复习题(14)
数值分析复习题及答案
数值分析复习题一、选择题1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有〔 〕和〔 〕位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，那么A ＝〔 〕A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足〔 〕A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，那么它具有〔 〕敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程〔 〕.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，那么所得的近似值x=.2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 那么二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 那么2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式x =01x =， 那么 1______x =。
5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是 1______k y +≈。
数值分析 考试
江苏科技大学 数值分析复习
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2012-11-13
S ′(0.25) = 1.000, S ′(0.53) = 0.6868
提示：
h0 = x1 − x0 = 0.05, h1 = x2 − x1 = 0.09, h2 = 0.06, h3 = 0.08 5 3 3 计算： μ1 = , μ 2 = , μ3 = , μ 4 = 1 14 5 7 9 2 4 计算： λ1 = , λ2 = , λ3 = , λ0 = 1 14 5 7 f ( x1 ) − f ( x0 ) 计算： f [ x0 , x1 ] = = 0.9540, x1 − x0 f [ x1 , x2 ] = 0.8533, f [ x2 , x3 ] = 0.7717, f [ x3 , x4 ] = 0.7150
江苏科技大学 数值分析复习
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2012-11-13
一等价公式。 ln( x −
x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1) 计算，求对数时误差有多大？
解 ∵ f ( x) = ln( x −
x 2 − 1) , ∴ f (30) = ln(30 − 899) 。设 u = 899, y = f (30) ，则有 y = ln(30 − u ) * * 根据题意有 u = 29.9833 ，精度为 ε( u ) = ... 。 1 1 * 故 ε( y ) ≈ − ε( u* ) = iε( u* ) ≈ ... * 0.0167 30 − u
基函数： l1 ( x ) = 误差：自己做一下。 作业 2： 16. 求次数不高于 4 次的多项式 P(x)，使它满足 P (0) = P′(0) = 0, P (1) = P′(1) = 1, P (2) = 2 。 提示：方法有 1、方程组法，最简单。假设 P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x ；代入条件得 5 个方程，求解
数值分析复习题
一、判断题1. 区间[a,b]上，若f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在[a,b]内一定有实根。
2. 22/7作为π=3.1415926……近似值，它有3位有效数字。
3. 设P(x)和Q(x)都是n 次多项式，如果在n +1 个不同的节点x i 上都有P(x i )＝Q(x i )，则P(x)≡Q(x) 。
4. 取节点01231, 0, 2 ,4x x x x =-===作2()f x x =的插值多项式()p x ，则()p x 次数为2，插值基函数的次数为3。
5. 插值多项式严格通过所有的节点(x i ，y i )。
6. 若k<=n ，P(x)和Q(x)分别是 x k 的通过n +1 个不同的节点的牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式则P(x)≡Q(x)≡x k 。
7. 插值多项式次数越高，逼近效果越好。
8. 任何一组互异数据，逼近它们的多项式插值函数仅有一个。
9. 插值多项式次数与拟合曲线都严格通过所给定的数据点。
10. 求积公式：⎰30)(dx x f ≈。
f f f f 是插值型的)]3()2(3)1(3)0([83+++ 11. 牛顿-科特斯求积公式中的求积节点是等分的。
12. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的单根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
13. 高斯型求积公式是插值型的。
14. 一阶亚当姆斯格式是单步法。
15. 显式的亚当姆斯公式：+-=+-()n n n n h y y f f 1132是单步法。
16. 求初值问题数值解的四阶亚当姆斯公式是多步法。
17. 如果有一常微分方程数值解法的局部截断误差3111()()n n n T y x y O h +++=-=，则该方法是3阶的。
18. 用一般迭代法求方程()0f x =的根，如其迭代过程()1k k x x ϕ+=发散，则方程()0f x = 的无解。
19. 牛顿法求方程ƒ(x)=0的根, 在ƒ(x)可导的情况下, 至少二阶收敛。
数值分析整理版试题及答案
例1、 已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。
解：（1）插值基函数分别为()()()()()()()()()()1200102121()1211126x x x x x x l x x x x x x x ----===--------()()()()()()()()()()021*******()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+---+-()()()()()()()()()()0122021111()1121213x x x x x x l x x x x x x x --+-===-+--+-故所求二次拉格朗日插值多项式为()()()()()()()()()()()2202()11131201241162314121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==⎡⎤=-⨯--+⨯-+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦=---++-=+-∑（2）一阶均差、二阶均差分别为[]()()[]()()[][][]010*********011201202303,11204,41234,,52,,126f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----===----===---故所求Newton 二次插值多项式为()()[]()[]()()()()()20010012012,,,35311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-++++-=+-例2、 设2()32f x xx =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析期末复习资料
数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明第一章 误差与有效数字一、 有效数字1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
2、 两点理解：（1） 四舍五入的一定是有效数字（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. 3、 定理1（P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差限为 4、 考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、 避免误差危害原则 1、 原则：（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a ）（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14三、 数值运算的误差估计 1、 公式：（1） 一元函数：|ε*( f (x *))| ≈ | f ’(x *)|·|ε*(x )|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x *)）eg.P19习题1、2、5（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4*(1)11102n r a ε--≤⨯;x εx εx εx ++=-+();1ln ln ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+x εx εx x cos 1-2sin 22x =第二章 插值法一、 插值条件1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a ≤x 0＜x 1＜…＜x n ≤b 的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n 的多项式P(x)，使 2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n 的P(x)存在且唯一二、 拉格朗日插值及其余项1、 n 次插值基函数表达式（P26（2.8））2、 插值多项式表达式（P26（2.9））3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1三、 差商（均差）及牛顿插值多项式 1、 差商性质（P30）：（1） 可表示为函数值的线性组合（2） 差商的对称性：差商与节点的排列次序无关 （3） 均差与导数的关系（P31（3.5）） 2、 均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36） 两种解法：（1） 用定义做：设P 3(x)=ax 3+bx 2+cx+d ，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）（2） 牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14 五、三次样条插值定义n i y x P ii n ,,2,1,0)( ==（1） 分段函数，每段都是三次多项式（2） 在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续） （3）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章 函数逼近与曲线拟合一、 曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定ϕi ，解法方程组，列方程组求系数（注意ϕi 应与系数一一对应）eg.P95习题17 形如y=ae bx 解题步骤： （1） 线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代第四章 数值积分与数值微分一、 代数精度 1、 概念：如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度2、 计算方法：将f(x)=1,x,x 2, …x n 代入式子求解 eg.P100例1二、 插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n 次代数精度的充要条件是：它是插值型的。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差.3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。
01 。
6、 已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。
0000204 。
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 。
8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。
数值分析14差商(均差)的概念(精选)PPT文档20页
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
数值分析14差商的概念
数值分析14差商的概念差商，也称为均差，是数值分析中的一个重要概念。
它在差分法、数值插值以及数值微积分等领域都有广泛的应用。
差商的定义如下：给定n个不同的数x0，x1，x2，...，xn和函数f(x)，差商的定义为：f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)f[x1,x2]=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)...f[xn-1, xn] = (f(xn) - f(xn-1)) / (xn - xn-1)其中，方括号表示差商的符号。
从定义中可以看出，差商是基于相邻点的函数值之间的差异来计算的。
利用差商，我们可以构造更高阶的差商。
例如，二阶差商可以通过一阶差商计算得到：f[x0,x1,x2]=(f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0)同样地，我们可以通过递归的方式计算更高阶的差商。
差商的应用非常广泛。
其中一个主要的应用是数值插值。
数值插值是指用一些已知的数据点来估计未知函数在其他特定点的值。
通过计算差商，我们可以构造一个多项式来拟合这些已知点，从而得到未知点的函数值。
差分法也是差商的重要应用之一、在差分法中，我们将微分方程转化为差分方程，并通过计算差商来逼近微分方程的解。
差分法广泛应用于数值求解微分方程的过程中。
此外，差商还被应用于数值微积分中的数值微分和数值积分。
通过计算差商，我们可以近似计算函数的导数和定积分。
总结起来，差商是数值分析中一个重要的概念，可以应用于数值插值、差分法、数值微分和数值积分等领域。
通过计算差商，我们可以近似计算函数的变化率和定积分，从而帮助我们解决各种数值问题。
数值分析历年考题
数值分析A 试题2007.1第一部分：填空题10⨯51.设3112A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成T A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bxf x ae =中的参数：a = ___________ b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是 5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________6.设()s x = 3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________b =___________7.要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a = ___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8L x x x =-+,求积分1241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。
数值分析课后部分习题答案
证明 由差商的定义 (a) 如果 F ( x ) = cf ( x ) ，则
F [ x0 , x1 ,⋯ , xn ] =
=
F [ x1 , x2 ,⋯ , xn ]-F [ x0 , x1 ,⋯ , xn− 1 ] x n − x0
cf [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-cf [ x0 , x1 ,⋯ , xn −1 ] x n − x0 f [ x1 , x2 , ⋯ , xn ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , xn−1 ] = cf [ x0 , x1 , ⋯ , xn ] . x n − x0
1 1 1 1 |e( x*)| ≤ × 10m − n = × 10−2 ， |e( y*)| ≤ × 10m − n = × 10 −2 ， 2 2 2 2 1 1 |e( z*)| ≤ × 10 m − n = × 10 −2 ， 2 2 | e( y * z*) |≈| z * e ( y*) + y * e ( z *) |≤ z * | e ( y *) | + y * | e (z *) |
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得 即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
1 1 ≤ 2.35 × × 10−2 + 1.84 × × 10−2 = 2.095 × 10−2 ， 2 2 1 | e( x * + y * z*) |≈| e( x*) + e( y * z*) |≤ × 10 −2 + 2.095 × 10−2 2 1 = 0.2595 × 10−1 ≤ × 10−1 ， 2
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
《数值分析》复习题(14)
《数值分析》一、填空题1. 已知近似数 1.28y *=-，则其绝对误差限为 0.005 ，相对误差限是 0.0039 。
2. 设 1.28057x *=是准确值 1.28367x =的近似值，则x 有 3 位有效数字，相对误差限是 0.0024 。
3. 求方程sin x x =的Newton 迭代公式是 。
5. 在数值计算中，计算1cos 2.6-o 应变成 来计算。
6. 由秦九韶算法，543262975y x x x x x =-++--应改写为 。
8. 已知3132A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则谱半径()A ρ= 32. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是3.1% 。
3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。
4. 在数值计算中，当a1/(√(a+1) +√a) 5. 在数值计算中，计算356-应变成（3561+）来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3- 应变为2)5.1(sin 2⨯来计算。
7. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =____2_______，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ， 9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)= x 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ _________,323222122()23x x R x x x ++=++ _____.11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收 敛的Jacobi 迭代格式：收敛的G-S 迭代格式： 。
(完整word版)《数值分析》期末复习题(1)
《数值分析》期末复习题一、单项选择题1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).(A) 21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 21×10-62. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)00.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦ (B) 10.20.10.210.40.20.61⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D)021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.104. 抛物形求积公式的代数精度是( )A. 1，B. 2 ，C. 3，D. 45. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( ). (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h二、填空题1、以722作为π的近似值，它有（ ）位有效数字；2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+-=+,10,232121x bx bx x其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题22',(0)0,y x y y ⎧=+⎨=⎩的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于41021-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。
数值分析14差商(均差)的概念
定义误差余项: R(x) = f(x) – L(x) 由插值条件,知 R(x)=C(x) (x – x0)(x – x1)
即 f(x) –L(x) = C(x) (x – x0)(x – x1)
C(x) = ???
2/18
定理5.2 设 f(x)∈C[a, b], 且 f (x) 在(a, b)内具有 n+1阶导数, 取插值结点 a≤x0＜x1＜··＜xn≤b ·· ··
( j = 0,1,…,n-1 )
二阶均差 f [ x j , x j 1 , x j 2 ]
f [ x j1 , x j 2 ] f [ x j , x j1 ] x j 2 x j
( j = 0,1,…,n-2 ) n阶均差
f [ x 0 , x1 , , x n ] f [ x1 , , x n ] f [ x 0 , x n1 ] xn x0
f [ x , x 0 , x k 1 ] f [ x 0 , x 1 , x k ] f [ x , x 0 , x k ]( x x k )
( x x k ) k ( x ) k 1 ( x )
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] 1 ( x ) f [ x 0 , x 1 , , x k ] k ( x ) f [ x , x 0 , , x k ] k 1 ( x )
( n 1 )( n 2 )( n 3 )( n 4 )
17/18
P(n)=1+(n-1)(8+(n-2)(19/2+(n-3)(3+(n-4)/4)))
= 1 + (n – 1)(8+(n – 2)(19/2+(n – 3 )(n/4+2)))
数值分析复习题及答案
数值分析复习题及答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值分析复习题一、选择题1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===-- 则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =， 那么1______x =。
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《数值分析》复习题一、填空题1. 已知近似数 1.28y *=-，则其绝对误差限为 -0.005 ，相对误差限是 0.39% 。
2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是3.125% 。
3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。
4. 在数值计算中，当a1/(√(a+1) +√a ) 5. 在数值计算中，计算356-应变成3561+来计算。
6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为2)5.1(sin 2⨯来计算。
7. 若543()2792100f x x x x x =-+-+，则12345[1,4,4,4,4,4]f =____2__________，123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。
8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x 。
10. 代数式222236()66x xR x x x +=++ ______________,323222122()23x x R x x x ++=++ __________________. 11. 已知方程组123123123103127322115x x x x x x x x x --=-⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：，收敛的G S -迭代格式为：收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么收敛的Jacobi 迭代格式：收敛的G-S 迭代格式： 。
收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,13. 求积公式0()nn kk k I Af x ==∑至少有n 次代数精度的充要条件是__严格对角占优矩阵 __________________;当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0()()nn n kk k I b a Cf x ==-∑至少有___n+1________次代数精度；高斯求积公式()()()nbk k ak f x x dx A f x ρ=≈∑⎰至少有___2n+1_______次代数精度。
14. 设7227227227n nA R ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则矩阵A 的特征值的界为⎩⎨⎧≤-≤-4727λλ[]11,3⇒，矩阵1A -的特征值的界为⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,111。
15. 已知1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，314x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么A ∞= {}853,21max =+-+-_1A ={}752,31=+-+-2A =243.697434209.38}2151739max{==±x ∞={}44,1,3max =-1=8413=+-+2x = ________,其中相等的范数有_____________________________. 二、判断题1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。
x2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。
（ x ）3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x ，在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。
（ x ）4. 已知1 2.53 3.5A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，51x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，那么1A =1x 。
（ v ）5. 法来完成。
（ v ）6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。
（ v ）7. 对于数值微分，我们仅仅考察节点处的导数值。
（ v ）8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。
（ v ）9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。
（ x ） 10. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。
（ v ） 三、计算解答题和证明题x e1.0000 1.2214 1.4918 1.82212.2255构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12.0e和72.0e的近似值。
x1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 ln x0.09530.26240.40550.53060.6419解：由题意可知，利用牛顿插值公式可得，0953.0)(0=x f ，8355.01.13.10953.02624.0)()(),(010110=--=--=x x x f x f x x f ，……列出函数及均差表为：xx ln1.1 0.0953 1.3 0.2624 0.8355 -0.3 1.5 0.4055 0.7155 1.7 0.5306 0.6255 -0.225 0.125 1.90.64190.5565-0.17250.08750.046875则得到的牛顿插值公式为：)5.1)(3.1)(1.1(125.0)3.1)(1.1(3.0)1.1(8355.00953.0ln ---+----+=x x x x x x x ，故:130928.014.1ln =,632759.088.1ln =。
而要求的准确值分别为：131028262.014.1ln =，631271776.088.1ln =。
误差分别为：000100262.0131028262.0130928.0*1-=-=e ，001487224.0631271776.0632759.0*2=-=e3、试用最小二乘法求一次多项式拟合以上数据，并求出均方误差，某实验数据如下： （1）（2）解：由所给的数据作图，可以看到图上各点在一直线附近，故选择线性函数作拟合曲线，即令：x a a y 10+=。
由题目所给条件可得下表：则得到线性方程组：⎩⎨⎧=+=+5.6762147.15144b a b a ，解得⎩⎨⎧==9653846.0546154.0b a ，于是所求的拟合曲线为：x y 9653846.0546154.0+=。
4、二分法求根(1) 方程034=-+x x 在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01（绝对误差估计式：11*2++-≤-n n a b x x ）; 解：由题意得，要使绝对值误差不超过0.01，即01.02121≤-+k ，解得6≥k ，即至少要二分6故1172.16*==x x 。
(2) 方程32()33f x x x x =+--在[1,2]附近的根，使绝对误差不超过0.01;(3) 方程4210x x +-=,在[-2,-1]附近的根，使绝对误差不超过0.01。
5、用适当的方法解方程组：(1)123123123424421051145219x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩;(2)123310413150134x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3)123210315210231x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：（1）原线性方程组可表示为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛911421545102424321x x x ，以411=a 为主元消去1x ，得，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13341730130424321x x x ，以322=a 为主元消去2x ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-16231600130212321x x x 解得13-=x ，342=x ，341=x 。
（2）利用追赶法求解：过程如下：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10083100311821100381003310130013，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛821100381003⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛454，解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===181134321y y y ，令：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛18113410083100311321x x x ，解得，⎪⎩⎪⎨⎧===111321x x x 6、写出龙贝格系列公式，并用龙贝格方法计算积分dx x⎰311，误差限不超过310-。
7、写出复化梯形公式、复化辛普生公式、复化柯特斯公式及龙贝格公式关系式，并计算积分cos x e xdx π⎰，已知134.778519T =-，217.389259T =-，413.336023T =-，812.382162T =-哦解：复化梯形公式：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=∑∑-=-=+11101)()(2)(2)((2n k k n k k k n b f x f a f h x f x f h T ，复化辛普生公式：[]∑∑∑-=-=-=+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=1010112/112/1)()(2)(4)(6()(4)(6n k n k n k k k k k k n b f x f x f a f h x f x f x f h S 龙贝格公式关系式：1442--=n n n T T S ，144222--=n n n S S C ，144323--=nn n C C R 。
则所求积分cos x e xdxπ⎰用龙贝格方法可得：592839.1114)778519.34()38925.17(41-=----⨯=S ，98494433.1114)389259.17()336023.13(42-=----⨯=S ，06420833.1214)336023.13()382162.12(44-=----⨯=S ，01108469.1215)592839.11()98494433.11(161-=---⨯=C ，06420833.1215)06420833.12()06420833.12(162-=---⨯=C ，06505157.1263)01108469.12()06420833.12(641-=---⨯=R 。
故所求积分：cos x e xdx π⎰=06505157.12-。
8、设方程组12341234123412347239210683032910x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪++-=⎪⎨--+-=⎪⎪-+-=⎩，写出Jacobi 迭代法和G S -迭代法的迭代格式，并证明它们是收敛的。