《数值分析》复习题(14)

《数值分析》复习题

一、填空题

1. 已知近似数 1.28y *

=-，则其绝对误差限为 -0.005 ，相对误差限是 0.39% 。

2. 测量一支铅笔长是16cm ， 那么测量的绝对误差限是 0.5cm ，测量的相对误差限是

3.125% 。

3. 度量一根杆子长250厘米，则其绝对误差限为 0.5cm ，相对误差限是 0.20% 。

4. 在数值计算中，当a

1/(√(a+1) +√a ) 5. 在数值计算中，计算356-应变成

35

61+来计算。

6. 在数值计算中，计算1cos3-应变为2

)5.1(sin 2⨯来计算。

7. 若5

4

3

()2792100f x x x x x =-+-+，则1

2

3

4

5

[1,4,4,4,4,4]f =____2__________，

123456[1,3,3,3,3,3,3]f = 0 。

8. 函数()f x 关于三个节点012,,x x x 的拉格朗日二次插值多项式为 f(x)=f(x0)[(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)] ，

9. 当()f x x =时，(,)n B f x =∑f （k/n ）Pk(x)=x 。

10. 代数式222236()66

x x

R x x x +=++ ______________,

32322

2122

()23

x x R x x x ++=++ __________________. 11. 已知方程组1231231

23103127322115

x x x x x x x x x --=-⎧⎪

-++=⎨⎪+-=-⎩，那么收敛的Jacobi 迭代格式为：

，收敛的G S -迭代格式为：

收敛理由是方程组的系数矩阵为严格对角占优阵

12. 已知线性方程组1233111193234184x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

，那么收敛的Jacobi 迭代格式：

收敛的G-S 迭代格式： 。

收敛理由是 严格对角占优矩阵 ,

13. 求积公式0

()n

n k

k k I A

f x ==

∑至少有n 次代数精度的充要条件是__严格对角占优矩

阵 __________________;

当n 是偶数时，牛顿-柯特斯公式()0

()()n

n n k

k k I b a C

f x ==-∑至少有___n+1________次代数精

度；

高斯求积公式

()()()n

b

k k a

k f x x dx A f x ρ=≈∑⎰

至少有___2n+1_______次代数精度。

14. 设7227

22

7

22

7n n

A R ⨯⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢

⎥=∈⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣

⎦

，则矩阵A 的特征值的界为⎩⎨⎧≤-≤-4727λλ[]11,3⇒，

矩阵1

A -的特征值的界为⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡31,111。 15. 已知1235A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，314x ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，那么A ∞= {}853,21max =+-+-_

1A ={}

752,31=+-+-

2A =243.697434209.38}2

1517

39max{

==±x ∞

={}44,1,3max =-1=

8413=+-+2x = ________,

其中相等的范数有_____________________________. 二、判断题

1. 如果插值节点01,,...,n x x x 互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式是存在且唯一。 x

2. 迭代改善法能够解决一切方程组的病态问题。 （ x ）

3. 区间[,]a b 上的三次样条插值函数()S x ，在[,]a b 上具有直到三阶的连续函数。（ x ）

4. 已知1 2.53 3.5A -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，51x -⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦

，那么1A =1x 。 （ v ）

5. 法来完成。 （ v ）

6. 插值法是函数逼近、数值微分和微分方程数值解的基础。 （ v ）

7. 对于数值微分，我们仅仅考察节点处的导数值。 （ v ）

8. 在使用松弛法（SOR ）解线性代数方程组AX b =时，若松弛因子ω满足11ω-≥，则迭代法一定不收敛。 （ v ）

9. 求解单变量非线性方程()0f x =，弦截法具有1.618阶收敛，抛物线法具有1.840阶收敛，牛顿法具有2阶收敛。 （ x ） 10. 解单变量非线性方程()0f x =，牛顿法在单根附近具有2阶收敛，若再用Steffensen 迭代法，则为3阶收敛。 （ v ） 三、计算解答题和证明题

x e

1.0000 1.2214 1.4918 1.8221

2.2255

构造差分表，用三点牛顿插值多项式，求12

.0e

和72

.0e

的近似值。

x

1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 ln x

0.0953

0.2624

0.4055

0.5306

0.6419

解：由题意可知，利用牛顿插值公式可得，0953.0)(0=x f ，

8355.01

.13.10953

.02624.0)()(),(010110=--=--=

x x x f x f x x f ，……

列出函数及均差表为：

x

x ln

1.1 0.0953 1.3 0.2624 0.8355 -0.3 1.5 0.4055 0.7155 1.7 0.5306 0.6255 -0.225 0.125 1.9

0.6419

0.5565

-0.1725

0.0875

0.046875