相似三角形的性质[下学期]--华师大版-
华东师大版 初三数学23章 相似三角形典型例题(含答案)-学习文档
初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍：1. 比例线段的有关概念：b、d叫后项，d叫第四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。
把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
2. 比例性质：3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似5. 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方【典型例题】例1. （1）在比例尺是1：8000000的《中国行政区》地图上，量得A 、B 两城市的距离是7.5厘米，那么A 、B 两城市的实际距离是__________千米。
相似三角形的性质-
∴
SADE SABC
AE2 AC2
（相似三角形面积的比等于相似比的平方）
(以下解略)
展示风采：
1、连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一 个小三角形与原三角形的周长比等于__1_:_2__,面积 比等于__1_:_4___.
2、两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和 18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是
图中（1）、（2）、（3）分别是边长 为1、2、3的等边三角形，它们都相似？ 为什么？
（2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的周长比＝________________; （2）与（1）的面积比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的周长比＝________________. （3）与（1）的面积比＝________________.
12 cm，2 则较小三角形的周长为________cm, 面积为____ cm 2。
3. 如 图 , 在 正 方 形 网 格 上 有 △ A1B1C1和 △A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相 似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
(第 3 题 )
4、如图，点D、E分别是△ABC边AB、
2、相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
七十味珍珠丸
壹声/十六爷の书院缺各使唤丫头/早先前儿就跟爷提出来/想从咱们府上要去壹各知根知底の奴才/爷想来想去/觉着还是竹墨挺合适/别言别语/踏实本分/就应咯十六爷//以前竹墨是他の眼线/后来因为他别再怀疑水清/竹墨那各眼线の功能就丧失 殆尽/又因为水清正在怀胎期间/既是需要人手/也是怕她受别咯被贴身奴才卖主求荣の刺激/而且经过家法处置之后/
七年级数学(华师大版)下说课稿：9.2三角形内角和与外角和(三角形外角的性质)
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自七年级数学（华师大版）下册第九章9.2节，主题为三角形内角和与外角和（三角形外角的性质）。这一节内容是学生在学习平面几何的基础知识之后，对三角形的基本性质进行探究的一个重要环节。在这一节课中，学生将巩固已学的几何知识，同时拓展对三角形内角和与外角和的认识。
3.激发好奇心：提出一个有趣的猜想：“三角形的内角和是否等于180°？”引发学生的好奇心，激发学习兴趣。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.探索三角形内角和：引导学生通过实际操作（如剪、拼、折等）验证三角形内角和为180°，并解释其几何原理。
2.介绍三角形外角的性质：通过动态演示和实际操作，让学生观察和发现三角形外角与不相邻内角的关系，引导学生掌握外角性质。
3.课堂实践：组织学生进行实际操作，如测量三角形的内角和、画外角等，让学生在实践中感受几何知识。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张地图，提出问题：“如何确定地图上两个相邻城镇之间的方向？”让学生思考并尝试解答。
2.生活实例：引入学生熟悉的交通信号灯（红绿灯），提问：“为什么交通信号灯采用三角形形状？”引导学生观察三角形的特征，为新课学习打下基础。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生已经掌握了三角形的基本概念、分类以及角的度量等前置知识。然而，可能存在以下学习障碍：
1.对三角形内角和的理解不够深刻，难以将其与实际图形联系起来；
2.对三角形外角的概念和性质认识模糊，容易与内角混淆；
相似三角形的性质-
n2．两个相似三角形对应高的比为2:5， 则对应角平分线的比为____, 周长比为___ .
n3．两个相似三角形对应中线的比为1:4， 则对应高的比为______ ,面积比为______。
例题：
例1：已知：△ABC∽△ A' B'C' ，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C' =24cm。
由此可以得出结论： 相似三角形的周 长比等于_____________．
由可以得出结论： 相似三角形的面积比 等于___________．
我来试一ห้องสมุดไป่ตู้：
n 1.相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么相 似比为___________,对应角的角平分线 的比为______,周长的比为_____,面积的 比为_____。 变化：相似三角形对应边的比为9∶8？
（2）与（1）的相似比＝________________， （2）与（1）的周长比＝________________; （2）与（1）的面积比＝________________; （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的周长比＝________________. （3）与（1）的面积比＝________________.
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
相似三角形的性质(1)PPT课件(华师大版)
当堂训练
3.把一个三角形变成和它类似的三角形，
（1）如果边长扩大为本来的5倍，那么面积扩大为本来
的____2_5_____倍。
（2）如果面积扩大为本来的100倍，那么边长扩大为本
来的____1_0_____倍。
4.两个类似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是 _____1__0_0_c_m__、__4_0_。cm（2）它们的面积之和是58平方厘米， 这两个三角形的面积分别是_______5_0_c_m__2_、_。8cm2
类似三角形面积的比等于_类__似___比__的__平__方__.
类似多边形 也有同样的
结论
当堂训练
1.如果两个三角形类似,类似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于_____3_∶. 5 2.类似三角形对应边的比为0.4, 那么类似比为____0_.4__, 对应角的角平分线的比为__0_.4___, 周长的比为___0_.4_____, 面积的比为___0_.1_6____.
A
（2）
C A′
B′
C′
∽
相似比为1 2
对应角平分线的比
B
AD AD ___________
A
（3）
C A′
B′
C′
探索新知 类似三角形的性质
问题1: 如图, ABC∽ ABC,相似比为k,
其中AD、 AD分别为BC、 BC边上的高, ABD与ABD相似吗？
∽
已知
所以∠B=∠B′（ 类似三角形的对应角相）等 又ADB ADB 90.
k AE 1 CD 2
则∆CDF的面积为____2_0_c.m2 D
C
九年级数学下学期-相似三角形(图形的位似及应用)
位似多边形+应用1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【作位似变换】【方法点拨】画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k （k>0）,原图形上点的坐标为（x,y ）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【典型例题】【例1】下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21C.31 D.不知A B 的长度，无法判断【例2】如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：（1）请在网格中画出平面直角坐标系，使A 的坐标为（﹣2，4），B 的坐标为（﹣4，2）；（2）在第二象限内的格点上画一点C ，使点C 与线段AB 组成一个以AB 为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C 的坐标是 ，△ABC 的周长是 （结果保留根号）；（3）把△ABC 以点C 为位似中心向右放大后得到△A 1B 1C ，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A 1B 1C 的图形并写出点A 1的坐标．【变式1】如图，△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，4），B（2，2），C（4，6）（正方形网格中，每个小正方形的边长为1）（1）画出△ABC向下平移5个单位得到的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；（2）以点O为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为1：2，直接写出点C2的坐标和△A2B2C2的面积．【变式2】在坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣4），B（3，﹣2），C（6，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以M点为位似中心，在第一象限中画出将△A1B1C1按照2：1放大后的位似图形△A2B2C2；（3）△A2B2C2面积为．（直接写出答案）【变式3】如图，在正方形网格中，四边形TABC的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（3，3），C（4，2）．（1）以点T（1，1）为位似中心，在位似中心的同侧将四边形TABC放大为原来的2倍，放大后点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′画出四边形TA′B′C′；（2）写出点A′，B′，C′的坐标：A′（），B′（），C′（）；（3）在（1）中，若D（a，b）为线段AC上任一点，则变化后点D的对应点D′的坐标为（）．用相似三角形解决问题要点一、平行投影1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.由此我们可得出这样两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.2. 物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点二、中心投影若一束光线是从一点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.要点三、中心投影与平行投影的区别与联系1.联系：（1）中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下，灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.（2）在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中，同一灯光下，改变物体的位置和方向，其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向，改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.2.区别：（1）太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的影子与物体高度不一定成比例.（2）同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向.要点四、相似三角形的应用1.测量高度要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
华东师大版 九年级数学上册 上课课件
• 学习目标：
会说出类似三角形的性质：对应角相等，对应 边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于 类似比，周长比等于类似比，面积比等于类似 比的平方.
• 学习重点：
1. 类似三角形中的对应线段比值的推导； 2. 类似多边形的周长比、面积比与类似比关系
的推导； 3.运用类似三角形的性质解决实际问题.
• 学习难点：
类似三角形性质的灵活运用，类似三角形周长 比、面积比与类似比关系的推导及运用.
复习导入
判定两个三角形类似的简便方法有哪些？
定义法 平行法 判定定理1、2、3.
推动新课
在下图中，△ABC 和 △A′B′C′ 是两个类似三 角形，类似比为 k ，其中AD、A′D′ 分别为 BC、 B′C′ 边上的高，那么 AD、A′D′ 之间有什么关系？
的示意图.已知桌面的直径为 1.2 m，桌面距离地面为
1 m，若灯泡距离地面 3 m，则地面上阴影部分的面
积为_0_._8_1_π__m_2__.
运用类似三角形对应
d = h = 2， d' h' 3 d′ = 1.8m.
h
高的比等于类似比.
h′
d= d′
1.2m
S'
d' 2
2
0.81
m2
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
A
A′ E
E′
B
D
C
B′ D′ C′
由此可以得出结论： 类似三角形对应角的平分线之比等于类似比. 类似三角形对应边上的中线之比等于类似比. 类似三角形的周长之比等于类似比.
《相似三角形的性质课件 (公开课获奖)2022年华师大版
(3) (
3 2
x5y6z
)÷(2x3y3 ) =
3 4
x 2 y 3z
;
(4) 假设 (ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8 , 那么1a2 = , m =3 ,n = ;2
课堂小结
你 来 总 结
此题课你有 什么收获或 感想？你还 有什么疑问？
第23章
3.相似三角形的性质
复习回顾
〔1〕什么叫相似三角形？ 对应角相等、对应边成比例的三角形, 叫做相似三角形.
〔2〕如何判定两个三角形相似？
①平行得相似； ②两个角对应相等； ③两边对应成比例, 夹角相等； ④三边对应成比例.
〔3〕相似三角形有何性质？ A´
A
B
C
B/
C/
①相似三角形的对应角___________ ②相似三角形的对应边___________
月球距离地球大约 ×105千米, 一架飞机的速度约为
8×102 千米/时. 如果乘坐此飞机飞行这么远的距离, 大约
需要多少时间 ?
解: ×105 ÷( 8×102 )
？这样列式的依据
t
s v
？如何得到的
= ×103
？单位是什么
解题后的反思
你能直接列出一个
=480(小时) ？如何得到的 时间为天的算式吗?
学一学
例1 计算：
例题解析
(1)
(−
3 5
x2y3)÷(3x2y3) ;
(2) (10a4b3c2)÷(5a3bc);
(3) (2x2y)3·(−7xy2)÷(14x4y3);
(4) (2a+b)4÷(2a+b)2.
观察 & 思考
《相似三角形》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (1)
18．(12分)如图 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,点F在BC上 ,DF与AB的延长线 交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF； (2)当点F是BC的中点时 ,过F作EF∥CD交AD于点E ,假设AB＝6 cm ,EF＝ 4 cm ,求CD的长．
解：(1)证明：∵梯形ABCD中 ,AB∥CD ,即 CD∥BG ,∴△CDF∽△BGF
△ABC相似的三角形共有(
A．1个
B．2个
)C C．3个
D．4个
14．如图是由边长为1的小正方形组成的网格 ,△ABC与△A1B1C1都是
格点三角形(顶点在网格交点处) ,并且△ABC∽△A1B1C1 ,那么△ABC
与△A1B1C1的相似比是___2∶__1_______.
第13题图
第14题图
15．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD 6
(2)由(1)得△CDF∽△BGF，且F是BC中点，∴DF＝FG，CD＝BG. 又∵EF∥CD，AB∥CD，∴EF∥AG.∴△DEF∽△DAG. ∴AEGF ＝DDGF＝12. ∴AG＝8 cm.∴CD＝BG＝AG－AB＝2 cm
如图 ,在△ABC中 ,AB＞AC ,D为AC边上异于A、C 的一点 ,过D点作一直线与AB相交于点E ,使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
D．k1·k2＝1
12．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则
下列结论错误的是( C )
A.EEDA ＝DABF C.DBCE＝BBFE
B.DBCE＝EFFB D.BBFE＝BACE
13．如图 ,△ABC中 ,EF∥BC ,DG∥AB ,EF和DG相交于点H ,那么图中与
2相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
A
E
D
B
C
课堂小结
这节课我们学习了类似三角形的 另一重要性质：类似三角形周长的比 等于类似比，类似三角形面积的比等 于类似比的平方。
新课讲授
类似三角形周长的比等于类似比。
A A′
B
பைடு நூலகம்
C B′
C′
类似三角形面积的比等于类似比的平方。
类似三角形周长的比等于类似比。
已知： △ABC∽△ A' B'C'
求证：
AB BC CA A' B'B'C'C' A'
AB A' B'
B
证明： ∵ △ABC∽△ A' B'C'
A C B′
A′ C′
∴
SABC SA'B 'C '
AB A' B'
AB A' B'
AB2 A' B'2
例题分析
例1 已知：△ABC∽△ A' B'C'，它们的周长分别
为60cm和72cm，且AB=15cm，B'C' =24cm。
求：BC、AC、A' B'、A'C' A
A'
解：∵△ABC∽△ A' B'C'
∴ AB BC 60
∴ AB BC CA (类似三角形对应边成比例) A' B' B'C' C' A'
∴ AB BC CA AB (等比性质) A' B'B'C'C' A' A' B'
相似三角形的性质PPT课件(华师大版)
12．[2019 秋·诸暨市期中]如图 1，△ABC 是一块等腰三角形的废铁片，其中 AB ＝AC＝10 cm，BC＝12 cm.利用其剪裁一个正方形 DEFG，使正方形的一条边 DE 落 在 BC 上，顶点 F、G 分别落在 AC、AB 上．
图1
解：(1)设正方形的边长为 x，作△ABC 的高 AH.∵△ABC 是等腰三角形，AB＝AC ＝10 cm，BC＝12 cm，∴BH＝CH＝21BC＝6 cm，∴AH＝ 102－62＝8 cm.∵GF∥BC，∴ △AGF∽△ABC，∴1x2＝8－8 x， 解得 x＝254，∴正方形的边长为254.
解：(1)∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，
∴SS△ △AAPBNC＝AAPB2＝APA＋PBP2＝132＝91，即 S△APN＝19×18＝2 cm2； (2)∵S四S边△形APPNBCN＝12，∴SS△ △AAPBNC＝31.又∵AD⊥BC，PN∥BC，
∴AE⊥PN，∴AAED＝
13 3＝ 3 .
A．20 B．22 C．24 D．26
【解析】 ∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为 1，△ABC 的 面积为 42，∴最小的三角形与△ABC 的相似比为 142，∵△ADE∽△ABC，∴SS△△AADBEC＝DBEC 2.∵DBEC＝4× 142＝ 442，∴SS△△AADBEC＝1462＝281，∴S△ADE＝281×42＝16，∴四边形 DBCE 的 面积 SDBCE＝S△ABC－S△ADE＝26，故选项 D 正确.
图2
(1)小聪想：要画出正方形 DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出 BD 和
CE 的长，从而确定 D 点和 E 点，再画正方形 DEFG 就容易了．请你帮小聪求出正
27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比，以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题：如图27.2－37 ①所示，有一
块三角形材料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝
80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的边
′′
＝ ＝k
′′
相似比为k
感悟新知
知1－讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 ， 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD ， A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ ， 再 由 相 的 比 等 于
比
△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ，相似比
－6
3
2
6
3 2
2
) ×24＝ x －
2
12x
＋24.
3
8
3
2
9
8
∴ y＝S△A1MN－S△A1EF＝ x2－( x2－12x＋24＝－ x2＋12x－
24(4 <x<8).
16
易知当x＝ 时，y最大＝8.
3
16
3
∵ 8>6，∴当x＝ 时，y最大，y 最大＝8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想，对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1－练
例 1 如图27.2－32，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形
EFGH内接于△ABC，且长边FG在BC上，AD与EH的
第6课时相似三角形的性质-2024-2025学年数学华师大九年级(上册)课件
BD
●
C
B
E
CB
F
C
ADB ADC 90
BE CE 1 BC 2
BAF CAF 1 BAC 2
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为对应边BC、 B'C'的高线。试问：AD、A'D'之间有什么关系？
A' A
B
△ABC∽△A' B' C'
DC
B'
AB AC BC k AB AC BC
性积有之什质比么1：与关相系相似呢似比？三角形的对应边成比例，对应角相等； 性质2：相似三角形对应边上的高的比
对应边上的中线的比
对应角的角平分线的比
都等于相似比。
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k. 请问△ABC与△A'B'C'的周长之比与相似比有何关系呢？
A' A
B
C
B'
C'
△ABC∽△A' B' C'
AB BC AC k AB BC AC
AB BC AC k AB BC AC
相似三角形的周长之比等于相似比。
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD、A'D'分别为对应边BC、 B'C'的高线。 请问△ABC与△A'B'C'的面积之比与相似比有何关系呢？
A' A
B
DC
中线之比、对应角的角平分线之比都等于相 似比。 性质3：相似三角形的周长之比等于相似比； 性质4：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
相似三角形的判定[下学期]--华师大版-
![相似三角形的判定[下学期]--华师大版-](https://img.taocdn.com/s3/m/f25e7d6a960590c69fc3764e.png)
可那时候的我才有多大？三岁，还是四岁？闪电，我一般是不怕的，只是感到好奇，但是接下来的雷声却常常能把我吓之 前，用双手捂住我的耳朵。小姨比我大十二岁，我当时如果四岁的话，她应该十六岁才对。。 二次小型混凝土输送泵
我认为，这是对姥姥最大的不敬，如果说，小孩子有什么不孝顺的行为，还能有什么比这个更不孝顺的吗？以前常听大人说，小孩子如果不孝顺，就会被雷打死，这一次的雷声这么近，这么响，显 然就是冲我来的呀！
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
（二）讲授新知
1.性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-通过几何画板动态展示相似三角形的性质一，让学生直观感知。
-设想一：设计具有启发性的问题，如“相似三角形的对应角有什么关系？”“对应边长是否成比例？”等，引导学生进行探究。
-设想二：组织学生分组讨论，鼓励他们提出自己的猜想，并运用已有知识进行验证。
3.创设互动式课堂，让学生在合作交流中掌握知识，提高解决问题的能力。
-设想一：开展小组合作学习，让学生在讨论、分享中加深对相似三角形性质的理解。
-提高题：结合其他知识点，综合运用相似三角形的性质解决问题。
2.学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的性质。
-性质一：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
-性质二：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
2.教师点评，强调重点，解答学生的疑问。
2.实践应用题：设计一道实际生活中的相似三角形问题，要求学生运用所学性质进行分析和解答。
-例如，测量学校旗杆的高度，通过测量旗杆影子的长度和角度，利用相似三角形的性质求解。
-学生需要将问题解决过程详细记录，包括思路分析、步骤实施和结果验证。
3.拓展思考题：提供一道综合性的相似三角形问题，鼓励学有余力的学生挑战。
华师大版九年级数学上23.3.3《相似三角形的性质》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握相似三角形的基本性质，理解并运用这些性质解决实际问题。
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A
你能够将上面生活中的问题 转化为数学问题吗？
18m
30m D E
B
C
1.过E作EF//AB交BC于F,其他条件不变，则
A 30m D
18m
ΔEFC的面积等于多少？ BDEF面积为多少？
16
E
36m2
48m2
36
B F C
2.若设sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 请猜想：S与S1、S2之间存在怎样的关系？你
小结：
相似三角形有哪些性质？ 在平时的计算过程中应注意哪方面？
能加以验证吗？ √S
证明：DE//BC EF//AB √S1 √S ＞ ΔADE∽Δ ABC ＞ ΔEFC∽Δ ABC √S2 √S
2 S1 A E =( ) ＞ S AC 2 ＞ S2 = ( C E ) S AC
= √S1+ √S2
＞ √S1 AE = AC √S ＞ √S2 = C E AC √S
求三角形的三条中位线所围成的在角形与原三 角形的面积的比．
如果把一个图形按１：１０的比例缩小，那么 缩小后的图形与原图形的面积比是多少？．
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地， 由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
已知：△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１
相似，相似比为k
S ABC 求: S A1 B1C1
1 S ABC AD BC 2 1 S A1 B1C1 A1 D1 B1C1 2
S ABC AD BC k2 S A1 B1C1 A1D1 B1C1
定理：相似三角 形面积比等于相 似比的平方
｝
＞
+
=1
＞ √S1 + √S2 =√S
A
M F S2
探究 如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC,
且DE、FG、MN交于点P。
E
D
S1 P S3
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3 SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
B
G
N
C
类似结论？猜想并加以验证。
相似三角形的性质
请回答下列几个问题:
相似三角形有哪些性质? 三角形除了三个角,三条边外, 还有哪些要素? 那么,三角 形的这些 要素是不 是也有一 些性质呢?
已知：△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 相似，相似比为k 求证：各对应高线，对 应角平分线，对应中线 之间的关系．
△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１
ADB A1 D1 B1 ＲＴ△ＡＢＤ∽ＲＴ△Ａ１Ｂ１Ｄ１
看一看：
（相似） ΔABC与ΔA’B’C’有什么关系？ 为什么？
4×4正方形网格 A B 2
算一算：
√2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ΔABC与ΔA’B’C’的相似比是多少？√2
C √2 2
√10
ΔABC与ΔA’B’C’的周长比是多少?面积比是多少？
A’ √2 B’ 1 √5 C’
已知两个三角形相似，请完成下列表格
相似比 1 3 1 3 1 9 ．．． ．．． ．．．
2 2 4
100 100 10000
周长比 面积比
注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，
求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或 周长比则要开方。
练习：
如果把一个三角形按照下面的条件改成和它相似的三角形： （１）把边长扩在为原来的１００倍，那么面积扩大为原来的 多少倍？ （２）把面积扩在为原来的１００倍，那么边长扩大为原来的 多少倍？
B B1
AD AB k A1D1 A1B1
已知：△ＡＢＣ∽△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 相似，相似比为k
AF,A1F1为角平分线
ＡＥ，A1E1为中线
AE AB k A1 E1 A1 B1
AF AB k A1 F1 A1 B1
定理：相似三角形对应高线的 比，对应中线的比和对应角平 分线的比都等于相似比