高中三年级文科数学第二轮复习资料全
3(数形结合)高三数学第二轮专题复习课堂资料.doc
高三数学第二轮专题复习一数形结合思想一、例题解析［例1］若关于卅J方程F+2d + 3"0的两根都在-1和3之间，求R的取值范亂［分析］^f（x）= x2+2loc +3k,其图象与兀轴交点的横坐标就是方nj\x） = 0 的解，由）=/（兀）的图象可知，要使一根都在-1,3Z间，只需f（一1）>0,/⑶>0，/（丄）=：/（一灯<0同时成立，解得-1<£<0,故展（-1,0）2a［例2］解不等式Q X +2>X［解］法-、常规解'法：原不等式等价于（/山十2$0或（〃）严°°x + 2$0兀+2>0解（/）,得0Wxv2；解（〃），得一2W兀<0综上可知，原不等式的解集为{兀|-2W兀v0或0^x<2} = {x\-2^x<2}法二、数形结合解法：令）［=5/兀+ 2, y2 = x f则不等式V^+2>^J解，就是使必=眉石的图象在力=兀的上方的那段对应的横坐标，如卞图，不等式的解集为{x\x A^x<x R} 而勺可由Vx + 2 = x,解得,x B =2, x A = -2,故不等式的解集为{兀|-2Wxv2}。
［例3］已知0VQV1,则方程d"=|10ga兀|的实根个数为（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）l个或2个或3个［分析］判断方程的根的个数就是判断图象尸亦与=|log“月的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只冇两个交点，故方程冇2个实根，选（B）。
［例4］如果实数心y满足匕-2）2 +），2=3,则丄的最大值为（）X（硝（B）f （C）£（D 朋乙J 乙［分析］等式（X-2）2+.V2=3有明显的几何总义，它表坐标平而上的一个圆,圆心为（2, 0）,半径r = V3,（如图），而丄=口则表示圆上的点（兀，刃与坐x x-0标原点（0, 0）的连线的斜率。
2015届高三文科数学二轮复习考前增分方略第三讲 保分大题不失分(共23张 P P T)
(1)求二面角A－CE－D的大小； (2)设P为棱DE的中点，在△ABE的内部或边上是否存 在一点H，使PH⊥平面ACE，若存在，求出点H的位置，若 不存在，说明理由．
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第二部分 专题一第十六页第，编三辑于讲星期五第：九3点课四时十七分。
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【解】 (1)如图，
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第二部分 专题一第十一页第，编三辑于讲星期五第：九3点课四时十七分。
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由已知，BC⊥PB，又OD∥BC，所以OD⊥PB， 因为AB∩PB＝B，所以OD⊥平面PAB. 又OD⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC. (2)由(1)知，OP⊥平面ABC. 设PA＝a，因为D为AC的中点，
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第二部分 专题一第二十一第页，三编辑讲于星期第五：3九课点时四十七分。
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考前增分方略
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专题一
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第三讲 保分大题不失分
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第二部分 专题一第三页，第编辑三于星讲期五：第九点3课四十时七分。
人教版2018高中三年级数学二轮复习专题(7)排列组合典型问题
人教版2018高中三年级数学二轮复习专题（7）排列组合典型问题【基础知识回顾】1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m的方法．2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 3.分类计数原理分步计数原理区别：（1）分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
（2）分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 【基本方法说明】解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略. 【典型例题归类】类型1、合理分类与准确分步例1、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法？ 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究.只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有22112223353455C C C C C C C ++种。
说明：利用分步乘法计数原理解决问题时要注意(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． (3)对完成各步的方法数要准确确定．练习：在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有多少不同的停放方法？解：先从66⨯的表中选不同行不同列的6个位置，有66A 种选法，再从中选3个放红车，有36C 种选法，剩下的3个位置都放黑色车，所以共有6366114400A C ⨯⨯=种方法.类型2、特殊元素和特殊位置优先例2、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有13C ，然后排首位共有14C ，最后排其它位置共有34A 由分步计数原理 得113434288C C A =.说明：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
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高中文科数学二轮复习资料(学生)第一部分三角函数类【专题1---三角函数部分】X1.函数f (x) 6cos23sin x 3( 0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、2C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形.(1 )求的值及函数f (x)的值域；(2)若f (x o)8 3，且x0(—-,—)，求 f (x o 1)的值.5 3 32. 已知函数f(x) —. 3si nxcosx 2cos— x 1(x R)，求f (x)的值域。
3. 已知向量a 2sinx, .3 cosx , b sinx,2sin x，函数f x a b1 )求f (x)的单调递增区间；2 )若不等式f(x) m对x [0, —]都成立，求实数m的最大值.24. 已知函数f(x) 2cos xsin(x —) .3sin2x sin xcosx .①求函数f (x)的最小正周期；②求f (x)的最小值及取得最小值时相应的x的值.两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为2 1)求f (x)的解析式；M (牛 2).2)当X [02]，求f(x)的值域.3的曲线与x 轴交于点(J,0),若 2 (1) 试求这条曲线的函数表达式；(2) 写出(1)中函数的单调区间.7 •已知函数 f (x) sin(2x —) 2COS 2X 1.(1)求函数f (x)的单调增区间;6.已知曲线 y Asin( x )(A 0, 0)上的一个最高点的坐标为(―八2),由此点到相邻最低点间2 (2丁1⑵在ABC中，a,b,c分别是A,B,C角的对边，且a 1,b c 2, f(A)—,求ABC的面积•28.平面直角坐标系内有点p(1,cosx), Q(cosx,1),x [ 一，一].4 4 uuu mur(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦值；⑵令f(x) cos ,求f (x)的最小值.【专题2----解三角形部分】1. 设厶ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC ccosB asinA,则厶ABC的形状为()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)不确定1 2. 在ABC 中，内角A, B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cosA 2cosC.cosB(1) 求sinC的值；sin A1(2) 若cosB ,b 2, ABC 的面积S.43. 在厶ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c.1)若sin(A -) 2cos A 求A 的值；12)若cos A ,b 3c，求sinC 的值.34. 在ABC中，a、b、c分别是角A B、C的对边,S为ABC的面积，且4sin B sin2B)cOs2B 1 31 ）求角B的度数；2 ）若a 4,S 5 3，求b的值。
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高三文科数学第二轮复习资料——《函数与导数》专题1．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有()(3)0f x f x ++=，且当11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式．2. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.3．集合A 是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x ≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数. （1）判断函数f 1(x)=2-x 及f 2(x)=1+3·(x)21(x ≥0)是否在集合A 中？若不在集合A 中，试说明理由； （2）对于（1）中你认为是集合A 中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k 对于任意的x ≥0总成立.求实数k 的取值范围.4. 对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点． （1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．5. 已知函数f(x)=2x 3+ax 与g(x)=bx 2+c 的图像都过P （2，0），且在点P 处有相同的切线. （1）求实数a 、b 、c 的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.6．设x=1与x=2是函数f(x) = a lnx + bx 2 + x 的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a 和b 的值；（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中.当燃料重量为m e )1(-吨（e 为自然对数的底数，72.2≈e ）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（Ⅰ）求火箭的最大速度)/(s km y 与燃料重量x 吨之间的函数关系式)(x f y =；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率ϕ与日产量x （件）（891≤≤∈x N x 且）的关系符合如下规律：又知每生产一件正品盈利α元，每生产一件次品损失2α元).0(>a （Ⅰ）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取7.13≈计算）．9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促 销费用m 万元（m ≥0）满足13+-=m kx （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能 是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家 将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资 金，不包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． （Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ），当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险． （Ⅰ）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义； （Ⅱ）设20)(,1041)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案1.解：由()(3)0f x f x ++=有(3)()f x f x +=-，当11x -<≤时，(3)()23f x f x x +=-=-+.设3x t +=，则由11x -<≤得24t <≤，又3x t =-， 于是()2(3)329f t t t =--+=-+， 故当24x <≤时，()29f x x =-+．2.解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221x x x f x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数．又因()f x 是奇函数，从而有不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-３.解:（1）∵f )49(1=2-49=-5∉(1,4]，∴f )(1x 不在集合A 中．又∵x ≥0, ∴0＜(x)21≤1， ∴0＜3·(x)21≤3，从而1＜1+3·(x)21≤4．∴f 2(x)∈(1,4]．又f 2(x)=1+3·(x)21在[0，+∞)上为减函数，∴f 2(x)=1+3·(x)21在集合A 中.（2）当x ≥0时，f(x)+f(x+2)=2+415·(x )21≤423． 又由已知f(x)+f(x+2) ≤k 对于任意的x ≥0总成立, ∴k ≥423． 因此所求实数k 的取值范围是[423,+∞)．４.解： 2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当2,2a b ==-时，2()24f x x x =--．设x 为其不动点，即224x x x --=，则22240x x --=． 所以121,2x x =-=，即()f x 的不动点是1,2-. （2）由()f x x =得220ax bx b ++-=.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0a b a b ∆=-->， 即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立．20,16320b a a ∴∆<∴-<，02a ∴<<．（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k ∴=-．记AB 的中点00(,)M x x ，由(2)知02bx a=-．212()20,b f x x ax bx b x x a=⇔++-=∴+=- M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a ∴-=++化简得：2112142a b a a a=-=-≥=++，当a =时，等号成立．即44b b ⎡⎫≥-∴∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P （2，0）∴f(2)=0即2×23+a ×2=0，所以a=－8．g(2)=0 即：4×b+c=0又∵f(x)，g(x)在P 处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16， ∴a=－18，b=4，c=－16．（2）由F(x)=2x 3+4x 2－8x －16，有F ′(x)=6x 2+8x －8解不等式F ′(x)=6x 2+8x －8≥0得x ≤－2或x ≥32即单调增区间为),32[],2,(+∞--∞． 同理，由F ′(x)≤0得－2≤x ≤32，即单调减区间为[－2，32]．6.解：（Ⅰ）f ′(x)=x a +2bx+1，由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a+2b+1=0, 且2a+4b+1=0,解方程组可得a=－32,b=－61,∴f(x)=－32lnx －61x 2+x ． （Ⅱ）f ′(x)=－32x -1－31x+1,当x ∈(0,1)时，f ′(x)＜0, 当x ∈(1,2)时，f ′(x)＞0, 当x ∈(2,+∞)时，f ′(x)＜0, 故在x=1处函数f(x)取得极小值65, 在x=2处函数取得极大值34－32ln2.7.解：（Ⅰ）依题意把4,)1(=-=y m e x 代入函数关系式.8,2ln 4)]2ln()[ln(=+-+=k m x m k y 解得所以所求的函数关系式为,2ln 4)]2ln()[ln(8+-+=m x m y 整理得.)ln(8mx m y += （Ⅱ）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，8,544=-=y x m ，代入函数关系式).(344,1544544ln ,)ln(8t x xm x m y ==-+=解得得 即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8.解:（Ⅰ）由ϕ与x 的对应规律得次品率为),891(1002N x x x∈≤≤-=ϕ故日产量x 件中，次品数为x ϕ件，正品数为)(x x ϕ-件．则日盈利额),891)(1003(N x x x xx a T ∈≤≤--= ．（Ⅱ）)891)](100300100(103[)1003(≤≤∈-+--=--=x N x xx a x x x a T 且 （注：此步可由换元法令t x =-100得到）320100300100≥-+-xx当且仅当x x -=-100300100时取等号．由,83310100,100300100≈-=-=-x xx 得 83=∴x 当时，xx -+-100300100取得最小值，又0>α，取得最大值时当T x ,83=∴，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．9.解（1）由题意可知当0=m 时，1=x （万件）,231=-=∴k k 即 123+-=∴m x 每件产品的销售价格为x x1685.1+⨯（元）)168(]1685.1[2006m x xxx y ++-+⨯=∴年的利润m n m x -+-+=-+=)123(8484… )0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）,8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时 31116,21298=⇒+=+=+-≤∴m m m y 当且仅当（万元）时，21max =y （万元）所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为o x 个，则.55002.05160100=-+=o x 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当;60,1000=≤<P x 时当,550100时<<x ;5062)100(02.060x x P -=--= 当.51,550=≥P x 时所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<==),550(,51)(),550100(,5062),1000(,60)(x N x x x x x f P（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=-=),550(,11)(),550100(,5022),1000(,20)40(2x x N x x x x x x x P L由于当2000,1000≤≤<L x 时；.6050,550≥≥L x 时当所以，,550100<<x 此时.50222x x L -= 由⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.500100600050222x x x 解得500=x ． 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.11.解：（I ）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=≥+=≥)2(..........20)()1.......(1041)(y y g x x x f y 成立，双方均无失败的风险． 由（1）（2）得060410)20(41≥--⇒++≥y y y y 0)154)(4(≥+-∴y y 2420420,1640154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y1624min min ==y x答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．12. 解：（I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）； 年销售量为5000×（1+0.4x ）.因此本年度的利润为)4.01(5000)9.03()4.01(5000)]1(10)7.01(13[x x x x x y +⨯⨯-=+⨯⨯+⨯-+⨯=)10(15000150018002<<++-=x x x（Ⅱ）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f 由,395,0)('===x x x f 或解得 当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数. ∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， 因为f （x ）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值． 即当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．。
高考文科数学二轮复习 1-2-3
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专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
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名 边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形
师
时 作 业
微 或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向
课
堂 量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利
用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法
第7页
专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
重
难 点
因为 a 与 b 的夹角为 0 时，a·b>0；两个非零向量 a 与 b 的夹角
透
析 为钝角，则 a·b<0；反之也不成立，因为 a 与 b 的夹角为 π 时，a·b<0. 课
时
名 师
作 业
微
课
堂
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专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a
透
析
C．B、C、D D．A、C、D
课
时
名 师
作 业
微
课
堂
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专题二 第三讲
与名师对话·系列丛书
二轮专题复习·课标版·数学（文）
高三文科数学第二轮复习
课本基础知识回归复习及针对性训练
关注学生数学思想、数学方法的形成
具体操作方法：配方、消元、换元、特值、待定系数
推理方法：综合法、分析法、反证法、类比法、解析法、归纳法
宏观策略性思想方法：函数与方程、数形结合、分类与整合、转化与化归
第二轮复习以专题和数学思想方法为主
知识专题一三角函数与平面向量
知识专题二概率、算法、统计
知识专题三数列与不等式
知识专题四立体几何
知识专题五函数与导数
知识专题六解析几何
知识专题七极坐标与参数方程
知பைடு நூலகம்专题八不等式选讲
思想方法专题一分类讨论思想
思想方法专题二数形结合思想
思想方法专题三函数与方程思想
思想方法专题四转化与化归
高三文科数学第二轮复习资料
高三文科数学第二轮复习资料——《函数与导数》专题1．设 f ( x) 是定义在 ( , ) 上的函数，对一切 x R 均有 f (x)f ( x 3) 01 x 1 时，，且当f ( x) 2x 3，求当 2x 4 时， f (x) 的解析式．2. 已知定义域为R 的函数 f ( x)2xb是奇函数．（Ⅰ）求 a,b 的值；（Ⅱ）若对任意的 tR ，不等式2x 1af (t 2 2t) f (2t 2 k ) 0 恒成立，求 k 的取值范围 .3．集合 A 是由适合以下性质的函数f(x) 组成的：对于任意的 x ≥0， f(x)∈ (1,4] ，且 f(x)在[0 ，+∞)上是减函数 .（ 1）判断函数 f 1 (x)=2-x 及 f 2 (x)=1+3 ·( 1)x (x ≥ 0) 是否在集合 A 中？若不在集合 A 中，试说明2理由；（ 2）对于（ 1）中你认为是集合 A 中的函数 f(x) ，不等式 f(x)+f(x+2)≤ k 对于任意的 x ≥ 0 总成立 .求实数 k 的取值范围 .4. 对于函数 f ( x)ax 2 (b 1)x b 2 (a 0) ，若存在实数 x 0 ，使 f (x 0 )x 0 成立，则称 x 0 为 f ( x)的不动点．（ 1）当 a 2, b2 时，求 f ( x) 的不动点；（ 2）若对于任何实数b ，函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（ 3 ）在 (2) 的条件下，若yf ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数f ( x) 的不动点，且直线1是线段 AB 的垂直平分线，求实数 b 的取值范围．y kx2a 2 15. 已知函数 f(x)=2x3+ax 与 g(x)=bx 2+c 的图像都过 P （ 2，0），且在点 P 处有相同的切线 .（ 1）求实数 a 、 b 、c 的值； （ 2）设函数 F(x)=f(x)+g(x)，求 F(x) 的单调区间 .6．设 x=1 与 x=2 是函数 f(x) = a lnx + bx2+ x 的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数 a 和 b 的值；（Ⅱ）试判断 x=1， x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7.2005 年 10 月 12 日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步 . 已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x 之和 . 在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：y k[ln( m x) ln( 2m)] 4ln 2(其中 k 0) .当燃料重量为( e1) m吨（e为自然对数的底数，e 2.72 ）时，该火箭的最大速度为4（ km/s） .（Ⅰ）求火箭的最大速度y(km / s) 与燃料重量x 吨之间的函数关系式y f ( x) ；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是 544 吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率与日产量x（件）（x N且1x89 ）的关系符合如下规律：x1234,892121,29949974811又知每生产一件正品盈利元，每生产一件次品损失元(a0).2（Ⅰ）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取 3 1.7 计算）．9.某厂家拟在2006 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用 m万元（ m≥ 0）满足x3k（ k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能m1是 1 万件 . 已知 2006 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要投入16 万元，厂家将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（ 1）将 2006 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m万元的函数；（ 2）该厂家2006 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40 元，出厂单价定为60 元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02 元，但实际出厂单价不能低于51 元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51 元？（Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P f ( x) 的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数 f （x）、g（ x），当甲公司投入 x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于 f （ x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．（Ⅰ）试解释 f (0)10, g(0)20 的实际意义；1x 10, g( x)x 20 ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均（Ⅱ）设 f ( x)4无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10 万元 / 辆，出厂价为 13 万元 / 辆，年销售量为、5000 辆 . 本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为 x（0＜ x＜ 1) ，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加 . 已知年利润 =（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为y3240( x 22x 5) ，则当x为何值时，本年度的年利润最大？3最大利润为多少？参考答案1. 解：由f ( x) f ( x3)0 有 f (x3) f ( x) ，当 1x1时， f (x3) f ( x)2x 3 .设 x3t ，则由1x 1 得 2t 4 ，又 x t3，于是 f (t)2(t 3) 32t9 ，故当 2 x 4 时， f (x)2x9 ．2. 解：（Ⅰ）因为 f ( x) 是奇函数，所以 f (0) =0，即b10 b 1 f (x)12x a2a2x 11211又由 f （ 1）= -f（-1）知2 a 2.a4a1（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f ( x)12x11，易知 f (x) 在 (,) 上为减函数．22x 122x1又因 f (x) 是奇函数，从而有不等式： f (t 22t ) f (2t2k )0等价于 f (t 22t ) f (2t 2k) f (k2t 2 ) ，因 f (x) 为减函数，由上式推得：t 22t k2t 2．即对一切 t R 有： 3t22t k0，从而判别式412k0 k 1 .3３ . 解 : （ 1）∵ f( 49)=2-49=-5(1,4] ，∴ f( ) 不在集合A中．11x又∵ x≥ 0,∴0＜(1) x≤1，∴0＜3·(1)x≤3，从而1＜1+3·(1)x≤4．∴f2 (x) ∈ (1,4] ．222又 f2 (x)=1+3 · (1) x在[0，+∞ ) 上为减函数，∴ f2 (x)=1+3 · (1)x在集合 A 中 . 215 ·( 1)x≤ 23 ．2（ 2）当 x≥ 0 时， f(x)+f(x+2)=2+424又由已知 f(x)+f(x+2)≤ k 对于任意的 x≥0总成立 ,∴ k≥23．23,+∞)．4因此所求实数k 的取值范围是 [4４ . 解： f ( x) ax2(b1)x b2( a0) ，（ 1）当a2, b 2 时， f (x)2x2x4 ．设 x 为其不动点，即2x2x4x ，则 2x22x 40．所以 x1,x22 ，即 f (x)的不动点是1,2 .1（ 2）由 f ( x)x 得 ax 2 bx b 2 0 .由已知，此方程有相异二实根，所以ab 2 4a(b 2) 0，即 b 2 4ab8a 0 对任意 b R 恒成立．b0, 16a 2 32a0 ， 0 a2 ．（ 3）设 A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) ，直线 ykx1 是线段 AB 的垂直平分线，k1．2a 21记 AB 的中点 M ( x 0 , x 0 ) ，由 (2) 知 x 0b．2ab f ( x) xax 2 bx b 2 0, x 1x 2a M 在 ykx1上，b b 12a 22a2a2a 211化简得： ba11112，当 a2 时，等号成立．2a 2 2a2 2a 142aa即 b2, b2 ,445. 解：（ 1）∵ f(x),g(x) 的图像过 P （2， 0）∴ f(2)=0 即 2× 23+a × 2=0，所以 g(2)=0 即： 4×b+c=0又∵ f(x) ， g(x) 在 P 处有相同的切线，∴ 4b=16， b=4， c=－ 16，a=－ 8．∴ a=－18， b=4， c=－ 16．（ 2）由 F(x)=2x 3+4x 2－ 8x － 16，有 F ′(x)=6x 2+8x － 8解不等式 F ′ (x)=6x 2+8x － 8≥ 0 得 x ≤－ 2 或 x ≥ 2 即单调增区间为 ( , 2],[2, ) ．33同理，由 F ′ (x) ≤0 得－ 2≤ x ≤2，即单调减区间为[－2， 2]．336. 解：（Ⅰ） f ′ (x)= a+2bx+1，由极值点的必要条件可知： f ′ (1)=f′(2)=0, 即 a+2b+1=0, 且 a+4b+1=0,x2解方程组可得 a=－2,b= － 1, ∴ f(x)= － 2lnx － 1x 2+x ．36 3 6（Ⅱ） f ′ (x)= － 2x -1－ 1x+1,3 3当 x ∈(0,1) 时， f ′ (x) ＜ 0,当 x ∈(1,2) 时， f ′ (x) ＞ 0,当 x ∈(2,+ ∞ ) 时， f ′ (x) ＜ 0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值5, 在 x=2 处函数取得极大值4－ 2ln2.63 37. 解：（Ⅰ）依题意把x( e1) m, y 4 代入函数关系式y k[ln( m x)ln(2m)] 4 ln 2,解得 k8.所以所求的函数关系式为y 8[ln( m x)ln(2m)] 4 ln 2, 整理得y ln(m x)8.m（Ⅱ）设应装载 x 吨燃料方能满足题意，此时，m544x, y 8 ，代入函数关系式y ln( m x)8 ,得 ln544x1,解得 x 344(t).m544即应装载344 吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8. 解 : （Ⅰ）由与 x 的对应规律得次品率为2(1x89, x N ) 100x故日产量 x 件中，次品数为x 件，正品数为 (x x) 件．则日盈利额 T a( x3x)(1x89, x N )．100x（Ⅱ） T a(x3x)a[103 (100x300)]( x N且1x 89) 100 x100 x（注：此步可由换元法令 100 x t 得到）100x300203x100300当且仅当 100x时取等号．100x由 100x300x ,得 x10010 3 83,100当 x83时， 100x300取得最小值，100x又0 ，当x83时,T取得最大值，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83 件．9. 解（ 1）由题意可知当m 0 时， x 1 （万件）1 3 k即 k 2,x32 m 1每件产品的销售价格为 1.5816 x（元）x2006年的利润 y x[1.5816x] (8 16x m)2 )x4 8x m 48(3m ,n1[16 (m 1)] 29(m 0)m 1（ 2） m0时,16(m 1) 2 16 8,m1y8 2921, 当且仅当 16m 1m 3 （万元）时，ymax21 （万元）m1所以该厂家 2006 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大，最大值为 21万元 .10. 解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51 元时，一次订购量为 x o 个，则 x o100 60 51550.0.02因此，当一次订购量为550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元.（ 2）当 0 x100时, P 60;当 100x 550时, P 600.02(x 100)62x ;50当 x 550时, P 51.60,(0 x 100),所以 Pf (x)62x,(100 x 550), (x N ) 5051,( x 550),（ 3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则20x,(0 x 100),L (P40) x22xx 2 ,(100x 550), ( x N )5011x, (x 550),由于当 0 x100时, L2000； 当x550时, L6050.所以， 100x550,此时 L22 x x 2 .50由 22x x 26000解得 x500 ．50 100 x 500.因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得利润 6000 元 .11. 解：（ I ）f （ 0）=10 表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入 10 万元宣传费； g （ 0）=20 表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入 20 万元宣传费． （Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当yf (x) 1 x 10 (1)4 成立，双方均无失败的风险． xg( y)y 20 (2)由（ 1）（ 2）得 y1 (y 20) 104 yy60 0( y4)(4 y15) 04 4 y 15 0y4y 16, xy 20 4 20 24xmin24ymin16答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24 万元，乙公司至少要投入 16 万元．12. 解：（I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（ 1+x ）；出厂价为13×（ 1+0.7x ）； 年销售量为 5000×（ 1+0.4x ） . 因此本年度的利润为y [13(1 0.7 x) 10 (1 x)]5000 (1 0.4x)(3 0.9x) 5000(1 0.4 x)1800x 2 1500x 15000(0 x 1)（Ⅱ）本年度的利润为f ( x)(3 0.9x) 3240 ( x 22x5) 3240 (0.9x 3 4.8x 24.5x5)3则 f ' (x)3240 ( 2.7 x 2 9.6 x 4.5)972(9x 5)( x 3),由 f ' (x) 0,解得 x5或x3,9当 x5)' ( x )0, f ( ) 是增函数；(0,时， fx5 9当 x,1) '( ) 0, f ( x ) 是减函数 .(时， fx9∴当 x5 时， f ( x)取极大值 f ( 5)20000 万元，9 9因为 f （ x ）在（ 0， 1）上只有一个极大值，所以它是最大值．即当 x5 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000 万元．9。
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题6 直线、圆、圆锥曲线 6.3 直线与圆锥曲线
=
由
=
1
- 2 + 3,
4+3 2
即(*)式成立.
所以直线HN过点(0,-2).
综上所述,直线HN恒过定点(0,-2).
-48-96
+
4+3 2
−
-24
=0=右边,
2
4+3
题后反思 1.求解定值和定点问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的
一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程
的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的
4
2
2
2
= 3,
= + ,
(2)依题意,直线 BC 的方程为 y-1=k(x+2)(k≠0),
-1 = ( + 2),
联立直线 BC 和椭圆 E 的方程,得 2
消去 y,
2
+ = 1,
4
整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0,
由Δ>0可得(16k2+8k)2-4(1+4k2)(16k2+16k)>0,解得k<0.
2 6
3
+ 2 x-2,
所以直线HN过点(0,-2).
当过点P的直线MN的斜率存在时,
设直线MN的方程为y+2=k(x-1),点M(x1,y1),N(x2,y2).
+ 2 = (-1),
由 2 2
消去 y,得(4+3k2)x2-6k(k+2)x+3k(k+4)=0,
高三文科数学第二轮复习资料 立体几何
高三文科数学第二轮复习资料——《立体几何》专题一．选择题1.(2010湖北文数)用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A . ①② B . ②③ C . ①④ D .③④ 2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（ ）.A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 3．（2010安徽文数）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）.A ．280B ．292C ．360D ．3724.(2010·陕西文数)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A .2B .1C .23 D .135.（2010年辽宁卷）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，A B B C ⊥，1SA A B ==，2216、（2010年北京卷）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：BCD3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面（C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两个平面平行 4、（2010年陕西卷）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （C ）23（D ）13（A ）2 （B ）15、（2010年上海卷）已知四棱椎P A B C D -的底面是边长为6 的正方形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，且8P A =，则该四棱椎的体积是 。
6、（2010年天津卷）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。
高三数学第二轮专题温习课堂资料六
高三数学第二轮专题温习课堂资料(六)（填空题解答策略）一、基础知识整合数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答进程的客观性试题.填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路能够原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由，又不必书写进程，因此解选择题的有关策略、方式有时也适合于填空题.求解填空题的大体策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.常常利用的方式有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
下面以一些典型的问题为例，介绍解填空题的几种常常利用方式与技能，从中体会到解题的要领：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
二、例题解析(一)直接法：这是解填空题的大体方式，它是直接从题设条件动身、利用概念、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等进程，直接取得结果.[例1] 设(1)3,(1),a m i j b i m j =+-=+-其中i j 、为彼此垂直的单位向量，又()()a b a b +⊥-，则实数m = 。
[解](2)(4),(2).a b m i m j a b mi m j +=++--=-+∵()()a b a b +⊥-，∴()()0a b a b +⋅-=,∴其中i j 、为彼此垂直的单位向(2)(2)(4)0m m m m +-+-=，∴2-=m .[例2] 已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 .[解]22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a .[例3] 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全数13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全数料中的为特等奖，仅料中12场为一等奖，其它不设奖，则某人取得特等奖的概率为 。
高中新课标总复习(第二轮)文数-限时训练 参考答案
学海导航·高中新课标总复习(第二轮)·文科数学参考答案限 时 训 练专题一 集合、函数与导数 第1讲 集合与常用逻辑用语1．C 解析：B ＝{1,4，14}，故A ∩B ＝{1}，选C.2．B 解析：|a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍去)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个，选B.3．B 解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n ＞0，且1n＜0，即m ＞0，且n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0，故选B.4．(1,4) 解析：由|x －m |＜2得－2＜x －m ＜2，即m －2＜x ＜m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m －2＜x ＜m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，解得1＜m ＜4，即实数m 的取值范围是(1,4)．5．1 解析：因为命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，所以其否定为真命题，即对于任意x ∈R ，e |x －1|－m ＞0成立，即m ＜e |x －1|恒成立，即m 小于函数y ＝e |x －1|的最小值即可．e |x －1|≥1，所以m ＜1，结合已知条件可得a ＝1.6．② 解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确；②中设n 1、n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1、k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③令A 1＝{－4,0,4}，A 2＝{－2,0,2}，则A 1、A 2为闭集合，A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．7．解析：(1)A ＝[－8，－4]，当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 所以A ∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－32时，a ＝－a －3，B ＝(－∞，－32)∪(－32，＋∞)，满足A ⊆B ；②当a <－32时，a <－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a >－4或－a －3<－8，得－4<a <－32；③当a >－32时，a >－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a <－8或－a －3>－4，得－32<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．8．解析：(1)由(x －a )(x －3a )<0，a >0得a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3. 由x －3x －2≤0，得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则A B ， 又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x >3}，则0<a ≤2，且3a >3，所以1<a ≤2， 所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.第2讲 函数的图象与性质1．C 解析：四个函数中，是偶函数的有A ，C ，又y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，排除A ，故选C.2．B 解析：根据题意可知只须作出函数y ＝(12)x (x >0)的图象关于原点对称的图象，确定它与函数y ＝－x 2－4x (x ≤0)交点个数即可，由图象可知，只有一个交点．选B.3．A 解析：函数f (x )＝(e x ＋e －x )sin x 是奇函数，排除B 、D ；当0<x <π时，f (x )>0，排除C ，故选A.4．5 解析：因为f (x )＋f (－x )＝22x ＋1＋sin x ＋22－x ＋1－sin x ＝22x ＋1＋2x ＋11＋2x＝2，且f (0)＝1，所以f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.5．(－1,0) 解析：由题意可知，函数f (x )为奇函数，且在(－∞，＋∞)上单调递增， 从而由f (a 2)＋f (a )<0， 得f (a 2)<－f (a )＝f (－a )，所以得a 2<－a ，解得－1<a <0.6．(1)2x －2－x 2 (2)[－1712，＋∞)解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝g (x )＋h (x )f (－x )＝g (－x )＋h (－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋h (x )＝2x－g (x )＋h (x )＝2－x ， 所以g (x )＝2x －2－x 2.(2)若不等式2a ·g (x )＋h (2x )≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，即a (2x －2－x )＋22x＋2－2x 2≥0对任意x ∈[1,2]恒成立，令2x －2－x ＝t ∈[32，154]，则22x ＋2－2x ＝(2x－2－x )2＋2＝t 2＋2，所以2at ＋t 2＋2≥0对任意t ∈[32，154]恒成立，即a ≥－12(t ＋2t )对任意t ∈[32，154]恒成立，得实数a 的取值范围为[－1712，＋∞)．7．解析：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，所以1－(k －1)＝0，所以k ＝2.(2)由(1)知f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)，由于f (1)<0，所以a －1a<0，所以0<a <1.所以f (x )在R 上是减函数．所以不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0等价于f (x 2＋tx )<f (x －4)． 所以x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立． 所以Δ＝(t －1)2－16<0， 解得－3<t <5.8．解析：(1)f (x )＝a (x ＋1)＋(1－a )x ＋1＝a ＋1－ax ＋1.因为a >1，所以f (x )在[1,3]上是增函数，所以函数f (x )的值域为[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]．g (x )＝(x ＋1)＋9x ＋1＋3≥2(x ＋1)·9x ＋1＋3＝9，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2∈[0,3]时，取等号，所以g (x )的最小值为9.又g (0)＝13，g (3)＝374，所以g (x )的最大值为13.所以函数g (x )的值域为[9,13]．(2)由题意知，[12(a ＋1)，14(3a ＋1)]⊆[9,13]，即⎩⎨⎧12(a ＋1)≥914(3a ＋1)≤13，解得a ＝17.因为a >1，所以a ＝17符合．第3讲 导数及其应用1．A 解析：因为f ′(x )＝cos x －k ＝0， 所以k ＝cos x ∈[－1,1]，因为k ＝1⇒f ′(x )≤0；k ＝－1，f ′(x )≥0，故选A.2．A 解析：构造函数g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x>0，所以函数g (x )单调递增，因为x 1＜x 2，所以g (x 1)＜g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2，所以e x 1f (x 2)＞e x 2f (x 1)，选A.3．B 解析：因为f ′(x )＝x cos x ＋sin x －sin x ＝x cos x ，所以g (t )＝t cos t ，g (t )为奇函数，排除A ，C ，因为g (π2)＝0，g (π3)>0，排除D ，故选B.4．2e 解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2e x 0.因为y ′＝(2e x )′＝2e x ，所以切线斜率k ＝2e x 0.又点(x 0，y 0)在直线y ＝kx 上，代入方程得y 0＝kx 0，即2e x 0＝2e x 0x 0，解得x 0＝1，所以k ＝2e.5．[1，32) 解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝4x －1x，由f ′(x )＝0，得x＝12. 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1k －1≥0，解得1≤k <32.6．解析：(1)令h (x )＝f (x )－g (x )＝x 2＋2x －x e x ， 则h ′(x )＝(x ＋1)(2－e x )，当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下：所以h (x )极小值＝h (－1)＝1e －1，所以h (x )极大值＝h (ln2)＝ln 22.(2)由已知，当x ∈(－2,0)时，x 2＋2x ＋1≥ax e x 恒成立，即a ≥x 2＋2x ＋1x e x ＝x ＋2＋x －1e x恒成立．令t (x )＝x ＋2＋x －1e x ，则t ′(x )＝－(x 2＋1)(x ＋1)x 2e x，所以当x ∈(－2，－1)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增； 当x ∈(－1,0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减． 故当x ∈(－2,0)时，t (x )max ＝t (－1)＝0， 所以a ≥0.7．解析：(1)f ′(x )＝ax，由题设f ′(1)＝1，所以a ＝1，又切点为(1,0)在切线y ＝x ＋b 上，所以b ＝－1. (2)由(1)知f (x )＝ln x ，因为A ⊆B ，所以∀x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1x)，即ln x ≤m (x －1x)．设g (x )＝ln x －m (x －1x)，即∀x ∈[1，＋∞)，g (x )≤0，g ′(x )＝1x －m (1＋1x 2)＝－mx 2＋x －mx 2，①若m ≤0，g ′(x )>0，g (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以g (x )≥g (1)＝0， 这与题设g (x )≤0矛盾；②若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2，当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≤0.所以g (x )在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )≤g (1)＝0，即不等式成立．当0<m <12时，方程－mx 2＋x －m ＝0，设两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m ∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈(1，x 2)，g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (1)＝0，与题设矛盾，综上所述，m ≥12.8．解析：(1)f ′(x )＝1－a x 2＋1x ＝x 2＋x －ax 2，x ∈(0，＋∞)，由Δ＝1＋4a 知，①当a ≤－14时，f ′(x )≥0，f (x )在(0，＋∞)上递增，无最值；②当－14<a <0时，x 2＋x －a ＝0的两根均非正，因此，f (x )在(0，＋∞)上递增，无最值；③当a >0时，x 2＋x －a ＝0有一正根x ＝－1＋1＋4a 2，f (x )在(0，－1＋1＋4a2)上递减，在(－1＋1＋4a 2，＋∞)上递增，此时，f (x )有最小值；所以，实数a 的取值范围为a >0. (2)证明：依题意：1－a x 21＋1x 1＝1－a x 22＋1x 2⇒a (1x 1＋1x 2)＝1. 由于x 1>0，x 2>0，且x 1≠x 2，则有a ＝x 1·x 2x 1＋x 2≥2⇒2(x 1＋x 2)≤x 1·x 2<(x 1＋x 22)2，所以2(x 1＋x 2)<(x 1＋x 22)2，故x 1＋x 2>8.第4讲 函数与方程、函数模型及其实际应用1．D 解析：f (x )在区间(－2，＋∞)上单调递增，且f (1)<0，f (2)>0， 所以函数f (x )在区间(1,2)上有零点，根据函数f (x )的图象关于直线x ＝－2对称，知函数f (x )在区间(－6，－5)上有零点，故选D.2．B 解析：由题易知f (x )－log 2x 为常数， 令f (x )－log 2x ＝k (常数)，则f (x )＝log 2x ＋k ，由f [f (x )－log 2x ]＝3得f (k )＝3. 又f (k )＝log 2k ＋k ＝3，所以k ＝2. 所以f (x )＝log 2x ＋2.令F (x )＝f (x )－f ′(x )－2＝log 2x －1x ln2，F (1)<0，F (2)>0，故选B.3．D 解析：依题意得f (x ＋2)＝f [－(2－x )]＝f (x －2)， 即f (x ＋4)＝f (x )，则函数f (x )是以4为周期的函数．根据题意画出函数f (x )在x ∈(－2,6)上的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象，结合图象分析可知，要使f (x )与y ＝log a (x ＋2)的图象恰有1个交点，则有0<a <1或{ a a (2＋2)>1，解得0<a <1或1<a <4，即a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)，选D.4．16000 解析：设截去的小正方形边长为x (0<x <30)， 则V ＝(60－2x )2x ，V ′＝12(x －10)(x －30)，所以当x ＝10 cm 时，V (x )max ＝V (10)＝(60－20)2×10＝16000(cm 3)．5．m >1 解析：函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．因为1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作出函数y ＝|x |·(x ＋2)的图象，如图所示．由图象可知m 应满足：0<1m<1，故m >1.6．3 解析：函数f (x )与g (x )的图象，如图：由图可以看出，函数y ＝f (x )－g (x )的零点有3个． 7．解析：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝{ －0.5x 2＋6x －13.5 (0≤x ≤7)－x (x >7). (1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0， 因为f (x )＞0⇔{ 0≤x ≤－0.5x 2＋6x －13.5>0或{ x－x >0 ⇒{ 0≤x ≤x 2－12x ＋27<0或{ x－x >0 ⇒{ 0≤x ≤x <9或7<x <10.5 ⇒3<x ≤7或7<x <10.5，即3<x <10.5.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． (2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )<10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．8．解析：(1)因为x ＝2时，y ＝700；x ＝3时，y ＝150，所以⎩⎨⎧a ＋b ＝b 2＝150，解得{ a ＝b ＝300， 故每日的销售量y ＝⎩⎨⎧400(x －3)2＋300x －1 (1<x ≤3)－70x ＋490 (3<x ≤5).(2)由(1)知，当1<x ≤3时：日销售利润f (x )＝[400(x －3)2＋300x －1](x －1)＝400(x －3)2(x －1)＋300＝400(x 3－7x 2＋15x －9)＋300， f ′(x )＝400(3x 2－14x ＋15)，当x ＝53或x ＝3时，f ′(x )＝0，当x ∈(1，53)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(53，3]时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以x ＝53是函数f (x )在(1,3]上的唯一极大值点，f (53)＝400×3227＋300>700；当3<x ≤5时，每日销售利润f (x )＝(－70x ＋490)(x －1)＝－70(x 2－8x ＋7)，f (x )在x ＝4有最大值，且f (4)＝630<f (53)．综上，销售价格x ＝53≈1.67元/千克时，每日利润最大．专题二 三角变换与平面向量、复数第5讲 三角变换1．B 解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以sin2α＝2×222＋1＝45.2．D 解析：因为0<α<π2，所以π6<α＋π6<2π3，又cos(α＋π6)＝23，所以sin(α＋π6)＝1－49＝53，所以sin α＝sin(α＋π6－π6)＝53×32－23×12＝15－26.3．A 解析：因为f (－1)＝cos(π4－1)＝cos(1－π4)>cos(π2－π4)＝f (0)>0， 而π2<1＋π4<π， 故f (1)＝cos(1＋π4)<0，所以选A.4.310 解析：因为sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，所以tan θ＋1tan θ－1＝2，故tan θ＝3. 所以原式＝(－sin θ)·(－cos θ)＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 5．－34 解析：sin(π＋x )＋sin(3π2＋x )＝－sin x －cos x ＝12，所以sin x ＋cos x ＝－12，平方得：1＋sin2x ＝14，所以sin2x ＝－34.6.55 解析：因为tan α＝sin αcos α， 所以sin αcos α＝－2，则sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α＝1，故cos 2α＝15.又π2<α<π，所以cos α＝－55.于是sin α＝255，所以cos α＋sin α＝55. 7．解析：(1)f (x )＝sin2x ＋cos2x＝2(22sin2x ＋22cos2x )＝2(cos π4sin2x ＋sin π4cos2x )＝2sin(2x ＋π4)．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由已知得f (α2＋π8)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝325，则cos α＝35，所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(35)2－1＝－725.8．解析：(1)由f (π4)＝－32，可得sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝－32，所以cos φ＝－32.又因为0<φ<π，所以φ＝5π6.所以f (x )＝sin2x cos 5π6＋cos2x sin 5π6＝sin(2x ＋5π6)．(2)由f (α2－π3)＝513可得sin[2(α2－π3)＋5π6]＝513，化简得sin(α＋π6)＝513.因为α∈(π2，π)，所以α＋π6∈(2π3，7π6)，所以cos(α＋π6)＝－1213，所以cos α＝cos[(α＋π6)－π6]＝cos(α＋π6)cos π6＋sin(α＋π6)sin π6＝5－12326.第6讲 三角函数的图象与性质1．A 解析：当a ＝1时，函数可化为y ＝cos2x ，故最小正周期为π；反之，函数可化为y ＝cos2ax ，若最小正周期为π，则a ＝±1.选A.2．D 解析：当θ∈[0，π2)时，d ＝2cos θ；当θ∈(π2，π)时，d ＝－2cos θ，结合余弦函数图象知选D.3．A 解析：函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin[2(x ＋π6)＋φ]＝sin(2x ＋π3＋φ)，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π－π3(k ∈Z )，又因为|φ|<π2，令k ＝0，得φ＝－π3，所以f (x )＝sin(2x －π3)．又因为x ∈[0，π2]，所以2x －π3∈[－π3，2π3]，所以sin(2x －π3)∈[－32，1]，即当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.4．－22 解析：由题意得g (x )＝sin[3(x －π3)＋π4]＝sin(3x －3π4)，又π3≤x ≤2π3， 所以π4≤3x －3π4≤5π4，所以x ＝2π3时g (x )取最小值sin 5π4＝－22.5．2＋3 解析：令t ＝πx 6－π3，x ∈[0,9]，则t ∈[－π3，7π6]，所以y ＝2sin t ，t ∈[－π3，7π6]，由正弦函数的图象可知y ∈[－3，2]， 故y max －y min ＝2＋ 3.6．2 解析：因为f (1)＝a sin1＋1＝0，所以a ＝－1sin1，f (－1)－a sin1＋1＝－1sin1×(－sin1)＋1＝2.7．解析：(1)当ω＝1时， f (π3)＝sin π3＋cos π2＝32－0＝32. (2)f (x )＝sin ωx ＋cos(ωx ＋π6)＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin(ωx ＋π3)．因为2π|ω|＝π且ω>0得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．由x ∈[0，π4]得2x ＋π3∈[π3，5π6]．所以当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时，f (x )max ＝1.8．解析：(1)f (x )＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x＝3sin x ， g (x )＝1－cos x .由f (α)＝335，得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0，从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ， 即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin(x ＋π6)≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用1．D 解析：由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3.2．A 解析：不妨设三边长为a ，b ，c 且a >b >c >0，公差d ＝2，三个内角为A ，B ，C ， 则a －b ＝b －c ＝2⇒a ＝c ＋4，b ＝c ＋2.因为sin A ＝32，所以A ＝120°或60°(舍去)．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c －62c ＝－12，解得c ＝3，b ＝5，a ＝7. 所以周长为3＋5＋7＝15.3．A 解析：由b a ＋c ＋ca ＋b≥1得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )， 化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，两边同除以2bc 得，b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0<A <π)，所以0<A ≤π3，故选A.4.π6解析：由正弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝32，即cos B ＝32，所以B ＝π6.5．33 解析：S △ABC ＝12bc sin π3＝34bc ，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3≥2bc －bc ，即bc ≤12，故S △ABC ≤3 3.6．507 解析：连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507(m)．7．解析：(1)因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝3.所以c ＝ 3.(2)因为a sin A ＝b sin B ＝csin C ，所以a sin A ＝3sin60°＝2，则a ＝2sin A ，b sin B ＝3sin60°＝2，则b ＝2sin B . 所以a ＋b ＝2(sin A ＋sin B ) ＝2[sin A ＋sin(120°－A )]＝2(32sin A ＋32cos A )＝23sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°， 所以A ＋30°∈(30°，150°)，所以sin(A ＋30°)∈(12，1]，所以a ＋b ∈(3，23]．8．解析：(1)如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO . 在直角三角形ABC 中，AB ＝100，∠BAC ＝θ， 所以AC ＝100cos θ.由于∠BOC ＝2∠BAC ＝2θ， 所以弧BC 的长为50×2θ＝100θ. 所以s (θ)＝2×100cos θ＋100θ，＝200cos θ＋100θ，θ∈(0，π2)．(2)s ′(θ)＝100(－2sin θ＋1)，令s ′(θ)＝0，则θ＝π6，列表如下：所以，当θ＝π6时，s (θ)取得极大值，即为最大值．答：当θ＝π6时，绿化带总长度最大．第8讲 复数、平面向量的基本运算与综合应用 1．A 解析：z ＝2i －1i ＝2＋i ，z 对应的点在第一象限，选A.2．A 解析：a |a|表示与a 同向的单位向量，b |b|表示与b 同向的单位向量，由a |a|＋b|b|＝0知a |a|＝－b|b|，即a 与b 反向，结合四个选项知答案为A. 3．B 解析：设BC 的中点为D ，AP →，AD →的夹角为θ，则有AP →·(AB →＋AC →)＝2AP →·AD →＝2|AD →|·(|AP →|cos θ)＝2|AD →|2＝6.4．4 解析：原式＝(a －2i )(1－2i )5＝a －4－2(a ＋1)i5，故a －4＝0，且a ＋1≠0，所以a＝4.5．(－∞，－2)∪(－2，12) 解析：因为cos θ＝1＋(－2)·λ5·1＋λ2＝1－2λ5(1＋λ2)，又θ为锐角，0<1－2λ5(1＋λ2)<1， 解得λ<12且λ≠－2，所以λ∈(－∞，－2)∪(－2，12)．6．[32，2] 解析：以C 为原点，CA 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设M (x ，y )，则x ＋y ＝2，则y ＝2－x ， 即M (x,2－x )． 又MN ＝2，所以点N 的坐标为(x ＋1,2－x －1)， 即N (x ＋1,1－x )．于是CM →·CN →＝x (x ＋1)＋(2－x )(1－x )＝2x 2－2x ＋2＝2(x －12)2＋32(0≤x ≤1)，所以x ＝12时，CM →·CN →取最小值32，x ＝0或1时，CM →·CN →取最大值2，因此CM →·CN →的取值范围为[32，2]．7．解析：(1)由题意知m·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos(5π6－A )＝0，即sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin(A －π6)＝0.又0<A <5π6，所以A －π6∈(－π6，2π3)，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2×3x ×x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×3×3×sin 2π3＝934.8．解析：(1)由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32，－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝(1＋32，－62)．(2)因为AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以|AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2－2sin(2θ＋π4)．因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4.所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值|AB →|2＝2－2×(－22)＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值 3.专题三 不等式、数列、推理与证明 第9讲 不等式、推理与证明1．B 解析：因为1－x2＋x ≥0⇔{ (x －1)(2＋x )≤＋x ≠0得－2<x ≤1.选B. 2．C 解析：因为x ＞0，y ＞0，所以t ＝x ＋yx ＋y＞0，所以t 2＝x ＋y x ＋y ＋2xy ≥x ＋y x ＋y ＋x ＋y ＝12，所以t 2≥12，则t ≥22，当且仅当x ＝y 时取等号．所以x ＋y x ＋y的最小值为22，故选C.3．B 解析：画出可行域，如图．直线ax ＋y ＝2恒过定点(0,2)，则可行域恒在直线ax ＋y ＝2的下方，显然当a ≤0时成立；当a >0时，直线即为x 2a ＋y2＝1，其在x 轴的截距2a≥2⇒0<a ≤1，综上，可得a ≤1. 4.5π6 解析：由题意有a ＋b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1b＝－2sin2θ， 因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ，所以43cos2θ2＝－2sin2θ得tan2θ＝－3，所以2θ＝k π＋23π(k ∈Z )，所以θ＝12k π＋π3(k ∈Z )，因为θ∈(π2，π)，所以θ＝56π.5．6 解析：先画出可行域(如图)，yx是可行域内的点M (x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率， 当直线OM 过点(1,6)时，yx取得最大值6.6.127解析：内切球半径与外接球半径之比为1∶3，所以体积之比为1∶27. 7．解析：(1)依题意，产品升级后，每件的成本为1000－3x 4元，利润为200＋3x4元，年销售量为1－2x万件，纯利润为f (x )＝(200＋3x 4)(1－2x)－x＝198.5－400x －x4(万元)．(2)f (x )＝198.5－400x －x4≤198.5－2×400x ×x4＝178.5，当且仅当400x ＝x4取等号，即x ＝40(万元)．答：f (x )的最大值为178.5万元，此时x ＝40万元． 8．解析：(1)由题意知f (0)＝A ，f (3)＝3A .所以⎩⎨⎧9A a ＋b ＝A 9A a ＋14b ＝3A，解得{ a ＝b ＝8. 所以f (n )＝9A 1＋8×tn ，其中t ＝2－23. 令f (n )＝8A ，得9A 1＋8×tn ＝8A ，解得t n＝164， 即2－2n 3＝164，所以n ＝9.所以栽种9年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．(2)由(1)知f (n )＝9A1＋8×t n.第n 年的增长高度为Δy ＝f (n )－f (n －1)＝9A 1＋8×t n －9A1＋8×t n －1. 所以Δy ＝72At n －1(1－t )(1＋8t n )(1＋8t n －1)＝72At n －1(1－t )1＋8t n －1(t ＋1)＋64t 2n －1＝72A (1－t )1t n 1＋64t n＋8(t ＋1) ≤72A (1－t )264t n×1tn －1＋8(t ＋1)＝72A (1－t )8(1＋t )2＝9A (1－t )1＋t.当且仅当64t n ＝1tn －1，即2－2(2n －1)3＝164时取等号，此时n ＝5.所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．第10讲 等差、等比数列及特殊数列求和1．C 解析：因为{ a 1＋d ＝a 1＋5d ＝12，所以{ a 1＝d ＝2，则a 8＝1＋7×2＝15，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝45，故选C.2．B 解析：由题意知{a n }为等差数列，且a 1＝5，S 30＝390，所以30×5＋30×292×d＝390，解得d ＝1629.选B.3．A 解析：由已知得a n ≥0，即33＋(n －1)×(－4)≥0，得n ≤374，n 为正整数，n ＝9，选A.4．2 解析：因为(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，即a 1(a 1＋6d )＝a 21＋4a 1d ＋4d 2，整理得a 1＝2d ，故a 1d＝2. 5．{1,2,4} 解析：由题意知d ＝6，q ＝－2，a n ＝－2＋6(n －1)＝6n －8，b n ＝(－2)n ，若6n －8＝(－2)n ，当n ＝1,2,4时，符合题意，n ＝3,5时不符合题意，当n ≥6时，|6n －8|<|(－2)n |，不符合题意，所以n ＝1,2,4.6．16 解析：设对应的数列为{a n }，公差为d (d >0)． 由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n . 由a n ＋a n －1＋a n －2＝114得3a n －1＝114， 解得a n －1＝38.由a 26＝a 1a n 得(a 1＋5d )2＝a 1(a n －1＋d )， 即(10＋5d )2＝10(38＋d )，解得d ＝2， 所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38， 即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16. 7．解析：(1)n ≥2时，S n ＝2a n ＝2(S n －S n －1)，即S n ＝2S n －1，S 1＝2，所以S n ＝2n ，故a n ＝{ 2 (n ＝1)n －1(n ≥2). (2)b n ＝2n＋1(2n ＋n )(2n ＋1＋n ＋1)＝12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1 ＝13－12n ＋1＋n ＋1. 8．解析：(1)当n ＝1，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以{a n }是等比数列，公比为2，首项a 1＝2，所以a n ＝2n . 又点P (b n ，b n ＋1)(n ∈N *)在直线y ＝x ＋2上， 所以b n ＋1＝b n ＋2，所以{b n }是等差数列，公差为2，首项b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)a n ·b n ＝(2n －1)×2n .所以D n ＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，①2D n ＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，② ①－②得－D n ＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)×2n ＋1＝2n ＋1(3－2n )－6.所以D n ＝(2n －3)2n ＋1＋6.(3)c n ＝{ 2n(n 为奇数)－(2n －1) (n 为偶数)， T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝2＋23＋…＋22n －1－[3＋7＋…＋(4n －1)]＝22n ＋1－23－2n 2－n .第11讲 数列模型、数列与不等式综合问题1．D 解析：因为a 1＝S 1＝2(a 1－1)，得a 1＝2，所以由a 1＋a 2＝S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4. 2．C 解析：因为a n ＝f (n )是递增数列，所以{ 3－aa a 7<a 8，即{ a a (3－a )－3<a 2，解得2<a <3. 3．B 解析：因为3S n ＝a n a n ＋1,3S n －1＝a n －1a n ， 所以3S n －3S n －1＝3a n ＝a n a n ＋1－a n －1a n ， 得3＝a n ＋1－a n －1.在3S n ＝a n a n ＋1中令n ＝1得a 2＝3，所以{a 2n }是以3为首项，3为公差的等差数列， 所以∑k ＝1na 2k ＝3n ＋3n (n －1)2＝3n (n ＋1)2.4.n3n －1 解析：因为a n －1－a n ＝a n －1a n n (n －1)， 所以1a n －1a n －1＝1n (n －1)＝1n －1－1n ，即1a 2－1a 1＝1－12，1a 3－1a 2＝12－13，…，1a n －1a n －1＝1n －1－1n ， 所以1a n －1a 1＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ，即1a n ＝3－1n ，即a n ＝n 3n －1. 5．91 解析：因为S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2， 所以当n ≥2时，S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2， 即a n ＝a n －1＋2.当n ≥2时，{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S 10＝1＋2×9＋9×82×2＝91.6.5972 解析：由题意知S n ＝43[1－(－13)n ]1＋13＝1－(－13)n ， 设t ＝(－13)n ，则－13≤t ≤19，S n ＝1－t ，则89≤S n ≤43. 又因为y ＝S n －1S n为增函数，所以(S n －1S n )min ＝－1772，(S n －1S n )max ＝712，所以B ≥712，A ≤－1772，故B －A 的最小值为712＋1772＝5972.7．解析：(1)设第n 年底该县农村医保基金为a n 万元， 则a 1＝1000，a n ＝(1－10%)a n －1＋m (n ≥2)，即a n ＝910a n －1＋m (n ≥2)．于是a n －10m ＝910(a n －1－10m ) (n ≥2)．所以a n －10m ＝(a 1－10m )(910)n －1，即a n ＝10m ＋(1000－10m )(910)n －1.故第n 年底该县农村医保基金有10m ＋(1000－10m )(910)n －1万元．(2)若每年年底的医保基金逐年增加， 则数列{a n }单调递增．因为y ＝(910)n －1是减函数，则1000－10m ＜0，即m ＞100.又a n ＝10m ＋(1000－10m )(910)n －1≤1500恒成立，则lim n→∞a n ≤1500， 即10m ≤1500，所以m ≤150.故每年新增医保基金m 的控制范围是(100,150]．8．解析：(1)当n ≥2时，2a n ＝a n －1－1⇒2(a n ＋1)＝a n －1＋1，所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝12为首项，公比为12的等比数列．则a n ＋1＝12n ，故a n ＝12n －1.(2)证明：b n ＝12n (12n －1)(12n ＋1－1)＝2n ＋1(2n －1)(2n ＋1－1) ＝2(12n －1－12n ＋1－1)，S n ＝2(121－1－122－1)＋2(122－1－123－1)＋…＋2(12n －1－12n ＋1－1) ＝2(1－12n ＋1－1)<2.专题四 立体几何第12讲 空间几何体的视图、表面积与体积 1．A 解析：V ＝12(1＋2)×1×2＝3，故选A.2．D 解析：将展开图还原得多面体ABCDE 为四棱锥(如图所示)，利用割补法可得其体积V ＝23－12×2×2×2－13×12×2×2×2＝4－43＝83，选D.3．C 解析：由题意可知，该空间几何体为一正三棱柱． 如图所示，记外接球的球心为O ，则球半径R ＝A ′M ′2＋OM ′2＝(23×3)2＋12＝73， 则球的表面积S ＝4πR 2＝28π3，选C.4.43解析：由侧视图为直三角形，知四棱锥的高为1， 则V ＝13×22×1＝43.5．16＋π 解析：由三视图可知，该几何体是一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球．所以该几何体的表面积为16＋2π－π＝16＋π.6．3π 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面， 得△ABC 及其内切圆⊙O 1和外切圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形． 由题意⊙O 1的半径为r ＝1， 所以△ABC 的边长为23，所以圆锥的底面半径为3，高为3，所以V ＝13×π×3×3＝3π.7．解析：(1)证明：因为△P AB 是等边三角形，所以P A ＝PB ， 又∠P AC ＝∠PBC ＝90°，PC ＝PC ，所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ，可得AC ＝BC .(2)证明：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，则PD ⊥AB ，CD ⊥AB ，所以AB ⊥平面PDC ，所以AB ⊥PC .(3)过点B 作BE ⊥PC ，垂足为E ，连接AE . 因为PB ＝AB ，BE ＝BE ，∠PEB ＝∠AEB ＝90°， 所以Rt △PBC ≌Rt △P AC ， 所以AE ⊥PC ，AE ＝BE .由已知，平面P AC ⊥平面PBC ，故∠AEB ＝90°. 因为Rt △AEB ≌Rt △PEB ，所以△AEB ，△PEB ，△CEB 都是等腰直角三角形． 由已知PC ＝4，得AE ＝BE ＝2，△AEB 的面积为S ＝2. 因为PC ⊥平面AEB ，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13×S ×PC ＝83.8．解析：(1)梯形ABCD 的面积S 梯形ABCD ＝2cos θ＋22·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈(0，π2)．体积V (θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈(0，π2)．(2)V ′(θ)＝10(2cos 2θ＋cos θ－1)＝10(2cos θ－1)(cos θ＋1)，令V ′(θ)＝0，得cos θ＝12，或cos θ＝－1(舍去)．因为θ∈(0，π2)，所以θ＝π3.当θ∈(0，π3)时，12<cos θ<1，V ′(θ)>0，V (θ)为增函数；当θ∈(π3，π2)时，0<cos θ<12，V ′(θ)<0，V (θ)为减函数．所以当θ＝π3时，体积V 最大．(3)木梁的侧面积S 侧＝(AB ＋2BC ＋CD )·10＝20(cos θ＋2sin θ2＋1)，θ∈(0，π2)，S ＝2S 梯形ABCD ＋S 侧＝2(sin θcos θ＋sin θ)＋20(cos θ＋2sin θ2＋1)，θ∈(0，π2)．设g (θ)＝cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈(0，π2)，因为g (θ)＝－2sin 2θ2＋2sin θ2＋2，所以当sin θ2＝12，即θ＝π3时，g (θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值，所以θ＝π3时，木梁的表面积S 最大．综上，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．第13讲 空间点、线、面之间的位置关系1．B 解析：A 项中α，β还可能相交、垂直；C 项中还可能l ∥β或l ⊂β；D 项中还可能l ⊂β或l 与β相交或平行；B 项中由l ∥α，l ⊥β，知存在m ，m ⊂α，m ⊥β，所以α⊥β，选B.2．C 解析：DC 1⊥平面A 1BCD 1，所以A 正确；D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，所以B 正确；当0<A 1P <22时，∠APD 1为钝角，所以C 错；将平面AA 1B 与平面BCD 1A 1沿A 1B 展成平面图形，线段A 1D 即为AP ＋PD 1的最小值，解三角形易得A 1D ＝2＋2，所以D 正确．故选C.3．C 解析：当θ∈(0，π4]时，V (θ)＝12tan θ，图象关于点(π4，12)对称，所以选C.4．② 解析：α⊥β，m ⊥α时，直线m 也可能在β内，所以①是假命题；m ∥α，m ⊥n 时，n ⊂α或n ∥α或n 与α相交，所以③是假命题；m ∥α，m ⊂β时，α与β也可能相交，所以④是假命题，因此答案是②.5．②④ 解析：①错误，垂直于同一平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a ，b 互相垂直时可以作出满足要求的平面．6．解析：(1)证明：因为四边形ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD .又因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，且AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥平面BDEF .(2)证明：在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF .设AC ∩BD ＝O ，连接OH ，在△ACF 中，因为OA ＝OC ，CH ＝HF ， 所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ， 所以OH ∥平面AEF .又因为OH ∩GH ＝H ，OH ，GH ⊂平面BDGH, 所以平面BDGH ∥平面AEF . (3)由(1)得AC ⊥平面BDEF ， 又因为AO ＝2，矩形BDEF 的面积S BDEF ＝3×22＝62，所以四棱锥A -BDEF 的体积V 1＝13×AO ×S BDEF ＝4.同理，四棱锥C -BDEF 的体积V 2＝4.所以多面体ABCDEF 的体积V ＝V 1＋V 2＝8. 7．解析：(1)证明：因为AA 1⊥底面ABC ， 所以A 1A ⊥AB ，因为AB ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ， 所以AB ⊥平面AA 1C 1C .(2)因为平面DEF ∥平面ABC 1，平面ABC ∩平面DEF ＝DE ，平面ABC ∩平面ABC 1＝AB ， 所以AB ∥DE ，因为△ABC 中E 是BC 的中点， 所以D 是线段AC 的中点． (3)证明：因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ＝AC ，所以侧面A 1ACC 1是菱形，所以A 1C ⊥AC 1，由(1)可得AB ⊥A 1C ， 因为AB ∩AC 1＝A ， 所以A 1C ⊥平面ABC 1， 所以A 1C ⊥BC 1.又因为E ，F 分别为棱BC ，CC 1的中点， 所以EF ∥BC 1，所以EF ⊥A 1C .8．解析：(1)证明：在△AOD 中，因为∠OAD ＝π3，OA ＝OD ，所以△AOD 为正三角形．又因为E 为OA 的中点，所以DE ⊥AO ，因为两个半圆所在平面ACB 与平面ADB 互相垂直， 且其交线为AB ， 所以DE ⊥平面ABC .又CB ⊂平面ABC ，所以CB ⊥DE . (2)由(1)知DE ⊥平面ABC ， 所以DE 为三棱锥D -BOC 的高．因为D 为圆周上一点，且AB 为直径，所以∠ADB ＝π2.在△ABD 中，由AD ⊥BD ，∠BAD ＝π3， AB ＝2，得AD ＝1，所以DE ＝32. 因为S △BOC ＝12S △ABC ＝12×12×1×3＝34，所以V C -BOD ＝V D -BOC ＝13S △BOC ·DE ＝13×34×32＝18. (3)存在满足题意的点G ，G 为劣弧BD 的中点．证明如下：连接OG ，OF ，FG ，易知OG ⊥BD ，又AD ⊥BD ， 所以OG ∥AD ，因为OG ⊄平面ACD ，所以OG ∥平面ACD . 在△ABC 中，O ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以OF ∥AC ，OF ⊄平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， 所以OF ∥平面ACD ， 因为OG ∩OF ＝O ，所以平面OFG ∥平面ACD .又FG ⊂平面OFG ，所以FG ∥平面ACD .第14讲 空间角和距离的计算与应用1．B 解析：设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，由于E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱BB 1，AD 的中点，连接BD ，AE ，过F 作BD 的垂线交BD 于H ， 则FH ⊥平面BDD 1B 1，则∠FEH 为EF 和平面BDD 1B 1所成的角．易知FH ＝22，EF ＝BF 2＋BE 2＝6，则sin ∠FEH ＝FH EF ＝36，故直线EF 和平面BDD 1B 1所成的角的正弦值是36，选B.2．C 解析：设BC ＝CA ＝CC 1＝22，则AB ＝4， 延长B 1A 1到H 使得A 1H ＝2，连接AH ，HN ， 则AH ∥BM .在△AHN 中，AH ＝23，AN ＝10，HN ＝10， 由余弦定理得cos ∠HAN ＝(23)2＋(10)2－(10)22×10×23＝3010，故选C.3．A 解析：取B 1C 1的中点D ，连接AD ，A 1D . 因为侧棱垂直于底面，底面是正三角形， 所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱，所以BB 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是BB 1与平面AB 1C 1所成的角． 因为B 1C 1⊥AD ，B 1C 1⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， 所以B 1C 1⊥平面AA 1D ， 又B 1C 1⊂平面AB 1C 1，所以平面AB 1C 1⊥平面AA 1D ，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD . 因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，即BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.4．60° 解析：取BC 的中点E ，连接AE ，DE ， 则AE ⊥平面BB 1C 1C ，所以AE ⊥DE ，因此AD 与平面BB 1C 1C 所成角即为∠ADE ，设AB ＝a ，则AE ＝32a ，DE ＝a2，tan ∠ADE ＝DEAE＝3，所以∠ADE ＝60°.5.13解析：如图为圆锥的轴截面， 设圆锥母线与底面角为θ，母线长为l ，底面圆的半径为r . 因为圆锥的侧面积是底面积的3倍，所以πrl πr 2＝lr＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，则cos θ＝r l ＝13.6．23 解析：如图，作OD ⊥AC ，垂足是O ， 则O 是AC 的中点，连接OB ， 易证∠BOD ＝90°.作OE ⊥CD 于E ，则E 是CD 的中点，连接BE . 又BO ⊥平面ACD ，所以BO ⊥CD ，又BO ∩OE ＝O ，所以CD ⊥平面BOE ，所以BE ⊥CD ， 故BE 是点B 到直线CD 的距离． 在Rt △BOE 中，BO ＝22，OE ＝2，则BE ＝BO 2＋OE 2＝2 3.7．解析：(1)证明：因为∠DAB ＝90°，所以DA ⊥AB ，又平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， 所以DA ⊥平面ABEF ，又EF ⊂平面ABEF ， 所以DA ⊥EF .(2)设点B 到平面DCE 的距离为h ，直线BE 与平面DCE 所成角为α， DC ＝EC ＝5，DE ＝AD 2＋AE 2＝4＋8＝23， 所以S △EDC ＝6，S △BCD ＝1， 连接BD ，则V E -BCD ＝V B -EDC ，13S △EDC ×h ＝13S △BCD ×BE ，所以6h ＝2，得h ＝63， sin α＝h EB ＝632＝66，所以直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66.8．解析：(1)证明：因为△ABC 为等边三角形，M 为AC 的中点，所以BM ⊥AC . 又因为AC ⊥CD ，所以在平面ABCD 中，有BM ∥CD . 又因为CD ⊂平面PCD ，BM ⊄平面PCD ， 所以BM ∥平面PCD .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥CD ，又因为AC ⊥CD ，又P A ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ， 所以直线PD 与平面P AC 所成角为∠DPC .在Rt △PCD 中，tan ∠DPC ＝CD PC ＝62.设AP ＝AB ＝a ，则AC ＝a ，PC ＝2a ，所以CD ＝62PC ＝3a ，在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2＋CD 2＝4a 2， 所以AD ＝2a .因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AD ， 所以平面P AD ⊥平面ABCD .在Rt △ACD 中，过M 作MN ⊥AD ，垂足为D .又因为平面ABCD ∩平面P AD ＝AD ，MN ⊂平面ABCD ， 所以MN ⊥平面P AD .在平面P AD 中，过N 作NH ⊥PD ，垂足为H ，连接MH ，则PD ⊥平面MNH .所以∠MHN 为二面角A -PD -M 的平面角． 在Rt △ACD 中，MN ＝34a ，AN ＝14a ，ND ＝74a ，因为Rt △DNH ∽Rt △DP A ，所以NH P A ＝DNPD，所以NH ＝P A ·DN PD ＝745a ，所以tan ∠MHN ＝MN NH ＝34a 745a ＝157，所以二面角A -PD -M 的正切值为157.专题五 算法、概率与统计第15讲 程序框图、程序与算法案例1．A 解析：由程序框图可知，第一次循环：i ＝1，s ＝0＋21－1×1＝0＋1＝1；第二次循环：i ＝2，s ＝1＋22－1×2＝1＋4＝5；第三次循环：i ＝3，s ＝5＋23－1×3＝5＋12＝17；第四次循环：i ＝4，s ＝17＋24－1×4＝17＋32＝49；第五次循环：i ＝5，s ＝49＋25－1×5＝49＋80＝129>100， 结束循环，所以输出的i 值为5.2．B 解析：依题意得，第一次循环，S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次循环，S ＝12＋14，n ＝6，k ＝3；……第九次循环，S ＝12＋14＋…＋118，n ＝20，k ＝10；第十次循环，S ＝12＋14＋…＋118＋120，n ＝22，k ＝11，此时，不满足条件，结束循环．故程序框图的功能是求数列{12n}的前10项和．3．B 解析：①的意图为表示各项的分母，而分母相差2，所以①处应填n ＝n ＋2. ②的意图是为直到型循环结构构造满足跳出循环的条件，而分母从1到29共15项，所以②处应填i >15？，故选B.4．3 解析：当T ＝0，k ＝1时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝1，k ＝2；当T ＝1，k ＝2时，sin k π2<sin (k －1)π2，所以a ＝0，T ＝1，k ＝3；当T ＝1，k ＝3时，sin k π2<sin (k －1)π2，所以a ＝0，T ＝1，k ＝4；当T ＝1，k ＝4时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝2，k ＝5；当T ＝2，k ＝5时，sin k π2>sin (k －1)π2，所以a ＝1，T ＝3，k ＝6.此时k ≥6，跳出循环，所以输出的T ＝3.5．方案三 解析：方案一，所用时间为8＋5＋13＋7＋15＋6＝54分钟； 方案二，所用时间为8＋15＋7＝30分钟； 方案三，所用时间为8＋13＋7＝28分钟． 故答案为方案三．6．3 解析：由题意知y ＝{ x 2－1 (x ≤2)2x (x >2). 当x ≤2时，由x 2－1＝3，得x 2＝4，解得x ＝±2. 当x >2时，由log 2x ＝3，得x ＝8. 所以输入的实数x 值的个数为3. 7．解析：由题意可知，y ＝{ 1 (0<x ≤100)x (100<x ≤5000) (5000<x ≤1000000)，。
高中总复习二轮文科数学精品课件 专题8 选修4系列 8.2 不等式选讲(选修4—5)
当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.
所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
.
命题热点三
不等式的证明
【思考】 不等式证明的常用方法有哪些?
例3(2022全国甲,文23)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:
即ac+4bc≤1(当且仅当a=b=c时,等号成立).
预测演练•巩固提升
1.(2022广西桂林阳朔中学模拟)已知函数f(x)=|x+3|,g(x)=|2-x|.
(1)求不等式f(x)+g(x)≤6的解集;
(2)设h(x)=f(x)-g(x),x1,x2∈R,求h(x1)-h(x2)的最大值.
解:(1)依题意,|x+3|+|2-x|≤6,
2
2
(0<x<1)的最小值为
1-
1.
题后反思 基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,
运用基本不等式时应注意其条件(一正、二定、三相等).
对点训练4已知函数f(x)=x2+|x-2|.
(1)解不等式f(x)≤2|x|;
(2)若f(x)≥a2+4b2+5c2-
1
对任意x∈R恒成立,证明ac+4bc≤1.
则当 x≤-3
7
时,-(x+3)+(2-x)≤6,解得- ≤x≤-3;
2
当-3<x<2 时,x+3+2-x≤6,所以-3<x<2;
当 x≥2 时,x+3+x-2≤6,解得
高中文科数学必做100题(二轮复习用)必修1
综上所述，实数 m 的取值范围是 m 2 或 1 m 2 。 004.设常数 a R ,已知集合
A x | x 1 x a 0 , B x | x a 1 .
文科数学必做 100 题(二轮)
001.（2013 山东）已知集合 ，则 （ ） 均为全集 的子集，且 （ , ）
A．{3} B．{4} C．{3,4} D． 解：解法 1：如图，利用 Venn 图，显然选择 A。
解法 2：∵ U 1,2,3,4 ， U A B 4 ， ∴ A B 1, 2,3 ，又 B 1, 2 ， ∴ U B 3, 4 ，又 4 A ， ∴ A U B 3 。故选 A。 002.设集合 A {x | x2 a 4 x 4a 0, a R} ，
A , a 1, ， B a 1, 。
则 A B a 1, a 1, 。 005. （2013 福建） 设 S， T 是 R 的两个非空子集， 如果存在一个从 S 到 T 的函数 y＝f(x)满足： (ⅰ)T＝{f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意 x1，x2∈S，当 x1＜x2 时，恒有 f(x1)＜f(x2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下 3 对集合： ①A＝N，B＝N*； ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}； ③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R. 其中，“保序同构”的集合对的序号是______．(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 解：①若 y＝x＋1 是从 A 到 B 的一个函数，且 x∈A，则满足(ⅰ)B＝{f(x)|x∈A}．又 f(x) ＝x＋1 是单调递增的，所以也满足(ⅱ)； ②若 f x 也满足(ⅱ)； ③若 f x tan x
高三二轮文科数学复习资料
高三二轮文科数学复习资料高三二轮文科数学复习资料高三是每个学生都会经历的一段重要时期，对于文科生而言，数学是必修科目之一。
在备战高考的过程中，数学的复习显得尤为重要。
本文将为高三文科生提供一些有关数学复习资料的建议和方法。
首先，复习资料的选择非常重要。
在市面上，有各种各样的数学复习资料可供选择，如教辅书、习题集、模拟试卷等。
为了提高效率，我们应该选择适合自己的资料。
可以从以下几个方面进行考虑。
第一，选择与教材对应的教辅书。
教辅书是对教材内容的补充和扩展，可以帮助我们更好地理解和掌握知识点。
在选择教辅书时，可以参考一些权威出版社的推荐，如人民教育出版社、北京大学出版社等。
第二，选择有针对性的习题集。
习题集是巩固和运用知识的重要工具。
我们可以根据自己的掌握程度选择难度适中的习题集。
此外，还可以选择一些专门针对高考的习题集，这些习题集通常会按照高考考点和题型进行分类，有助于我们更好地了解考试要求。
第三，多做模拟试卷。
模拟试卷是检验自己复习效果的重要手段。
我们可以选择一些历年高考试卷进行模拟考试，这样可以更好地了解自己的薄弱环节，并及时调整复习计划。
其次，复习方法也是关键。
只有选择了合适的复习资料，合理的复习方法才能发挥出最大的效果。
以下是一些建议供参考。
第一，系统性复习。
数学的知识点是相互关联的，我们应该按照教材的顺序进行复习，逐个击破。
可以制定一个详细的复习计划，将各个知识点分配到不同的时间段进行复习。
第二，重点突破。
在复习过程中，我们应该重点关注那些容易出错或理解困难的知识点。
可以通过查阅教辅书、请教老师或同学来解决这些问题。
第三，强化训练。
数学是一门需要大量练习的学科，我们应该多做题，多思考。
可以将习题分为基础题和拓展题，先做基础题巩固基本知识，再做拓展题提高解题能力。
第四，总结归纳。
在复习过程中，我们应该将每个知识点的公式、定理和解题思路进行总结归纳。
可以制作一张知识点的思维导图，方便回顾和复习。
高三年级数学下册知识点复习
高三年级数学下册知识点复习【导语】复习是为了更好的与高考考纲相结合，特别水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，弥补知识、技能的空白。
作者高三频道为你整理了《高三年级数学下册知识点复习》助你金榜题名！1.高三年级数学下册知识点复习乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式a+b≤a+ba-b≤a+ba≤ba-b≥a-b-a≤a≤a一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1__X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB2.高三年级数学下册知识点复习正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一样方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c'_h正棱锥侧面积S=1/2c_h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi_r2圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2_l_r锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=pi_r2h3.高三年级数学下册知识点复习不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
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高三文科数学第二轮复习资料——《函数与导数》专题1．设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈均有()(3)0f x f x ++=，且当11x -<≤时，()23f x x =-，求当24x <≤时，()f x 的解析式．2. 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值围.3．集合A 是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x ≥0，f(x)∈(1,4]，且f(x)在[0，+∞)上是减函数.（1）判断函数f 1(x)=2-x 及f 2(x)=1+3·(x)21(x ≥0)是否在集合A 中？若不在集合A 中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A 中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)≤k 对于任意的x ≥0总成立.数k 的取值围.4. 对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x的不动点．（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，数a 的取值围；（3）在(2)的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，数b 的取值围．5. 已知函数f(x)=2x 3+ax 与g(x)=bx 2+c 的图像都过P （2，0），且在点P 处有相同的切线. （1）数a 、b 、c 的值；（2）设函数F(x)=f(x)+g(x)，求F(x)的单调区间.6．设x=1与x=2是函数f(x) = a lnx + bx 2+ x 的两个极值点．（Ⅰ）试确定常数a 和b 的值；（Ⅱ）试判断x=1，x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.7. 2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M 是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m 和燃料重量x 之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y 关于x 的函数关系式为：[ln())]4ln 2(0)y k m x k =+-+≠其中.当燃料重量为m e )1(-吨（e 为自然对数的底数，72.2≈e ）时，该火箭的最大速度为4（km/s ）.（Ⅰ）求火箭的最大速度)/(s km y 与燃料重量x 吨之间的函数关系式)(x f y =；（Ⅱ）已知该火箭的起飞重量是544吨，是应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s ，顺利地把飞船发送到预定的轨道？8．某工厂统计资料显示，产品次品率ϕ与日产量x （件）（891≤≤∈x N x 且）的关系符合如下规律：又知每生产一件正品盈利α元，每生产一件次品损失2α元).0(>a （Ⅰ）将该厂日盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（Ⅱ）为了获得最大盈利该厂的日产量应定为多少件？（取7.13≈计算）．9. 某厂家拟在2006年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促 销费用m 万元（m ≥0）满足13+-=m kx （k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能 是1万件.已知2006年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家 将每年产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资 金，不包括促销费用）.（1）将2006年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2006年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （Ⅱ）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）11. 甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f （x ）、g （x ），当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f （x ）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g （x ）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险． （Ⅰ）试解释20)0(,10)0(==g f 的实际意义； （Ⅱ）设20)(,1041)(+=+=x x g x x f ，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？12. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为、5000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x （0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.已知年利润=（每辆车的出厂价－每辆车的投入成本）×年销售量.（Ⅰ）若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么围？（Ⅱ）年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？参考答案1.解：由()(3)0f x f x ++=有(3)()f x f x +=-，当11x -<≤时，(3)()23f x f x x +=-=-+.设3x t +=，则由11x -<≤得24t <≤，又3x t =-，于是()2(3)329f t t t =--+=-+， 故当24x <≤时，()29f x x =-+．2.解：（Ⅰ）因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，即111201()22xx b b f x a a +--=⇒=∴=++ 又由f （1）= -f （-1）知11122 2.41a a a --=-⇒=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知11211()22221x x xf x +-==-+++，易知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数． 又因()f x 是奇函数，从而有不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得：2222t t k t ->-．即对一切t R ∈有：2320t t k -->，从而判别式14120.3k k ∆=+<⇒<-３.解:（1）∵f )49(1=2-49=-5∉(1,4]，∴f )(1x 不在集合A 中．又∵x ≥0, ∴0＜(x)21≤1， ∴0＜3·(x)21≤3，从而1＜1+3·(x)21≤4．∴f 2(x)∈(1,4]．又f 2(x)=1+3·(x)21在[0，+∞)上为减函数，∴f 2(x)=1+3·(x)21在集合A 中.（2）当x ≥0时，f(x)+f(x+2)=2+415·(x )21≤423． 又由已知f(x)+f(x+2) ≤k 对于任意的x ≥0总成立, ∴k ≥423． 因此所数k 的取值围是[423,+∞)．４.解： 2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当2,2a b ==-时，2()24f x x x =--．设x 为其不动点，即224x x x --=，则22240x x --=． 所以121,2x x =-=，即()f x 的不动点是1,2-.（2）由()f x x =得220ax bx b ++-=.由已知，此方程有相异二实根，所以24(2)0a b a b ∆=-->，即2480b ab a -+>对任意b R ∈恒成立．20,16320b a a ∴∆<∴-<，02a ∴<<．（3）设1122(,),(,)A x y B x y ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，1k ∴=-．记AB 的中点00(,)M x x ，由(2)知02bx a=-．212()20,bf x x ax bx b x x a=⇔++-=∴+=-M 在2121y kx a =++上，212221b b a a a ∴-=++化简得：211212a ba a aaa=-=-≥=++2a =时，等号成立．即,44b b ⎡⎫≥-∴∈-+∞⎪⎢⎪⎣⎭5.解：（1）∵f(x),g(x)的图像过P （2，0）∴f(2)=0即2×23+a ×2=0，所以a=－8．g(2)=0 即：4×b+c=0又∵f(x)，g(x)在P 处有相同的切线，∴4b=16，b=4，c=－16， ∴a=－18，b=4，c=－16．（2）由F(x)=2x 3+4x 2－8x －16，有F ′(x)=6x 2+8x －8解不等式F ′(x)=6x 2+8x －8≥0得x ≤－2或x ≥32即单调增区间为),32[],2,(+∞--∞． 同理，由F ′(x)≤0得－2≤x ≤32，即单调减区间为[－2，32]．6.解：（Ⅰ）f ′(x)=x a +2bx+1，由极值点的必要条件可知：f ′(1)=f ′(2)=0,即a+2b+1=0, 且2a+4b+1=0, 解方程组可得a=－32,b=－61,∴f(x)=－32lnx －61x 2+x ．（Ⅱ）f ′(x)=－32x -1－31x+1,当x ∈(0,1)时，f ′(x)＜0, 当x ∈(1,2)时，f ′(x)＞0, 当x ∈(2,+∞)时，f ′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值65, 在x=2处函数取得极大值34－32ln2.7.解：（Ⅰ）依题意把4,)1(=-=y m e x 代入函数关系式.8,2ln 4)]2ln()[ln(=+-+=k m x m k y 解得所以所求的函数关系式为,2ln 4)]2ln()[ln(8+-+=m x m y 整理得.)ln(8mx m y += （Ⅱ）设应装载x 吨燃料方能满足题意，此时，8,544=-=y x m ，代入函数关系式).(344,1544544ln ,)ln(8t x xm x m y ==-+=解得得 即应装载344吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.8.解:（Ⅰ）由ϕ与x 的对应规律得次品率为),891(1002N x x x∈≤≤-=ϕ故日产量x 件中，次品数为x ϕ件，正品数为)(x x ϕ-件．则日盈利额),891)(1003(N x x x xx a T ∈≤≤--= ．（Ⅱ）)891)](100300100(103[)1003(≤≤∈-+--=--=x N x xx a x x x a T 且（注：此步可由换元法令t x =-100得到）320100300100≥-+-xx当且仅当x x -=-100300100时取等号．由,83310100,100300100≈-=-=-x xx 得83=∴x 当时，xx -+-100300100取得最小值，又0>α，取得最大值时当T x ,83=∴，因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．9.解（1）由题意可知当0=m 时，1=x （万件）,231=-=∴k k 即 123+-=∴m x 每件产品的销售价格为x x1685.1+⨯（元）)168(]1685.1[2006m x xxx y ++-+⨯=∴年的利润m n m x -+-+=-+=)123(8484… )0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）,8162)1(116,0=≥+++≥m m m 时31116,21298=⇒+=+=+-≤∴m m m y 当且仅当（万元）时，21max =y （万元）所以该厂家2006年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元.10.解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为o x 个，则.55002.05160100=-+=o x 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元.（2）当;60,1000=≤<P x 时当,550100时<<x ;5062)100(02.060x x P -=--= 当.51,550=≥P x 时所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<==),550(,51)(),550100(,5062),1000(,60)(x N x x x x x f P（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=-=),550(,11)(),550100(,5022),1000(,20)40(2x x N x x x x x x x P L由于当2000,1000≤≤<L x 时；.6050,550≥≥L x 时当所以，,550100<<x 此时.50222x x L -= 由⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.500100600050222x x x 解得500=x ． 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得利润6000元.11.解：（I ）f （0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g （0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．（Ⅱ）设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧+=≥+=≥)2(..........20)()1.......(1041)(y y g x x x f y 成立，双方均无失败的风险． 由（1）（2）得060410)20(41≥--⇒++≥y y y y 0)154)(4(≥+-∴y y 2420420,1640154=+≥+≥≥⇒≥∴>+y x y y y1624min min ==y x答：要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．12. 解：（I ）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10×（1+x ）；出厂价为13×（1+0.7x ）； 年销售量为5000×（1+0.4x ）.因此本年度的利润为)4.01(5000)9.03()4.01(5000)]1(10)7.01(13[x x x x x y +⨯⨯-=+⨯⨯+⨯-+⨯=)10(15000150018002<<++-=x x x（Ⅱ）本年度的利润为)55.48.49.0(3240)352(3240)9.03()(232++-⨯=++-⨯⨯-=x x x x x x x f则),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数； 当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数. ∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元， 因为f （x ）在（0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值． 即当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．。