04第四章分层抽样
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04-第四章_分层随机抽样
L
下面讨论估计量的期望与方差。 （1）对于一般分层抽样
ˆ ）也 对于一般的分层抽样，若 Y h 是 Y h 的无偏估计量，则 Y st （或 Y st
是 Y （或 Y ）的无偏估计：
Ù
Ù
E (Y st ) = å Wh E (Y h ) = Y
h =1
Ù
L
Ù
ˆst ) = NE (Y st ) = N Y = Y E (Y
L
2 L Sh S2 - å Wh2 h nh h =1 Nh
=å
简便公式
2 L Wh2 Sh W S2 -å h h nh N h =1 h =1
V ( y st ) = V (å Wh y h )
h =1
L
= å Wh2V ( y h )
h =1 L
L
= å Wh2
h =1
Sh2 (1 - f h ) nh
åN
h =1
L
h
=N。
Wh =
Nh 称为层权，它也是已知的。 N
以 Yhi 表示第 h 层总体的第 i 个单元的指标值，以 yhi 表示第 h 层样本的 第 i 个单元的指标值。
Yh =
1 Nh 1 nh
åY
i =1 nh i =1
Nh
hi
表示第 h 层的总体均值，
yh =
åy
hi
表示第 h 层的样本均值（其中 nh 是第 h 层的样本量） ，
h =1 h =1 h =1 L L Ù L Ù Ù
Ù
3
（2）对于分层随机抽样
Ù
特别对于分层随机抽样，Y h 一般均取为简单估计：层样本均值 y h ，因 此 Y 的简单估计为：
第4章分层随机抽样-精品文档
L
ˆ ˆ ˆ ˆ Yu sY ( ), Yu sY ( ) 1 1 2 2
9
例4.2 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为 抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为4层，每层 按简单随机抽样抽取 10 户，调查数据如下，估计该地区 居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 样本户奶制品年消费支出
5
例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成两 层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层）， 980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得数据 （单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，调查上 月收入，得数据（单位：元）220、230、180、320、400、 340、280、360。估计这1000人上月平均收入。 解： ˆ ˆ Ny Ny Y ˆ 1 Y 2 2 2 Y 11 W Wy 1y 1 2 2 N N 2 0 9 8 0 1 4 0 0 2 9 1 .2 53 1 3 .4 3 1 0 0 0 1 0 0 0
Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ： u s (y , y u s (y y s t s t) s t s t) 1 1 2 2
2 . 总 体 总 和的 Y 估 计 ： ˆ Ny ˆ Y ˆ NY Y h h h h st
h 1 h 1 h 1 L L L
f 21 h 2 ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) V ( Y ) N V ( y ) N S h s t h h n h 1 h 1 h 1 h
L L 2 h L
1 f 2 2 h ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) 的 无 偏 估 计 ： v ( Y ) N s h h n h 1 h Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ：
ˆ ˆ ˆ ˆ Yu sY ( ), Yu sY ( ) 1 1 2 2
9
例4.2 调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为 抽样单元，根据经济及收入水平将居民户分为4层，每层 按简单随机抽样抽取 10 户，调查数据如下，估计该地区 居民奶制品年消费总支出及估计的标准差。 样本户奶制品年消费支出
5
例4.1 总体由1000人组成，按以往的收入情况将总体分成两 层：第一层（高收入层），20人；第二层（低收入层）， 980人。从第一层随机抽取2人，调查上月收入，得数据 （单位：元）1200及1600；从第二层随机抽取8人，调查上 月收入，得数据（单位：元）220、230、180、320、400、 340、280、360。估计这1000人上月平均收入。 解： ˆ ˆ Ny Ny Y ˆ 1 Y 2 2 2 Y 11 W Wy 1y 1 2 2 N N 2 0 9 8 0 1 4 0 0 2 9 1 .2 53 1 3 .4 3 1 0 0 0 1 0 0 0
Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ： u s (y , y u s (y y s t s t) s t s t) 1 1 2 2
2 . 总 体 总 和的 Y 估 计 ： ˆ Ny ˆ Y ˆ NY Y h h h h st
h 1 h 1 h 1 L L L
f 21 h 2 ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) V ( Y ) N V ( y ) N S h s t h h n h 1 h 1 h 1 h
L L 2 h L
1 f 2 2 h ˆ ˆ 方 差 V ( Y ) 的 无 偏 估 计 ： v ( Y ) N s h h n h 1 h Y 的 置 信 度 为 1 的 置 信 区 间 为 ：
2-1-3分层抽样4
1 L yst = ∑ Wh yh (或 = ∑ N h yh ) 或 N h =1 h =1 ~ 的无偏估计可选为： 总体总和 Y 的无偏估计可选为：
L
(4.2)
% yst = N ⋅ yst = N ⋅ ∑ Wh yh = ∑ N h yh
h =1 h =1
L
L
(4.3)
的方差为： 估计量 y st 的方差为： L Var ( yst ) = Var ( ∑ Wh yh ) 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的，故各个 yh相互 由于各个小盒子的抽样过程是相互独立的， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式， 独立，由独立随机变量之和的方差计算公式，有
含义 的层权 抽样比 总体均值 样本均值
记号 公式
Yh
yh
2 Sh
2 sh
∑Y
i =1
Nh
hi
= N hYh
∑y
i =1
nh
hi
= nh yh
(Yhi − Yh )2 ∑
i =1
Nh
( yhi − yh )2 ∑
i =1
nh
Nh −1
nh − 1
代表的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 第 h 层的 含义 总体总量 样本总量 总体方差 样本方差
h=1 i =1 L
h =1
L
(4.5)
(4.5)式两端各除以 －1)，假如各层的单元数 N h都很大，当 式两端各除以(N－ ， 都很大， 式两端各除以 近似认为： 近似认为： N h ≈ N h − 1 ≈ N h = W (4.6) h
N −1
N −1
N
因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： 因此直接来自总体的简单随机抽样平均数的方差大约为： L 1 1 L 2 2 Var ( y ) = ( − ) ∑ Wh Sh + ∑ Wh (Yh − Y ) (4.7) n N h =1 h =1 (4.7)式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和，而第二 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和， 式花括弧内第一项为各个小盒子方差的加权和 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较(4.4)和(4.7)， 项则表示了各小盒子之间的差异平方和。比较 和 ， 那么易见(4.4)式变为 若取 nh n = Wh ，那么易见 式变为 1 1 L 2 Var ( yst ) = ( − )∑ Wh S h n N h =1
分层随机抽样
抽样均按简单随机抽样进行，求全市年 平均户收入的估计及其 90%的置信区间。
解： 计算层权： W1=N1/N=0.137, W2=N2/N=0.863。 (1) y st W1 y1 W2 y 2 0.137 15180 0.863 9856 10585.39
(2)求v( y st )
6 第 h 层抽样比为：
nh fh Nh
第二节 简单估计量及其性质
一、对总体均值与总量的估计
（一）对总体均值与总量的估计 1 对一般分层抽样：
ˆ WY ˆ, Y hh st
h 1 L
ˆ Y ˆ Y st h
h 1
L
ˆ , 则： ˆ NY 如果每个Y h h h ˆ ˆ Y NY
s( y st ) v( y st ) 142.312 1 90%, 1.645 全市年户均收入Y 的90%的置信区间为 10585.39 1.645 142.312，即： [10351.29元， 10819.49元]
二、对总体比例（成数） 的估计
1 成数 P 或总数 A 的估计: 层比例 Ph=Ah/Nh , Qh=1－Ph 层样本比例 ph=ah/nh , qh=1－ph Ah 与 ah 是第 h 层总体及样本中具有 所研究特征的单元数。
st st
2 对一般的分层抽样：
ˆ 是Y 的无偏估计， 若Y h h ˆ (Y ˆ )也是Y (Y )的无偏估计： 则Y
st st
由于各层的抽样是相互独立的，因此： ˆ ) V( W Y ˆ ) W 2V (Y ˆ) V (Y h h h st
h 1 h 1 L L
ˆ ) V (Y ˆ) V (Y st h
分层抽样 课件
B.某社区有500户家庭,其中高收入的家庭125户,中等收入的家庭
280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中
抽取一个容量为100户的样本
C.从1 000名工人中抽取100人调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上抽取样本检查产品质量
解析:A项中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽
岁的职工;50岁及其以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数,抽样比为
1
100
500
1
= ,
5
则在不到35 岁的职工中抽取 125× = 25(人);
5
1
在 35 岁到 49 岁的职工中抽取 280× = 56(人);
5
1
在 50 岁及其以上的职工中抽取 95× = 19(人).
5
(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
(4)抽样:各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取
样本.(Biblioteka )成样:综合各层抽样,组成样本分层,计算,定数,抽样,成样
当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽样
归纳总结分层抽样的特点:
(1)分层抽取;
(2)按比例抽取;
(3)必须结合简单随机抽样或系统抽样完成.
【做一做】 有一批产品,其中一等品10件,二等品25件,次品5件.
数目 =
样本容量
总体容量
× 该层个体数目.
2.选择抽样方法的原则
剖析:(1)若总体由差异明显的几部分组成,则选用分层抽样.
(2)若总体所含个体没有差异,则考虑采用简单随机抽样或系统抽
样.
当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小
时宜用随机数法;当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽
280户,低收入的家庭95户,为了了解生活购买力的某项指标,要从中
抽取一个容量为100户的样本
C.从1 000名工人中抽取100人调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上抽取样本检查产品质量
解析:A项中总体所含个体无差异且个数较少,适合用简单随机抽
岁的职工;50岁及其以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数,抽样比为
1
100
500
1
= ,
5
则在不到35 岁的职工中抽取 125× = 25(人);
5
1
在 35 岁到 49 岁的职工中抽取 280× = 56(人);
5
1
在 50 岁及其以上的职工中抽取 95× = 19(人).
5
(3)在各层分别按抽签法或随机数法抽取样本.
(4)抽样:各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取
样本.(Biblioteka )成样:综合各层抽样,组成样本分层,计算,定数,抽样,成样
当总体由差异明显的几部分组成时,往往采用分层抽样
归纳总结分层抽样的特点:
(1)分层抽取;
(2)按比例抽取;
(3)必须结合简单随机抽样或系统抽样完成.
【做一做】 有一批产品,其中一等品10件,二等品25件,次品5件.
数目 =
样本容量
总体容量
× 该层个体数目.
2.选择抽样方法的原则
剖析:(1)若总体由差异明显的几部分组成,则选用分层抽样.
(2)若总体所含个体没有差异,则考虑采用简单随机抽样或系统抽
样.
当总体容量较小时宜用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小
时宜用随机数法;当总体容量较大,样本容量也较大时宜用系统抽
分层抽样要求
将相近的单位归为一层，且每一层必有若干 单位抽中，所以，避免了样本明显偏高或偏 低情况。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
比较定额抽样，与分层抽样有何区别？
①分类②确定每类抽选比例③主观抽样
第四章 分层抽样
2．分层抽样不仅能对总体指标进行推算， 而且能对各层指标进行推算。
有时调查的目的不仅要推算总体指标，可能 还要推算各层的指标。
第四章 分层抽样
在不重复抽样下，根据前一章公式可知
2 xi
1
fi
（第 i层单位数占总体
单位数的比重）
则：
Xˆ
K
Wi xi
第四章 分层抽样
二、分层抽样简单估计的抽样标准误
如果我们对总体方差 进2 行分解，可得
2
2 i
2 P
即
总体方差=平均层内方差+层间方差
我们知道，纯随机抽样的抽样误差，是按总体 方差计算的，对于分层抽样，由于对各层而言 是全面调查，故层间不存在抽样误差问题。所 以，其抽样方差等于平均层内方差。
二、使用场合与分层原则
第四章 分层抽样
根据分层抽样的特点，分层除了可以提供子总 体指标和便于调查的组织实施外，通常，使用分 层抽样的主要目的是为了提高估计的精度。为充 分利用分层抽样的特点，在一项抽样调查项目中 ，往往反复使用分层抽样方法。
在对层进行具体划分时，通常考虑如下原则：
1．层内单元具有相同性质。
通常按调查对象的不同类型进行划分。这时， 分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。
第四章 分层抽样
2．使层间单元的差异尽可能大。从而达到提 高抽样估计精度的目的。
3．既按类型又按层内单元标志值相近的原则 进行多重分层，同时达到实现估计层值以及提 高估计精度的目的。
分层抽样
２ ３
４００ ７５０
４ １５００
５０
３５
１５
０
20
３０
２５
１０
３０
２５
解: N = 200+400+750+1500=2580 nh =10( h=1,2,3,4) 各层的层权及抽样比为：
N1 200 W1 0.07018 N 2850 N 400 W2 2 0.14035 N 2850 N 750 W3 3 0.26316 N 2850 N 4 1500 W4 0.52632 N 2850
三、符号说明
关于第h层的记号如下：
第二节 估计量
一．总体均值的估计 (一)简单估计量的定义 对于分层样本,对总体均值Y 的估计是通过对各层的Yh 的估计, 按层权 Wh 加权平均得到的。 公式为:
1 ˆ ˆ Yst WhYh N h 1
L
ˆ N Y hh
h 1
L
如果得到的是分层随机样本,则总体均值 Y 的简单估 计为:
f1 n1 10 0.05 N1 200
n2 10 f2 0.025 N2 400 f3 f4 n3 10 0.013 3 N3 750 n4 10 0.006 7 N4 150 0
各层样本均值及样本方差为：
1 y1 y1i 39.5 n1 i 1 y2 105 y3 165 y4 24
y 15180 300 9856 250 / 550 1)简单估计量的定义 总体比例P的估计为:
L
pst Wh ph
h 1
(二)估计量的性质 如果定义 1, 第i个单元具有所考虑的特征 Yi , 其他 i=1,2 … N 0
抽样技术第4章分层抽样
4.7 事后分层
在实际当中，有时进行事先分层会存在 一定的困难。 1.各层的抽样框无法得到。 2.几个变量都适合于分层，而要进行事先的 多重交叉分层存在一定困难。 3.总体规模太大，事先分层太费事等。 在这种情况下，就可以考虑采用事后分层 技术。
事后分层的具体实施办法是：先采用简
单随机抽样的方法从总体中抽取一个样本
第四章 分层抽样
4.1 什么是分层抽样
在例2.4中我们用简单随机抽样估计每 个郡的平均农场面积。我们提到，即使我 们认真细致地产生了一个随机样本，还是 有一些地区被过分代表，而另一些则根本 没有代表。例4.1用分层抽样保持分层变量 在样本中的均衡，从而使得总体得到全面 的估计。
使用分层抽样的理由： 1.我们要防止得到一个很差的样本。
分层抽样比例
如我们在2.3中所观察到的一样，比例是取
值为0到1之间的一个变量的均值，为了得
到比例的推断，我们用等式（4.1）—
（4.5），其中
，
，
则有
估计总体单元的总数有一个特别相似的性质：
因此，总体单元的总数估计量是每层总数估
计量之和 。类似有
。
例4.3 美国团体学习委员会（ACLS）用分层随 机抽样在七门学科中选取ACLS中的团体研究出版 物格局和属于这些团体的学者使用电脑和图书馆 的情况。数据见表4.2.
单元数。这样第h层中第j个单元入样的概率
为
。因此，抽样权重只是抽样概率
的倒数：
（4.8）
抽样权重之和等于总体容量N，每个抽样单 元代表一特定数量的总体单元。因此，整 个样本代表整个总体。这个定义可以用于 检验权重变量是否正确：如果样本权重之 和是其它的数，而不是N，那么肯定有某个 地方出错了。 总体总数的估计量可以写成以下形式：
04 第四章 分层随机抽样
第四章分层随机抽样第一节分层随机抽样概述分层抽样也叫做类型抽样，它是实际工作中最常用的抽样技术之一。
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若干个层（组），后在各层内分别独立地进行抽样。
由此所抽得的样本称之为分层样本。
各层所抽的样本也是互相独立的。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做分层随机抽样。
由此所得到的样本称做分层随机样本。
从以上概念可以看出，分层抽样的实质是在各层间作全面调查，而在各层内作抽样调查。
因此，分层抽样的误差只与各层内的差异有关，而同各层间的差异无关。
所以，为了能有效地降低抽样误差，提高抽样效果，在分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大”的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的分界。
以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多的关注。
同简单随机抽样相比，分层抽样具有以下特点：①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。
但当对总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和层内方差两部分。
由于分层抽样的误差只与层内差异有关，而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精度。
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内，所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中，而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大的总体。
因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。
04第四节分层抽样
ˆ ) V ( y ) W 2V (Y V (Y h ˆh ) st st
L h
ˆ) V ( Y 式中 h 是第h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
L 1 fh 2 1 1 2 S h Wh 2 ( V ( y st ) Wh )S h nh nh N h h h
hi
第 h 层的总体均值；
1 yh nh
2 h
y
hi
第 h 层的样本均值； 第 h 层的总体方差； 第 h 层的样本方差。
1 Nh 2 S ( Y Y ) hi h N h 1 i 1
1 nh s ( y hi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
L Nh
Y ＝ y hi 为总体总量；
Ph (1 Ph ) N h ( N h nh ) nh h
L
h
四、方差的估计量 按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
此时：
l 1 fh 2 Wh sh 1 L 2 ˆ V ( yst ) Wh sh Wh sh nh nh N h h h L 2
h
L
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配 １、一般情形 在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。 在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
L h
ˆ) V ( Y 式中 h 是第h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
L 1 fh 2 1 1 2 S h Wh 2 ( V ( y st ) Wh )S h nh nh N h h h
hi
第 h 层的总体均值；
1 yh nh
2 h
y
hi
第 h 层的样本均值； 第 h 层的总体方差； 第 h 层的样本方差。
1 Nh 2 S ( Y Y ) hi h N h 1 i 1
1 nh s ( y hi yh ) 2 nh 1 i 1
2 h
L Nh
Y ＝ y hi 为总体总量；
Ph (1 Ph ) N h ( N h nh ) nh h
L
h
四、方差的估计量 按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
此时：
l 1 fh 2 Wh sh 1 L 2 ˆ V ( yst ) Wh sh Wh sh nh nh N h h h L 2
h
L
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配 １、一般情形 在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。 在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
分层抽样
《社会调查与统计分析》
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
谢 谢 观 看！
专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
第四章 抽样
知识点7 分层抽样
学习导航
分层抽样
分层抽样的定义 分层抽样的优点 分层的标准 按比例分层和不按比例分层
1. 分层抽样的定义
分层抽样又称类型抽样，它是先将总体中的 所有元素按照某种特征或标志（如性别、年 龄、职业或地域等）划分成若干类型或层次 ，然后再在各个类型或层次中采用简单随机 抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本，最 后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
2. 分层抽样的优点
优点2：便于了解总体内不同层次的情况，便于对总 体中不同层次进行单独研究，或者进行比较。
3. 分层的标准
已有明显层次区分的变量； 把分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准; 保证各层内部同质性强和各层之间的异质性强。
思考：在“大学生价值观念研究”层
例如，某工厂有工人500人，男性有450人，女性有 50人，男女比例为9：1，样本为100人。 按比例分层抽样，男性90人，女性10人。 不按比例的方法进行分层抽样，男性70人，女性30 人。
THE END
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专业、家庭背景
4. 按比例分层和不按比例分层
按比例分层是根据统一的比例来确定各层要抽取的 元素数。即通常用各类型组的元素数占总体元素数 的比例，来确定各层抽样的样本元素数。 不按比例分层就是不根据各类型组的元素数占总体 元素数的比例，来确定各层抽样的样本元素数。
4. 按比例分层和不按比例分层
例：某县共有农户30万户，其中纯务农户10万户、 兼业户15万户、纯务工户5万户，问如何使用按比例 分层抽样抽取3000户进行家庭状况调查？ N=300000户 n=3000户 统一的抽样比例为：n/N=3000/300000=1/100，按照 要求，三种农户类型分别抽取的样本元素数为： n1（纯农户）=100000×1%=1000（户） n2（兼业户）=150000×1%=1500（户） n3（纯务工户）=50000×1%=500（户）
分层抽样 课件
A．方法2，方法1，方法3 B．方法2，方法3，方法1 C．方法1，方法2，方法3 D．方法3，方法1，方法2 解析：结合简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的 含义判断方法1是简单随机抽样，方法2是系统抽样， 方法3是分层抽样． 答案：C
1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解： (1)总样体本的容个量数nN＝各层 该抽 层取 的的 个个 体体 数数； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个 体数之比．
[一点通] 利用分层抽样抽取样本的操作步骤为: (1)将总体按一定标准进行分层； (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比； (3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．
4．一个单位有职工800人，其中具
(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样． ①确定抽取个数．因为3100＝3，所以甲厂生产的应抽取 231＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)； ②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球 7 个，乙厂生产的 篮球 3 个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本．
(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法． ①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300； ②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第29列 的数“7”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读； ③从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的 数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到 10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．
教师：112×18＝14(人)， 后勤人员：32×18＝4(人)； 第三步，在各层应用简单随机抽样的方法抽取相应的人数； 第四步，将各层抽取的人组成样本.
第四章 分层抽样1
L
x
L
性质 6
对于分层随机抽样，V Y 的一个无偏估计为：
2 2 1 fh 2 v Y N h v yh N h n sh h 1 h 1 h
L
L
第二节
简单估计量及其性质
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
【例4.1】为调查某地区住户的平均家庭成员数，将该地区 分成城市和乡村2层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查所 获得的数据如表4-1。请估计该地区住户的平均家庭成员数及 其95%的置信区间。
x
yst N h yh 3.733(人）
第二节
简单估计量及其性质
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
V pst W V ph
2 h h 1
L
1 N
x
2
h 1
L
N h2 N h nh PhQh Nh 1 nh
第二节
简单估计量及其性质
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 50-60 70-80
35% 30% 25% 20%
`
15% 10% 5% 0% 90-100
性质 5
对于分层随机抽样，Y 的方差为：
ˆ ˆ N 2V Y N 2 1 f h S 2 V Y h h n h h h 1 h 1 h
04分层抽样
二、分层随机抽样
2. 估计 Y
L
估计量 Yˆst N yst Nh yh , 是 Y 的U.E. ；
h 1
L
方差 V (Yˆst ) Nh2V ( yh )
h 1
L h 1
Nh(Nh
nh )
Sh2 nh
；
方差的一个U.E.
v( yst )
L h 1
Nh(Nh
L h1
nh i 1
yhi (
y)
V ( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
Sh2
L h1
nh n
1 f nh
Wh Sh2
1 n
f
L
Wh Sh2
h1
v( yst )
L
Wh2
h1
1 fh nh
sh2
1 n
f
L
Wh sh2
h1
一、比例配置
P 的估计
P Y
L Nh h1 N
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
L
WhPh ，其中 Ph
h1
1 Nh
Nh
Yhi 。
i 1
记第 h 层样本中具有属性C的单元所占比例为 Pˆh ，即
Pˆh
1 nh
nh i 1
yhi 。
4. 比例的估计
估计量
L
pst Wh ph , 是 P 的U.E.； h1
常见的分配方式：
(1) 随意配置 (2) 比例配置(proportional allocation) (3) 最优配置(optimal allocation)
分层抽样》课件
分层抽样的特点
提高样本代表性
分层抽样能够根据不同特征将总 体划分为不同的层，使得每个层 内部的差异较小，从而提高样本
的代表性。
降低抽样误差
分层抽样通过在每个层内进行随机 抽样，可以减少总体内部的变异， 从而降低抽样误差。
便于统计分析
分层抽样可以提供各层的样本数据 ，便于进行更细致的统计分析，以 了解不同特征对总体参数的影响。
SAS
SAS是一款高度可定制的统计分 析软件，同样支持分层抽样。它 提供了广泛的编程语言和函数库 ，适用于高级用户和开发人员。
软件实现分层抽样的基本流程
1. 确定分层变量 根据研究目的和数据特征，选择 适当的分层变量，通常是能够代 表研究对象的某些特征或属性的 变量。
4. 汇总结果 将各层抽取的样本汇总，形成最 终的分层抽样样本。
2. 确定各层的样本量 根据研究目标和资源限制，为每 个分层变量确定适当的样本量。
3. 随机抽取样本 在每个分层中，使用随机抽样的 方法抽取样本。可以使用软件提 供的随机数生成器或随机排序功 能来实现。
分层抽样软件的实际应用案例
市场调研
在市场调研中，分层抽样常用于了解不同消费群体的需求和 行为特征。例如，可以根据性别、年龄、收入等分层变量抽 取样本，以更准确地估计整体市场的需求和趋势。
提高样本利用率
便于数据分析和解读
分层抽样可以根据不同层的特点采用不同 的抽样方法和样本量，从而提高样本利用 率。
分层抽样所得数据具有更好的结构化和可 解释性，便于进行数据分析和解读。
分层抽样的局限性
层间差异过大致使样本代表性不足
01
如果各层之间的差异过大，会导致某些层中的样本无法代表整
个总体，从而影响样本的代表性。
分层抽样课件
分层抽样允许我们计算各层的抽样误差， 并根据各层在总体中的权重对样本进行加 权，从而得到更准确的总体估计。
提高样本多样性
便于实施和管理
分层抽样能够从不同的层中抽取样本，增 加样本的多样性，有助于发现不同群体之 间的差异。
分层抽样可以根据不同的特征进行分层， 使得抽样过程更加方便、高效，也便于对 样本进行管理和分析。
确定分层标准并进行分层
选择分层依据
选择合适的分层依据是分层抽样的关 键，分层依据应与研究目标紧密相关 ，能够使各层内的变异最小化而层间 的变异最大化。
对总体进行分层
评估层间方差
计算各层之间的方差，以评估分层的 效果，如果层间方差较大，说明分层 效果好，反之则需重新考虑分层标准 。
根据分层依据将总体划分为若干个层 次或子总体，确保各层之间具有明显 差异。
R软件实现
• sample <- svysample(data, size = sample_size)
R软件实现
```
其中，`dataset_name`是原始数据集的名称，`sample_size`是所需的样 本数量，`strata_variable`是分层变量。
运行上述代码后，R将自动进行分层抽样并生成相应的数据集。
后选择“数据集”。
在数据集编辑器中，选择“数 据”菜单下的“选择”选项，
然后选择“随机样本”。
在“随机样本”对话框中，选 择“分层抽样”选项，并设置 相应的分层变量和样本数量。
点击“确定”按钮，SPSS将 自动进行分层抽样并生成相应
的数据集。
SAS软件实现
• 打开SAS软件，在命令窗口中输入以下命令
市场调研
提高精度
分层抽样能够提高市场调研的精度，帮助企业更准确地评 估市场份额、预测销售趋势等。这有助于企业做出更明智 的决策，提高市场竞争力。
第四章 分层抽样
-
如果得到是分层随机样本，则总体均值 Y的简单估计量为 1 yst Wh yh N h 1
L
N
h 1
L
h
yh
（二）估计量的性质
1.对于一般的分层抽样，如果Y h 是Y h 的无偏估计(h =1, , ,L) 2
Y st 是 Y 的无偏估计， st 的方差是 Y V (Y st ) Wh2V (Y h )
L 2 h L
1 f n
2 Wh S h h 1
L
p prop的方差为 1 f V ( p prop ) Nn
2 N h Ph Qh 1 f N 1 n h 1 h L
W P Q
h 1 h h
L
h
二、最优分配
• 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层， 使得在总费用给定的条件下，估计量的方差达到 最小，或在给定估计量方差的条件下，使总费用 最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分 配。 • 考虑简单线性费用函数，总费用
h 1 L
（二）估计量的性质
如果定义 1, 第i个单位具有所考虑特征 Yi 2 0，其他（i=1，， ，N) 则对总体比例的估计类似对总体均值的估计, 这是pst 与Y st 具有同样的性质. 1.对于一般的分层抽样,如果ph 是Ph的无偏估计， 则pst 是P的无偏估计，pst的方差为 V ( pst ) Wh2V ( ph )
第四章 分层抽样
本章教学目的与要求
• 正确理解层与分层抽样的含义、特点及作 用； • 掌握分层抽样的估计量及其性质； • 掌握分层抽样样本量的确定方法； • 了解分层抽样的设计效果； • 了解分层抽样其他理论问题，包括层权偏 差、最优分配偏差、事后分层等。
如果得到是分层随机样本，则总体均值 Y的简单估计量为 1 yst Wh yh N h 1
L
N
h 1
L
h
yh
（二）估计量的性质
1.对于一般的分层抽样，如果Y h 是Y h 的无偏估计(h =1, , ,L) 2
Y st 是 Y 的无偏估计， st 的方差是 Y V (Y st ) Wh2V (Y h )
L 2 h L
1 f n
2 Wh S h h 1
L
p prop的方差为 1 f V ( p prop ) Nn
2 N h Ph Qh 1 f N 1 n h 1 h L
W P Q
h 1 h h
L
h
二、最优分配
• 在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层， 使得在总费用给定的条件下，估计量的方差达到 最小，或在给定估计量方差的条件下，使总费用 最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分 配。 • 考虑简单线性费用函数，总费用
h 1 L
（二）估计量的性质
如果定义 1, 第i个单位具有所考虑特征 Yi 2 0，其他（i=1，， ，N) 则对总体比例的估计类似对总体均值的估计, 这是pst 与Y st 具有同样的性质. 1.对于一般的分层抽样,如果ph 是Ph的无偏估计， 则pst 是P的无偏估计，pst的方差为 V ( pst ) Wh2V ( ph )
第四章 分层抽样
本章教学目的与要求
• 正确理解层与分层抽样的含义、特点及作 用； • 掌握分层抽样的估计量及其性质； • 掌握分层抽样样本量的确定方法； • 了解分层抽样的设计效果； • 了解分层抽样其他理论问题，包括层权偏 差、最优分配偏差、事后分层等。
七年级数学上册第4章拓展了解：分层抽样(青岛版)
拓展了解分层抽样一、分层抽样的定义诠释。
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样。
【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：（1）分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
三、问题探究（1）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（）A、每层等可能抽样B、每层不等可能抽样C、所有层按同一抽样比等可能抽样（2）如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本，那么每个个体被抽到的可能性为（）A ．N 1 B.n 1 C.N n D.N n点拨：（1）保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C 。
（2）根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量比，故此题选C 。
四、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较五、典型例题精析例1某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30 D15,10,20[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分。
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⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不 同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方 面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。 但对各层的估计缺乏精度保证。
⑦分层抽样调查实施中的组织管理及数据收集和汇总处理 可以分别在各层内独立地进行，因此较之简单随机抽样更 方便。
变量容易确定。
第二节 总体参数的估计
一、分层抽样相关符号说明 在分层抽样中，先将含有 N个单位的总体分成分别含有
N1, N2 ,个单, N位L 的 层，这L 些层之间互不重复，且有：
N1 N2 NL N
从每层中抽取一个子样本，而且抽样在各层中独立进行， 若各层内样本量分别用n1, n2 ,表, n示L ，则将这些子样本合起来 就是从总体中所抽取的一个样本。其样本容量 显然n满 足： n1 n2 ，对nL于分n 层抽样，经常使用下列一些符号：
第三节 总样本量的分配
一、总样本量在各层间的分配
在分层抽样中，一个重要的问题是总的样本量如何在各层之 间进行分配。通常考虑：⑴精度和费用问题。即如何分配才 能在费用一定时使总的精度和各层估计精度最高？⑵数据处 理问题。即如何分配才能使调查数据的处理工作更加简洁， 也使估计量及其方差的确定形式更为简单明了？⑶各层的容
分层抽样具有以下特点：
①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行 分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对 总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效 果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和 层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关， 而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精 度。
也Yˆh 相互独立，因此总体均值 估Y计量的方差是总体各层均 值估计量方差的加权平均，即
式中
V (Yˆst ) V ( yst ) L Wh2V (Yˆh )
h
V是(Yˆ第h ) h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
V ( yst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Sh2
L h
Wh
第四章 分层抽样
第一节 第二节 第三节 第四节
分层抽样概述 总体参数的估计 总样本量的分配 分层与提高精度
第一节 分层抽样概述
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若 干个层（组），然后在各层内分别独立地进行抽样。由 此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是 互相独立的。
L
Yˆst Nyst N h yh
h
３、总体比例P的估计量
按照总体均值估计量的公式，可推出总体比例（成数）Ｐ 的估计量为：
L
L
Pˆst Wh Pˆh Wh ph
h
h
可以证明，在分层随机抽样中，yst是Y 的无偏估计量，Yˆ是 Y 的无偏估计量，Pˆs是t Ｐ的无偏估计量。
三、估计量的方差 １、总体均值估计量的方差 对于一般的分层抽样，由于各层的抽样是相互独立的，诸
N h 第h 层总体中的单位数； nh 第h 层样本中的单位数；
Yh 第h 层的总体总量；
yh 第h 层的样本总量；
Yhi 第h 层第i 个总体单元（单位）的取值；
i yhi 第h 层第 个样本单元（单位）的取值；
Wh
Nh N
第h 层的总体层权；
fh
nh Nh
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
２、总体总和估计量的方差
有了总体均值估计量的方差，就可推导出总体总和估计 量的方差：
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst ) L N h 2V (Yˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Yˆst )
L h
Nh2
1
f nh
h
S
h
2
L h
Nh (Nh
nh )
Sh2 nh
３、总体比例估计量的方差
其中等号只有在以下情形时才成立(达到极小值)：
Chnh nh Ch K
Wh Sh
Wh Sh
nh
( 为K常数),这意味着：
nh
K Wh Sh Ch
则 n nh K Wh Sh Ch
因此
K
n
Wh Sh Ch
所以使达到极小的最优分配即为
即
nh Wh Sh
n
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 对于任意的 ah 0,b，h 有0 ：
( ah2 )( bh2 ) ( ahbh )2
h
h
h
当且仅当 ah （k 为常k 数）时，等号成立。
bh
根据柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式，有
V C ( Wh Sh Ch )2
2
(
1 nh
1 Nh
)S
h
2
L Wh 2 Sh 2 1
h nh
N
L h
Wh Sh 2
1 N2
L h
N h (N h
nh )
Sh2 nh
可见，在分层抽样中，总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关，而同层间方差无关。而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的。所以，估计量的方 差小于总体方差。
L
C C0 Ch nh h 1
其中C是0 固定费用，如组织宣传费、分层及编制抽样框的 费用等, 是Ch在第h层抽取一个单元的平均费用，包括调查 员报酬、旅差费、调查测试费等。
根据前面的论述，在估计总体均值时，对给定的各层样本
量nh，估计量的方差为：
V
Wh 2 Sh 2 1
nh
N
Wh Sh 2
满足下述条件时，分层在精度上会有很大的得益： ①总体是由一些大小差异很大的单元组成的，即总体差异
大； ②分层后，每层所包含的总体单元数应是可知的，也即分
层后各层的权重是确知的或可以精确估计的； ③要调查的主要变量（标志）与单元的大小是密切相关的； ④对单元的大小有很好的测量资料可用于分层，也即分层
h
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配
１、一般情形
在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。
在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
第h 层的总体均值；
第h 层的抽样比；
1 nh
yh nh i1 yhi 第h 层的样本均值；
S
2 h
1 Nh 1
Nh
(Yhi
i 1
Yh )2
第h 层的总体方差；
sh2
1 nh 1
nh i 1
( yhi
yh )2
第h 层的样本方差。
L Nh
Y ＝
yhi 为总体总量；
h1 i1
Ｌ表示分层的层数； h表示层的编号（h＝１，２，３,…,Ｌ）；
NhSh L NhSh h 1
Ch Ch
nh
n
Wh Sh
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
n
NhSh
L
Ch
NhSh Ch
（nh应取整)
h 1
可见，最优分配的结果既考虑了总体各层的差异，也同时
考虑了总体各层内变异程度上的差异和各层内平均调查费
用的差异。当层的容量愈大、层内变异程度愈大，层内每
调查一个单元的费用愈小，则在该层中抽取的单元应愈多。
L
Wh yh
h1
1 N
L
Nh yh
h1
yst
y
1 n
L
nh yh
h 1
原果这因每种在层情于都况权有称数为yst问n按h题/比n。或例在N分hy/中配sNt ，的，每分nhn即h/层层N都抽h ，有样n /则精，N 确各完的层全权的fh 相数抽等f样N于h比。/ N相如y。
同。
２、总体总和Ｙ的估计量 有了总体均值的估计量，就可推出总体总和的估计量：
估计总体比例，当N充h 分大时，有：
L
V (Pˆst ) Wh 2V (Pˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Pˆst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Ph (1 Ph )
(N h N h 1)
1 N2
L h
Nh (Nh
nh )
Ph (1 nh
Ph )
四、方差的估计量
按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做 分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。
分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大” 的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分 层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的 分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多 的关注。
当用样本资料估计方差V (Pˆ时st ) ，可将
用 Ph (1 Ph) nh
替ph代n(1h ，1ph )则得：
Vˆ(Pˆst )
L h
Wh 2 (1
fh )
ph (1 ph ) nh 1
是
1 L
的无偏N 2估h计Nh。(Nh
nh
)
ph (1 ph nh 1
⑦分层抽样调查实施中的组织管理及数据收集和汇总处理 可以分别在各层内独立地进行，因此较之简单随机抽样更 方便。
变量容易确定。
第二节 总体参数的估计
一、分层抽样相关符号说明 在分层抽样中，先将含有 N个单位的总体分成分别含有
N1, N2 ,个单, N位L 的 层，这L 些层之间互不重复，且有：
N1 N2 NL N
从每层中抽取一个子样本，而且抽样在各层中独立进行， 若各层内样本量分别用n1, n2 ,表, n示L ，则将这些子样本合起来 就是从总体中所抽取的一个样本。其样本容量 显然n满 足： n1 n2 ，对nL于分n 层抽样，经常使用下列一些符号：
第三节 总样本量的分配
一、总样本量在各层间的分配
在分层抽样中，一个重要的问题是总的样本量如何在各层之 间进行分配。通常考虑：⑴精度和费用问题。即如何分配才 能在费用一定时使总的精度和各层估计精度最高？⑵数据处 理问题。即如何分配才能使调查数据的处理工作更加简洁， 也使估计量及其方差的确定形式更为简单明了？⑶各层的容
分层抽样具有以下特点：
①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行 分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对 总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效 果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和 层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关， 而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精 度。
也Yˆh 相互独立，因此总体均值 估Y计量的方差是总体各层均 值估计量方差的加权平均，即
式中
V (Yˆst ) V ( yst ) L Wh2V (Yˆh )
h
V是(Yˆ第h ) h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
V ( yst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Sh2
L h
Wh
第四章 分层抽样
第一节 第二节 第三节 第四节
分层抽样概述 总体参数的估计 总样本量的分配 分层与提高精度
第一节 分层抽样概述
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若 干个层（组），然后在各层内分别独立地进行抽样。由 此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是 互相独立的。
L
Yˆst Nyst N h yh
h
３、总体比例P的估计量
按照总体均值估计量的公式，可推出总体比例（成数）Ｐ 的估计量为：
L
L
Pˆst Wh Pˆh Wh ph
h
h
可以证明，在分层随机抽样中，yst是Y 的无偏估计量，Yˆ是 Y 的无偏估计量，Pˆs是t Ｐ的无偏估计量。
三、估计量的方差 １、总体均值估计量的方差 对于一般的分层抽样，由于各层的抽样是相互独立的，诸
N h 第h 层总体中的单位数； nh 第h 层样本中的单位数；
Yh 第h 层的总体总量；
yh 第h 层的样本总量；
Yhi 第h 层第i 个总体单元（单位）的取值；
i yhi 第h 层第 个样本单元（单位）的取值；
Wh
Nh N
第h 层的总体层权；
fh
nh Nh
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
２、总体总和估计量的方差
有了总体均值估计量的方差，就可推导出总体总和估计 量的方差：
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst ) L N h 2V (Yˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Yˆst )
L h
Nh2
1
f nh
h
S
h
2
L h
Nh (Nh
nh )
Sh2 nh
３、总体比例估计量的方差
其中等号只有在以下情形时才成立(达到极小值)：
Chnh nh Ch K
Wh Sh
Wh Sh
nh
( 为K常数),这意味着：
nh
K Wh Sh Ch
则 n nh K Wh Sh Ch
因此
K
n
Wh Sh Ch
所以使达到极小的最优分配即为
即
nh Wh Sh
n
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 对于任意的 ah 0,b，h 有0 ：
( ah2 )( bh2 ) ( ahbh )2
h
h
h
当且仅当 ah （k 为常k 数）时，等号成立。
bh
根据柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式，有
V C ( Wh Sh Ch )2
2
(
1 nh
1 Nh
)S
h
2
L Wh 2 Sh 2 1
h nh
N
L h
Wh Sh 2
1 N2
L h
N h (N h
nh )
Sh2 nh
可见，在分层抽样中，总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关，而同层间方差无关。而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的。所以，估计量的方 差小于总体方差。
L
C C0 Ch nh h 1
其中C是0 固定费用，如组织宣传费、分层及编制抽样框的 费用等, 是Ch在第h层抽取一个单元的平均费用，包括调查 员报酬、旅差费、调查测试费等。
根据前面的论述，在估计总体均值时，对给定的各层样本
量nh，估计量的方差为：
V
Wh 2 Sh 2 1
nh
N
Wh Sh 2
满足下述条件时，分层在精度上会有很大的得益： ①总体是由一些大小差异很大的单元组成的，即总体差异
大； ②分层后，每层所包含的总体单元数应是可知的，也即分
层后各层的权重是确知的或可以精确估计的； ③要调查的主要变量（标志）与单元的大小是密切相关的； ④对单元的大小有很好的测量资料可用于分层，也即分层
h
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配
１、一般情形
在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。
在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：
第h 层的总体均值；
第h 层的抽样比；
1 nh
yh nh i1 yhi 第h 层的样本均值；
S
2 h
1 Nh 1
Nh
(Yhi
i 1
Yh )2
第h 层的总体方差；
sh2
1 nh 1
nh i 1
( yhi
yh )2
第h 层的样本方差。
L Nh
Y ＝
yhi 为总体总量；
h1 i1
Ｌ表示分层的层数； h表示层的编号（h＝１，２，３,…,Ｌ）；
NhSh L NhSh h 1
Ch Ch
nh
n
Wh Sh
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
n
NhSh
L
Ch
NhSh Ch
（nh应取整)
h 1
可见，最优分配的结果既考虑了总体各层的差异，也同时
考虑了总体各层内变异程度上的差异和各层内平均调查费
用的差异。当层的容量愈大、层内变异程度愈大，层内每
调查一个单元的费用愈小，则在该层中抽取的单元应愈多。
L
Wh yh
h1
1 N
L
Nh yh
h1
yst
y
1 n
L
nh yh
h 1
原果这因每种在层情于都况权有称数为yst问n按h题/比n。或例在N分hy/中配sNt ，的，每分nhn即h/层层N都抽h ，有样n /则精，N 确各完的层全权的fh 相数抽等f样N于h比。/ N相如y。
同。
２、总体总和Ｙ的估计量 有了总体均值的估计量，就可推出总体总和的估计量：
估计总体比例，当N充h 分大时，有：
L
V (Pˆst ) Wh 2V (Pˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Pˆst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Ph (1 Ph )
(N h N h 1)
1 N2
L h
Nh (Nh
nh )
Ph (1 nh
Ph )
四、方差的估计量
按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做 分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。
分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大” 的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分 层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的 分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多 的关注。
当用样本资料估计方差V (Pˆ时st ) ，可将
用 Ph (1 Ph) nh
替ph代n(1h ，1ph )则得：
Vˆ(Pˆst )
L h
Wh 2 (1
fh )
ph (1 ph ) nh 1
是
1 L
的无偏N 2估h计Nh。(Nh
nh
)
ph (1 ph nh 1