04第四章分层抽样

变量容易确定。
第二节 总体参数的估计
一、分层抽样相关符号说明 在分层抽样中，先将含有 N个单位的总体分成分别含有
N1, N2 ,个单, N位L 的 层，这L 些层之间互不重复，且有：
N1 N2 NL N
从每层中抽取一个子样本，而且抽样在各层中独立进行， 若各层内样本量分别用n1, n2 ,表, n示L ，则将这些子样本合起来 就是从总体中所抽取的一个样本。其样本容量 显然n满 足： n1 n2 ，对nL于分n 层抽样，经常使用下列一些符号：
L
Wh yh
h1
1 N
L
Nh yh
h1
yst
y
1 n
L
nh yh
h 1
原果这因每种在层情于都况权有称数为yst问n按h题/比n。或例在N分hy/中配sNt ，的，每分nhn即h/层层N都抽h ，有样n /则精，N 确各完的层全权的fh 相数抽等f样N于h比。/ N相如y。
同。
２、总体总和Ｙ的估计量 有了总体均值的估计量，就可推出总体总和的估计量：
满足下述条件时，分层在精度上会有很大的得益： ①总体是由一些大小差异很大的单元组成的，即总体差异
大； ②分层后，每层所包含的总体单元数应是可知的，也即分
层后各层的权重是确知的或可以精确估计的； ③要调查的主要变量（标志）与单元的大小是密切相关的； ④对单元的大小有很好的测量资料可用于分层，也即分层
⑧分层抽样中，由于各层的抽样相互独立，互不影响，且 各层间可能有显著的不同，因此，对不同层可以按照具体 情况和条件分别采用不同的抽样和估计方法进行处理，从 而提高估计的精确度。
⑨当总体有周期现象时，用分层比例抽样法可以减少抽样 方差。
⑩分层抽样中在进行分层时，需收集可用于分层的必要的 各种资料，因此可能会增加一定的额外费用。同时，分层 抽样中，总体参数的估计以及各层间样本量的分配、总样 本量的确定等都更为复杂化。
如果每层中的抽样都是简单随机的，则这种抽样就叫做 分层随机抽样。由此所得到的样本称做分层随机样本。
分层时应遵循“尽可能使层内差异小，而使层间差异大” 的原则，同时要使分层的结果既无重复又无遗漏。
进行分层抽样时应注意：①层内抽样设计的选择；②分 层变量的选择；③各层样本量的分配；④层数；⑤层的 分界。以前只重视③，近年来，④和⑤引起了越来越多 的关注。
量大小问题。
总样本量在各层间分配时可采用如下方法：
（一）比例分配
在分层抽样中，若各层的抽样比都相同，即fh ，f 则称总样 本量为按比例分配。此时:
所以
nh n
NNh， 因Wh此
nh n Nh N
。nh(应nW取h 整) nh
比例分配时，总体中任一单元的入样概率都相等，都
Байду номын сангаас
为 f n。/ N由此所得到的样本称为是自加权的或等加权的。 在这种情况下：
Yˆst
Ny st
N n
y
ky
Yˆst
y st
1 n
L h 1
nh i 1
y hi
1 n
y
（k N为/ n常数)
即Yˆ或st 为Yˆst所有样本最基本单元观测值总和的一个常数倍。 这样的估计量也称为自加权的。
对于比例分配的分层随机抽样，其均值估计量的方差可以 有以下比较简单的形式：
V prop
估计总体比例，当N充h 分大时，有：
L
V (Pˆst ) Wh 2V (Pˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Pˆst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Ph (1 Ph )
(N h N h 1)
1 N2
L h
Nh (Nh
nh )
Ph (1 nh
Ph )
四、方差的估计量
按上述方法确定估计量的方差时，要求各层的总体方差应 事先已知，但实际工作中，各层的总体方差又常常是未知 的，此时，一般可用对应的各层样本方差替代，以对估计 量的方差作出估计。
第四章 分层抽样
第一节 第二节 第三节 第四节
分层抽样概述 总体参数的估计 总样本量的分配 分层与提高精度
第一节 分层抽样概述
分层抽样是在抽样之前，先将总体按一定标志划分为若 干个层（组），然后在各层内分别独立地进行抽样。由 此所抽得的样本称之为分层样本。各层所抽的样本也是 互相独立的。
⑥分层抽样中除了可以推断总体参数外，还可以推断各不 同层的数量特征，并进一步作对比分析，从而满足不同方 面的需要，也能帮助人们对总体作更全面、更深入的了解。 但对各层的估计缺乏精度保证。
⑦分层抽样调查实施中的组织管理及数据收集和汇总处理 可以分别在各层内独立地进行，因此较之简单随机抽样更 方便。
二、估计量
１、总体均值的估计量
在分层抽样中，总体均值 Y的估计量一般用 y表st 示，它是各 层总体均值 的Y估h 计量按层权 的W加h 权平均，即：
Yˆst
y st
L WhYˆh
h 1
1 N
L N hYˆh
h 1
如果得到的是分层随机样本，则总体均值 Y的简单估计为：
一般情况下：
y st
(Yˆst
)
V prop
(
y st
)
1
n
f
L
Wh Sh 2
h
L
若令 S 2 为Wh各Sh 2层内方差的平均，则：
h
V prop
(Yˆst
)
1
n
f
S2
当估计比例P时，同样有：
V prop
(Pˆst
)
1
n
f
L h
Wh
Ph
(1
Ph
)
1
n
f
P(1 P)
其中:
L
P(1 P) Wh Ph (1 Ph )
2
(
1 nh
1 Nh
)S
h
2
L Wh 2 Sh 2 1
h nh
N
L h
Wh Sh 2
1 N2
L h
N h (N h
nh )
Sh2 nh
可见，在分层抽样中，总体均值估计量的方差只与各层 内的方差有关，而同层间方差无关。而总体方差又是由 层内方差与层间方差两部分构成的。所以，估计量的方 差小于总体方差。
柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 对于任意的 ah 0,b，h 有0 ：
( ah2 )( bh2 ) ( ahbh )2
h
h
h
当且仅当 ah （k 为常k 数）时，等号成立。
bh
根据柯西—许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式，有
V C ( Wh Sh Ch )2
第h 层的总体均值；
第h 层的抽样比；
1 nh
yh nh i1 yhi 第h 层的样本均值；
S
2 h
1 Nh 1
Nh
(Yhi
i 1
Yh )2
第h 层的总体方差；
sh2
1 nh 1
nh i 1
( yhi
yh )2
第h 层的样本方差。
L Nh
Y ＝
yhi 为总体总量；
h1 i1
Ｌ表示分层的层数； h表示层的编号（h＝１，２，３,…,Ｌ）；
NhSh L NhSh h 1
Ch Ch
nh
n
Wh Sh
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
n
NhSh
L
Ch
NhSh Ch
（nh应取整)
h 1
可见，最优分配的结果既考虑了总体各层的差异，也同时
考虑了总体各层内变异程度上的差异和各层内平均调查费
用的差异。当层的容量愈大、层内变异程度愈大，层内每
调查一个单元的费用愈小，则在该层中抽取的单元应愈多。
也Yˆh 相互独立，因此总体均值 估Y计量的方差是总体各层均 值估计量方差的加权平均，即
式中
V (Yˆst ) V ( yst ) L Wh2V (Yˆh )
h
V是(Yˆ第h ) h层总体均值估计量的方差。
对于分层随机抽样，则有：
V ( yst )
L h
Wh
2
1
n
f
h
h
Sh2
L h
Wh
第三节 总样本量的分配
一、总样本量在各层间的分配
在分层抽样中，一个重要的问题是总的样本量如何在各层之 间进行分配。通常考虑：⑴精度和费用问题。即如何分配才 能在费用一定时使总的精度和各层估计精度最高？⑵数据处 理问题。即如何分配才能使调查数据的处理工作更加简洁， 也使估计量及其方差的确定形式更为简单明了？⑶各层的容
可见，第二项与样本量无关。考虑到
C C C0 Ch nh
V V 1 N
Wh S h 2=
Wh 2 Sh 2 nh
则在给定总费用C 下使估计量的方差V 最小，与在给定
V 下使 C 最小均等价于使
V C (
Wh 2 Sh 2 )( nh
Chnh )
2
=
Wh
S
h
n h
( Chnh )2
２、特殊情形——内曼分配
如果各层内每个单元的平均抽样费用相等，也即 Ch 时C，0 最优分配简化为：
L
Yˆst Nyst N h yh
h
３、总体比例P的估计量
按照总体均值估计量的公式，可推出总体比例（成数）Ｐ 的估计量为：
L
L
Pˆst Wh Pˆh Wh ph
h
h
可以证明，在分层随机抽样中，yst是Y 的无偏估计量，Yˆ是 Y 的无偏估计量，Pˆs是t Ｐ的无偏估计量。
三、估计量的方差 １、总体均值估计量的方差 对于一般的分层抽样，由于各层的抽样是相互独立的，诸
此时：
Vˆ( yst )
L h
Wh 2
1 fh nh
sh2
l h
Wh 2sh 2 1
nh
N
L h
Wh sh 2
1
N2
L h
Nh (Nh
nh )
sh 2 nh
Vˆ (Yˆst ) N 2Vˆ ( yst )
L h
Nh (Nh
nh )
sh 2 nh
Vˆ( yst )与Vˆ(Yˆst )分别是V ( yst )与V (Yˆst )无偏估计。
当用样本资料估计方差V (Pˆ时st ) ，可将
用 Ph (1 Ph) nh
替ph代n(1h ，1ph )则得：
Vˆ(Pˆst )
L h
Wh 2 (1
fh )
ph (1 ph ) nh 1
是
1 L
的无偏N 2估h计Nh。(Nh
nh
)
ph (1 ph nh 1
)
Vˆ (Pˆst ) V (Pˆst )
L
C C0 Ch nh h 1
其中C是0 固定费用，如组织宣传费、分层及编制抽样框的 费用等, 是Ch在第h层抽取一个单元的平均费用，包括调查 员报酬、旅差费、调查测试费等。
根据前面的论述，在估计总体均值时，对给定的各层样本
量nh，估计量的方差为：
V
Wh 2 Sh 2 1
nh
N
Wh Sh 2
２、总体总和估计量的方差
有了总体均值估计量的方差，就可推导出总体总和估计 量的方差：
V (Yˆst ) N 2V (Yˆst ) L N h 2V (Yˆh )
h
对于分层随机抽样，则有：
V (Yˆst )
L h
Nh2
1
f nh
h
S
h
2
L h
Nh (Nh
nh )
Sh2 nh
３、总体比例估计量的方差
分层抽样具有以下特点：
①分层抽样能够充分地利用关于总体的各种已知信息进行 分层，因此抽样的效果一般比简单随机抽样要好。但当对 总体缺乏较多的了解时，则无法分层或不能保证分层的效 果。
②在分层抽样中，总体的方差一般可以分解为层间方差和 层内方差两部分。由于分层抽样的误差只与层内差异有关， 而与层间差异无关，因此，分层抽样可以提高估计量的精 度。
其中等号只有在以下情形时才成立(达到极小值)：
Chnh nh Ch K
Wh Sh
Wh Sh
nh
( 为K常数),这意味着：
nh
K Wh Sh Ch
则 n nh K Wh Sh Ch
因此
K
n
Wh Sh Ch
所以使达到极小的最优分配即为
即
nh Wh Sh
n
L
Wh Sh
h 1
Ch Ch
N h 第h 层总体中的单位数； nh 第h 层样本中的单位数；
Yh 第h 层的总体总量；
yh 第h 层的样本总量；
Yhi 第h 层第i 个总体单元（单位）的取值；
i yhi 第h 层第 个样本单元（单位）的取值；
Wh
Nh N
第h 层的总体层权；
fh
nh Nh
Yh
1 Nh
Nh
Yhi
i 1
③由于分层抽样是在每层内独立地进行抽样，因此，使得 分层样本能够比简单随机样本更加均匀地分布于总体之内， 所以其代表性也更好些。
④分层抽样的随机性具体体现在层内各单元的抽取过程之 中，也即在各层内部的每一个单元都有相同的机会被抽中， 而在层与层之间则是相互独立的。
⑤分层抽样适合于调查标志在各单元的数量分布差异较大 的总体。因为对这样的总体进行合理的分层后可将其差异 较多地转化为层间差异，从而使层内差异大大减弱。
h
为各层内成数方差的平均。
（二）最优分配
１、一般情形
在分层随机抽样中，在给定的费用条件下，使估计量的方 差达到最小，或在精度要求（常用方差表示）一定条件下， 使总费用最小的各层样本量的分配称为最优分配。
在分层随机抽样中，费用函数可能是简单线性的，也可能 是其它复杂形式，这里主要考虑简单线性的费用函数：