解析几何-三角形面积相关最值问题

✧ 难度：★★

✧ 特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值

✧ 来源：07陕西高考

已知椭圆C :2222b

y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

3，求△AOB 面积的最大值.

解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，

依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=. （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，.（1）当AB x ⊥

轴时，AB =.（2）当AB 与x 轴不垂直时，

设直线AB 的方程为y kx m =+.

=，得223(1)4

m k =+.把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631

km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+.2

2221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 222222222

12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k

=+=+≠+=++⨯+++≤. 当且仅当2219k k

=，

即k =时等号成立.当0k =

时，AB =综上所述max 2AB =. ∴当AB 最大时，AOB △

面积取最大值max 12S AB =⨯=. ✧ 难度：★★

✧ 特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形面积的最大值

✧ 来源：

已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.

解：设椭圆方程为).(0b a 1b y a x 2222>>=+（I ）由已知得2222

c

b a 4

c 2a c

b +===⇒1

c 1b 2

a 222=== ∴所求椭圆方程为.1y 2

x 22

=+

（II ）解法一：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2kx y +=，),(),,(2211y x B y x A 由1y 2x 2

kx y 22

=++=消去y 得关于x 的方程：068kx x 2k 122=+++)(

由直线l 与椭圆相交A 、B 两点，∴△02k 12464k 022>+-⇒>)(，

解得23k 2>，又由韦达定理得2212212k 16x x 2k 18k

x x +=⋅+-

=+ 2

12212212x 4x x x k 1x x k 1AB -++=-+=∴)(2416k 2k 1k 122

2

-++=. 原点O 到直线l 的距离2

k 12

d +=2222ADB 2k

132k 222k 12416k d AB 21S +-=+-=⋅=∴∆ 所以，所求直线方程为：042y x 14=+-±.

解法2：令)(0m 32k m 2>-=，则3m 2k 22+=，222m

4m 224m m 22S 2≤+=+=

∴. 当且仅当m

4m =即2m =时，22S ma x =此时214k ±=.所以，所求直线方程为042y x 14=+-±.

解法二：由题意知直线l 的斜率存在且不为零.

设直线l 的方程为2kx y +=，)(11y ,x A ，)(22y ,x B

则直线l 与x 轴的交点),(0k

2D - 由解法一知：23k 2>且2212212k 16x x 2k 18k

x x +=⋅+-

=+

解法1：2kx 2kx k 221y y OD 21S 2121AOB --+⋅=-⋅=

∆ 解法2：POA POB AOB S S S ∆∆∆-=

✧ 难度：★★

✧ 特点：椭圆差一个条件，直线过定点（由椭圆定），已知三角形面积的最大值确定椭圆 ✧ 来源：

已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的离心率为

2

2，21,F F 为其焦点，一直线过点1F 与椭圆相交于B A ,两点，且AB F 2∆的最大面积为2，求椭圆的方程. 解：由e ＝2

2得1:1:2::=c b a ，所以椭圆方程设为22222c y x =+设直线c my x AB -=:，由⎩⎨⎧=+-=22222c

y x c my x 得：02)2(222=--+c mcy y m 0)1(8)22(4)2(4422222222>+=+=++=∆m c m c m c c m 设),(),,(2211y x B y x A ，则21,y y 是方程的两个根 由韦达定理得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+-=+=+2222221221m c y y m mc y y 所以21224)(22212

2121++=-+=-m m c y y y y y y c c y y F F S ABF 222

121212∙=-=∆2122++m m ＝22222221221

1122c c m m c =∙≤+++ 当且仅当0=m 时，即x AB ⊥轴时取等号1,222==∴c c 所以，所求椭圆方程为12

22

=+y x ✧ 难度：★★

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特点：椭圆方程已知，直线过定点，已知面积确定直线

✧ 来源：

已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且12||F F =2点3(1,)2

在该椭圆上。 （I ）

求椭圆C 的方程； （II ） 过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。