中国剩余定理
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理
m1 3
m2 5
取
M1 1
M2 1
M3 1
则唯一解为
x 35 (1) 2 211 3 15 1 2 (mod 105) 23
例2 求最小的正整数 n, 使得 n 被 3,5,11 除的 余数分别是 2,3,5
解 对 x 2(mod 3),x 3(mod 5), x 5(mod 11)
x bk (mod mk ) 则 (*) 有解 (mi , m j ) | ai a j
(*)
x 2(mod 3), x 3(mod 5), x 2(mod 7)
a 2 (mod 3), a 0 (mod 5), a 0 (mod 7) b 0 (mod 3), b 3 (mod 5), b 0 (mod 7) c 0 (mod 3), c 0 (mod 5), c 2 (mod 7)
设 因此
g i ( x) (ai a1 )(ai ai 1 )(ai ai 1 )(ai an )
( x a1 )( x ai 1 )( x ai 1 )( x an )
中国剩余定理的代数表示 设 m 1, 则
m 的标准分解式为 m p1 p2 ps
习题
求解 f ( x) 0(mod 35)
f ( x) x 2 x 8 x 9
4 3
1 求最小的正整数 n,使得它的 是一个平方数, 2 1 1 是一个立方数, 是一个5次方数. 3 5
广义的中国剩余定理 设
x b1 (mod m1 ), x b2 (mod m2 ),
(mod 60)
求解
f ( x) 0(mod m)
codeforces 中国剩余定理
codeforces 中国剩余定理
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是一种数
论定理，用于解决一类同余方程组的问题。
该定理在程序设计竞赛中经常出现，特别在Codeforces竞赛中。
CRT能够高效地求解形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), ..., x ≡ an (mod mn)的同余方程组，其中ai表示余数，mi表示模数。
CRT的基本原理是利用同余方程组中的两个方程，通过求解
线性方程逐个合并为一个方程。
具体步骤如下：
1. 计算mi的乘积M = m1 × m2 × ... × mn。
2. 计算Mi = M / mi，即除去mi的乘积。
3. 计算Mi关于mi的逆元ti，满足Mi × ti ≡ 1 (mod mi)。
4. 计算x = (a1 × Mi × ti + a2 × Mi × ti + ... + an × Mi × ti) % M。
其中%表示取余操作，保证x的值在0到M-1之间。
CRT的时间复杂度为O(nlogM)，其中n表示方程组中的方程
数量，M表示所有模数的乘积。
在Codeforces竞赛中，当遇到有多个方程组成的同余方程组
问题时，需要运用CRT来快速求解x的值，从而提高算法的效率。
中国剩余定理
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
注释：三数为a b c，余数分别为m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。
孙子定理孙子定理1、分别找出能被两个数整除，而满足被第三个整除余一的最小的数。
k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍即得结果。
Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);P为满足Answer > 0的最大整数；或者Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;解题思路：令某数为M，令素数为A，B，C，D，…，Z，已知M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z。
求M=？因为A，B，C，D，…，Z为不同的素数，故，B*C*D*…*Z不可能被A整除，有等差数列（B*C*D*…*Z）+（B*C*D*…*Z）N中取A个连续项，这A个连续项分别除以A的余数必然存在0，1，2，3，…，A-1，所以，从这A个连续项中能寻找到除以A余1的数。
再用除以A余1的这个数*a其积必然除以A余a，这个除以A余a 的数，为能够被素数B*C*D*…*Z整除的数，为第一个数；再按同样的道理，从A*C*D*…*Z的倍数中寻找除以B余b的数,该数具备被素数A，C，D，…，Z整除的特性，为第二个数；因为，第一个数除以A余a，第二个数能被素数A，C，D，…，Z整除，即能被A整除，所以，第一个数+第二个数之和，仍然保持除以A余a；同理，第二个数除以B余b，因第一个数能被B整除，所以，第二个数+第一个数之和，仍然保持除以B余b。
中国剩余定理ppt
m = n / w[i];
d = extended_euclid(w[i], m, x, y);
ret = (ret + y*m*b[i]) % n;
}
return (n + ret%n) % n;
}
模板:最大公约数
int gcd(int a,int b) {
if(0 == a )
return b;
int flag;
while (scanf ("%I64d", &n) != EOF){
scanf ("%I64d%I64d", &m1, &a1);
n--; flag = 0;
while (n--) {
scanf ("%I64d%I64d", &m2, &a2);
d = exGcd (m1, m2, x, y);
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days、
\n",j,k);
else
printf("Case %d: the next triple peak occurs in 21252 days、
一些关于中国剩余定理得定理:
定理2:二数不能整除,若被除数扩大(或缩小) 了几倍,而除数不变,则其余数也同时扩大(或 缩小)相同得倍数(余数必小于除数)。
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理内涵及其简单应用
中国剩余定理是数论中的一个重要定理，它提供了求解一类线性同余方程组的方法。
所谓线性同余方程组，是指一组形如x ≡ a1 (mod m1), x ≡ a2 (mod m2), …, x ≡ an (mod mn)的方程，其中x是未知数，a1, a2, …, an是已知数，而m1, m2, …, mn是不同的正整数。
中国剩余定理的内涵是：当所给线性同余方程组的模m1, m2, …, mn 两两互素时，存在唯一解x ≡ X (mod M)，其中X是x的一个解，而M = m1 * m2 * … * mn。
简单来说，中国剩余定理告诉我们，当模数两两互素时，我们可以通过对每个方程求解，再通过一定的运算，得到原方程组的解。
中国剩余定理的应用非常广泛，特别是在密码学和计算机科学中。
例如，当我们需要对一个数进行加密和解密时，可以使用中国剩余定理来进行模运算，从而快速计算得到加密后的结果。
此外，在计算机科学中，中国剩余定理也常用于优化算法和并行计算。
由于中国剩余定理能够将一个大问题拆分成多个小问题并行求解，因此可以显著提高计算效率。
总之，中国剩余定理作为数论中的重要定理，不仅具有深刻的理论意义，还具有广泛的实际应用。
通过它，我们可以快速求解线性同余方程组，加密和解密数据，优化算法等，从而提高计算效率和保护数据安全。
中国剩余定理简介
中国剩余定理简介在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（mod3=2），五五数之剩三（mod5=3），七七数之剩⼆(mod7=2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
具体解法分下⾯三步：1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。
2、⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。
3、⽤233除以3、5、7的最⼩公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最⼩数。
很神奇，是吧？我们逐步剖析。
我们第⼀⽬标是求⼀个数n符合条件，⽽不需最⼩。
我们先假设n1是满⾜mod3=2的任意⼀个数，n2是满⾜mod5=3的任意⼀个数，n1是满⾜mod7=2的任意⼀个数。
如果想要(n1+n2)也mod3=2，n2必须是3的倍数（易证）。
如果想要(n1+n2+n3)也mod3=2，n3也得是3的倍数。
归纳得要想(n1+n2+n3)同时满⾜mod3=2,mod5=3,mod7=2，必须有：1. n1mod3=2 && 5|n1 && 7|n12. n2mod5=3 && 3|n2 && 7|n23. n3mod7=5 && 3|n3 && 5|n3于是只需要在5,7的倍数中找⼀个mod3=2的作为n1，在3,7的倍数中找⼀个mod5=3的作为n2，在3,5的倍数中找⼀个mod7=2的作为n3即可。
解决这个⼩问题孙⼦⼜⽤了⼀个⼩技巧。
就是不是先找mod3=2的，⽽是先找mod3=1的再把它乘2⾃然它就mod3=2了。
剩余定理的计算
剩余定理的计算中国剩余定理公式小学如下：1、余数定理（Polynomial remainder theorem）是指一个多项式f(x) 除以一个线性多项式(x-a)的余数是f(a)。
若f(a)=0，则(x-a)为多项式f(x)的因式。
例如，(5x3+4x2-12x+1)/(x-3) 的余式是5·33+4·32-12·3+1=136。
2、多项式f(x)除以(x-a)所得的余数等于f(a)。
3、证明：根据除法的定义及性质可知，被除数=除数×商+余数。
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
解答方法：三人同行七十希，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
意思是:将除以3得余数乘以70，将除以5得余数乘以21，将除以7得余数乘以15，全部加起来后再减去105或105的整倍数，得到的数就是答案。
70X2+21x3+15x2=233=105x2+23，结果就是23。
解法举例：例一：一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？采用通用的方法：逐步满足法把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，……然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11.所以11就是所求的数。
先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。
例二：一个数除以5余1，除以3也余1。
问这个数最小是多少？（1除外）特殊的方法：最小公倍法除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。
除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。
中国剩余定理简单公式
中国剩余定理简单公式中国剩余定理，又称孙子定理，是一种用来求解一类模线性方程组的方法。
它的基本思想是将一个复杂的方程组化简成一些简单的方程，并通过求解这些简单方程来得到原方程的解。
中国剩余定理的简单公式可以表示为：假设给定一组模数m1, m2, ..., mn，并且这些模数两两互素（即最大公约数为1），同时给定一组余数a1, a2, ..., an，那么存在一个整数x，满足以下条件：x ≡ a1 (mod m1)x ≡ a2 (mod m2)...x ≡ an (mod mn)其中≡表示'同余'关系，即两个数除以某个数的余数相等。
中国剩余定理的求解过程可以按照以下步骤进行：1. 计算模数的乘积M = m1 * m2 * ... * mn。
2. 计算每个模数除以M的余数Mi，即 Mi = M / mi。
3. 计算Mi关于模数mi的乘法逆元ni，即满足 Mi * ni ≡ 1 (mod mi)。
4. 计算解x，即 x = (a1 * Mi * ni + a2 * Mi * ni + ... + an * Mi * ni) % M。
通过以上步骤，就可以得到模线性方程组的解x。
中国剩余定理在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着重要的应用。
它可以高效地求解大数模运算问题，同时也可以用来对数据进行加密和解密，保护数据的安全性。
此外，中国剩余定理还可以用来加速计算，提高算法的效率。
总结起来，中国剩余定理是一种非常有用的数学工具，它通过将复杂的方程组转化为简单的方程，大大简化了问题的求解过程。
无论是在理论研究还是实际应用中，中国剩余定理都具有重要的价值和意义。
中国剩余定理
中国剩余定理（孙子定理）定义中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
编辑本段内容1、分别找出能任两个数整除，而满足被第三个整除余几的数。
2、将三个未知数加起来，减去这三个数的最小公倍数的整数倍。
N≡R1(mod d1) ≡R2(mod d2)≡R3(mod d3)则N=k1d2d3R1+k2d1d3R2+k3d1d2R3±d1d2d3P其中P为任意非负整数k1是满足k1d2d3≡1(mod d1)的最小正整数k2是满足k2d1d3≡1(mod d2)的最小正整数k3是满足k3d1d2≡1(mod d3)的最小正整数编辑本段解法解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。
同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
附：如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×2+21×3+15×2=140+63+30=233233-2×105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为3、5、7，5*7/3余数为2，取35；3*7/5余数为1，要使余数为3，只需将3*7扩大3倍变成63即可；同样3*5/7的余数为1，要使余数为2，则将3*5扩大2倍，变成30。
【中国剩余定理（孙子定理）】
【中国剩余定理（孙⼦定理）】中国剩余定理，⼜称孙⼦定理（什么名字啊）是中国古代求解⼀次同余式组（见同余）的⽅法。
是数论中⼀个重要定理。
⾸先来⼀个⼩！例！题！吧！注释：三数为a b c，余数分别为 m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。
1、分别找出能被两个数整除，⽽满⾜被第三个整除余⼀的最⼩的数。
k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最⼩公倍数的整数倍即得结果。
Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);P为满⾜Answer > 0的最⼤整数；或者 Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;我们来⼩⼩的证明⼀波 设M=m1*m2*......*mn Mi=M/mi 设Mi的逆元为Mi^(-1)(mod mi) 有Mi*Mi^(-1)≡1(mod mi) ai*Mi*Mi^(-1)≡ai(mod mi) 对于所有的j不等于i ai*Mi*Mi^(-1)≡0(mod mj) 所以答案就是所有ai*Mi*Mi^(-1)（mod p）的值1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3long long x,y;4long long a[15],b[15];5long long n;6void exgcd(long long A,long long B)7{8if(B==0)9 {10 x=1;11 y=0;12return;13 }14 exgcd(B,A%B);15long long z=x;16 x=y;17 y=z-(A/B)*y;18}19long long fast(long long a1,long long b1,long long mod)20{21long long ans=0;22 a1%=mod;23 b1%=mod;24while(b1)25 {26if(b1&1)27 {28 ans=(ans+a1)%mod;29 }30 b1>>=1;31 a1=(a1+a1)%mod;32 }33return ans;34}35long long china()36{37long long ans=0;38long long M=1;39for(long long i=1;i<=n;i++)40 M*=b[i];41for(long long i=1;i<=n;i++)42 {43long long m=M/b[i];44 exgcd(m,b[i]);45while(x<0)46 x+=b[i];47 x%=b[i];48 ans=(ans+fast(x,fast(m,(a[i]+M)%M,M),M)+M)%M;49 }50return ans;51}52int main()53{54 cin>>n;55for(long long i=1;i<=n;i++)56 {57 scanf("%lld",&a[i]);58 }59for(long long i=1;i<=n;i++)60 {61 scanf("%lld",&b[i]);62 }63 cout<<china();64return0;65 }。
中国剩余定理
中国剩余定理金庸先生的《射雕英雄传》畅销全球的华人社区，很多人也知道郭靖和黄蓉的故事，但原来在《射雕英雄传》内也有有关数学的名题同时随小说传至全球的华人社区，这便是「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。
话说郭靖和黄蓉在离开泥沼时，黄蓉下了三道题目挑战号称「神算子」的瑛姑，当中的第三道题目，便是这著名的「鬼谷算」：「今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题）如果用白话写出，意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？这道题目如此简单，何以会是名题呢？事实上，《射雕英雄传》里的瑛姑不难便得出答案是23；而中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。
这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。
而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。
所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。
瑛姑虽然得到答案，但她也得向黄蓉请教，因为瑛姑的答案是硬生生地试出来的，她明白倘若余数有变的话，她便可能要再花一段时间来试答案了，她找不到计算这一道题目的门径，或者说她找不到解这道题的普遍方法；而数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。
你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。
而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中两个：三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。
摘自《志雅堂杂钞》三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种非常有用的数论定理，它提供了一种解决一组同余方程组的方法。
这个定理最早由中国古代数学家孙子提出，被认为是中国古代数学的杰作之一。
现代中国剩余定理由法国数学家员会(LPéLopital)于1785年从中国传统数学中发现并证明。
首先，我们先来探究一下同余方程的定义。
对于给定的整数a，b 和m，同余方程可以表示为：ax ≡ b (mod m)，其中≡表示模m下的同余关系。
也就是说，x是一个整数，满足ax与b除以m所得余数相等。
如果同余方程有解，那么方程存在无穷多个解，且这些解之间相互模m同余。
接下来，我们来证明中国剩余定理。
设m1，m2，...，mk是两两互质的正整数，令M = m1 * m2 * … * mk，再令Mi = M/mi。
根据中国剩余定理，存在一个整数yi满足以下条件：Mi * yi ≡ 1 (mod mi)，对于任意的1 ≤ i ≤ k。
我们先证明Mi * yi ≡ 1 (mod mi)。
由于Mi = M/mi，因此Mi与mi互素。
根据扩展欧几里得算法，存在整数ai和bi，使得Mi *ai + mi * bi = 1。
我们对两边同时取模mi，得到Mi * ai ≡ 1 (mod mi)，从而证明了Mi * yi ≡ 1 (mod mi)。
现在我们来考虑方程组x ≡ a1 (mod m1)，x ≡ a2 (modm2)，...，x ≡ ak (mod mk)在模M下的解。
设x = a1 * Mi * yi1 + a2 * Mi * yi2 + ... + ak * Mi * yik。
为了证明这个x是方程组的解，我们只需证明x对于每个mi都满足给定的同余方程。
对于任意的1 ≤ j ≤ k，我们有x ≡ a1 * Mi * yi1 + a2 *Mi * yi2 + ... + aj * Mi * yij + ... + ak * Mi * yik (mod mj)。
中国剩余定理
中国剩余定理暑假集训的时候就应该来写这篇博客的，当时听的有些糊涂，不过该来的还是得来。
中国剩余定理介绍在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩⼆（除以7余2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
在《孙⼦歌诀》中给出了解决这个问题的解法：三⼈同⾏七⼗稀，五树梅花廿⼀⽀，七⼦团圆正半⽉，除百零五便得知。
很是朗朗上⼝，但这是什么意思呢？具体解法分三步：找出三个数：1.从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。
2.⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到和233。
3.⽤233除以3，5，7三个数的最⼩公倍数105，得到余数23，即233%105=23。
这个余数23就是符合条件的最⼩数。
就这么简单。
我们在感叹神奇的同时不禁想知道古⼈是如何想到这个⽅法的，有什么基本的数学依据吗？中国剩余定理分析我们将“孙⼦问题”拆分成⼏个简单的⼩问题，从零开始，试图揣测古⼈是如何推导出这个解法的。
⾸先，我们假设n1是满⾜除以3余2的⼀个数，⽐如2，5，8等等，也就是满⾜3*k+2（k>=0）的⼀个任意数。
同样，我们假设n2是满⾜除以5余3的⼀个数，n3是满⾜除以7余2的⼀个数。
有了前⾯的假设，我们先从n1这个⾓度出发，已知n1满⾜除以3余2，能不能使得 n1+n2 的和仍然满⾜除以3余2？进⽽使得n1+n2+n3的和仍然满⾜除以3余2？这就牵涉到⼀个最基本数学定理，如果有a%b=c,则有(a+kb)%b=c(k为⾮零整数)，换句话说，如果⼀个除法运算的余数为c，那么被除数与k倍的除数相加（或相减）的和（差）再与除数相除，余数不变。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是一个数论定理，用于解决一组模同余方程的问题。
它的证明过程可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们考虑一个非常简单的情况，即两个数$a_1$和$a_2$的模同余方程：$x ≡ a_1 (mod\, m_1)$$x ≡ a_2 (mod\, m_2)$假设$m_1$和$m_2$互质，我们可以用扩展欧几里得算法找到一组整数$s_1$和$s_2$，使得$s_1 \cdot m_1 + s_2 \cdot m_2 = 1$。
那么我们可以构造一个解$x = a_1 \cdot s_2 \cdot m_2 + a_2\cdot s_1 \cdot m_1$。
这个解使得$x ≡ a_1 \cdot s_2 \cdot m_2 + a_2 \cdot s_1 \cdot m_1 \equiv a_1 (mod\, m_1)$，因为$a_2 \cdot s_1 \cdot m_1 ≡ 0 (mod\, m_1)$；同时也满足$x ≡ a_1 \cdot s_2 \cdot m_2 + a_2 \cdot s_1 \cdot m_1 \equiv a_2 (mod\, m_2)$，因为$a_1 \cdot s_2 \cdot m_2 ≡ 0 (mod\, m_2)$。
接下来我们考虑一个更一般的情况，有$n$个模同余方程：$x ≡ a_1 (mod\, m_1)$$x ≡ a_2 (mod\, m_2)$...$x ≡ a_n (mod\, m_n)$其中$m_1,\, m_2,\, ..., \,m_n$互质。
我们可以通过多次使用上述简单情况的结论，逐步减少方程的个数。
首先，我们可以通过两个方程来构造一个新的方程组：$x_1 ≡ a_1 (mod\, m_1)$$x_1 ≡ a_2 (mod\, m_2)$$x_2 ≡ a_2 (mod\, m_2)$$x_2 ≡ a_3 (mod\, m_3)$...$x_{n-1} ≡ a_{n-1} (mod\, m_{n-1})$$x_{n-1} ≡ a_n (mod\, m_n)$通过这样的构造，我们可以将$n$个方程减少为$n-1$个方程。
ctf 中国剩余定理
ctf 中国剩余定理摘要：一、引言1.中国剩余定理的背景和意义2.本文的目的和结构二、中国剩余定理的基本概念1.模运算2.同余方程组3.扩展欧几里得算法三、中国剩余定理的证明1.定理的陈述2.证明思路和方法3.证明过程详解四、中国剩余定理的应用1.密码学中的应用2.计算机科学中的应用3.其他领域的应用五、总结1.中国剩余定理的重要性2.进一步研究的方向正文：一、引言中国剩余定理，又称拉格朗日定理，是数论中一个重要的定理。
它为解决模线性方程组问题提供了一个巧妙的方法，不仅在数学领域具有深远的影响，还在密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍中国剩余定理的基本概念、证明方法和应用。
二、中国剩余定理的基本概念1.模运算模运算是一种特殊的除法运算，表示a mod b，即a 除以b 的余数。
例如，7 mod 3 = 1，因为7 除以3 的余数是1。
2.同余方程组设m 和n 是互质的正整数，a 和b 是非负整数，如果对于任意整数x，都有ax ≡ b (mod m)，则称ax 和b 关于m 同余，记作ax ≡ b (mod m)。
若同余方程组有解，则称该同余方程组是可解的。
3.扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法是一种求解同余方程组的方法，它可以在多项式时间内找到一组特解，从而判定同余方程组是否有解。
三、中国剩余定理的证明1.定理的陈述设m1, m2, ..., mn 是n 个互质的正整数，a1, a2, ..., an 是n 个非负整数，ai ≡ b1 (mod mi)，ai ≡ b2 (mod mi)，...，ai ≡ bn (mod mi)，对于任意整数x，都有ax ≡ b1, b2, ..., bn (mod m1, m2, ..., mn)。
则存在唯一的整数解x0，使得ax0 ≡ b1, b2, ..., bn (mod m1, m2, ..., mn)。
2.证明思路和方法证明过程主要利用了数学归纳法，首先证明当n=2 时定理成立，然后假设当n=k 时定理成立，证明当n=k+1 时定理也成立。
中国剩余定理多项式
中国剩余定理多项式中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是数论中一个重要的定理，该定理与多项式的求解有密切的关系。
中国剩余定理可以应用于许多数学领域，例如密码学、计算机科学、算法等，在本文中，我们将介绍中国剩余定理的多项式解法及相关参考内容。
中国剩余定理的基本概念中国剩余定理，又称孙子定理，它是一种求解同余方程组的方法，能将一个模数为不同的同余方程组转化为仅含不同模数质数幂次数为1次的同余方程组。
设n1,n2,…,nk是k个正整数，它们各自互素，然后令N=n1n2…nk，则对任意整数a1,a2,…,ak，同余方程组x≡a1(mod n1)x≡a2(mod n2)⋯x≡ak(mod nk)必有解，且解在模N意义下唯一。
这个定理的证明需要数论中的群、模运算的概念，具体内容请参考相关的数论书籍。
中国剩余定理的多项式解法现给出求解同余方程组的多项式解法。
设n1,n2,…,nk是k个正整数，N=n1n2…nk。
对每个i，设Mi=N/ni，因为ni和Mi互质，所以存在整数zi使得：Mi⋅zi≡1(mod ni)然后设x=f1a1M1z1+f2a2M2z2+…+fkaKMkzk，其中fi=MkM1,M2,…,fi≠fk。
由此可以得到：x≡a1(mod n1)x≡a2(mod n2)⋯x≡ak(mod nk)假设对于i≠j，第i个方程与第j个方程的解是相同的，即：fi≡fj(mod ni)且fi≡fj(mod nj)则可以得到：fk≡fj(mod nk)(因为nk是ni的公因数)与假设矛盾，所以第i个方程与第j个方程的解不同。
因此，多项式x是该同余方程组唯一的解。
对于实际应用中的多项式求解，我们可以借助计算机的高速运算和多项式库，例如Numpy、sympy等，实现高效的计算和求解。
中国剩余定理的相关参考内容中国剩余定理是数论中一项重要的定理，应用广泛，其相关内容也有丰富的文献资料和参考内容。
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种数论中的重要定理，用于求解一类关于模数不互素的同余方程组。
该定理由中国古代数学家孙子（Sunzi）在《孙子算经》中首次提出，因此得名。
中国剩余定理的核心思想是将一个复杂的同余方程组转化为一组简单的同余方程，然后通过求解这些简单方程来得到原方程的解。
中国剩余定理的应用广泛，不仅在数论中有重要的地位，还在密码学、编码理论、计算机科学等领域中有着广泛的应用。
中国剩余定理的具体表述如下：设n1, n2, , nk为k个正整数，它们两两互素，即gcd(ni, nj) = 1 (i ≠ j)。
给定k个整数a1, a2, , ak，求解同余方程组：x ≡ a1 (mod n1) x ≡ a2 (mod n2) . x ≡ ak (mod nk)中国剩余定理告诉我们，如果k个正整数n1, n2, , nk两两互素，那么对于给定的任意k个整数a1, a2, , ak，上述同余方程组一定存在解，并且解唯一模n = n1 * n2 * , * nk。
具体的解可以通过如下步骤求得：1.计算N = n1 * n2 * . * nk。
2.对于每个i，计算Ni = N / ni。
3.对于每个i，计算Mi = Ni^(-1) mod ni，其中Ni^(-1)是Ni在模ni下的逆元。
4.计算x = (a1 * N1 * M1 + a2 * N2 * M2 + . + ak * Nk * Mk) mod N。
通过上述步骤，我们可以得到方程组的唯一解x，满足x ≡ ai (mod ni) (1 ≤ i ≤ k)。
中国剩余定理的证明较为复杂，可以利用数论中的一些基本定理和性质进行推导。
但无论是证明还是应用，中国剩余定理都是一个非常有用的工具。
在密码学中，中国剩余定理被广泛应用于RSA算法的加密和解密过程中，以提高计算效率。
在编码理论中，中国剩余定理可以用于设计纠错码，提高数据传输的可靠性。
ctf 中国剩余定理
ctf 中国剩余定理
摘要：
1.中国剩余定理的背景和定义
2.中国剩余定理的求解方法
3.中国剩余定理的应用实例
4.中国剩余定理的历史和影响
正文：
中国剩余定理，也被称为中国古代数学的瑰宝，是我国古代数学家在代数学领域中的一项杰出贡献。
这一定理最早出现在《孙子算经》中，后来被南宋数学家秦九韶命名为“中国剩余定理”。
中国剩余定理的定义是：已知n 个整数a1, a2,..., an 和n 个模数m1, m2,..., mn，如果存在整数x1, x2,..., xn，使得
ax1 ≡ a (mod m1),
ax2 ≡ a (mod m2),
...
axn ≡ a (mod mn),
则称a 关于模数m1, m2,..., mn 的中国剩余定理解为x1, x2,..., xn。
中国剩余定理的求解方法主要有两种：一种是基于迭代的算法，另一种是基于矩阵的方法。
基于迭代的算法是利用已知的解，通过迭代的方式求解新的解。
而基于矩阵的方法是将中国剩余定理转化为线性方程组，然后利用矩阵的逆来求解。
中国剩余定理在现代密码学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
例如，在公钥密码系统中，中国剩余定理可以用来求解加密后的密文，从而实现解密。
中国剩余定理的历史可以追溯到2000 多年前的我国古代数学。
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汉语余数定理，也称为汉语余数定理，是一个数论中关于一个变量的线性同余方程的定理，它解释了一个变量的线性同余方程的判据和解。
又称“孙子定理”，有“韩新兵”，“孙子定理”，“求术”（宋申国），“鬼谷计算”（宋周密），“隔墙”等古代名称。
计算”（宋周密），“切管”（宋阳辉），“秦王暗中战士”和“无数事物”。
一个变量的线性一致等式的问题最早可以在中国南北朝（公元5世纪）数学书《孙子书经》第26期中找到，这被称为“物是物”。
未知”。
原文如下：未知的事物，三到三个剩下两个，五到五个剩下三个，七到七个剩下两个。
问事物的几何形状？也就是说，将一个整数除以三分之二，五分之三和七分之二以找到该整数。
孙子的《佛经》首次提到了全等式问题和上述特定问题的解决方案。
因此，中国余数定理在中国数学文献中也将称为“孙子定理”。
1247年，宋代数学家秦久绍对“物不知数”问题给出了完整而系统的回答。
明代数学家程大为将解决方案汇编成《孙子的歌》，很容易赶上：三个人一起走了七十次，五棵树有二十一朵梅花，七个儿子团聚了半个半月。
除了一百零五，我们知道这首歌给出了秦绍的全同方程的模3、5和7的解。
意思是：将3除以70得到的余数，再乘以5除以得到的余数。
在图21中，将7除以15得到的余数相乘，将它们全部加起来并减去105或105的整数倍，得到的数字就是答案（除以105
得到的余数就是最小答案）。
例如，在上述事物数量未知的问题中，使用上述方法进行计算，根据民谣计算出的结果为23。