第八章现代光学基础.doc

第八章 现代光学基础
1 （1）计算氢原子最低的四个能级的能量大小，并把它们画成能级图；
（2）计算这四个能级之间跃迁的最小的频率是多少。

解：根据：222
2422h n k Z me E π-=
最低四个能级的量子数为：4321、、、=n 代入公式，
计算得到：eV E 6.131-=、eV E 4.32-=、eV E 5.13-=、eV E 85.04-=
（2）频率最小的跃迁是在E 3和E 4之间，
能级差：eV E E E 65.034=-=∆ 由：νh E =∆
解得跃迁频率：1141059.1/-⨯=∆=s E h ν
2 当玻尔描述的氢原子从n=2的轨道跃迁到的n=1轨道后，问（1）轨道的半径有什么变化？（2）能量改变了多少？
解：（1）由 Zk
me h n r 22224π= 轨道半径的变化量：
nm Zk me h Zk me h r 157.0414222222222
=-=∆ππ （2）根据：2222422h n k Z me E π
-= 能量的变化量：
eV h k Z me h k Z me E 2.10)12()22(2
22242222242=---=∆ππ
3令光子的波长为λλ1
,,称为波数，若用符号v ~表示，则光子的能量为v
hc ~。

如果一个光子具有1电子伏特的能量，那么它的波数应为若干？
解：根据公式（7—6）得
v
v v hc hv ~10310626.61060.1 11060.110~8341919⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯===---焦耳伏库仑 故 13
3419
80490010310626.61060.1~---=⨯⨯⨯⨯=米v = 8049厘米-1 4 (1)钠低压放电管发出A
5890=λ的黄光，其多普勒宽度为A 0197.0=∆λ，计算黄光频率、频宽及其相干长度。

（2）又一氦一氖激
光器发出波长为6328A
，试求此激光器的相干长度。

解：（1）钠黄光的频率为
Hz c
v 14810
100934.5105890103⨯=⨯⨯==-λ 将c v =λ微分得： 0=∆+∆v v λλ
即 ： v v λ
λ∆-=∆ 负号表示λ∆增加时，v ∆减少。

故多普勒宽度相当的频宽为： Hz v v 914
101.678 100934.55890
0194.0⨯=⨯⨯=⋅∆=∆λλ
钠低压放电管的相干长度x ∆根据公式（9—2）为
)]269(450.*[ 88.170194.0)5890( 22
-==∆=⋅∆=∆=∆=∆式参见厘米p A
A v c x c t c x λλλλ （2）氦—氖激光器的相干长度为x '∆
公里米4010410)6328(4722=⨯=='∆'='∆-A
A x λλ 由此可见，氦—氖激光器的单色性远比普通光源高，时间相干性较一般光源好得多。

5 设氩离子激光器输出的基模4880A
的频率为4000MHz ，求腔长1米时，光束中包含几个纵模？两相邻波长的波长差是多少？
解：由氩离子激光器的基频为 Hz c
v 148
101015.6488010103⨯=⨯⨯==λ 和其频宽Hz MHz y 93104104⨯=⨯=∆，则可计算对应的波长间隔为
A A v v 0317.0488010
15.6104149=⨯⨯⨯=⋅∆=∆λλ 现谐振腔长为d=1米，腔内折射率n=1，这是相当于法布里-珀罗干涉仪，其相长干涉的条件是光程差应满足下列条件：
λδj i nd ==2cos 2
式中1cos ,101,12
10====i A d n 米。

将上式两边微分，得 j 0λ
λλλ∆-=∆=∆+∆j j j 即
62.26102(4880)0.0317 2cos 2 10222=⨯⨯=⋅∆=⋅∆=∆=∆∴d i nd j j λλλλλλλ
所以光束包含26个纵模。

其次计算相邻波长的波长差λ'∆，这可将频宽对应的波长间隔除以纵
模数得到。

A j 00119.062
.260317.0==∆∆='∆λλ 通过该题的计算可知，减小腔长可使纵模个数减少，从而提高输出激光的单色性。

6 86Kr 发出的A
6058=λ的橙色光，其多普勒宽度为A 00550.0=∆λ，试计算橙色谱的频率v ，频宽和相干长度。

解：频率v 可由λc v =
给出： Hz c v 145101095.4106058/100.3⨯=⨯⨯==-厘米
秒厘米λ 运用λ
λ∆-=∆v v 的关系式，计算频率v ∆ Hz A
A v v 8141050.4 1095.460580055.0⨯=⨯⨯=∆=∆ λλ
相干长度x ∆为
)]
269(450.*[ 66.67 105.41038
10
-=⨯⨯=∆=∆式参见厘米p v c x 这一数值是近似,较精确的计算表明：
厘米33.2167.6632.032.0=⨯=∆=∆v
c x
7 如果某种原子的激发态寿命为10-8秒，其发出的光的波长为6000A
，试问自然线宽是多少？
解：根据激发态寿命τ∆和自然线宽所对应的频宽v ∆的关系可知： τ
∆=∆1v 又由波长和频率的关系：
λv c =
上式微分后，可得 0=∆+∆λλv v 88102
21010103)6000( -⨯⨯⨯=∆=∆=∆τλλλc v v
8 太阳照到地球上的辐射能每分钟每平分方厘米为2卡，求它的电场强
度。

又设氩离子激光器输出的单色光波长为4880A
，功率为2瓦，光束截面直径为2毫米，求它的电场强度。

解：能量密度u 和能流密度uc 分别为 220 r
P uc E u πε== 式中0ε为真空中的介电常数，其数值为121085.8-⨯，E 为电场强度，其单位为伏特/米，u 的单位为焦耳/米3·秒。

C 为光速。

故太阳辐射到地面时辐射能的电场强度为
米伏/7241085.8103)01.0(60218.412
820=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-εu
E 对氩离子激光器而言，光束截面积为
262210)001.0(米πππ-==r 82210
3)001.0(2⨯⨯=⨯=ππc r P u 米伏/1055.110
85.8103)001.0(2412820⨯=⨯⨯⨯⨯==
-πεu E
9 试根据氦、氖原子的相关能级图计算5s —3p 跃迁的能量差和3p —3s 跃迁的能量差，把计算结果分别用电子伏特和焦耳表示，并分别计算具有这一能量的光子波长。

解：由跃迁的能量差的公式分别为：
焦耳19351014.31.96 )70.1866.20(-⨯==-=-eV eV E E p s
焦耳19331020.32.00 )70.1670.18(-⨯==-=-eV eV E E S P
这两种跃迁所发射的光子的波长分别为 A E hc 63301033.610
14.310310626.67198
34=⨯=⨯⨯⨯⨯=∆=---米λ A E hc 62101021.610
20.310310626.67198
34=⨯=⨯⨯⨯⨯='∆='---米λ
10 推导频带宽度为v ∆的波列在真空中的相干长度的表达式，并用波列的线宽λ∆和平均波长λ表示。

解：根据： v c
t c x ∆=∆=∆1 但是： c k
k ==∆∆ωω 因此： λ
λv v =∆∆ 即： λ
λ∆=∆v v 1 故： λ
λλλ∆=∆=∆2
v c x
11 考虑大约10-8秒的原子跃迁期间所发射的光谱可见区的一个光子。

试问这个波包有多长？估计波包的线宽（500=λ纳米），并用频率稳定性表示波包的单色性。