复变函数于是便函数的区别与联系
实变函数论与复变函数论的联系与差异
实变函数论与复变函数论的联系与差异实变函数论和复变函数论是数学分析中两个重要的分支，它们都探讨了函数的性质和行为，但是在研究对象和方法上存在一些差异。
下面将详细讨论实变函数论和复变函数论的联系与差异。
一、联系1. 函数的定义：实变函数论和复变函数论都研究函数的性质和行为。
实变函数论研究的是定义在实数域上的函数，而复变函数论研究的是定义在复数域上的函数。
2. 极限：实变函数论和复变函数论都涉及函数的极限概念。
实变函数论中，函数的极限是指函数在某一点处的趋近情况；复变函数论中，函数的极限是指函数在复平面上的趋近情况。
3. 连续性：实变函数论和复变函数论都研究函数的连续性。
实变函数论中，函数在某一点连续意味着在该点的极限存在且等于该点的函数值；复变函数论中，函数在某一点连续意味着在该点的极限存在且与函数值无关。
4. 导数：实变函数论和复变函数论都涉及函数的导数概念。
实变函数论中，导数表示函数在某一点的变化率；复变函数论中，导数表示函数在某一点处的线性逼近。
5. 积分：实变函数论和复变函数论都研究函数的积分。
实变函数论中，积分是通过对函数进行区间分割求和的方式求得；复变函数论中，积分是通过对函数在曲线上进行线积分求得。
二、差异1. 定义域和值域：实变函数论研究的是定义在实数域上的函数，其定义域和值域都是实数集；复变函数论研究的是定义在复数域上的函数，其定义域和值域都是复数集。
2. 解析函数：在复变函数论中，解析函数是指在其定义域上处处可导的函数。
而实变函数论中并没有类似的概念。
3. 复数域的性质：复数域具有复平面的几何结构，而实数域没有这样的结构。
因此，在复变函数论中可以讨论复数函数的奇点、留数等概念，这些在实变函数论中是不存在的。
4. 应用领域：实变函数论主要应用于物理学、经济学等实际问题的建模和分析；复变函数论则主要应用于电磁场、量子力学、流体力学等领域。
总结起来，实变函数论和复变函数论都研究函数的性质和行为，但是在定义域、值域、解析函数概念、复数域的性质和应用领域上存在一些差异。
1.复变函数与实变函数定义区别与联系有哪些
1.复变函数与实变函数定义的区别与联系有哪些？复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。
设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为)(z f w =。
而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为)(x f y =。
从定义上看，除了几个字母表示不一样外（对数学来说，采用什么记号表示不是本质区别），还有就是复变函数对对应法则的要求相对宽松，产生了多值函数，但在实际处理问题中，往往都是把多值函数处理成单值函数来看（因此这也可以看成不是本质的区别）。
如果只是把复变函数的定义用文字叙述的方法讲解，初学者往往会产生思维定势，把数学分析或高等数学中学习的实变函数的概念照搬过来理解，这就产生了错误，没有把握住二者的本质区别。
但是如果从几何上利用对比教学法对这两个概念进行比较，就会生动形象，使差异性做到了可视化，两个概念的区别被直观放大，这对学生会产生视觉震撼，印象深刻。
具体演示如下：w1w2z2z1学生通过图形演示对二者的区别会有充分把握：二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数。
而至于复变函数的定义域和值域分别画在两个不同的复平面上则纯粹是为了方便和避免混淆。
这就把握住了二者的本质区别，同时也加强了学生对复数的理解。
2.复变函数里的极限定理和数学分析中极限定义的区别与联系有哪些？正确理解了复变函数的定义后，接着复变函数的极限又是一个对初学者容易产生错误理解的重要概念。
同样，复变函数的极限定义从文字叙述或符号表示上看也与实变函数的极限定义几乎是一模一样的。
复变函数2 解析函数
⎧ ⎪Δu = ux Δx + uy Δy + o ( ρ ) = ⎡ ⎣( aΔx − bΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⇒⎨ ⎪ ⎣( bΔx + aΔy ) + o ( ρ ) ⎤ ⎦ ⎩ Δv = vx Δx + vy Δy + o ( ρ ) = ⎡
⎧ ux = vy = a , ⇒ f ′(z) = ux +ivx = vy −iuy . ⇒⎨ ⎩ v x = −u y = b .
当且仅当 x = y = 0时, u x = v y , u y = − v x , 因而函数仅在z = 0可导, 但在复平面内任何地方都不 解析.
例题3 f ( z ) = u + iv是区域D内的解析函数， 且 f ′( z ) ≠ 0
u ( x, y ) = C1 , v( x, y ) = C2 ( C1 , C2为任意常数 )
( ⇐ ) 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)∈ D 可微,
并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 于是
Δu = u x Δx + u y Δy + ε1Δx + ε 2 Δy Δv = vx Δx + v y Δy + ε 3Δx + ε 4 Δy
（Δx,Δy→0时,εk→0, (k=1,2,3,4)）
u x = 1, u y = 0 , v x = 0 , v y = − 1 ⇒ u x ≠ v y u y ≠ − v x
故 w = z 在复平面内处处不可导, 处处不解析；
2) 由w = z Re(z) = x2 + ixy, 得u = x2, v = xy, 所以
第2章复变函数与解析函数精品PPT课件
①在 z
(分母在 z 0
0不连为续0的)在两z个0 处函连数续f(z;)与g(z)的和,差,积,商
②若函数 hg(z)在点 z 0 处连续，函数 w f(h)
在 h0 g(z0连) 续，则复合函数 wf[g(z)]
在 z 0 处连续（证略）.
例3 求 lim z 1 zi z 2
解: 因为 z 1 在点zi 处连续，故 z2
注:连续的条件:
(1) 在z 0处有定义;
(2) z 0 处的极限值等于该点的函数值.
2)连续充要条件: 定理 函数 f(z) u (x ,y ) i(v x ,y ),在 z0 x0iy0 处连续的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 都 在点(x0, y0)处连续.
3)连续函数性质:
x2 y2
x2 y2
化为一个复变函数.
解 设 zxiy ，wuiv， 则 wuiv 2xiy x2 y2
将 x 1 (z z) ，y 1 (z z) 以及 x2 y2 zz 得 2 w312i (z0)
2z 2z
二.复变函数的极限与连续性 1.极限:
1)定义 设函数f(z) 在 z 0 的去心邻域内有定义，若对任
2. 可导与连续的关系
若函数wf(z)在点z 0 处可导，则 f (z)在点 z 0 处必
连续.反之不一定.
3.用定义求导的步骤 1)求增量比; 2)求增量比的极限.
例1 求 f ( z) z 2 的导数.
二.解析函数的概念及求导法则
1. 解析函数的定义
1) 点处解析: 如果f(z)不仅在点 z 0处可导,且在点 z 0 的某邻域内的处处可导,则称f(z)在点 z 0处解析;
3)运算法则:类似于实函数极限的运算法则. 例
复变函数1
数学物理方法
特 殊 函 数 篇
数 学 物 理 方 程 篇
复 变 函 数 篇
第一篇 复变函数论
复变函数论
微分 积分
傅里叶积分变换 拉普拉斯积分变换
柯西积分定理 柯西积分公式
留数定理 留数和定理
圆域内泰勒 级数 环 域内的 罗朗级数
《复变函数论》 主要内容
主要包括以下几方面的内容： 一、复变函数 二、复变函数的积分 三、幂级数展开 四、留数定理 五、傅里叶变换 六、拉普拉斯变换
x cos y sin
x2 y 2 y arctan x
复数的数学表达式： （1）代数式：z=x+iy (2) 三角式： z= cos i sin （3） 指数式：z= ei
0
y 虚轴
y
Z (x , y )
i (1 2 )
复数的商： z1 x1＋iy1 ( x1＋iy1 )( x2 -iy2 ) x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 = = +i 2 2 2 2 z2 x2＋iy2 ( x2＋iy2 )( x2 -iy2 ) x2 y2 x2 y2 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2
1 i ( e 2
1
2)
利用数学归纳法可以将上式推广到 n 个复数相 乘的三角形式与指数形式 z1 z2 zn rr2 rn [cos(1 2 n ) isin(1 2 n )] 1
2. 复数的三角表示 (1).复数的辐角 定义 辐角 辐角的主值 复数 z x i y对应的点 ( x, y ) 的极坐标为 r 和 ，当
实变函数与复变函数的异同
［ 关键词 ］ 极限 ； 基本初 等函数 ； 导数及其几何 意义 ； 积分； 零点； 级数 ； 中值定理 ［ 中图分类号 ］ Ｔ １ Ｍ１ ［ 文章标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １ ７— ０４ （０ ２ ０ —０４ ６ １５ ０ ２ １ ） １ ０ ４—０ ５
ｔｎ ｉｎｏ ｎ ｍｂ ｒｄ ｍ ｉ ｏ ｓ ｅ ｐｉ ｔ ｅｍａ ｅ ｔ ｒ ｎ ｈ ｓ ｕ ｈ ａ ：ｍ ｔ ｅ ｔ ｓ， ｉｅ ｅ ｔ ｑ ａ ｉｎ ， ｎ ｙ ｉ ｉ ｓ ｅｃ． Ｔｈ ｏ ｌ ｘｆ ｎ ｔ ｎ ｅ ｓ ｆ ｕ ｅ ｏ ｎｇ ｅ ｅ ｏｔ ｔ ｍａｉ ｂ ａ ｃ ｅ ，ｓ ｃ ｓ ａ ｈ ｍａｉ ｄｆ ｒ ｎ ｉ ｅ ｕ ｔ ｓ ａ ａ ｓｓｓｔ ， ｔ ｏ ａ ｄ ｎ ｈ ｈ ｃ ｃ ｌ ａ ｏ ｌ ｕ ｅｃ ｍｐ ｅ ｃ ｉ ｕ ｏ ｐ ｔ ｍｐ ａ ｉ ｎ ｓｕ ｙｎ ｎ ｌｓｓｆ ｎ ｔ ｎ ｉ ｉｈ ｉ ｅ ｌ ａ ｔ ｎ ｓ ａ ｔ ｒ ｎｅ ｒ ｌｔｄ ｉ ｓ ａ ｆｉ ｄ ｐ ｎ ｅ ｔ Ｔ ｉ ｃ ｒ ｓ ｔ ｅｆ ｎ ａ ｎａ ｕ ｅ ｈ ｓｓｏ ｔ ｄ ｉ ｇ ａ ａｙ ｉ ｃｉ ｎｗｈ ｃ ｔ ｒ ａ ｒ ｄ ｆ ｅｐ ｒ ｅ ｉｔ ｒｅａｅ ｎ ｔ ｄ ｏ ｅ ｅ ｄ ｎ ． ｈ ｓｆ ｔ ｕ ｏ ｓ ｐ ａ ｌ ａ ａ ｅ ｎ ａ ｍａ ｋ ｄ ｍｅ ｔ ｌ ｈ ｕ ｄｓ ｎ ｔ ｎｂ ｔ ｅ ｅａ ａ ｙ ｉ ｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｄ ｔｅｒ ａ ｕ ｃ ｉｎ Ｓ ｍｅｎ ｔ ｎ ｍｂ ｄ ｅ ｎｒ ａ ｎ ｔ ｎｃ ｕｄ ｂ ｓ ｄ ｔ ｏｖ ｏ ｌ ｘｆ ｎ ｔ ｎ ｑ ｅ ｔ ｎ ， ｉ ｃ ｉ ｅｗｅ ｎｔ ｎ ｓ ｓ ｕ ｃｉ ｎ ｈ ｌ ｆ ｎ ｔ ． ｏ ｏ ｉ ｓｅ ｅ ｄ ｉ ｌ ｆ ｃｉ ｏ ｌ ｅｕ ｅ ｓ ｌ ｅｃ ｍｐ ｅ ｃｉ ｕ ｓｉ ｓ ｉ ｔ ｏ ｈ ｌ ｏ ｅ ｏ ｏ ｄ ｅ ｕ ｏ ｏ ｕ ｏ ｏ
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数是数学中一个非常重要的分支，也是其它自然科学中涉及到复数的问题所必须掌握的基础知识。
它的研究对象是由复变量组成的函数，在复平面上有非常丰富的性质和应用。
解析函数是复变函数中的一个重要概念，是指在某个区域内可导的复变函数，它在物理、工程、数学等领域中有着广泛的应用。
一、复变函数基础复数包含实数和虚数两个部分，即 $z=a+b i$，其中 $a$ 和$b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复平面可使用一个点 $(a,b)$ 表示一个复数 $z=a+b i$，其中向上为正方向，向右为正方向。
我们可以将复平面分为实轴和虚轴两部分，实轴上的点是实数 $a$，虚轴上的点是复数 $b i$。
对于一个复变量 $z=x+y i$，可以分别表示为实部 $x$ 和虚部$y$，即 $x=Re(z), y=Im(z)$。
其中，共轭复数（conjugate complex）的实部不变、虚部相反，即 $z^* = x - yi$。
绝对值定义为模长（modulus）或者复数的模数（magnitude）：$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$。
表示复数 $z$ 在复平面上到原点的距离。
二、复变函数的概念在实数域上，函数是由一个或多个自变量构成的表达式或规则，对应一个或多个因变量。
像$y=f(x)$ 这样的表达式就是一个函数。
在复数域上，一个函数 $f(z)$ 由一个复变量 $z=x+y i$ 构成，可看作 $(x,y)$ 上的某种标量函数。
即对于 $x,y \in \mathbb{R}$，$z=x+y i \in \mathbb{C}$，$f(z)$ 可以表示为$f(x+yi)=u(x,y)+v(x,y)i$ 的形式，其中 $u(x,y)$ 和 $v(x,y)$ 是实函数。
我们可以把 $\mathbb{C}$ 中的点 $z$ 对应到复平面上，把点$z$ 对应的函数值 $f(z)$，对应到复平面上的另一个点 $w$。
复变函数与实变函数的区别与联系
复变函数与实变函数的区别与联系
复变函数与实变函数的区别主要在于定义域和值域的不同。
1. 定义域：实变函数的定义域是实数集，而复变函数的定义域是复数集。
2. 值域：实变函数的值域也是实数集，而复变函数的值域是复数集。
3. 解析性：复变函数具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，因
此可以进行复数的微积分运算，如导数和积分。
而实变函数不一定具有解析性，例如绝对值函数的导数在某些点处是不存在的。
联系：
1. 实变函数是复变函数的一种特殊情况，即定义域和值域都是实数集的复变函数就是实变函数。
2. 复数集可以看作是实数集的扩充，因此复变函数可以看作是实变函数在复数集上的推广。
3. 实变函数与复变函数在函数的取值和性质上有很多相似之处，例如连续性、可微性和可积性等。
总之，复变函数是对实变函数的推广，通过引入复数，可以更加广泛地描述和研究数学问题。
复变函数和实变函数的比较
复变函数和实变函数的比较数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，复变函数着重讨论解析函数，而解析函数的实部和虚部是相互联系的，这与实变函数有根本的区别。
从某种意义上来说，实函数可以看作复函数的特例。
有关实函数的一些概念，很多都可以推广到复函数上来。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展开式、基本初等函数等。
但是，由于复数域的特殊性，又给这些概念赋予了新的特性。
下面我将选取几个方面粗略地比较实变函数和复变函数的异同。
一、复变函数和实变函数的定义复变函数的定义从文字叙述上看与实变函数的定义几乎是一样的。
复变函数的定义为：设A 是一个复数集,如果对A 中的任一复数z ，通过一个确定的规则f 有唯一的或若干个复数w 与之对应，就说在复数集A 上定义了一个复变函数，记为w =f(z)。
而实变函数的定义为：设A 是一个实数集,如果对A 中的任一实数x ，通过一个确定的规则f 有唯一的实数y 与之对应，就说在实数集A 上定义了一个实变函数，记为y =f(x)。
二者定义虽然从文字上看类似，但是具体的对应形式发生了根本变化，简单来说就是，实变函数可以看成是把一维实数区间映射成一维实数区间的函数，而复变函数则是把二维平面区域映射成二维平面区域的函数，如下图所示。
二、复变函数和实变函数极限过程对比复变函数在某一点的极限定义为：设函数w =f(z)在点z 0的某一去心邻域U(z 0)内有定义，A 为一复常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|z −z 0|<δ （即z ∈U(z 0)）时，都有|f (z )−A |<ε（即f (z )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (z )当z →z 0时的极限，记作lim z→z 0f (z )=A ，或f (z )→A （z →z 0）。
而实变函数在某一点的极限定义为：w1w2z2z1设函数y =f(x)在点x 0的某一去心邻域U(x 0)内有定义，A 为一实常数，若任给ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x −x 0|<δ （即x ∈U(x 0)）时，都有|f (x )−A |<ε（即f (x )∈U(A,ε)）成立，则称A 为函数f (x )当x →x 时的极限，记作lim x→x 0f (x )=A ，或f (x )→A （x →x 0）。
实变函数与复变函数的关系
实变函数与复变函数的关系实变函数和复变函数是数学分析中的重要概念。
实变函数是指定义域和值域都是实数的函数，而复变函数是指定义域和值域都是复数的函数。
实变函数与复变函数之间存在一些联系和区别，下面将对它们的关系进行探讨。
一、实变函数的定义与性质实变函数是大家在高中数学中就已经接触到的概念，它是指一个函数的定义域和值域都是实数。
例如，函数f(x)=x²就是一个实变函数。
实变函数有其特定的性质，包括连续性、可导性、积分性等等。
1. 连续性：实变函数在定义域上可以连续或不连续。
连续函数指函数在其定义域上没有间断点，即在任一点x处的极限值等于函数在x处的函数值。
例如，f(x)=sin(x)是一个连续函数。
2. 可导性：实变函数的可导性是指其在定义域上的导数存在。
导数是函数在某一点处的切线斜率，也可用于判断函数的变化趋势。
例如，f(x)=x³是一个可导函数。
3. 积分性：实变函数的积分性是指其在定义域上存在定积分。
定积分是通过确定函数在给定区间上的面积大小来定义的。
例如，f(x)=2x在区间[0, 1]上的定积分为1。
二、复变函数的定义与性质复变函数是指一个函数的定义域和值域都是复数。
复变函数可以分为复平面上的全纯函数和调和函数两类。
全纯函数是指在其定义域上可导的复函数，调和函数是指其实部和虚部都是调和函数的复函数。
1. 全纯函数：全纯函数在复平面上处处可导，且导数连续。
全纯函数的定义和实变函数的可导性类似，但复数的导数计算需满足柯西-黎曼方程。
例如，f(z)=e^z是一个全纯函数。
2. 调和函数：调和函数是指其实部和虚部都是调和函数的复函数。
调和函数在物理、电磁场等领域有重要应用。
例如，f(z)=z+1/z是一个调和函数。
三、实变函数与复变函数的关系实变函数与复变函数之间存在一定的联系和区别。
1. 复变函数包含实变函数：复变函数是实变函数的超集，即实变函数是复变函数的一种特殊情况。
实变函数只考虑实数域上的函数，而复变函数在实数域上也成立。
复变函数第二章 解析函数
f (z)在点z0处可导, 称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw 记作 f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
记作 z f 1 ( w ) 当反函数单值时z f 1 [ f ( z )] z E 一般z f 1[ f ( z )]) (
当 函数(映 射)w f ( z )和 其反 函数 逆 映射) ( z ( w )都 是单 值的 ， 则 称函 数 射)w f ( z ) (映 是 一一 对应 的。
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f w G ( w平面）的映射变换). (z) (
定义域 y
值域
称w为z的象，而 称为w的原象。 z
(z)
w=f(z) v
(w)
G
z
o
E
w=f(z)
w
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
z z0 z z0
f ( z ) lim f ( z ) A z z0 lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0 B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 .
( z z )2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2z .
复变函数积分与实函数积分的区别与联系
复变函数积分与实函数积分的区别与联系作者：潘安香来源：《科学导报·学术》2019年第16期摘要：本文从复变函数的定义出发，讨论了复变函数积分与实函数积分的联系与区别，讨论了彼此的性质以及复变函数解决实函数不能解决的问题，从而进一步弄清他们的区别。
关键词：复变函数;实函数;积分;2.实函数定积分的定义与复变函数定积分的定义的区别与联系我们知道无论是在实函数积分中还是在复变函数积分中，定积分都具有十分重要的意义。
定积分的思想广泛应用于各个领域，我们要深刻理解了定积分的思想，掌握定积分的定义将是非常关键的过程。
下面将会对定积分的定义进行研究。
4.总结数域从实数域拓展到了复数域，实数学分析积分中存在着许多性质。
由于复变函数的积分與实二元线性积分非常类似，因此，实数学分析中的积分的许多性质都可以不加推广的直接运用到复变函数的积分中来，但并不是实数学分析中的积分的性质都可以不加改变的运用到复变函数的积分中来。
复变函数的积分不仅可以解决复变函数中的计算问题，同时也能够解决实函数积分能解决或不能解决的许多问题。
本文通过比较复变函数的积分与是函数积分的区别与联系，一方面让我们进一步明白复变函数与实函数类似的地方。
另一方面又能让我们进一步掌握他们的不同之处，这样我们能够更清楚的弄清复变函数的积分理论，对今后的学习或是生产生活都有很大的帮助。
积分学广泛的应用于其他学科中，只有掌握好了积分学理论才能够很好的把积分学应用于其它学科。
研究复变函数积分与实函数积分的区别与联系，有助于我们更进一步的掌握复变函数和实函数的积分理论。
因此研究复变函数积分与实函数积分的区别与联系具有十分重要的意义。
参考文献：[1] 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社.1962.[2] 刘玉琏，傅沛仁，刘宁.数学分析讲义（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2003.[3] 孙清华，孙昊.复变函数[M].武汉：华中科技大学出版社.2003.（作者单位：叙州区凤仪乡初级中学校）。
1复变函数知识点梳理
第一章：复数与复变函数
这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念，大部分内容与实变函数近似，不难理解。
一、复数及其表示法
介绍复数和几种新的表示方法，其实就是把表示形式变来变去，方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算
高中知识，加减乘除，乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形
就是把实数替换成复数，因为复数的性质，所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面
将复平面上的点，一一映射到球面上，意义是扩充了复数域和复平面，就是多了一个无穷远点，现在还不知道有什么意义，猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数
不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标，复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标，所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性
与实变函数的极限、连续性相同。
复变函数解析函数和调和函数的关系
得 u [e x (cos y ysin y x cos y) 1]dx
9
u e x ( x cos y ysin y) x g( y), 由 v u , 得
x y e x ( ycos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y ycos y sin y) g( y), 故 g( y) y c, 于是 u e x ( x cos y ysin y) x y c,
10
f (z) u iv xe xeiy iye xeiy x(1 i) iy(1 i) c zez (1 i)z c, 由 f (0) 0, 得 c 0, 所求解析函数为 f (z) zez (1 i)z.
x y y x 两个调和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数. f (z) u iv 为 D内的一个解析函数的充要条件是 虚部为实部的共轭调和函数.
5
3. 偏积分法
如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用 柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而 构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为偏积分法.
例1 证明 u( x, y) y3 3x2 y 为调和函数, 并求
其共轭调和函数v(x, y) 和由它们构成的解析函
数.
解
因为 u 6xy, x
2u x 2
6
y,
u 3 y2 3x2 , y
2u y2
6
y,
6
于是
2u x 2
2u y2
0,
故 u( x, y) 为调和函数.
复变函数与解析函数
复变函数与解析函数复变函数与解析函数专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。
1、基本概念1、复数指数表示：宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。
若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。
做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。
设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。
当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。
2、复变函数领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。
区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。
则我们称D为区域。
单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。
复变函数：以复数为自变量的函数。
记则：所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。
它给出了z平面到w 平面的映射或变换。
复变函数的连续性：如果则称在处连续。
3、解析函数复变函数的导数：复变函数定义在区域D上，，如果极限存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作：解析函数：若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。
奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。
Cauchy-Riemann条件（CR条件）此为f(z)在z点可微的必要条件。
充要条件：（1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。
（2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。
复变函数课件2-1解析函数的概念
f ( z ) lim
f (z z) f (z) z
z 0
lim
(z z) z
2
2
z 0
z
lim ( 2 z z ) 2 z .
z 0
2 ( z ) 2z
4
例3 问 f ( z ) x 2 yi 是否可导？ 解
lim f z lim f (z z) f (z) z
f ( z 0 ) z 称为函数 记作
w f ( z ) 在点 z 0 的微分 ,
dw f ( z 0 ) z .
11
如果函数在 在 z 0 可微 .
z 0 的微分存在
, 则称函数
f (z)
特别地,
当 f (z) z 时 ,
d w d z f ( z 0 ) z z ,
(1 ) (2) ( c ) 0 , 其中 c 为复常数 .
n ( z ) nz n 1
,
其中 n 为正整数 .
9
(3) (4)
f (z)
g ( z ) f ( z ) g ( z ). f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ).
z 0
lim f ( z 0 z ) f ( z 0 ) ,
即 f ( z ) 在 z 0 连续 .
[证毕]
8
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则:
复变函数与实变函数的相同与不同联系与区别-数学物理方法
——北方工大
目录
• 1、复变函数与实变函数特点的比较 • 2、复变函数与实变函数的联系与区别
1、复变函数与实变函数特点比较
• 1.1、相同点 • 1.2、不同点
一、复变函数与实变函数特点比较
实变函数：以实数作为自变量的函数叫实变 函数，它是微积分学的进一步发展，基础 是点集论（点集论是专门研究点所成的集 合的性质的理论）。当然它与古典数学也 有差别。
2.1、联系
实变函数有序组合可以这样表示复函： w f (z) u(x, y) iv(x, y) • 显然，一个复变函数是两个许多定义、公式、定 理可直接移植到复变函数中。 • 举例（文献），以二元实函为例，从连续性、可 导性、可微性、解析性方面说明了两者之间的联 系；以Green公式说明两者的紧密相联；以复变 函数、实变函数的定理巧妙解决相互之间的问题 说明两者联系。
复变函数：主要研究定义域为复数的函数的 微积分以及幂级数展开等性质 。
1.1、相同点
• 首先，复变函数和实变函数研究的主体都 是函数； • 其次，复变函数和实变函数研究的主线都 是：变量、函数、极限、导数、级数、积 分； • 第三，对复都是传统的数学方法。
2.2、区别
2函数连续但不可导在分析中找一个处处连续 而一点不可导的例子是很困难的，而在复 变函数中这样的例子很多 ； 3关于对数：在实数范围内，负数不能取对数， 而在复数范围内，任一个非零复数都有无 穷多个对数，负数只是没有实对数 ； 4关于ROLL定理：一元实函数中的ROLL定理 不能直接推广到复数域中来 ；
• 一些初等函数的值域、周期性、算法（尤 其积分）有很大区别；
2、复变函数实变函数的联系与区别
2.1、联系 2.2、区别
第一章. 复变函数和解析函数
《数学物理方法》电子教案李高翔吴少平第一篇复变函数导论第1章复变函数和解析函数思考：复变函数和实变函数的区别和联系。
实变函数：实变量的函数。
例：x,y—实变量；f(x,y) —实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。
实数→实变量→实变函数复数→复变量→复变函数1.1 复数 （复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数在实数范围内：方程 当时，没有实根。
→扩大数域，引进复数2=++c bx ax 042<−=Δac b一、复数的定义和基本概念1.定义：复数——形如z=x+iy的数（x,y为实数，21i=−，i：虚数单位）2.基本概念：x=ReZ（实部） y=Im Z（虚部）纯虚数，共轭复数（z，z*）,复数相等二、复数的表示方法1.复平面(1)直角坐标表示：在坐标平面xoy上，用点(x,y)表示复数z=x+iy→平面上的点(x,y)与复数z=x+iy一一对应。
全体复数布满整个平面——复平面（或z平面）2.复球面复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。
方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过o 作复 平面的垂线交球面于N 点（北极点），作射线NP 交球面于P’ 点，交复平面于P 点，可知P’与P 对应，所以以o 为圆心的圆L 上的点与复球面纬线L’上的点相对应，圆L 内部的点与L’下方的点对应。
圆L 的半径 ，L’趋向球顶缩成一点N →复平面的无限远处对应于球面上的一点N这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。
∞→ρ三、复数的运算规则由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。
设 1Z =11x +iy 2Z 22=（x +iy ）,则：以下的交换律、结合律、分配律成立1221Z Z Z Z +=+ (加法交换律)1221Z Z Z Z = (乘法交换律)123123()()Z Z Z Z Z Z ++=++ (加法结合律)123123()()Z Z Z Z Z Z = (乘法结合律)1231323()Z Z Z Z Z Z Z +=+ (分配律)1.2 复变函数 复变函数的极限与连续一、区域关于区域严格定义所涉及到的概念：1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足|z-a|<ε的点的集合。
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复变函数与实变函数的联系与区别华中师范大学物理学院2008213421 路丽珍摘要：数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当时，没有实根。
→扩大数域，引进复数，由实变函数学习到复变函数，它们有着紧密的联系，也有着巨大的区别。
关键词：复变函数实变函数联系与区别正文：在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间，我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。
由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→…在实数范围内：方程当时，没有实根。
→扩大数域，引进复数”。
这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，他们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
1.自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。
以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。
2.实变函数与复变函数的联系区别（1）因为z=x+yi,所以复变函数y=f(z)的实部与虚部都是x,y的函数，即w= f(z)=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。
这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。
然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。
（2）对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。
然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。
实分析（实变函数）与复分析（复变函数）(2010-10-02 13:47:52)/s/blog_4b700c4c0100m95r.html实分析实分析或实数分析是处理实数及实函数的数学分析。
专门研究数列，数列极限，微分，积分及函数序列，以及实函数的连续性，光滑性以及其他相关性质。
实分析常以基础集合论，函数概念定义等等开始。
实变函数以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
所谓点集论，就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
产生微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。
也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。
以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。
十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。
这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。
人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。
比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？……上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
内容以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。
由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。
什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。
测度的概念对于实变函数论十分重要。
集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。
1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。
波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。
勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。
无界函数勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。
从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。
也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。
这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。
什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。
如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。
逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。
和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。
图书信息书名: 实变函数作者：张建平，丘京辉出版社：东南大学出版社出版时间： 2009-5-1 ISBN: 9787564115340 开本： 16开定价: 18.00元内容简介本书在n维欧氏空间中建立Lebesgue测度和积分的理论，突出体现实变函数的基本思想。
全书包括：集合、点集、Lebesgue测度、可测函数、Lebesgue 积分、微分与不定积分、Lp空间共七章。
每一小节讲述概念、定理与例题后，均附有精心挑选的配套基本习题，每一章后均附有整整一节的例题选讲，介绍实变函数解题的各种典型方法与重要技巧，每一章后还列出大量的习题供读者去研究与探索。
本书可作为高等院校数学专业的教材，也可供相关专业人员参考。
图书目录1 集合 1.1 集合及其运算 1.2 映射 1.3 对等与基数1.4 可数集 1.5 连续基数 1.6 例题选讲习题一 2 点集2.1 n维欧氏空间 2.2 开集与内点 2.3 闭集与极限点 2.4 闭集套定理与覆盖定理 2.5 函数连续性 2.6 点集间的距离 2.7 Cantor集 2.8 稠密性 2.9 例题选讲习题二 3 Lebesgue测度3.1 广义实数集 3.2 外测度 3.3 可测集 3.4 可测集类3.5 不可测集 3.6 例题选讲习题三 4 可测函数4.1 可测函数的定义及性质 4.2 Egoroff（叶果洛夫）定理 4.3 依测度收敛性4.4 Lusin（鲁津）定理 4.5 例题选讲习题四 5 Lebesgue积分5.1 非负可测简单函数的积分 5.2 非负可测函数的积分 5.3 一般可测函数的积分 5.4 控制收敛定理 5.5 可积函数与连续函数 5.6 Lebesgue积分与Riemann积分 5.7 重积分与累次积分 5.8 例题选讲习题五 6 微分与不定积分 6.1 单调函数的可微性 6.2 有界变差函数 6.3 不定积分的微分 6.4 绝对连续函数 6.5 例题选讲习题六7 Lp空间7.1 Lp空间的定义与有关不等式7.2 Lp空间（1≤p≤∞）的完备性7.3 Lp空间（1≤p＜∞）的可分性7.4 例题选讲习题七复分析复分析是研究复函数，特别是亚纯函数和复解析函数的数学理论。
这些函数定义在复平面上，其值为复数，而且可微。
复函数的可微性有比实函数的可微性更强的性质。
例如：每一个正则函数在其定义域中的每个开圆盘都可以幂级数来表示：。
特别地，全纯函数都是无限次可微的，这性质对实可微函数而言普遍不成立。
大部分初等函数（多项式、指数函数、三角函数）都是全纯函数。
复变函数以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。
解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。
起源复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。
在很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。
发展简况复变函数论产生于十八世纪。
1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。
而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。
因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。
到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。
复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。