压电元件导纳圆的测量

2
g i
R i R i 2
L i
C i
压电元件导纳圆的测量
【实验目的】
1、 测量压电元件的导纳，即测量阻抗，可提供该元件与所在电路之间的阻抗匹配数据;
2、 通过测量压电元件或压电换能器的导纳圆可以得到其发射效率；
3、 学习利用示波器测量交流阻抗的方法
【实验原理】
一、压电效应和压电兀件
对某些电介质晶体施加机械应力时，晶体因部正负电荷中心发生相对位移而产生极化，导致 晶体两端面上出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与应力成正比。

这种没有电场作用，由机械 应力的作用而使电介质晶体产生极化并形成晶体表面电荷的现象称为压电效应。

当机械应力由压 应力变成拉应力时，电荷符号也改变。

与以上情况相反，将具有压电效应的电介质晶体置于电场中，电场的作用引起电介质部正负 电荷中心产生相对位移，而这一位移又导致介质晶体发生形变，晶体的这种由外加电场产生形变 的现象称为逆压电效应。

晶体形变的大小与外加电场强度成正比，当电场反向时，形变也改变符 号。

凡具有压电效应的晶体成为压电晶体。

现代技术中，常用压电瓷制成压电元件，它具有很强 的压电性能。

二、压电元件的等效电路
下面我们用交流电路的复数符号法来进行研究。

电路的总阻抗
Z = U/I ，电路的总导纳
g i 为动态电导，b 为动态电纳。

由式（3）可得
Y 丄 lo i 0 11
y o
U U U U y o
j C o
jb o
式中b o 称为静态电纳，
为U 的角频率。

y i
ii U
R i j L i
1 j C i
g i jb i
(3)
y i (i )
(2)
压电元件的等效电路
将式（2）、（4）、（ 5）代入式（1）得
1/2R,0，半径为1/2R 1的一个圆，如图2所示。

即第的相矢终端为一个圆，如图中的
ABDE。

由式（8）可知，当b = 0时，方程的解只有 g 1或g 1 1 R ,而压电元件在共振频率振动时 总、要
有损耗或辐射能量，即
g 1 0 ,所以只有g 1 1 R 1存在。

此时式（4）
即 s 1 .. L 1C 1。

因此图上1 R,0点的频率即是 s
,称为串联共
振频率或机械共振频率。

g 1
R 1 R 12
b 2
R 2
2 g
1
2 g
1
91
b 12
(7)
R 1
将上式配方可得到方程
2
2
1 .2
1
g 1
bi
(8)
2R
2R
如果取横坐标表示电导
b l
C i R 2
2
1 C i
(5)
R 2
L i
2
C i
C o
R 12
现在分析一下动态导纳
y 1和总导纳随频率变化的情况。

由式（ 1
C i
2
C 1
4）和（5） 二式化简得
g 1，纵坐标表示电纳jb 1，当U 的频率改变时，式（8）代表圆心O 1在 1
导纳圆图
当压电元件品质因素Q m（参看式（12））较高时，y1相矢终端旋转一周时，圆上各点的频率
11
变化相对共振频率 s 并不大，故可近似认为
y 保持一常数： y j s C 。

于是将y 的ABDE 圆
沿纵轴上移 s C o ，便得到该电压元件总导纳 丫的相矢终端随频率变化的轨迹圆（图上以 o 为圆
心的轨迹圆），即所谓的导纳圆。

如果能通过实验测量导纳圆图，即可求得等效电路上各元件的数值。

H 点的频率即为机械共
振频率。

R-i
（ 9）
D
D 为导纳圆直径，过圆心 O 作平行于电纳轴的直线交圆于
F -、F 2，设其频率为f -、 f 2。

由这
两点的坐标值g 1、b 及g 2、可得
(10)
AC ------- C o
，AC 为图上AC 长度对应的b 1值。

s
还可求得机械品质因素
三、测量电路及测量仪器
测量线路如图，E 为函数信号发生器, 膜电
阻），取值尽量小一些。

用示波器测得 的总阻抗或总导纳。

1
1 L 1
s C 1 R
R 1
； C1
（1
2）
总导纳Y g jb
总导纳Y 的模| 丫 |
U 1
U UR
跟跨示滾器
S57802
C 1
1
1 2L 1
（11）
P 为被测压电元件，R 为无感电阻（一般用金属膜或碳 U,
U ,及U 与U 之间的相位差0,即可求得压电元件
总电纳b |Y|sin
bsin 2
(i3)
UR T
在压电元件的某一共振频率附近改变信号频率，测得若干组 g 、b ,即可得到测量的导纳圆。

由于测量时，电路中加入了采样小电阻
R,于是图压电元件的等效电路参量可替换为
R
一），因此公式（9）、式（i0）和O 将修正为
R i
四、补充容：用示波器研究互感耦合电路的特性
如图所示的互感电路中，原边线圈（自感为
L i ,线圈电阻为 R i ）
和副边线圈（自感为 L 2）之间通过互感 M 联系在一起组成耦合电路， 副边回路的电阻为 R ,它是线圈导线电阻和外接电阻之和。

原、副边 回路的微分方程如下：
电压得出。

从微分方程组求 U i 的稳态解可得:
总电导g | Y | cos
U i 2 cos -
UR T
L i 、C i 、
(R+R )和 C o /(1
R i R 1/D (14)
L i
R R i
(15)
C 0
AC R
"7（i
R ，而C 和'形式不变。

u i Ri i
吩
dt
M d
dt
设原边电流为i i I im sin t
i
的峰值,
i i 可由测R 上的
U i (R i
R i )I im Sin t (L i L i )I im cos t (Bi )
2 2 2 2
M R 2
1 M L 2
式中
R i
二 ------ ，L i
孑 ----- 苛 (B 2) L
R L
R ； 从以上两式可见，副边回路对原边的影响可等效为原边电阻增加△
原边等效电路见上图。

当
艮=汽 即副边开路时，△ 尺和厶L i 均为0 ;当3
R
达极大值 R ,同时电感减少△ L i , 一
定，且 F 2=3 L 2时，△
R i max
—.
2L 2
匚B3)
【实验容】
1、熟悉函数信号发生器面板上各旋钮的功能。

将信号输出直接接至示波器， 用示波器观察不同频
率、不同幅度、不同波形的信号。

2、 在压电元件的某一共振频率附近，缓慢改变信号频率，定性观察电压
U 、U i 的大小及这两个 电压的
相位差变化情况，做简单记录。

3、 测导纳圆。

在非共振频率处，U 取峰峰值约10V 。

在共振最明显处的一共振频率附近调节频率， 从小于共振频率
调到大于共振频率，测量每一频率下的
f , U 、U i 、T ，由此算出
g , b ,画导 纳圆。

4、 从g-f 图上查出F i 、F 2点的频率f i 、f 2，算出R i 、L i 、C i 及Q m 。

5、 研究副边电阻R 2改变时原边等效电阻增量△
R 的变化。

按图3.I3.I 接线，可由下式求得等效 电阻：
由于示波器各通道的输入端“地”在机已短接，因此式（
B4）变为
(R i
u t u Rm u t
R 1) -
R (―L
1)R
(B 5)
U Rm
U Rm
6、研究当3—定时AL
1
随R 2的变化关系。

【实验数据】
小电阻R=3.01 Q,盒号24;
1、观察U 、U i 的大小及这两个电压的相位差变化。

总结如下表:
2、测导纳圆。

f=141.62kHz,周期T=1/f=7.06115卩s, T/4=1.7653卩s,所以 圆心角等差取值围: [-1.7653 , 1.7653] （卩 S ）。

(R i R i )匹出R
I im u
Rm
(B 4)
140.56 8.225 0.255 1.52 3 140.97 6.925 0.309 1.28 4 141.25 5.675 0.341 1.04 5 141.42 4.950 0.353 0.80 6 141.55 4.550 0.357 0.56 7 141.69 4.300 0.358 0.32 8 141.88 4.350 0.354 -0.16 9 142.06 4.675 0.346 -0.40 10 142.23 5.075 0.331 -0.64 11 142.42
5.850
0.306
-0.88 12
142.87 6.825 0.261
-1.12
g b,
从g-f 图上可查出,
f 1= 141.3kHz 圆心坐标为
该圆直径 可算出：
(141.83-141.62)/141.62=0.71%,误差很小。

3、副边电阻R 2改变时原边等效电阻增量△
R 1的变化 M =0.978 ± 0.010 mH 1_1=1.058 ± 0.005 mH
f 2=142.36kHz
(14.013，1.706)ms D = 28.026ms
28.026 10 3
3.01 32.67
L i
1
5.3574 mH
2 28.026 10
142.36 141.3
-301
2.09 109
F
32.67
、141.3 142.36 106
141.83 kHz
C o
Q m
L 2=1.054 ± 0.005 mH R=15.0 Q f=5.027
0.001 kHz
R 2 / U Rm N U t /V R 1 R / R/ 0 2.06 3.08 7.427 3.406 10 1.85 3.74 15.324 11.303 20 1.76 4.04 19.432 15.411 30 1.71 4.02 20.263 16.242 40 1.72 3.86 18.663 14.642 50 1.72 3.78 17.965 13.944 60 1.74 3.66 16.552 12.531 70 1.76 3.52 15.000 10.979 80 1.77 3.34 13.305 9.284 90 1.78 3.40 13.652 9.631 100
1.79 3.38 13.324 9.303 OO
1.94
2.46
4.021
R 2i
R 2=80 Q 的点数据有问题，由整个图像可知，此点数值应比后两点大，呈递减趋势。

R 2/Q
△ R /Q
T-蔡列i
4、当3—定时AL 1随R2的变化关系。

M =0.978 ± 0.010 mH
L i=1.058 ± 0.005 mH
L2=1.054 ± 0.005 mH
R=15.0 Q
f=4.988 0.001 kHz
w=2 n f=31.3418 kHz
【思考题】
1、 什么是压电元件的共振？如何判断共振？
答：由于压电元件的压电效应这一特性，在外电场作用下，会发生形变。

这可以类比我们在力学 中常见的振动模型。

一个振动系统在外加策动力作用下受迫振动，当外加策动力频率与系统固有 频率相等时，就会产生共振。

振子在此时的振幅最大。

与此类似，压电元件也有一个振动的固有 频率。

当外加电场的频率与其相等时，该元件的振幅便达到最大。

此即为压电元件的共振。

判断压电元件的共振可从其等效电路入手，当外加电压频率
达到某一特定值时，该电路
RLC 支路产生串联谐振。

此时，
L i 、C i 上的电压为0,全部电压落在 R i 上，则此时的频率即为压
电元件的共振频率。

由此可见，此时
R i 上电压的相位应与外加电压的相位相同。

所以我们可以借
助示波器，当观察到电源输出的电压 U 与R 两端电压U |相位相同时，就可以判断此时压电元件处 于共振状态。

2、 从示波器屏幕上 U I 与U 两波形出现先后的时间关系，如何确定式（ i3）中 的正负？
答：由b|
C i
------- 2可知：
2
i R R i
L i
C i
当 > s （即U 领先U I ）
时， b<0 ;当 < s （即 U I 领先 U ）时，b<0。

3、当b
C o 与i. R i 相比足够小时，导纳圆图中两个圆将几乎重合。

在这种情况下，如果实验中
所以当 > s （即u 领先U I ）时,
<0 ;当 < s （即U I 领先U ）时, <0。

△Li/mH
从s起减小（或增加）频率时使式（13）中的U I与U的时间差为一等差级数，则得到的实
验点将均匀分别在导纳圆上。

试论证上述结论。

（实验时，不要从共振频率s开始测量，而是使
频率从小到大依次测量。

）
答：U I与U的周期不变且相等，记为T,则U I与U的相差为/T。

又因为压电元件与电阻R串
联，故有I p I R I总。

所以有U I I R R，U I总丄，从而jb
U I I R R jbg jb
U I
总1 jb gl总g
于是有jb与g之间的相差为/T。

所以当为一等差级数时，/T也为一等差级数。

又易知
2 jb，此时也为一等差级数，从而使测量点均匀分别在导纳圆上。

4、测量线路图中R取值应怎样考虑？R取大了有何问题？
答：R在测量允许精度应越小越好。

因为若R取大了导纳圆图像中圆心将不能再认为在g轴上。

此时如果仍然按等差级数取，则实验点将不能均匀地分布在导纳圆上，这会导致实验结果的误
差。

另外，若R取值过大，由R i 1 D R，当R偏大时，会使R偏小，从而使R i的测量结果不精确。

但R也不可过小，否则会使U I过小。

从而降低了测量的精度。

【总结】
本次实验总体来说比较简单，有几个重点，示波器的使用一定要熟悉，特别是测时间，电压的操作；测导纳圆时要算好时间差，以测得均匀的点，便于画图；选做实验要注意两个电压的意义以及测量选取方法；另外，选做的两个可以一次测量，事前应该通过推导了解到，我就是没想过这个问题，当晚没做完，只做了一组，周四上午补完。