一元二次方程根与系数的关系学案

一元二次方程根与系数的关系

1、知识准备

( 1 ) 一元二次方程的一般式：

（2）一元二次方程的解法：

（3）一元二次方程的求根公式：

2、探究1：完成下列表格

问题：你发现什么规律？

①用语言叙述你发现的规律；

②x 2+px +q =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。

探究2：完成下列表格

问题：上面发现的结论在这里成立吗？

请完善规律；

①用语言叙述发现的规律；

② ax 2+bx +c =0的两根1x ,2x 用式子表示你发现的规律。

3、利用求根公式推到根与系数的关系（韦达定理）

ax 2+bx +c =0的两根1x = , 2x =

12x x + 12.x x

= =

= =

= =

= =

注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________

活动1：典型例题

例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）x 2－6x －15=0 （2）3x 2+7x －9=0 （3）5x －1=4x 2

练习1：根据一元二次方程的根与系数的关系，不解方程，求下列方程的两根和与两根积：

（1）2310x x --= （2）22350x x +-= （3）

21203

x x -=

例2：已知方程2290x kx +-=的一个根是－3，求另一根及k 的值。

练习2：若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为

例3:已知α,β是方程x 2－3x －5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值 βα11)

1(+ 2

2)2(βα+ )3)(3)(2(++βα βα-)4(

练习3：错误辨析

已知关于x 的方程01)12(2

2=+-+x k x k 有实数根，请判断下列结论的正确 （1）当2

1=

k 时方程两根互为相反数（ ） （2）当0=k 时方程的根是1-=x （ ） （3）当1±=k 时方程两根互为倒数（ ） （4）当41≤k 时方程有实数根（ ） 例4:已知关于x 的方程3x 2－5x －2=0,且关于y 的方程的两根是x 方程的两根的平方,则关于y 的方程是__________

练习4：已知一元二次方程2x 2+3x-5=0，不解方程，求以该方程的两根的相反数为根的一元二次方程．

活动2：随堂训练

1．如果方程x 2+px+q=0

1

+1，那么p=_____，q=_____．

2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0的两个根分别为x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．

3．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______．

4．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么a βα

β+=_______．

5．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则12

11

x x +的值为___________.

6.已知一元二次方程3x 2-kx-1=•0•的一根为3,则该方程的另一根为_____，•k=_______．

7.已知一元二次方程的两根为

_______ ．

8．若方程x 2+6x+3a=0

-3，则a 的值为_______，方程的另一根为________．

9．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112

x

x x x +； （4）（x 1－x 2）2

．

10. 已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x

（1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(212

21=-+-+x x x x ，求m 的值。

活动3：课堂小结

一元二次方程的根与系数的关系：

【课后巩固】

1．已知方程032

=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是 。

2．如果一元二次方程2x -4x+2=0的两个根是1,2x x ，那么12x x += 。 3．已知x 1，x 2是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值是_________.

4．关于x 的方程x 2+px+q=0的根为x 1，x 2p=_______，q=________．

5．关于x 的一元二次方程x 2-（m 2-6）x-1=0的两根之和为2，则m=_________；•且两根分别为________．

6．若方程3x （kx-1）=x 2-1没有实数根，则k 的最小整数值是________．

7．如果关于x 的方程x 2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身，那么p 的值是（ ）

A ．1

B ．±1

C ．2

D ．±2

8．如果关于x 的方程（m-2）x 2-2（m-1）x+m=0只有一个实数根，那么方程mx 2-（m+2）x+（4-m ）=0的根的情况是（ ）

A ．没有实数根

B ．有两个相等的实数根

C ．有两个不相等的实数根

D ．只有一个实数根

9．以3和-2为根的一元二次方程是（ ）

A ．x 2+x-6=0

B ．x 2+x+6=0

C ．x 2-x-6=0

D ．x 2-x+6=0

10．已知方程2y 2+（m 2-2m-15）y+m=0的两根互为相反数，则m 的值为（ ）

A ．5

B ．-3

C ．5或-3

D ．不能确定

11．甲、乙两同学分别解同一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为-2和3，

乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ）

A ．x 2+2x-6=0

B ．x 2-2x+6=0

C ．x 2+2x+6=0

D ．x 2-2x-6=0

12．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x 2－8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）．

A ．5

B ．3

C ．

D ．9

13．两个不相等的实数m ，n 满足m 2－6m=4，n 2－6n=4，则mn 的值为( )

A. 6

B. －6

C. 4

D. －4

14．已知关于x 的一元二次方程2

10x kx +-=

⑴ 求证：方程有两个不相等的实数根：

⑵ 设的方程有两根分别为12,x x ,且满足1212x x x x +=⋅ 求k 的值

15．若关于x 的一元二次方程0342=-+-k x x 的两个实数根为1x 、2x ，且满足213x x =，试求出方程的两个实数根及k 的值.