盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型_吴斐

表达式，其表达式与 Abel 黏壶的表达式相一致，进一步比较发现该元件能反映蠕变曲线的非线性加速特征。通过引入该元 件建立了新的非线性蠕变本构模型。基于蠕变试验数据，对该模型进行了拟合分析。结果表明，非线性蠕变本构模型与试验 数据吻合的较好，并且能很好地反映全过程蠕变曲线的特征，尤其是非线性加速蠕变阶段。 关 键 词：岩石；非线性；分数阶导数；Abel 黏壶；蠕变模型；加速蠕变 文献标识码：A 中图分类号：TU 452
（1.四川大学 能源工程安全与灾害力学教育部重点实验室，成都 610065； 2. 四川大学 水利水电学院，成都 610065；3. 中国石油勘探开发研究院 廊坊分院，河北 廊坊 065007）
摘
要：在非牛顿流体黏滞阻尼元件的基础上提出了分数阶非线性黏壶元件。基于分数阶导数的定义，得到了该元件的理论
Abstract: On the basis of a non-Newton fluid viscous damping element, fractional nonlinear dashpot element has been presented.
Based on the definition of fractional derivatives, a theoretical expression for the element has been obtained. Its expression is consistent with that of the Abel dashpot. Through further comparison, it is found that the element can reflect the nonlinear acceleration characteristic of the creep curve. By introducing the element, new nonlinear creep constitutive model has been established. Based on the data from the creep experiments, fitting analysis has been conducted about the model. The results show that the nonlinear creep constitutive model agrees well with the data from the experiments and can clearly reflect the characteristics of the creep curves of the whole process, especially the nonlinear acceleration creep stage.
第 35 卷增刊 2 2014 年 10 月
文章编号：1000－7598 (2014)增 2－0162－06
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.35 Supp.2 Oct. 2014
盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型
吴 斐 1，刘建锋 1, 2，武志德 3，边 宇 2，周志威 2
增刊 2
吴
斐等：盐岩的分数阶非线性蠕变本构模型
163
数视为非定常值，曹树刚等[8]将组合元件模型中的 黏滞系数修正为时间的非线性函数，可以较好地反 映 3 阶段蠕变变形，尤其是非线性加速蠕变变形； 宋飞等[9]从可变黏滞系数入手，将黏滞系数看成应 力水平和时间的函数，建立了新的复合元件模型。 （3）采用内时理论、损伤断裂力学等理论建立的岩 石流变本构模型，陈沅江等[10]从内时理论出发，通 过在内蕴时间中引入牛顿时间，在 Helmholtz 自由 能中引入损伤变量，对它们分别进行重新构造，利 用连续介质不可逆热力学的基本原理推导了软岩的 内时流变本构方程。杨春和等[11]基于谢和平院士提 出岩石蠕变损伤力学模型，通过对盐岩蠕变试验研 究，分析了盐岩蠕变损伤的特点，给出一个反映盐 岩蠕变全过程的盐岩非线性蠕变本构方程。 Chan 等[12]应用连续介质损伤力学的方法，研究了损伤引 起的非弹性流动，并提出了盐岩蠕变损伤断裂多机 制藕合模型(MDCF)。Wang[13]通过引入损伤增速界 限理论，提出了一种可以描述盐岩加速蠕变阶段的 流变损伤模型。材料中一点的蠕变应变状态不仅与 该点同一瞬时的应力状态有关，还与该点在此时刻 以前的整个应力历史有关[14]，分数阶时间导数作为 一种描述各类复杂力学与物理行为的重要工具[15]， 其定义中的积分项充分地体现了系统函数发展的历 史依赖性。 Zhou 等[16－17]基于分数阶微积分理论， 在经典西原正夫模型的基础上，提出了基于分数阶 导数的盐岩流变模型，并且考虑到加速流变阶段细 微观尺度上的裂纹演化和损伤积累，引入了损伤变 量， 提出了变黏性系数的 Abel 黏壶， 可以更好地反 映盐岩流变的 3 阶段尤其是加速流变阶段。虽然基 于分数阶导数建立岩石蠕变本构模型的研究已有诸 多报道[15－19]， 但是关于分数阶非线性元件的研究还 鲜有文献涉及。 孙钧 [20] 在总结了岩石流变力学的进展之后也 指出了岩石非线性流变问题有待进一步深入研究。 鉴于此，笔者在前期研究工作的基础上，对分数阶 蠕变模型进行了不断改进和完善 [9]。本文提出了分 数阶非线性黏壶元件，并引入该元件建立了新的岩 石蠕变本构模型。进一步通过与盐岩的蠕变试验数 据拟合分析，检验本文所建模型的正确性。
－17]
，岩石蠕变本构模型一般可分为以下 4 类：
经验模型、组合元件模型、非线性蠕变模型和分数 阶导数蠕变模型。但是，经验模型和组合元件模型
收稿日期：2014-03-20 基金项目：国家自然科学基金（No. 51120145001 ，No. 51374148，No. 51104101)；中央高校基本科研业务费（No. 2014SCU04A07） 。 第一作者简介：吴斐，男，1989 年生，博士研究生，主要从事岩石力学与工程方面的研究工作。E-mail: wufei3616@163.com 通讯作者：刘建锋，男，1979 年生，博士、副教授，主要从事岩土工程方面的研究工作。E-mail: liujf@scu.edu.cn
如果将胡克定律改写为 (t )～d 0 (t ) / dt 0 ， 可以猜想 介于纯弹性体和牛顿流体之间的中间材料的本构关 系可能服从 (t )～d (t ) / dt ( 0≤ ≤1 )， 那么， Abel 黏壶的本构关系[21]为
d (t ) / dt ,
Fractional nonlinear creep constitutive model of salt rock
WU Fei1, Biblioteka BaiduIU Jian-feng1,2, WU Zhi-de3, BIAN Yu2, ZHOU Zhi-wei2
(1. Key Laboratory of Energy Engineering Safety and Disaster Mechanics of Ministry of Education, Sichuan University, Chengdu 610065, China; 2. College of Water Resources and Hydropower, Sichuan University, Chengdu 610065, China; 3. Langfang Branch, China Research Institute of Petroleum Exploration and Development, Langfang, Hebei 065007, China)
岩石流变力学把时间因素作为一个独立的参数 应用于岩石应力和应变关系中，探讨岩石应力、应 变关系及破坏随时间变化的基本规律 [1]，岩石蠕变 模型是岩石流变理论的重要组成部分。 在岩石工程中大量的失稳破坏现象都与岩石的 蠕变特性相关。近年来国内外诸多学者对岩石蠕变 现象进行了大量研究。岩石的蠕变本构模型种类繁 多[2
2
分数阶微积分
分数阶微积分的定义可参考文献 [21]。对于理
2.1 Abel 黏壶 想弹性体的应力-应变关系满足胡克定律： (t )～
(t ) ，牛顿流体满足牛顿定律： (t )～d (t ) / dt 。
1 1
164
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 2 4 t/d 6 8
岩
土
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学
2014 年
/%
= 0.3 = 0.7 = 0.9 = 1.3 = 1.5 = 1.7 = 1.9
E0
0，
1，
e
ve
vp
Fig.3
10
图 3 蠕变本构模型示意图 Sketch of creep constitutive model
Key words: rock; nonlinearity; fractional derivative; Abel dashpot; creep model; accelerating creep
1
引
言
往往都难以反映岩石的全过程蠕变曲线，尤其是非 线性加速蠕变阶段。基于此，近年来很多学者对岩 石蠕变非线性特性进行探索研究，使得基于非线性 蠕变模型的研究有了很大进展。目前对于岩石的非 线性蠕变模型的研究主要有 3 种途径[4]： （1）在组 合元件模型中引入非线性元件，如邓荣贵等[5]将非 线性牛顿体与传统的元件模型相结合，构成能反映 加速蠕变阶段的流变模型；徐卫亚等[6]提出了非线 性黏塑性体并与五元件线性黏弹性模型串联的模 型，可以反映岩石的加速流变特性；陈沅江等[7]引 进了蠕变体和裂隙塑性体 2 种非线性元件，建立了 一种新的非线性流变模型。 （2）将元件模型中的参
0≤ ≤1
（1）
式中： 为黏性系数； 为求导阶数。 应力 保持不变，元件将描述流变行为的蠕 变，对式（ 1）两边进行分数阶积分，根据分数阶 R-L 积分定义，可得
(t )
0 t , ( 1)
0≤ ≤1
（2）
式中： 0 为常应力。 Abel 黏壶是一个包括弹性元件和阻尼元件在 内的综合元件[22]，由于其系数 0≤ ≤1 ，就注定该 元件不能反映非线性加速流变阶段。
2.2 分数阶非线性黏壶元件
由于 Abel 黏壶不能反映加速蠕变阶段， 为了更 好地反映岩石全过程蠕变曲线，特别是非线性加速 蠕变阶段，就要求提出新的非线性元件。文献[5]提 出了一种非牛顿流体黏滞阻尼元件，文献[23 －24] 也提出了带应变触发的非线性黏壶。已知，牛顿流 体满足： (t )～d1 (t ) / dt1 ，文献[5, 23－24]中的非 线性牛顿流体满足： (t )～d 2 (t ) / dt 2 ，那么可以猜 想介于牛顿流体和非线性牛顿流体之间的中间材料 的本构关系从应服 (t )～d (t ) / dt 1≤ ≤2 ，把 满足这种本构关系的元件叫做分数阶非线性黏壶元 件。其本构关系为
1d (t ) / dt , 1≤ ≤2
式中： 1 为黏性系数。 因 (0) 0 ，可得
（3）
(t )
t , 1≤ ≤2 ( 1)
（4）
比较式（2）和式（4）可知，分数阶非线性黏 壶元件其实是分数阶Abel黏壶的一种推广。 既然分数阶Abel黏壶和分数阶非线性黏壶元件 其蠕变方程的形式是统一的，只是求导阶数不同。 那么可以比较一下它们之间的特性，若取 / 1 ， 代入式（2） 、 （4） ，可得到一组连续的在不同的求导 阶数下的蠕变曲线。 由图 1 中可以看出，分数阶 Abel 黏壶不能反映 非线性加速蠕变特征，而分数阶非线性黏壶元件可 以很好地反映非线性加速蠕变特征。但是岩石的非