优秀学生寒假必做作业121 任意角三角函数练习二

1、2、1 任意角三角函数
练习二
一、选择题
1.已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A.在x 轴上 B.在y 轴上
C.在直线y ＝x 上
D.在直线y ＝－x 上
2.如果4
π＜θ＜
2
π
，那么下列各式中正确的是( ) A.cos θ＜tan θ＜sin θ B.sin θ＜cos θ＜tan θ C.tan θ＜sin θ＜cos θ D.cos θ＜sin θ＜tan θ
3.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若sin αtan α＞0，则α的终边在( )
A.第一象限
B.第四象限
C.第二或第三象限
D.第一或第四象限
5.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α＜0，又P （m ，n ）是角α终边上一点，且|OP |=10，则m －n 等于( )
A.2
B.－2
C.4
D.－4
二、填空题
6.若0≤θ＜2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是_________.
7.在（0，2π）内使sin x ＞|cos x |的x 的取值范围是_________.
三、解答题
8.比较下列各组数的大小： （1）sin 1和sin 3
π
； （2）cos 7π4和cos 7π
5； （3）tan 8π9和tan 7π9； （4）sin 5π和tan 5
π.
9.已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号.
10.求下列函数的定义域：
（1）y=)
lg(cos x；
（2）y=lgsin2x+2
.
9x
π）时，求证：sinα＜α＜tanα.
11. 当α∈（0，
2
12. 已知θ为正锐角，求证：
π；
（1）sinθ＋cosθ＜
2
（2）sin3θ+cos3θ＜1.
π，2kπ+π）
13.已知角α的终边经过点P（－3cosθ，4cosθ），其中θ∈（2kπ+
2
（k∈Z），求角α的各三角函数值.
14.（1）已知角α的终边经过点P （3，4），求角α的六个三角函数值； （2）已知角α的终边经过点P （3t ，4t ），t ≠0，求角α的六个三角函数值.
15．已知角α终边上的一点P ，P 与x 轴的距离和它与y 轴的距离之比为3 ：4，且0sin <α求：cos α和tan α的值．
答案：
一、选择题
1.B
2.D
3. D
4. D
5.A 二、填空题
6.［0，
4π］∪（2π，4π5］∪（2π3，2π） 7.（4
π，4π3）
三、解答题
8.分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数线.
且－1＜sin α<0.在此基础上可确定sin （cos α）与cos （sin α）的符号，进而即可确定sin （cos α）·cos （sin α）的符号.
解：∵α是第三象限角，∴－1<cos α<0，－1<sin α<0. ∴sin （cos α）<0，cos （sin α）>0.∴sin （cos α）·cos （sin α）<0. 10.解：（1）由lg （cos x ）≥0，得cos x ≥1，又cos x ≤1， ∴cos x =1.
∴x =2k π，k ∈Z .故此函数的定义域为{x |x =2k π，k ∈Z }. （2）∵sin2x >0，∴2k π<2x <2k π+π（k ∈Z ）.
∴k π<x <k π+
2
π
（k ∈Z ）. ①
又9－x 2≥0，∴－3≤x ≤3.
故y =lgsin2x +29x -的定义域为{x |－3≤x <－2
π或0<x <2
π
}.
11. 分析：利用代数方法很难得证.若利用三角函数线借助几何直观建立面积不等式，则可迎刃而解.
解：如下图，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于点P ，α的正弦线、正切线为MP 、AT ，则MP =sin α，AT =tan α.
x ∵S △AOP =21
OA ·MP =21sin α，S 扇形AOP 2
2，S △OAT =21OA ·AT =21AT =2
1tan α. 又S △AOP ＜S 扇形AOP ＜S △AOT ，
∴21sin α＜21α＜2
1tan α，即sin α＜α＜tan α. 12. 证明：（1）设角θ的终边与单位圆交于P （x ，y ）， 过点P 作PM ⊥Ox ，PN ⊥Oy ，M 、N 为垂足. ∵y ＝sin θ，x ＝cos θ，
x )y S △OAP ＝21|OA |·|PM |＝21y ＝21sin S △OPB ＝2
1|OB |·|NP |＝2
1x ＝2
1cos θ，
S 扇形OAB ＝4
π
4π2=R .
又四边形OAPB 被扇形OAB 所覆盖，
∴sin θ＋cos θ＜
2
π. （2）∵0＜x ＜1，0＜y ＜1， ∴0＜cos θ＜1，0＜sin θ＜1.
∵函数y =a x （0＜a ＜1）在R 上是减函数， ∴cos 3θ＜cos 2θ，sin 3θ＜sin 2θ. ∴cos 3θ+sin 3θ＜cos 2θ+sin 2θ. ∵sin 2θ+cos 2θ=x 2+y 2=1， ∴sin 3θ+cos 3θ＜1. 13. 解：∵θ∈（2k π+2
π
，2k π+π）（k ∈Z ）， ∴cos θ＜0.
∴x =－3cos θ，y =4cos θ，r =22y x +=22)cos 4()cos 3(θθ+-=－5cos θ. ∴sin α=－5
4，cos α=5
3，tan α=－3
4，cot α=－4
3，sec α=3
5，csc α=－4
5. 14. 解：（1）由x =3，y =4，得r =2243+=5.
∴sin α=r y =54，cos α=r x =53，tan α=x y =34，cot α=y x =43，sec α=x r =35，csc α=y r =4
5. （2）由x =3t ，y =4t ，得r =22)4()3(t t +=5|t |. 当t ＞0时，r =5t .
因此sin α=5
4，cos α=5
3，tan α=3
4，cot α=4
3，sec α=3
5，csc α=4
5； 当t ＜0时，r =－5t .
因此sin α=－5
4，cos α=－5
3，tan α=3
4，cot α=4
3，sec α=－3
5，csc α=－4
5. 15. 设P(x ，y)，则依题意知|y| ：|x| =3 ：4 ∵sin α<0
∴α终边只可能在第三、四象限或y 轴负半轴上 若P 点位于第三象限，可设P （-4k ，-3k ），（k>0）
∴r=5k ，从而54cos -=α，4
3
tan =α
若P 点位于第四象限，可设P （4k ，-3k ），（k>0）
∴r=5k ，从而54cos =α，4
3
tan -=α
又由于|y| ：|x| =3 ：4，故α的终边不可能在y 轴的负半轴上
综上所述：知cos α的值为5454-或，tan α的值为4
3
43或-。