第三章 相似理论
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3相似理论
C C1 1 C CE
p m p E p m Em
模型的相似判据：
p p C mC m C C m m p E p C mCE Em C CE m Em
1
——相似指标
C2
C C C CE
p p m m p E p m Em
所以k的量纲为 [k ] [MT 1 ] ，表示质量随时间的变化率。
同理可知，α表示速度。 例2：伯努利方程
p1 1V12 p2 2V22 z1 z2 hw g 2 g g 2 g
各项皆为长度的量纲，满足量纲一致性原理。
否则就会出现长度加时间的错误结论。
同时也可确定α是无量纲数。 2、确定方程式中物理量的指数：
所以可用薄膜比拟法来解扭转问题。
2、相似理论的基本概念： （1）相似系数：两个相似现象中同类物理量成常数比，其比值称为相似
系数。
如广义虎克定律： x 原型： p , p , E p , p 模型： m , m , Em , m
1 x y z E
p C m
1 xp p yp zp 原型： xp Ep 1 C xm C xm C m C ym zm C E Em
xm
1 Em
C C C xm m ym zm C E C C E C
X截面的弯矩：
M x PL x
Wz Wz
X截面的最大应力： max M ( x) P( L x) X截面的挠度：
Px 2 y ( x) (3L x) 6 EI
相似理论
相似理论相似理论，是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
是研究自然现象中个性与共性，或特殊与一般的关系以及内部矛盾与外部条件之间的关系的理论。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
1特点编辑相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的不断进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩充其应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域的指导性理论之一。
随着“相似”概念日益扩大，相似理论有从自然科学领域扩展到包括经济、社会科学以及思维科学和认知哲学领域的趋势。
相似理论从现象发生和发展的内部规律性(数理方程)和外部条件(定解条件)出发，以这些数理方程所固有的在量纲上的齐次性以及数理方程的正确性不受测量单位制选择的影响等为大前提，通过线性变换等数学演绎手段而得到了自己的结论。
相似理论的特点是高度的抽象性与宽广的应用性相结合，相似理论的内容并不多，甚至不被当作一个单独的学科。
相似理论是试验的理论，用以指导试验的根本布局问题，它为模拟试验提供指导，尺度的缩小或放太，参数的提高或降低，介质性能的改变等，目的在于以最低的成本和在最短的运转周期内摸清所研究模型的内部规律性。
相似理论在现代科技中的最主要价值在于它指导模型试验上。
尽管相似理论本身是一个比较严密的数理逻辑体系，但是，一旦进入实际的应用课题，在很多情况下，不可能是很精确的。
因为相似理论所处理的问题通常是极其复杂的。
2理论基础编辑相似理论中的三个定理赖以存在的基础为：(1)现象相似的定义；(2)自然界中存在的现象所涉及到的各物理量的变化受制于主宰这种现象的各个客观规律，它们不能任意变化；(3)现象中所涉及的各物理量的大小是客观存在的，与所采用的测量单位无关。
3相关概念编辑(1)相似及相似常数如果原型和模型相对应的各点及在时间上对应的各瞬间的一切物理量成比例，则两个系统相似。
第三章 相似理论
相似理论的形成与发展
INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
1874年，俄国В.Л.Кирпичев（基尔比切夫）研究了 年 俄国 （基尔比切夫） 几何相似物体的弹性现象。 几何相似物体的弹性现象。 至此，自然现象相似的科学，开始向两个方向发展： 至此，自然现象相似的科学，开始向两个方向发展： （1）用数学描述所研究的现象（方程分析）。 ）用数学描述所研究的现象（方程分析）。 （2）用因次分析描述所研究现象的量（因次分析）。 ）用因次分析描述所研究现象的量（因次分析）。
3.1 相似及其理论发展
INFORMATION SCIENCE AND ENGINEERING
相似是一种认识，它同人们的感觉、思维、经验 相似是一种认识，它同人们的感觉、思维、 以及使用的仪器、方法等都有直接的有关。 以及使用的仪器、方法等都有直接的有关。 我们所认识的世界并不是完全真实的，而仅仅是 我们所认识的世界并不是完全真实的， 其相似物而已。 其相似物而已。 从哲学角度讲，相似是普遍的、绝对的，相同是 从哲学角度讲，相似是普遍的、绝对的， 特殊的、相对的。所以，应用相似论的研究结果， 特殊的、相对的。所以，应用相似论的研究结果， 我们可以用简单的模型去研究复杂现象。 我们可以用简单的模型去研究复杂现象。 从客观存在到形成一门理论，是人的认识的总结。 从客观存在到形成一门理论，是人的认识的总结。
离散化INFORMATFra bibliotekON SCIENCE AND ENGINEERING
设输入连续时间系统的信号为 ｕ（ｔ），输出为ｙ（ｔ），于是将ｕ（ｔ）离 输出为ｙ（ｔ），于是将ｕ（ｔ） ｕ（ｔ），输出为ｙ（ｔ），于是将ｕ（ｔ）离 散化得ｕ（ｍ ），将ｕ（ｍT） ｕ（ｍT）， 散化得ｕ（ｍ ），将ｕ（ｍ ）输入给一个离 散时间系统，若它的输出为ｙ（ｍ） ｙ（ｍ）与 散时间系统，若它的输出为ｙ（ｍ）与 ｙ（ｔ）的采样值ｙ（ｍｔ）相同 或近似）， 的采样值ｙ（ｍｔ）相同（ ｙ（ｔ）的采样值ｙ（ｍｔ）相同（或近似）， 则该离散时间系统称为与连续时间系统等价。 则该离散时间系统称为与连续时间系统等价。 离散化的方法由差分法、离散相似法、替换法、 离散化的方法由差分法、离散相似法、替换法、 数值积分法。 数值积分法。
相似理论
相似第三定理
几何条件：土粒的膨胀性，实验装置的 几何尺寸满足要求。 介质条件：需要在一定浓度的溶液中膨 胀才会发生。试验时所用为 加有浓度5%氯化钠的溶液。 边界条件：土粒较为细小，并且模拟无 结构力下的状态。
相似理论
相似理论概述
相似理论是说明自然界和工程中各种相 似现象的学说。是研究自然现象中个性 与共性，或特殊与一般的关系以及内部 矛盾与外部条件之间的关系的理论。在 结构模型试验研究中，只有模型和原型 保持相似，才能由模型试验结果推算出 原型结构的相应结果。
相似理论特点
相似理论的特点是高度的抽象性与宽广 的应用性相结合 ，相似理论是试验的理 论，用以指导试验的根本布局问题，它 为模拟试验提供指导，尺度的缩小或放 太，参数的提高或降低，介质性能的改 变等，目的在于以最低的成本和在最短 的运转周期内摸清所研究模型的内部规 律性。
相似理论的理论基础
相似第一定理：对相似现象，其相似指
标等于1，即在原型与模型中发生的过程、 规律、相互作用是基本相同的，相似现象 的性质是相同的，相似现象之间在本质规 律上是相同的 。
相似第二定理：当一现象由n个物理量
的函数关系来表示，且这些物理量中含 有m种基本量纲时，则能得到(n-m)个相 似判据。
实验过程
制备土样 量取一定体积的土 让量取的土在有溶液的量筒中自由膨胀 读取土体积变化 计算自由膨胀率
试验装置
过程：土粒在无结构力影响下的膨 胀特性 。 支配因素：主要受土中粘粒含量和矿物 成分支配 。粘粒含量愈高， 矿物亲水性愈强，自由膨胀 率愈大 。
相似第一定理
试验土样来自原型土样，模型与原型的 矿物成分、粘粒含量基本相同。膨胀机 理相同，最后所得到的现象都为土体的 膨胀。可以认为符合相似第一定理。
《泵与风机》第三章—相似理论在泵与风机中的应用
3.4 比转速 3.5 无因次性能曲线 3.6 通用性能曲线
3.1 相似条件
一. 几何相似
几何尺寸成比例且比值相等；
b1 p b1m b2 p b2m D1 p D1m D2 p D2m Dp Dm const
对应角度、叶片数相等
1 p 1m
2 p 2m
雷诺数Re：惯性力和黏性力的准则数 且Re＞105时 自模化状态 泵与风机的流动满足自模化条件，则动力相似 自动满足。
3.2 相似定律—性能参数间的相似关系
一. 流量相似关系
qv A2v2mv D2b2 2v2mv
qVp qVm
如几何相似 如运动相似
D2 pb2 p 2 p v2 mpVp D2mb2m 2mv2mmVm
qV p qVm ( D2 p D2 m )
3
p qVp H pmmVmhm Pm m qVm H mmpVphp
Pp
n p vp nm vm
2
hp ( ) ( ) Hm D2m nm hm
Hp D2 p np
2
p D2 p Pm m D2 m
Pp
5
n p mm n m mp
3
几何尺寸比的五次方，转速比的三次方，密度比的一次 方成正比，机械效率比的一次方成反比
几何相似， 运行工况相似
qVp qVm
Hp
容积效率和流动效率相等； 转速相差不大时（比值为1～2） 机械效率相等。
qV qV D 3n D 3n const 2 p 2 m
泵与风机
Pump and Air-blower
上海电力学院 能源与环境工程学院 工程热物理学科
量纲分析和相似理论
模型试验的理论基础——结构相似理论
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
整理ppt
一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
整理ppt
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
应该指出我们在叙述上面三个相似定理时，为了简便起 见，没有采用微积分运算方程式，但此三个定理对微积分
方程同样适用，例如：对于微分符号 dx，我们可以看成 x2-x1，因此 dx 与 x 具有同样的物理意义，在确定相似系
数与相似判据时可不考虑微积分符号。
V F p M q R r
整理ppt
这几个物理量的量纲是
VLT 1 RL MM FM L 2T
故有
L 1T M 2p L M q L r T M p q L p r T 2 p
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
整理ppt
将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l PWlCC C pAPA
将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
Pl Pl 常数
W W
P P 常数
A
整理ppt
写成一般形式得：
K1PWl，K2 PA
在两个相似现象中，除了具有相同的基本方程外，还要 求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条件（支承条 件、约束条件和边界上的受力情况等）保持相似。例如四 周固支的板与四周简支的板，其处理方法是不同的。
材料工程《相似理论》课件
材料工程基础及设备多媒体课件
2、积分类比法
❖ 基本原理：置换法则
❖ 二个体系： ❖ 等比公式
1 1
2 2
c
1 1
2 2
1 1
c
lim
0
d d基础及设备多媒体课件
步骤：
写出描述现象的基本方程和单值条件 用方程中任意一项除以其他各项 各项中所有导数用积分类比项代替
❖ Ho 谐时性准数：H0=wτ/L
❖ Fo（Fourier）准数： 温度场、速度场随时间的变化关系
F0
a
l2
❖ Pr（Prandtl）准数：Pr=ν/a
分子动量扩散率与热扩散率之比；速度场与温度场的关系
❖ Pe（Peclet）准数
❖ Nu（Nusselt）准数
边界层内温度梯度与平均温度梯度之比；对流换热强度与
相似准数的数值不变。 ❖ 已定准则和待定准则（定性准则和非定性准则）
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.2 相 似 三 定 理
❖相似第一定理（相似正定理） 凡相似现象，对应部位上各同名相似准则分
别等值。 (规定了现象相似的必要条件)
❖相似第三定理（相似逆定理） 凡同类现象，当单值条件相似，对应部位的
材料工程基础及设备多媒体课件
8.3.1 基本概念
1、物理量相似 ❖ 标量场相似 ❖ 矢量场相似
相似倍数——Cφ
1 1
2 2
c
x
x
y
y
z
z
c
材料工程基础及设备多媒体课件
❖几何相似 ❖时间相似 ❖运动相似 ❖动力相似 ❖热相似
材料工程基础及设备多媒体课件
2、现象相似
❖ 描述现象各单值条件彼此相似的同类现象 ❖ 单值条件相似
第三章 相似理论
n 580 P = P 2 = 570 × = 126(kW ) 1 960 n1
同理，利用相似定律还可换算出几何尺寸改变时的性能参数。 三、相似定律的应用 3、相似泵与风机性能曲线的换算 已知：某泵（D20、n0）的性能曲线。 求：相似泵（D2、n）的性能曲线？
κ =
2π n qV (gH )3 / 4
（3-30）
并以此取代现在用的比转速。 §3-3 叶片式通风机的无因次性能曲线 一、问题的提出 二、无因次性能参数和无因次性能曲线 三、无因次性能参数的意义 一、问题的提出 ①．根据工程需要，我们可对系列化的相似风机进行相似换算，并将其性 能曲线绘制于同一张图上，从而实现对同一系列风机性能的比较，以完成 风机的设计、选择工作。 ②．但工程实际还需要，对不同系列（不同类型、不相似）的风机进行性 能的比较，以完成相应的工作；但由于相似定律本身不能够对不同系列的 风机进行换算，也就不可能对不同系列的风机进行性能比较，这就要求我
第三章 相似理论
§3-1 相似定律 §3-2 比转速 §3-3 无因次性能曲线 §3-4 通用性能曲线 问题的提出 ①实型设计→模型设计 设计任务：结构→要求：造价低、耗功少、效率高 反复设计→试验→修改→受限； ②相似设计 利用优良的模型进行相似设计，设计选型的捷径 ③工程实际问题： 不能满足要求:出力不足 →改造 裕量过大 转速变化时进行性能的换算 一、相似条件 几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； ——前提条件 几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； 运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； ——相似结果 运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； 动力相似：同名力对应成比例—— 本原因。 ——根 动力相似：同名力对应成比例——根本原因。 （但Re＞105，已自模化） 二、相似三定律 1、流量相似定律 （由 推得）
同理，利用相似定律还可换算出几何尺寸改变时的性能参数。 三、相似定律的应用 3、相似泵与风机性能曲线的换算 已知：某泵（D20、n0）的性能曲线。 求：相似泵（D2、n）的性能曲线？
κ =
2π n qV (gH )3 / 4
（3-30）
并以此取代现在用的比转速。 §3-3 叶片式通风机的无因次性能曲线 一、问题的提出 二、无因次性能参数和无因次性能曲线 三、无因次性能参数的意义 一、问题的提出 ①．根据工程需要，我们可对系列化的相似风机进行相似换算，并将其性 能曲线绘制于同一张图上，从而实现对同一系列风机性能的比较，以完成 风机的设计、选择工作。 ②．但工程实际还需要，对不同系列（不同类型、不相似）的风机进行性 能的比较，以完成相应的工作；但由于相似定律本身不能够对不同系列的 风机进行换算，也就不可能对不同系列的风机进行性能比较，这就要求我
第三章 相似理论
§3-1 相似定律 §3-2 比转速 §3-3 无因次性能曲线 §3-4 通用性能曲线 问题的提出 ①实型设计→模型设计 设计任务：结构→要求：造价低、耗功少、效率高 反复设计→试验→修改→受限； ②相似设计 利用优良的模型进行相似设计，设计选型的捷径 ③工程实际问题： 不能满足要求:出力不足 →改造 裕量过大 转速变化时进行性能的换算 一、相似条件 几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； ——前提条件 几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； 运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； ——相似结果 运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； 动力相似：同名力对应成比例—— 本原因。 ——根 动力相似：同名力对应成比例——根本原因。 （但Re＞105，已自模化） 二、相似三定律 1、流量相似定律 （由 推得）
第三章相似定律(2)剖析
2018/10/24 第12页 第三章 相似理论
二、风机的无因次性能曲线
上面所得的无因次比例常数“ p ”、“ P ”、“ qv ”是 取决于相似工况点的函数，不同的相似工况点，有不同 的一组 “ ”、“ qv ”值。将这种关系， p P ”、“ 绘制成曲线，加上效率曲线，就是“无因次曲线”。
选一台 模型机 转速n 介质
p
第三章 相似理论
2018/10/24
第10页
功率系数
P c3 5 D n 3 2 p .m.
3 P 60 4 c3 2 D2 D2 n 3 4 （ ） 4 60 p . m.
P c3 A u 3 2 2 p . m.
2018/10/24 第18页
n n -q0 V qV
第三章 相似理论
二、通用性能曲线的绘制
2、理论绘制通用性能曲线 工况相似的一系列点其扬程（或全压）与流
量的平方之比为一常数，即
qVB n qVA n0
和
pB n pA n0
2
HB n HA n 0
第4页
第三章 相似理论
一、问题的提出
①已知一个风机的性能曲线，去设计一个相似的风机
作法：根据工程需要，我们可对系列化的相似风机
进行相似换算，并将其性能曲线绘制于同一张图上， 从而实现对同一系列风机性能的比较，以完成风机的 设计、选择工作。
总结:相似定律本身不能够对不同系列的风机进行换算，也就 不可能对不同系列的风机进行性能比较.
2018/10/24
第15页
第三章 相似理论
§3-4 泵与风机的通用性能曲线
一、通用性能曲线 二、通用性能曲线的绘制
二、风机的无因次性能曲线
上面所得的无因次比例常数“ p ”、“ P ”、“ qv ”是 取决于相似工况点的函数，不同的相似工况点，有不同 的一组 “ ”、“ qv ”值。将这种关系， p P ”、“ 绘制成曲线，加上效率曲线，就是“无因次曲线”。
选一台 模型机 转速n 介质
p
第三章 相似理论
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第10页
功率系数
P c3 5 D n 3 2 p .m.
3 P 60 4 c3 2 D2 D2 n 3 4 （ ） 4 60 p . m.
P c3 A u 3 2 2 p . m.
2018/10/24 第18页
n n -q0 V qV
第三章 相似理论
二、通用性能曲线的绘制
2、理论绘制通用性能曲线 工况相似的一系列点其扬程（或全压）与流
量的平方之比为一常数，即
qVB n qVA n0
和
pB n pA n0
2
HB n HA n 0
第4页
第三章 相似理论
一、问题的提出
①已知一个风机的性能曲线，去设计一个相似的风机
作法：根据工程需要，我们可对系列化的相似风机
进行相似换算，并将其性能曲线绘制于同一张图上， 从而实现对同一系列风机性能的比较，以完成风机的 设计、选择工作。
总结:相似定律本身不能够对不同系列的风机进行换算，也就 不可能对不同系列的风机进行性能比较.
2018/10/24
第15页
第三章 相似理论
§3-4 泵与风机的通用性能曲线
一、通用性能曲线 二、通用性能曲线的绘制
第3章 泵的相似理论
第3章 泵的相似理论3-1 相似理论的基本概念相似理论在泵的设计和实验中广泛应用，通常所说的按模型换算进行相似设计和进行模型实验就是在相似理论指导下进行的，按相似理论可以把模型试验结果换算到实型泵上，也可以将实型泵的参数换算为模型的参数进行模型设计和试验。
用小的模型进行试验要比真机试验经济得多．而且因受到条件的限制，当真机的尺寸过大、转速过高或抽送诸如高温等特殊液体时，往往难以进行真机试验，只能用模型试验代之。
相似理论指出，两个液流力学相似必须满足如下三个条件：一、几何相似叶片泵的相似定律是建立在泵的几何相似及运动相似的基础上的。
所谓几何相似，是指两个泵（模型泵和实型泵）它们相对应的尺寸均成同一比例，它们相对应的角度均相等。
通俗地讲，就是这两个泵的式样完全一，只是大小不同而已。
这样两个泵，它们就互相几何相似。
严格地讲、表面粗糙度也应当相似，但是这一点实际上是很难满足的，只能按经验资料进行修正。
几何相似是力学相似的前提条件。
没有几何相似，动力相似和运动相似也就无从谈起。
用下标M 表示模型，用不加下标表示实型(真机)，几何相似条件可以表示为MM M L L b b =⋯⋯==D D 二 运动相似所谓运动相似，即是两个几何相似的泵，在运转时所有相对应点的速度大小均成同一比例，所有相对应的速度之间的夹角均相等。
两个泵要求运动相似则首先必需几何相似。
两个泵如果几何相似，则它们不一定运动相似。
水泵的运动相似又称为工况相似，这时的工况称相似工况。
两几何相似的泵，如果工况相似，则两水泵中相对应的速度三角形为相似三角形，有MM M M M n D Dn u u w w v v =⋯⋯== 三 动力相似模型和实型过流部分相对应点液体的对应力的大小成比例、性质相同。
也就是流动所受的外部作用力F 和流体在外力作用下因本身质量引起的惯性力F i 的比值相同。
该比值称为牛顿数，用N e 表示，即e N maF = N e 值表示流动的一般动力相似条件，N e 相等，则流动动力相似。
第三章 相似理论在泵与风机中的应用
2、等效的相似三定律
当实型和模型的几何尺度比≤5，相对转速比≤20%时，实
型和模型所对应的效率近似相等，可得等效的相似三定律：
qV D23 n
const .
H D22 n 2
const.
或
p
D22 n 2
const.
P
D25n3
const.
流体机械原理
3、V、h 和m 不等效的原因
流体机械原理
第三章 相似理论在泵与风机中的应用
问题的提出
①. 实型设计→模型设计
设计任务：结构→要求：造价低、耗功少、效率高 反复设计→试验→修改→受限； ②．相似设计 利用优良的模型进行相似设计是设计选型的捷径；
流体机械原理
③．工程实际问题
出力不足 不能满足要求 裕量过大 →改造； 转速变化时进行性能的换算。
p m
D2 p
D2mΒιβλιοθήκη 5np
nm
3
mm mp
或P
D25n3
/m
const.
表述：几何相似机泵与风机，在相似的工况下，其轴功
率与流体密度的一次方、叶轮直径五次方、转速的三次方成
正比；与机械效率的一次方成反比。
流体机械原理
四、相似定律的几点说明
1、该三定律应用存在困难（原因是：V 、h 和m 未知）
流体机械原理
【例】 现有Y9-6.3(35)-12№10D型锅炉引风机一台，铭
牌参数为: n0=960r/min, p0=1589Pa, qV0=20000m3/h, =60%，
配用电机功率22kW。现用此风机输送20℃的清洁空气，转速
当实型和模型的几何尺度比≤5，相对转速比≤20%时，实
型和模型所对应的效率近似相等，可得等效的相似三定律：
qV D23 n
const .
H D22 n 2
const.
或
p
D22 n 2
const.
P
D25n3
const.
流体机械原理
3、V、h 和m 不等效的原因
流体机械原理
第三章 相似理论在泵与风机中的应用
问题的提出
①. 实型设计→模型设计
设计任务：结构→要求：造价低、耗功少、效率高 反复设计→试验→修改→受限； ②．相似设计 利用优良的模型进行相似设计是设计选型的捷径；
流体机械原理
③．工程实际问题
出力不足 不能满足要求 裕量过大 →改造； 转速变化时进行性能的换算。
p m
D2 p
D2mΒιβλιοθήκη 5np
nm
3
mm mp
或P
D25n3
/m
const.
表述：几何相似机泵与风机，在相似的工况下，其轴功
率与流体密度的一次方、叶轮直径五次方、转速的三次方成
正比；与机械效率的一次方成反比。
流体机械原理
四、相似定律的几点说明
1、该三定律应用存在困难（原因是：V 、h 和m 未知）
流体机械原理
【例】 现有Y9-6.3(35)-12№10D型锅炉引风机一台，铭
牌参数为: n0=960r/min, p0=1589Pa, qV0=20000m3/h, =60%，
配用电机功率22kW。现用此风机输送20℃的清洁空气，转速
第10讲 泵与风机-第3章 相似理论(2)
D2 D2′
⎟⎟⎠⎞
2
⋅
⎛⎜ ⎝
n n′
⎟⎞ 2 ⎠
P P'
=
ρ ρ′
⎜⎜⎛⎝
D2 D2′
⎟⎞⎟⎠5
⎜⎛ ⎝
n n′
⎟⎞3 ⎠
泵与风机性能参数相似律的快速记忆
直径D2 转速n
流量q 3次方 1次方
压力H/p 2次方 功率P 5次方
2次方 3次方
密度ρ 0次方 1次方 1次方
上一讲内容回顾： 变流体 或温度
=
⎜⎜⎛⎝
5. 无因次性能曲线
因次分析法
因次分析法：
又称量纲分析，是对有关物理量的因次（即量纲）进 行分析，得到为数较少的无因次数（即无量纲参数） 群间关系的方法（实验研究的常用手段）。
υ: 速度m/s; d : 管径m;
Re
=
υd ν
ν: 空气运动粘度系数m2/s。
5. 无因次性能曲线
同一系列中尽管有各种大小尺寸的诸多泵或风机， 但它们属于相似的一类机器。因而，能根据相似定 律找到共性，来代表某一“类”（系列）的特性。 无因次性能曲线的优点：只需用一条曲线，就可 以代替一整个系列全部机器在各种转速下的性能 曲线。
零流量时功率最小， 关闭出水阀开泵
零流量时功率最大， 不可以在关闭出水阀
的情况下开泵
4. 比转速
a
比转速对性能曲线的影响：
• 曲线簇 a（qv-H）：
b
缓降→陡降
• 曲线簇 b（qv-P）：
c
上升→平坦→下降
• 曲线簇 c（qv-η）： 平坦（高效区宽）→陡（高效区窄）
思考题：
G4-13.2-11No18型锅炉送风机，当转速n=960r/min时 的运行参数为：送风量19000m3/h，全压4276Pa；同 一系列的No8型风机，当转速n=1450r/min时的送风量 为25200m3/h，全压1992Pa，它们的比转速是否相等？ 为什么？
第三章相似理论在泵与风机中的应用
德国凯士比 公司生产的重13吨 巨型泵
巨型水力机械 （原型）
相似理论
缩小为模型
实验结果
相似理论
§3-1 相似条件
1、几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； 几何相似是指模型和原型各对应点的几何尺寸成
比例 ，比值相等，各对应角、叶片数相等。
2、运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； 运动相似是指模型与原型各对应点的速度方向相
§3-3 相似定律的特例
参数 转速n改变 几何尺寸D改变 密度 改
变
n、 D、 均 改 变
流量
qv
qvp
q vm
np nm
qvp
qvm
(
D2 p d2m
)3
qvp qvm
qvp
qvm
(D2p d2m
)3
np nm
扬 H 程 H p
H
m
(
np nm
)2
Hp
Hm
(
D2P D2m
)2
全压 p
功率 P
pp
相似条件
相似理论
基础理论
比转速、性能曲线等
设 计 出 新 型 机 械
进对 已 有 的 机 械 进 行
改
相似理论在泵与风机中应用
(1)对新设计的产品，需将原型泵与风机缩小为模 型，进行模化试验以验证其性能是否达到要求。
(2)由性能参数的相似关系，在改变转速、叶轮几 何尺寸及流体密度时，可进行性能参数的相似换算
pp p(D2p)2(np)2hp pm m D2m nm hm
表述：几何相似机泵与风机，在相似的工况下， 其扬程（或全压）与叶轮直径及转速的二次方、以 及流动效率（流体密度）的一次方成正比。
巨型水力机械 （原型）
相似理论
缩小为模型
实验结果
相似理论
§3-1 相似条件
1、几何相似：通流部分对应成比例——前提条件； 几何相似是指模型和原型各对应点的几何尺寸成
比例 ，比值相等，各对应角、叶片数相等。
2、运动相似：速度三角形对应成比例——相似结果； 运动相似是指模型与原型各对应点的速度方向相
§3-3 相似定律的特例
参数 转速n改变 几何尺寸D改变 密度 改
变
n、 D、 均 改 变
流量
qv
qvp
q vm
np nm
qvp
qvm
(
D2 p d2m
)3
qvp qvm
qvp
qvm
(D2p d2m
)3
np nm
扬 H 程 H p
H
m
(
np nm
)2
Hp
Hm
(
D2P D2m
)2
全压 p
功率 P
pp
相似条件
相似理论
基础理论
比转速、性能曲线等
设 计 出 新 型 机 械
进对 已 有 的 机 械 进 行
改
相似理论在泵与风机中应用
(1)对新设计的产品，需将原型泵与风机缩小为模 型，进行模化试验以验证其性能是否达到要求。
(2)由性能参数的相似关系，在改变转速、叶轮几 何尺寸及流体密度时，可进行性能参数的相似换算
pp p(D2p)2(np)2hp pm m D2m nm hm
表述：几何相似机泵与风机，在相似的工况下， 其扬程（或全压）与叶轮直径及转速的二次方、以 及流动效率（流体密度）的一次方成正比。
第三讲相似理论
相似第三定理
• 根据第一定理，彼此相似的现象，相似准则必相等，准则 函数关系也必相同。由此推广到实物,可得到v-t,a-t其他 函数形式。 • 根据第二定理,可求出模型实验遵守的条件。 • 根据第三定理，可以求模型实验结果整理成相似准则间的 函数式，以便把模型实验结果推广到原型中去。
同济大学汽车实验室
凡具有同一特性的现象（即被同一关系方程式或完整的关 系方程式组所描述的现象）当单值条件彼此相似，且由单 值条件所包含的物理量组成的相似准则在数值上相等，则 这些现象必须相似。 定理作用：阐明了两个现象相似的充分条件，即模型实 验必须遵守的条件和法则。
同济大学汽车实验室
相似第二定理
例3：以粘性不可压缩流体的稳定等温运动现象为例，当满 足以下条件时，现象就彼此相似。 （一）单值条件相似， 包括： (1)几何条件相似（即空间条件所有具体现象都发生在 一定的几何空间内）
vz vz vz 1 p 2vz 2vz 2vz vx vy vz gz 2 2 2 x y z z x y z
式中：
g x, g y , g z
－各轴的重力加速度分量
－流体动力粘度
－流体密度
p －压力
'' l ' l '' 同一三角形两边之比：l K12 或 1'' K12 l2 '' ' ' 代入得： l1 CL1 l1 l1 l1
l
或：
`'' 2
CL 2 l
' 2
l
' 2
l2
'' ' K12 K12 K12
第3章_水轮机的相似理论及模型综合特性曲线
（3-7）
n1
nD1 H
(3-10)
★几点说明：
①通常用 Q1 ，n1 表示水轮机的运行工况。 当几何相似，单位流量和单位转速对应相等 时，两个水轮机工况相似。
但此为在忽略了两者之间效率上的差别，忽 略了通流部件（蜗壳、尾水管）的异形影响，以 及忽略了吸出高和汽蚀影响下得出来的，所以它 们之间的工况相似只能认为是近似相似的。
N 9.81QH 9.81aKV1
2gHs
sin 1D12
1 r
Hs r j
（1）
(1)式可改写为：
N D12 (Hs )3/ 2 j
9.81aK v1
2g sin 1
（2）
同样，对模型水轮机有：
NM D12M (HMsM )3/ 2 jM
9.81a MK v1M
2g sin 1M
（3）
3、 出力相似律 由前（1）式和（2）式整理有：
ns
ne Ne Hr5/4
也有采用最优工况下的比转速作为代表的。
★国内外大都采用比转速进行水轮机的分类，
如表3-1。
每个水轮机都有一个特征比转速，此值是在 设计工况下取得的，用来恒量水轮机的性能。
★我国颁发的水轮机型谱中，对水轮机的转 轮型号就应用ns来表示，它推荐的设计比转速与 设计水头之间的关系为：
3.2 水轮机的相似律、单位参数和比转速
一、水轮机的相似率
同一轮系的水轮机之间进行参数换算时，并不 直接应用前面讲过的相似条件来表示，而是以工况 的相似性来表示。
相似定律：两个水轮机的工况相似，则转轮中 对应点的速度三角形应是相似的，这种相似常以该 工况下的H、Q、n、N、η之间的关系来表示，这些 参数之间的固定关系称为相似律，或相似公式。
4泵与风机 第三章 相似理论在泵与风机中的应用
第三章 相似理论在泵与风机中的应用
• 第一节 相似条件 • 第二节 相似定律
• 第三节 相似定律的特例
• 第四节 比转数
• 第五节 无因次性能曲线
• 第六节 通用性能曲线
1
•
相似理论广泛的应用于许多学科领域中，在泵与风机 的设计、研究和使用等方面也起着十分重要的作用。 相似理论在泵与风机中主要解决以下问题：
--将几何参数消去
ns 3. 65 n qV
n qV H
3/ 4
比转数
qV ; ns n qV
3/ p20 4
H 3/ 4
--泵的比转数公式
ny
n p
3/ 4
--风机的比转数公式
• 比转数不是转速，而是泵与风机相似的准则数。 • 比转数是相似的结果，而不是充分条件。
10
• 同一台泵或风机，在不同工况下有不同的比转数，一般 是用最高效率点的比转数，作为相似准则的比转数。 • 比转数是用单级单吸入叶轮为标准，如结构型式不是单 级单吸，则应按下式计算： • 1) 双吸单级，流量应以q v /2 代入计算; • 2) 单吸多级，扬程应以H/i代入计算，i为叶轮级数。
3. 由性能参数的相似关系，在改变转速、叶轮几何尺寸及流体 密度时，可进行性能参数的相似换算。 2
第一节 相似条件
• 一、相似条件 1. 几何相似
1gp 1g ; 2 gp 2 g ; 1 p 1 b1 p b1 b2 p b2 D2 p D2 Dp D
效率
比转数
ns
qV p P
30 qV
3/ 4 3/ 4 p
无因次性能曲线与计量单位、几何尺寸、转 速、流体密度等因素无关。利用无因次参数， 根据已有分级的空气动力学图及无因次性能 曲线设计风机，方法可靠，工作量小。
• 第一节 相似条件 • 第二节 相似定律
• 第三节 相似定律的特例
• 第四节 比转数
• 第五节 无因次性能曲线
• 第六节 通用性能曲线
1
•
相似理论广泛的应用于许多学科领域中，在泵与风机 的设计、研究和使用等方面也起着十分重要的作用。 相似理论在泵与风机中主要解决以下问题：
--将几何参数消去
ns 3. 65 n qV
n qV H
3/ 4
比转数
qV ; ns n qV
3/ p20 4
H 3/ 4
--泵的比转数公式
ny
n p
3/ 4
--风机的比转数公式
• 比转数不是转速，而是泵与风机相似的准则数。 • 比转数是相似的结果，而不是充分条件。
10
• 同一台泵或风机，在不同工况下有不同的比转数，一般 是用最高效率点的比转数，作为相似准则的比转数。 • 比转数是用单级单吸入叶轮为标准，如结构型式不是单 级单吸，则应按下式计算： • 1) 双吸单级，流量应以q v /2 代入计算; • 2) 单吸多级，扬程应以H/i代入计算，i为叶轮级数。
3. 由性能参数的相似关系，在改变转速、叶轮几何尺寸及流体 密度时，可进行性能参数的相似换算。 2
第一节 相似条件
• 一、相似条件 1. 几何相似
1gp 1g ; 2 gp 2 g ; 1 p 1 b1 p b1 b2 p b2 D2 p D2 Dp D
效率
比转数
ns
qV p P
30 qV
3/ 4 3/ 4 p
无因次性能曲线与计量单位、几何尺寸、转 速、流体密度等因素无关。利用无因次参数， 根据已有分级的空气动力学图及无因次性能 曲线设计风机，方法可靠，工作量小。
4第三章相似理论
M：a=1
L：-3a+b+c=-1
T：-c=-2
类似，对于第二个方程和第三个方程，我们可以得到其它幂 数的值。
d=1，e=1，f=1，以及 g=1，h=1；i=0。
7) 对于各个方程，用右边除左边得到无量纲组，其数目总是对
于变量数减量纲数。 1U 2
2U D 3z D 0
8）也可以从上面的组合中重新选择得到新的组合，如：
in
上式说明在边界层内，湍流铅直通量随高度是递减的。
注意到 uw u*2 ，将上式两端除以地面摩擦速度的 平方，并写成差分形式：
u*2 z
u*2u*20 hc
f
V gsi n
h cu * 2u * 2 0 u * 2 0fV g u s * 2 0in (1% 0 ~2% 0u V * g 0)fu s* 0in
下面从能量角度出发，考虑L的意义：
在特征高度-L处，浮力作用的湍能生成率与机械 作用的湍能生成率相等，即当z=-L，Rf=-1。
将中性层结的风廓线 u u* 代入上式
z z
g wT
Rf
T wu u
z
Rf
g wT T
wu u*
z
L
z
L的物理意义：热力湍能产生率与中性时机械 能产生率相等的高度。
选择、D、U三个变量为关键变量。 还有其它组合，如、、D等，但z0、D、U和、、U 为无效组合。 5) 根据关键变量形成其余变量的无量纲方程。
()a(D)b(U)c
()d(D)e(U)f
z0()g(D)h(U)i
6) 求解a，b，c等的幂，得到量纲相容方程。
第一个方程：ML-1T-2=(ML3)a(L)b(LT-1)C 左右量纲相等得
第三章：结构风洞试验的相似理论
z 表征流体压力和惯性力之比 z 无量纲风压系数即为欧拉数 ，模型的值可直接应用到原型上
¾ 柯西数（Cauchy number）Ca
Ca= ED 2/(ρU 2D 2) = E/(ρU 2) z 也称弹性参数，它是表征结构弹性力和流动惯性力之间比值
¾ 结构阻尼比 ξ
z 结构的阻尼也是影响振动响应的一个重要参数
⎛ tU n0 B ρ B 2 H D H ⎞ x = f ⎜ ,ζ , , , , ⎟ 2M B B ⎠ B U ⎝ B
z 相似准则：ζ、tU/B、n0B/U、ρB2H/(2M)、D/B 、H/B，Cf 和 x/B z Cf 和 x/B为由非单值条件无量纲组合数，模型值可直接用于原型
结构抗风试验
三：结构风洞试验的相似理论
结构抗风试验
三：结构风洞试验的相似理论
3.1 相似理论的基本概念及定理
3.1.1流动相似的定义：流动相似五大要素（续）
z 运动相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，流体微团流过任意对应流线的
时间比值为一常数 @ 两个流场的速度场、加速度场的几何相似
@ 所有对应点之间的速度和加速度之比保持一致 z 质量相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，对应点上的密度之比为常值 z 动力相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，对应点上的流体微团所受到的
z 引入无量纲坐标x*=x/B和无量纲时间t*=tU/B，则得无量纲方程：
d 2 x* dt *
2
n0 B dx* 2 ⎛ n0 B ⎞ 2 x π + 4πζ + = Cf 4 ⎜ U ⎟ U dt * ⎝ ⎠
2
⎛ ρ B2 H ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2M ⎠
z 空气动力学ÆCf 是 D/B和H/B的函数
¾ 柯西数（Cauchy number）Ca
Ca= ED 2/(ρU 2D 2) = E/(ρU 2) z 也称弹性参数，它是表征结构弹性力和流动惯性力之间比值
¾ 结构阻尼比 ξ
z 结构的阻尼也是影响振动响应的一个重要参数
⎛ tU n0 B ρ B 2 H D H ⎞ x = f ⎜ ,ζ , , , , ⎟ 2M B B ⎠ B U ⎝ B
z 相似准则：ζ、tU/B、n0B/U、ρB2H/(2M)、D/B 、H/B，Cf 和 x/B z Cf 和 x/B为由非单值条件无量纲组合数，模型值可直接用于原型
结构抗风试验
三：结构风洞试验的相似理论
结构抗风试验
三：结构风洞试验的相似理论
3.1 相似理论的基本概念及定理
3.1.1流动相似的定义：流动相似五大要素（续）
z 运动相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，流体微团流过任意对应流线的
时间比值为一常数 @ 两个流场的速度场、加速度场的几何相似
@ 所有对应点之间的速度和加速度之比保持一致 z 质量相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，对应点上的密度之比为常值 z 动力相似 @ 定义：在两个几何相似的流动中，对应点上的流体微团所受到的
z 引入无量纲坐标x*=x/B和无量纲时间t*=tU/B，则得无量纲方程：
d 2 x* dt *
2
n0 B dx* 2 ⎛ n0 B ⎞ 2 x π + 4πζ + = Cf 4 ⎜ U ⎟ U dt * ⎝ ⎠
2
⎛ ρ B2 H ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2M ⎠
z 空气动力学ÆCf 是 D/B和H/B的函数
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3 4
ns 3.13n11 Q11
7 n 9.81HQ 3.65n Q ns 5 3 6 4 H H 4
如果N定义为马力：
ns n N (hp ) H
5 4
7 n N ( KW ) 7 ns 5 6 6 H 4
ns 3.65n11 Q11
比转速是一个重要的综合参数，它代表同一系列水轮机 在相似工况下运行的综合性能。 目前国内大多采用比转速作为水轮机系列分类的依据。 通常规定：采用设计工况或最优工况下的比转速作为水 轮机分类的特征参数。
1.转速相似定律
u1
Vx K vx 2 gH s
U1 Vx
n M D1M H M sM
D1 n
60
K u1 2 gH s
nD1 H s
60 K u1 2 g
84.6 K u1
84.6 K u1M
nD1 H s
n M D1M H M sM
常数
2.流量相似定律
当 10 原型与模型最高效率的差值 ( 0 ) 0.916 0.872 0.044
T M ( 0 ) 0.865 0.044 0.909
第三节
一、水轮机比转速概念
水轮机的比转速
能综合反映水轮机性能的单位参数
nD1 n11 H
N 11
[ 例 5-2] 已 知 轴 流 转 桨 式 水 轮 机 模 型 试 验 数 据 ： D 0.46m , H 3.5m ； 在 最 优 工 况 时 （ 轮 叶 转 角 0 ） ， 0.89, 当 10 时，最高效率 ( M 0 ) 0.872 ，相应于 ( ) 的协联 工况的 0.865 。若同系列原型水轮机的 D 4.5m ,试求 H 2.8m 时在同一最优工况和协联工况运行的效率T 0 和T 。 解：由式（5-18）
5 5
则原型水轮机的最高效率
max 1 (1 M max )
D1M 1 (1 0.88) D1 0.46 0.911 2
单位参数修正
n11 n11M (
max 0.911 1) n11M ( 1) 0.02n11M 3% n11M 0.88 M max
对直径大于1米的水轮机来说，如进行水轮机原 型实验来修正理论计算，是既不经济而又非常困难 的，甚至有时不可能实现。 模型试验：在实验室的条件下，将水轮机原型按比 例缩小为模型，进行水轮机试验，通过模型试验修 正理论计算。 优点：可保证制造速度快，费用低、试验测量方便 而又正确，同时可以进行几个方案的试验，取其最 好的方案。 需解决的关键技术： 1、模型试验结果如何换算到原型去？ 2、模型与原型如何保持相似？
单位转速
n
11
nD1 H s
单位流量
Q11
Q D12 H S
单位出力
N N 2 D1 ( H S ) 3 / 2
11
假定同系列水轮机的效率相同
nD1 n11 H
Q11
Q D
2 1
H
N 11
N 2 3/ 2 D1 H
单位转速、单位流量
第一，分别表示惯性力相似和压力相似的准 则，是判别几何相似的两个同型号水轮机运行工 况相似的依据。 第二，利用单位转速和单位流量可作为衡量水 轮机技术性能的指标。在水头和转轮直径相同的 条件下，具有较大单位转速和单位流量的水轮机 性能较优越。
混流式
T 0 1 (1 M 0 )
5
D1M D1
D1M D1
10
轴流式 T 0 1 (1 M 0 )(0.3 0.7
HM ) H
最优工况下原型、模型效率的差值:
0 T 0 M 0
2、非最优工况下的效率修正
当水轮机偏离最优工况时，水流的流态比较复杂，涡流 损失比摩阻损失大得多，此时，两水轮机的水力效率之间 关系难以确定。目前对于一般工况时效率修正采用简化的 方法。 简化方法的原则：认为非最优工况的原模型效率差值均与 最优工况时的相同。
1M
M0
110 M
M
1T
5
T 0 1 (1 M 0 ) (0.3 0.7
D1M D1T
5
10
3.5 ) 0.927 28
10
当 10 原型与模型最高效率的差值
( T 0 ) 1 1 ( M 0 ) (0.3 0.7 D1M D1T 3.5 ) 0.916 28
H S
QM 0 M D
2 1M
H M SM
常数
3.出力相似定律
Q 0 D12 H S QM 0 M D12M H M SM 常数
N 9.81QH
Q CD
2 1
H S / 0
S 0 j
N D (HS ) j
2 1 3/ 2
9.81 C
3
M
M
M
n11M
Q11M
nM D1M 282 0.46 64.8r / min HM 4 Q 0.38 3 0.9 /s 2 M m D1M H M 0.462 4
模型水轮机的最高效率
M max
NM 13.1 13.1 0.88 9.81QM H M 9.81QM H M 9.81 0.38 4
几何相似实质：原型与模型水轮机主要过流部件形状应相 同，只是大小不等，其中转轮形状必须相同，叶片相应的角 度相等。
'1 '1 M
'2 '2 M
b0 a0 D1 D1M b0 M a0 M
2、运动相似 两个水轮机所形成的液流，相应点处的速度 同名者方向相同，大小成比例，相应的夹角相 等。即相应点处的速度三角形相似一般也称其 为等角工况。
水轮机相似理论：研究模型与原型相似关系 的理论。 水轮机系列：水轮机的相应尺寸大小不等， 但过流部件几何形状相似，成同一比例。 同系列水轮机的特性参数在一定的条件 下，存在着一定的相似关系。 因此水轮机原型可以按比例缩小为模型 进行研究。
一、相似条件
水轮机的相似条件：指模型与原型水轮机满足这 些条件后，模型与原型中的水流流态相似，即模 型水轮机中的水流运动就是原型水轮机水流运动 的缩影，此时模型与原型水轮机水力性能相似， 因而也有相似的工况。 1、几何相似 两个水轮机过流部分几何形状与表面糙度相 同，并且一切相应的线性尺寸成比例。
N 2 3/ 2 D1 H
5/ 4
n11 N 11 n N / H
对于同一系列水轮机，在相似工况下其n11、N11均为 常数，因此 水轮机比转速
n N ns 5 4 H
n N ns 5 4 H
n11 H N 9.81HQ , n 和Q Q11 D12 H D1
n s 3.13 n Q H
Vx K vx 2 gH s
Vm1 K vm1 2 gH s
Q 0 Vm1 F1
Q 0 D
2 1
F1 D1b0 f fb0 D12 D12
QM 0 M D
2 1M
H S
K vm1 2 g
H M SM
M K vm1M 2 g
Q 0 D
2 1
二、相似定律
相似工况：同一系列水轮机保持运动相似的工况 。 相似定律：水轮机在相似工况下运行时，其各工作参 数（如水头、流量、转速等）之间的固定关系。
1 H s Vu1U1 Vu 2U 2 g
Vu1 U1 ; Vu 2 U 2 ; U1 Vx ; U 2 Vx
Vx K vx 2 gH s
T M 0
对转桨式水轮机，转轮桨叶转角不同时，相应的最高效率值 也不同，故效率修正值应随转角而变，每个转角对应一个效率 修正值。修正原型水轮机效率时，应采用对应于同一个转角的 效率修正值。
一、单位参数的修正
假定在最优工况时，水力效率是水轮机效率的主要组成部 分，忽略容积损失和机械损失。 nD1 n M D1M nD1 n11 H s H M sM H
V1 u1 W1 V1M u1M W1M
1 1M
1 1M
3、动力相似 两个水轮机所形成的液流中各相应点所受的 力，数量相同、名称相同，且同名力方向一 致，大小成比例。作用在液流上的力主要有压 力、惯性力、粘性力和重力等，同时包括相同 的边界条件。 抓住主要矛盾，忽略某些次要条件，待由模型 换算到原型去时，再进行适当的修正。
n11
s
2 1
n11M
sM
QM0M D
2 1Ms Leabharlann n11Q11
n11M
M
Q
Q0 D HS
Q11 0
HMSM
D12 H
s
Q11M 0 M
sM
s 0 0 M
Q11
Q11M
M
n11
Q11
n11M
M
Q11M
n11 n11M
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
9.81C
N D ( H s )
2 1 3/ 2
j
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
常数
三、单位参数
通常规定把模型试验成果都统一换算到： 转轮直径D1为：1m 有效水头Hηs为：1m 对应有单位转速、单位流量和单位出力。
第三章 水轮机的相似理论与模型试验
第一节 水轮机的相似理论与单位参数
ns 3.13n11 Q11
7 n 9.81HQ 3.65n Q ns 5 3 6 4 H H 4
如果N定义为马力：
ns n N (hp ) H
5 4
7 n N ( KW ) 7 ns 5 6 6 H 4
ns 3.65n11 Q11
比转速是一个重要的综合参数，它代表同一系列水轮机 在相似工况下运行的综合性能。 目前国内大多采用比转速作为水轮机系列分类的依据。 通常规定：采用设计工况或最优工况下的比转速作为水 轮机分类的特征参数。
1.转速相似定律
u1
Vx K vx 2 gH s
U1 Vx
n M D1M H M sM
D1 n
60
K u1 2 gH s
nD1 H s
60 K u1 2 g
84.6 K u1
84.6 K u1M
nD1 H s
n M D1M H M sM
常数
2.流量相似定律
当 10 原型与模型最高效率的差值 ( 0 ) 0.916 0.872 0.044
T M ( 0 ) 0.865 0.044 0.909
第三节
一、水轮机比转速概念
水轮机的比转速
能综合反映水轮机性能的单位参数
nD1 n11 H
N 11
[ 例 5-2] 已 知 轴 流 转 桨 式 水 轮 机 模 型 试 验 数 据 ： D 0.46m , H 3.5m ； 在 最 优 工 况 时 （ 轮 叶 转 角 0 ） ， 0.89, 当 10 时，最高效率 ( M 0 ) 0.872 ，相应于 ( ) 的协联 工况的 0.865 。若同系列原型水轮机的 D 4.5m ,试求 H 2.8m 时在同一最优工况和协联工况运行的效率T 0 和T 。 解：由式（5-18）
5 5
则原型水轮机的最高效率
max 1 (1 M max )
D1M 1 (1 0.88) D1 0.46 0.911 2
单位参数修正
n11 n11M (
max 0.911 1) n11M ( 1) 0.02n11M 3% n11M 0.88 M max
对直径大于1米的水轮机来说，如进行水轮机原 型实验来修正理论计算，是既不经济而又非常困难 的，甚至有时不可能实现。 模型试验：在实验室的条件下，将水轮机原型按比 例缩小为模型，进行水轮机试验，通过模型试验修 正理论计算。 优点：可保证制造速度快，费用低、试验测量方便 而又正确，同时可以进行几个方案的试验，取其最 好的方案。 需解决的关键技术： 1、模型试验结果如何换算到原型去？ 2、模型与原型如何保持相似？
单位转速
n
11
nD1 H s
单位流量
Q11
Q D12 H S
单位出力
N N 2 D1 ( H S ) 3 / 2
11
假定同系列水轮机的效率相同
nD1 n11 H
Q11
Q D
2 1
H
N 11
N 2 3/ 2 D1 H
单位转速、单位流量
第一，分别表示惯性力相似和压力相似的准 则，是判别几何相似的两个同型号水轮机运行工 况相似的依据。 第二，利用单位转速和单位流量可作为衡量水 轮机技术性能的指标。在水头和转轮直径相同的 条件下，具有较大单位转速和单位流量的水轮机 性能较优越。
混流式
T 0 1 (1 M 0 )
5
D1M D1
D1M D1
10
轴流式 T 0 1 (1 M 0 )(0.3 0.7
HM ) H
最优工况下原型、模型效率的差值:
0 T 0 M 0
2、非最优工况下的效率修正
当水轮机偏离最优工况时，水流的流态比较复杂，涡流 损失比摩阻损失大得多，此时，两水轮机的水力效率之间 关系难以确定。目前对于一般工况时效率修正采用简化的 方法。 简化方法的原则：认为非最优工况的原模型效率差值均与 最优工况时的相同。
1M
M0
110 M
M
1T
5
T 0 1 (1 M 0 ) (0.3 0.7
D1M D1T
5
10
3.5 ) 0.927 28
10
当 10 原型与模型最高效率的差值
( T 0 ) 1 1 ( M 0 ) (0.3 0.7 D1M D1T 3.5 ) 0.916 28
H S
QM 0 M D
2 1M
H M SM
常数
3.出力相似定律
Q 0 D12 H S QM 0 M D12M H M SM 常数
N 9.81QH
Q CD
2 1
H S / 0
S 0 j
N D (HS ) j
2 1 3/ 2
9.81 C
3
M
M
M
n11M
Q11M
nM D1M 282 0.46 64.8r / min HM 4 Q 0.38 3 0.9 /s 2 M m D1M H M 0.462 4
模型水轮机的最高效率
M max
NM 13.1 13.1 0.88 9.81QM H M 9.81QM H M 9.81 0.38 4
几何相似实质：原型与模型水轮机主要过流部件形状应相 同，只是大小不等，其中转轮形状必须相同，叶片相应的角 度相等。
'1 '1 M
'2 '2 M
b0 a0 D1 D1M b0 M a0 M
2、运动相似 两个水轮机所形成的液流，相应点处的速度 同名者方向相同，大小成比例，相应的夹角相 等。即相应点处的速度三角形相似一般也称其 为等角工况。
水轮机相似理论：研究模型与原型相似关系 的理论。 水轮机系列：水轮机的相应尺寸大小不等， 但过流部件几何形状相似，成同一比例。 同系列水轮机的特性参数在一定的条件 下，存在着一定的相似关系。 因此水轮机原型可以按比例缩小为模型 进行研究。
一、相似条件
水轮机的相似条件：指模型与原型水轮机满足这 些条件后，模型与原型中的水流流态相似，即模 型水轮机中的水流运动就是原型水轮机水流运动 的缩影，此时模型与原型水轮机水力性能相似， 因而也有相似的工况。 1、几何相似 两个水轮机过流部分几何形状与表面糙度相 同，并且一切相应的线性尺寸成比例。
N 2 3/ 2 D1 H
5/ 4
n11 N 11 n N / H
对于同一系列水轮机，在相似工况下其n11、N11均为 常数，因此 水轮机比转速
n N ns 5 4 H
n N ns 5 4 H
n11 H N 9.81HQ , n 和Q Q11 D12 H D1
n s 3.13 n Q H
Vx K vx 2 gH s
Vm1 K vm1 2 gH s
Q 0 Vm1 F1
Q 0 D
2 1
F1 D1b0 f fb0 D12 D12
QM 0 M D
2 1M
H S
K vm1 2 g
H M SM
M K vm1M 2 g
Q 0 D
2 1
二、相似定律
相似工况：同一系列水轮机保持运动相似的工况 。 相似定律：水轮机在相似工况下运行时，其各工作参 数（如水头、流量、转速等）之间的固定关系。
1 H s Vu1U1 Vu 2U 2 g
Vu1 U1 ; Vu 2 U 2 ; U1 Vx ; U 2 Vx
Vx K vx 2 gH s
T M 0
对转桨式水轮机，转轮桨叶转角不同时，相应的最高效率值 也不同，故效率修正值应随转角而变，每个转角对应一个效率 修正值。修正原型水轮机效率时，应采用对应于同一个转角的 效率修正值。
一、单位参数的修正
假定在最优工况时，水力效率是水轮机效率的主要组成部 分，忽略容积损失和机械损失。 nD1 n M D1M nD1 n11 H s H M sM H
V1 u1 W1 V1M u1M W1M
1 1M
1 1M
3、动力相似 两个水轮机所形成的液流中各相应点所受的 力，数量相同、名称相同，且同名力方向一 致，大小成比例。作用在液流上的力主要有压 力、惯性力、粘性力和重力等，同时包括相同 的边界条件。 抓住主要矛盾，忽略某些次要条件，待由模型 换算到原型去时，再进行适当的修正。
n11
s
2 1
n11M
sM
QM0M D
2 1Ms Leabharlann n11Q11
n11M
M
Q
Q0 D HS
Q11 0
HMSM
D12 H
s
Q11M 0 M
sM
s 0 0 M
Q11
Q11M
M
n11
Q11
n11M
M
Q11M
n11 n11M
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
9.81C
N D ( H s )
2 1 3/ 2
j
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
常数
三、单位参数
通常规定把模型试验成果都统一换算到： 转轮直径D1为：1m 有效水头Hηs为：1m 对应有单位转速、单位流量和单位出力。
第三章 水轮机的相似理论与模型试验
第一节 水轮机的相似理论与单位参数