第三章 相似理论
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5 5
则原型水轮机的最高效率
max 1 (1 M max )
D1M 1 (1 0.88) D1 0.46 0.911 2
单位参数修正
n11 n11M (
max 0.911 1) n11M ( 1) 0.02n11M 3% n11M 0.88 M max
二、相似定律
相似工况：同一系列水轮机保持运动相似的工况 。 相似定律：水轮机在相似工况下运行时，其各工作参 数（如水头、流量、转速等）之间的固定关系。
1 H s Vu1U1 Vu 2U 2 g
Vu1 U1 ; Vu 2 U 2 ; U1 Vx ; U 2 Vx
Vx K vx 2 gH s
1、最优工况下的效率修正 基本假定
（1）水力损失△H仅有粘性摩擦损失,此情况比较符合最优工况。 （2）水轮机中的粘性摩擦损失类似于圆管中的沿程度摩擦损失， 此损失用下式计算：
l V2 H d 2g
（3）水轮机中的流态处于“水力光滑区”，水头损失系数仅与雷 诺数有关，而与管壁粗糙度无关。
5
对直径大于1米的水轮机来说，如进行水轮机原 型实验来修正理论计算，是既不经济而又非常困难 的，甚至有时不可能实现。 模型试验：在实验室的条件下，将水轮机原型按比 例缩小为模型，进行水轮机试验，通过模型试验修 正理论计算。 优点：可保证制造速度快，费用低、试验测量方便 而又正确，同时可以进行几个方案的试验，取其最 好的方案。 需解决的关键技术： 1、模型试验结果如何换算到原型去？ 2、模型与原型如何保持相似？
n11
s
2 1
n11M
sM
QM0M D
2 1M
s
n11
Q11
n11M
M
Q
Q0 D HS
Q11 0
HMSM
D12 H
s
Q11M 0 M
sM
s 0 0 M
Q11
Q11M
M
n11
Q11
n11M
M
Q11M
n11 n11M
V1 u1 W1 V1M u1M W1M
1 1M
1 1M
3、动力相似 两个水轮机所形成的液流中各相应点所受的 力，数量相同、名称相同，且同名力方向一 致，大小成比例。作用在液流上的力主要有压 力、惯性力、粘性力和重力等，同时包括相同 的边界条件。 抓住主要矛盾，忽略某些次要条件，待由模型 换算到原型去时，再进行适当的修正。
第三章 水轮机的相似理论与模型试验
第一节 水轮机的相似理论与单位参数
水流在水轮机内的运动情况十分复杂， 对水流在水轮机内的运动规律作了很多研 究，获得了不少的成就。到目前为止，尚 没有完全掌握这种规律。 理论计算不能十分正确地反映水流在水 轮机的运动规律，原因：引入假设条件。 通过模型试验，对理论计算加以校核。 近年来CFD技术在水轮机中的应用发展 迅猛。
n11和Q11 可不考虑，即
n11 n11M 64.86r / min
Q11 Q11M 0.9m3 / s
则
n n11 H 30 64.86 178r / min D1 2
Q Q11 D12 H 0.9 22 30 19.7m3 / s
N 9.81QHmax 9.81 19.7 30 0.911 5281.7 KW
3
M
M
M
n11M
Q11M
nM D1M 282 0.46 64.8r / min HM 4 Q 0.38 3 0.9 /s 2 M m D1M H M 0.462 4
模型水轮机的最高效率
M max
NM 13.1 13.1 0.88 9.81QM H M 9.81QM H M 9.81 0.38 4
N 2 3/ 2 D1 H
5/ 4
n11 N 11 n N / H
对于同一系列水轮机，在相似工况下其n11、N11均为 常数，因此 水轮机比转速
n N ns 5 4 H
n N ns 5 4 H
n11 H N 9.81HQ , n 和Q Q11 D12 H D1
n s 3.13 n Q H
M
M
M
Q11 Q11M
n11 n11 n11M n11M
n11M n11M ( 1) M M
Q11M Q11M ( 1) M M
Q11 Q11 Q11M Q11M
例 题 [ 例 5-1] 已知混流式水轮机模型直径 D1M 0.46m ，试验水头 H 4m ，在最高效率时，转速为 nM 282r / min ，流量 Q 0.38m / s ， 出力 N 13.1KW 。若原型水轮机的直径 D1 2m ,工作水头 H 30 m ， 试求最优工况下原型水轮机的 n, N , Q, ？ 解：模型水轮机单位参数为
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
9.81C
N D ( H s )
2 1 3/ 2
j
wk.baidu.com
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
常数
三、单位参数
通常规定把模型试验成果都统一换算到： 转轮直径D1为：1m 有效水头Hηs为：1m 对应有单位转速、单位流量和单位出力。
1.转速相似定律
u1
Vx K vx 2 gH s
U1 Vx
n M D1M H M sM
D1 n
60
K u1 2 gH s
nD1 H s
60 K u1 2 g
84.6 K u1
84.6 K u1M
nD1 H s
n M D1M H M sM
常数
2.流量相似定律
1M
M0
110 M
M
1T
5
T 0 1 (1 M 0 ) (0.3 0.7
D1M D1T
5
10
3.5 ) 0.927 28
10
当 10 原型与模型最高效率的差值
( T 0 ) 1 1 ( M 0 ) (0.3 0.7 D1M D1T 3.5 ) 0.916 28
单位转速
n
11
nD1 H s
单位流量
Q11
Q D12 H S
单位出力
N N 2 D1 ( H S ) 3 / 2
11
假定同系列水轮机的效率相同
nD1 n11 H
Q11
Q D
2 1
H
N 11
N 2 3/ 2 D1 H
单位转速、单位流量
第一，分别表示惯性力相似和压力相似的准 则，是判别几何相似的两个同型号水轮机运行工 况相似的依据。 第二，利用单位转速和单位流量可作为衡量水 轮机技术性能的指标。在水头和转轮直径相同的 条件下，具有较大单位转速和单位流量的水轮机 性能较优越。
第二节
水轮机效率换算与单位参数修正
一、水轮机效率换算
几何相似水轮机在相似工况下，原、模型效率并不相等。 原因：在实验室进行水轮机模型试验时，模型与原型不可能 保持完全的力学相似，雷诺数并不相等，由粘性力引起的水 力摩擦相对损失在原模型中就不相等。 解决办法：对模型试验所得数据进行修正，从而较准确地推 算出原型水轮机的效率。
T M 0
对转桨式水轮机，转轮桨叶转角不同时，相应的最高效率值 也不同，故效率修正值应随转角而变，每个转角对应一个效率 修正值。修正原型水轮机效率时，应采用对应于同一个转角的 效率修正值。
一、单位参数的修正
假定在最优工况时，水力效率是水轮机效率的主要组成部 分，忽略容积损失和机械损失。 nD1 n M D1M nD1 n11 H s H M sM H
水轮机相似理论：研究模型与原型相似关系 的理论。 水轮机系列：水轮机的相应尺寸大小不等， 但过流部件几何形状相似，成同一比例。 同系列水轮机的特性参数在一定的条件 下，存在着一定的相似关系。 因此水轮机原型可以按比例缩小为模型 进行研究。
一、相似条件
水轮机的相似条件：指模型与原型水轮机满足这 些条件后，模型与原型中的水流流态相似，即模 型水轮机中的水流运动就是原型水轮机水流运动 的缩影，此时模型与原型水轮机水力性能相似， 因而也有相似的工况。 1、几何相似 两个水轮机过流部分几何形状与表面糙度相 同，并且一切相应的线性尺寸成比例。
H S
QM 0 M D
2 1M
H M SM
常数
3.出力相似定律
Q 0 D12 H S QM 0 M D12M H M SM 常数
N 9.81QH
Q CD
2 1
H S / 0
S 0 j
N D (HS ) j
2 1 3/ 2
9.81 C
几何相似实质：原型与模型水轮机主要过流部件形状应相 同，只是大小不等，其中转轮形状必须相同，叶片相应的角 度相等。
'1 '1 M
'2 '2 M
b0 a0 D1 D1M b0 M a0 M
2、运动相似 两个水轮机所形成的液流，相应点处的速度 同名者方向相同，大小成比例，相应的夹角相 等。即相应点处的速度三角形相似一般也称其 为等角工况。
当 10 原型与模型最高效率的差值 ( 0 ) 0.916 0.872 0.044
T M ( 0 ) 0.865 0.044 0.909
第三节
一、水轮机比转速概念
水轮机的比转速
能综合反映水轮机性能的单位参数
nD1 n11 H
N 11
水斗式： 混流式： 斜流式： 轴流式：
ns=10～70 ns=60～350 ns=200～450 ns=400～900
增大比转速可提高出力，增大机组转速，使发电机外形尺 寸减小，因此提高比转速能提高机组动能效益及降低机组造 价和厂房土建投资。
二、比转速与水轮机性能关系
1.比转速与水轮机性能 水轮机性能一般是指水轮机能量，空化等水力性能。 额定工况（即满 负荷）时空化系数 的平均值可按经验 公式绘出：
3 4
ns 3.13n11 Q11
7 n 9.81HQ 3.65n Q ns 5 3 6 4 H H 4
如果N定义为马力：
ns n N (hp ) H
5 4
7 n N ( KW ) 7 ns 5 6 6 H 4
ns 3.65n11 Q11
比转速是一个重要的综合参数，它代表同一系列水轮机 在相似工况下运行的综合性能。 目前国内大多采用比转速作为水轮机系列分类的依据。 通常规定：采用设计工况或最优工况下的比转速作为水 轮机分类的特征参数。
[ 例 5-2] 已 知 轴 流 转 桨 式 水 轮 机 模 型 试 验 数 据 ： D 0.46m , H 3.5m ； 在 最 优 工 况 时 （ 轮 叶 转 角 0 ） ， 0.89, 当 10 时，最高效率 ( M 0 ) 0.872 ，相应于 ( ) 的协联 工况的 0.865 。若同系列原型水轮机的 D 4.5m ,试求 H 2.8m 时在同一最优工况和协联工况运行的效率T 0 和T 。 解：由式（5-18）
Vx K vx 2 gH s
Vm1 K vm1 2 gH s
Q 0 Vm1 F1
Q 0 D
2 1
F1 D1b0 f fb0 D12 D12
QM 0 M D
2 1M
H S
K vm1 2 g
H M SM
M K vm1M 2 g
Q 0 D
2 1
混流式
T 0 1 (1 M 0 )
5
D1M D1
D1M D1
10
轴流式 T 0 1 (1 M 0 )(0.3 0.7
HM ) H
最优工况下原型、模型效率的差值:
0 T 0 M 0
2、非最优工况下的效率修正
当水轮机偏离最优工况时，水流的流态比较复杂，涡流 损失比摩阻损失大得多，此时，两水轮机的水力效率之间 关系难以确定。目前对于一般工况时效率修正采用简化的 方法。 简化方法的原则：认为非最优工况的原模型效率差值均与 最优工况时的相同。
则原型水轮机的最高效率
max 1 (1 M max )
D1M 1 (1 0.88) D1 0.46 0.911 2
单位参数修正
n11 n11M (
max 0.911 1) n11M ( 1) 0.02n11M 3% n11M 0.88 M max
二、相似定律
相似工况：同一系列水轮机保持运动相似的工况 。 相似定律：水轮机在相似工况下运行时，其各工作参 数（如水头、流量、转速等）之间的固定关系。
1 H s Vu1U1 Vu 2U 2 g
Vu1 U1 ; Vu 2 U 2 ; U1 Vx ; U 2 Vx
Vx K vx 2 gH s
1、最优工况下的效率修正 基本假定
（1）水力损失△H仅有粘性摩擦损失,此情况比较符合最优工况。 （2）水轮机中的粘性摩擦损失类似于圆管中的沿程度摩擦损失， 此损失用下式计算：
l V2 H d 2g
（3）水轮机中的流态处于“水力光滑区”，水头损失系数仅与雷 诺数有关，而与管壁粗糙度无关。
5
对直径大于1米的水轮机来说，如进行水轮机原 型实验来修正理论计算，是既不经济而又非常困难 的，甚至有时不可能实现。 模型试验：在实验室的条件下，将水轮机原型按比 例缩小为模型，进行水轮机试验，通过模型试验修 正理论计算。 优点：可保证制造速度快，费用低、试验测量方便 而又正确，同时可以进行几个方案的试验，取其最 好的方案。 需解决的关键技术： 1、模型试验结果如何换算到原型去？ 2、模型与原型如何保持相似？
n11
s
2 1
n11M
sM
QM0M D
2 1M
s
n11
Q11
n11M
M
Q
Q0 D HS
Q11 0
HMSM
D12 H
s
Q11M 0 M
sM
s 0 0 M
Q11
Q11M
M
n11
Q11
n11M
M
Q11M
n11 n11M
V1 u1 W1 V1M u1M W1M
1 1M
1 1M
3、动力相似 两个水轮机所形成的液流中各相应点所受的 力，数量相同、名称相同，且同名力方向一 致，大小成比例。作用在液流上的力主要有压 力、惯性力、粘性力和重力等，同时包括相同 的边界条件。 抓住主要矛盾，忽略某些次要条件，待由模型 换算到原型去时，再进行适当的修正。
第三章 水轮机的相似理论与模型试验
第一节 水轮机的相似理论与单位参数
水流在水轮机内的运动情况十分复杂， 对水流在水轮机内的运动规律作了很多研 究，获得了不少的成就。到目前为止，尚 没有完全掌握这种规律。 理论计算不能十分正确地反映水流在水 轮机的运动规律，原因：引入假设条件。 通过模型试验，对理论计算加以校核。 近年来CFD技术在水轮机中的应用发展 迅猛。
n11和Q11 可不考虑，即
n11 n11M 64.86r / min
Q11 Q11M 0.9m3 / s
则
n n11 H 30 64.86 178r / min D1 2
Q Q11 D12 H 0.9 22 30 19.7m3 / s
N 9.81QHmax 9.81 19.7 30 0.911 5281.7 KW
3
M
M
M
n11M
Q11M
nM D1M 282 0.46 64.8r / min HM 4 Q 0.38 3 0.9 /s 2 M m D1M H M 0.462 4
模型水轮机的最高效率
M max
NM 13.1 13.1 0.88 9.81QM H M 9.81QM H M 9.81 0.38 4
N 2 3/ 2 D1 H
5/ 4
n11 N 11 n N / H
对于同一系列水轮机，在相似工况下其n11、N11均为 常数，因此 水轮机比转速
n N ns 5 4 H
n N ns 5 4 H
n11 H N 9.81HQ , n 和Q Q11 D12 H D1
n s 3.13 n Q H
M
M
M
Q11 Q11M
n11 n11 n11M n11M
n11M n11M ( 1) M M
Q11M Q11M ( 1) M M
Q11 Q11 Q11M Q11M
例 题 [ 例 5-1] 已知混流式水轮机模型直径 D1M 0.46m ，试验水头 H 4m ，在最高效率时，转速为 nM 282r / min ，流量 Q 0.38m / s ， 出力 N 13.1KW 。若原型水轮机的直径 D1 2m ,工作水头 H 30 m ， 试求最优工况下原型水轮机的 n, N , Q, ？ 解：模型水轮机单位参数为
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
9.81C
N D ( H s )
2 1 3/ 2
j
wk.baidu.com
NM D ( H M sM )
2 1M 3/ 2
jM
常数
三、单位参数
通常规定把模型试验成果都统一换算到： 转轮直径D1为：1m 有效水头Hηs为：1m 对应有单位转速、单位流量和单位出力。
1.转速相似定律
u1
Vx K vx 2 gH s
U1 Vx
n M D1M H M sM
D1 n
60
K u1 2 gH s
nD1 H s
60 K u1 2 g
84.6 K u1
84.6 K u1M
nD1 H s
n M D1M H M sM
常数
2.流量相似定律
1M
M0
110 M
M
1T
5
T 0 1 (1 M 0 ) (0.3 0.7
D1M D1T
5
10
3.5 ) 0.927 28
10
当 10 原型与模型最高效率的差值
( T 0 ) 1 1 ( M 0 ) (0.3 0.7 D1M D1T 3.5 ) 0.916 28
单位转速
n
11
nD1 H s
单位流量
Q11
Q D12 H S
单位出力
N N 2 D1 ( H S ) 3 / 2
11
假定同系列水轮机的效率相同
nD1 n11 H
Q11
Q D
2 1
H
N 11
N 2 3/ 2 D1 H
单位转速、单位流量
第一，分别表示惯性力相似和压力相似的准 则，是判别几何相似的两个同型号水轮机运行工 况相似的依据。 第二，利用单位转速和单位流量可作为衡量水 轮机技术性能的指标。在水头和转轮直径相同的 条件下，具有较大单位转速和单位流量的水轮机 性能较优越。
第二节
水轮机效率换算与单位参数修正
一、水轮机效率换算
几何相似水轮机在相似工况下，原、模型效率并不相等。 原因：在实验室进行水轮机模型试验时，模型与原型不可能 保持完全的力学相似，雷诺数并不相等，由粘性力引起的水 力摩擦相对损失在原模型中就不相等。 解决办法：对模型试验所得数据进行修正，从而较准确地推 算出原型水轮机的效率。
T M 0
对转桨式水轮机，转轮桨叶转角不同时，相应的最高效率值 也不同，故效率修正值应随转角而变，每个转角对应一个效率 修正值。修正原型水轮机效率时，应采用对应于同一个转角的 效率修正值。
一、单位参数的修正
假定在最优工况时，水力效率是水轮机效率的主要组成部 分，忽略容积损失和机械损失。 nD1 n M D1M nD1 n11 H s H M sM H
水轮机相似理论：研究模型与原型相似关系 的理论。 水轮机系列：水轮机的相应尺寸大小不等， 但过流部件几何形状相似，成同一比例。 同系列水轮机的特性参数在一定的条件 下，存在着一定的相似关系。 因此水轮机原型可以按比例缩小为模型 进行研究。
一、相似条件
水轮机的相似条件：指模型与原型水轮机满足这 些条件后，模型与原型中的水流流态相似，即模 型水轮机中的水流运动就是原型水轮机水流运动 的缩影，此时模型与原型水轮机水力性能相似， 因而也有相似的工况。 1、几何相似 两个水轮机过流部分几何形状与表面糙度相 同，并且一切相应的线性尺寸成比例。
H S
QM 0 M D
2 1M
H M SM
常数
3.出力相似定律
Q 0 D12 H S QM 0 M D12M H M SM 常数
N 9.81QH
Q CD
2 1
H S / 0
S 0 j
N D (HS ) j
2 1 3/ 2
9.81 C
几何相似实质：原型与模型水轮机主要过流部件形状应相 同，只是大小不等，其中转轮形状必须相同，叶片相应的角 度相等。
'1 '1 M
'2 '2 M
b0 a0 D1 D1M b0 M a0 M
2、运动相似 两个水轮机所形成的液流，相应点处的速度 同名者方向相同，大小成比例，相应的夹角相 等。即相应点处的速度三角形相似一般也称其 为等角工况。
当 10 原型与模型最高效率的差值 ( 0 ) 0.916 0.872 0.044
T M ( 0 ) 0.865 0.044 0.909
第三节
一、水轮机比转速概念
水轮机的比转速
能综合反映水轮机性能的单位参数
nD1 n11 H
N 11
水斗式： 混流式： 斜流式： 轴流式：
ns=10～70 ns=60～350 ns=200～450 ns=400～900
增大比转速可提高出力，增大机组转速，使发电机外形尺 寸减小，因此提高比转速能提高机组动能效益及降低机组造 价和厂房土建投资。
二、比转速与水轮机性能关系
1.比转速与水轮机性能 水轮机性能一般是指水轮机能量，空化等水力性能。 额定工况（即满 负荷）时空化系数 的平均值可按经验 公式绘出：
3 4
ns 3.13n11 Q11
7 n 9.81HQ 3.65n Q ns 5 3 6 4 H H 4
如果N定义为马力：
ns n N (hp ) H
5 4
7 n N ( KW ) 7 ns 5 6 6 H 4
ns 3.65n11 Q11
比转速是一个重要的综合参数，它代表同一系列水轮机 在相似工况下运行的综合性能。 目前国内大多采用比转速作为水轮机系列分类的依据。 通常规定：采用设计工况或最优工况下的比转速作为水 轮机分类的特征参数。
[ 例 5-2] 已 知 轴 流 转 桨 式 水 轮 机 模 型 试 验 数 据 ： D 0.46m , H 3.5m ； 在 最 优 工 况 时 （ 轮 叶 转 角 0 ） ， 0.89, 当 10 时，最高效率 ( M 0 ) 0.872 ，相应于 ( ) 的协联 工况的 0.865 。若同系列原型水轮机的 D 4.5m ,试求 H 2.8m 时在同一最优工况和协联工况运行的效率T 0 和T 。 解：由式（5-18）
Vx K vx 2 gH s
Vm1 K vm1 2 gH s
Q 0 Vm1 F1
Q 0 D
2 1
F1 D1b0 f fb0 D12 D12
QM 0 M D
2 1M
H S
K vm1 2 g
H M SM
M K vm1M 2 g
Q 0 D
2 1
混流式
T 0 1 (1 M 0 )
5
D1M D1
D1M D1
10
轴流式 T 0 1 (1 M 0 )(0.3 0.7
HM ) H
最优工况下原型、模型效率的差值:
0 T 0 M 0
2、非最优工况下的效率修正
当水轮机偏离最优工况时，水流的流态比较复杂，涡流 损失比摩阻损失大得多，此时，两水轮机的水力效率之间 关系难以确定。目前对于一般工况时效率修正采用简化的 方法。 简化方法的原则：认为非最优工况的原模型效率差值均与 最优工况时的相同。