第四章：智能仪器的数据处理(2系统误差校正和标度变换)

n n a n x 0 + a n 1x 0 1 + a1x1 + a 0 = y 0 0 n n 1 1 a n x1 + a n 1x1 + a1x1 + a 0 = y1 a x n + a x n 1 + a x1 + a = y n 1 n 1 n 0 n n n
要用已知的( 要用已知的(xi, yi) (i = 0, 1, …, n)去求 , n)去求 解方程组,即可求得a 解方程组,即可求得ai(i = 0, 1, …, n),从 , n), 而得到P (x). 而得到Pn(x).此即为求出插值多项式的最基本 的方法. 对于每一个信号的测量数值x 的方法. 对于每一个信号的测量数值xi就可近 似地实时计算出被测量yi = f(xi)≈Pn(xi). 似地实时计算出被测量y
(3) 分段插值法: 分段插值法:
这种方法是将曲线y = f (x) 分成N段, 分成N 这种方法是将曲线y 每段用一个插值多项式P (x)进行非线 每段用一个插值多项式Pni (x)进行非线 性校正(i=1, 2, …N). 性校正( N 等距节点分段插值和不等距节点分段插 值两类. 值两类.
等距节点分段插值: ① 等距节点分段插值: 适用于非线性特性曲率变化不大的场合. 适用于非线性特性曲率变化不大的场合.分 段数N及插值多项式的次数n 段数N及插值多项式的次数n均取决于非线性 程度和仪器的精度要求. 程度和仪器的精度要求.非线性越严重或精 度越高, 取大些或n取大些, 度越高,则N取大些或n取大些,然后存入仪 器的程序存储器中. 器的程序存储器中.实时测量时只要先用程 序判断输入x 即传感器输出数据) 序判断输入x(即传感器输出数据)位于折 线的哪一段,然后取出与该段对应的多项式 线的哪一段, 系数并按此段的插值多项式计算P (x), 系数并按此段的插值多项式计算Pni (x),就 可求得到被测物理量的近似值. 可求得到被测物理量的近似值.
最常用的多项式插值有: 线性插值和抛物线(二次)插值.
yi)中选取 两个有代表性的点( ),然后 两个有代表性的点(x0, y0)和(x1, y1),然后 y 根据插值原理, 根据插值原理,求出插值方程
x x1 x x0 P1 ( x ) = y0 + y1 = a1x + a 0 x 0 x1 x1 x 0
② 不等距节点分段插值对于曲率变化大的 非线性特性, 非线性特性,若采用等距节点的方法进行 插值,要使最大误差满足精度要求,分段 插值,要使最大误差满足精度要求, 就会变得很大(因为一般取n≤2).这 n≤2). 数N就会变得很大(因为一般取n≤2).这 将使多项式的系数组数相应增加.此时更 将使多项式的系数组数相应增加. 宜采且非等距节点分段插值法. 宜采且非等距节点分段插值法.即在线性 好的部分,节点间距离取大些, 好的部分,节点间距离取大些,反之则取 小些, 小些,从而使误差达到均匀分布 .
传感器或检测电 路非比例关系 采用硬件校正电 路实现比例关系 按比例关系刻度 或显示
智能仪器采用软件算法: 智能仪器采用软件算法:建模或查表
建立被测量与采集数据之间的关系, 建立被测量与采集数据之间的关系,给出被测量
1.反函数法
如果知道传感器或检测电路的非线性特性的 解析式y f(x), 解析式y = f(x),则就有可能利用基于此解 析式的校正函数(反函数) 析式的校正函数(反函数)来进行非线性校 正. 例 : 某测温用热敏电阻的阻值与温度之间 的关系为 R = α R e β / T = f (T )
(2)抛物线插值(二阶插值): 抛物线插值(二阶插值) 在一组数据中选取( 在一组数据中选取(x0, y0),(x1, y1), 三点, (x2, y2)三点,相应的插值方程
(x wk.baidu.com1)(x x2) (x x0)(x x2) (x x0)(x x1) P(x) = y0 + y1 + y2 2 (x0 x1)(x0 x2) (x1 x0)(x1 x2) (x2 x0)(x2 x1)
一,仪器零位误差和增益误差的校正方法
由于传感器,测量电路, 由于传感器,测量电路,放大器等不可避 免地存在温度漂移和时间漂移, 免地存在温度漂移和时间漂移,所以会给 仪器引入零位误差和增益误差. 仪器引入零位误差和增益误差. 需要输入增加一个多路开关电路和基准电压. 需要输入增加一个多路开关电路和基准电压. 需要输入增加一个多路开关电路和基准电压 开关的状态由计算机控制. 开关的状态由计算机控制.
当温度在0～ ℃之间: 当温度在 ～50℃之间: α=1.44×10-6 × α= β=4016K β=
2.建模方法之一: 2.建模方法之一:代数插值法 建模方法之一
代数插值: 代数插值:
n+1 设 有 n+1 组 离 散 点 : (x0, y0) , (x1, x∈[a,b]和未知函 y1) , … , (xn, yn) , x∈[a , b] 和未知函 f(x),就是用n 数f(x),就是用n次多项式
y y2 y1 y0 x0 x1 x2 P(X) f(x) ( )
x
现仍以表4.1所列数据说明抛物线插值的个 现仍以表4.1所列数据说明抛物线插值的个 4.1 体作用.节点选择( ),(10.15 250) 10.15, 体作用.节点选择(0,0),(10.15,250) 20.21,490) 和(20.21,490)三点
(1).线性插值:从一组数据(xi, (1).线性插值:从一组数据( 线性插值
y1 y 0 a1 = , a 0 = y 0 a1 x 0 x1 x 0
x
Vi = | P1 (Xi)-f (Xi) |, i = 1, 2, …, n – 1若 , 在x的全部取值区间[a, b]上始终有Vi<ε(ε为允许 的全部取值区间[a, b]上始终有V ε(ε为允许 上始终有 的校正误差) 则直线方程P 的校正误差),则直线方程P1(x) = a1x+a0就是理想 的校正方程. 的校正方程.
Vr ( N x No) V x = Nr No
2.增益误差的自动校正
增益误差校正与零位误差校正过程相同
Vr V x = Nr No ( N x No)
这种校正方法测得信号 克服了放大器的漂移和 增益变化的影响, 增益变化的影响,降低 了对电路器件的要求, 了对电路器件的要求, 达到与Vr Vr等同的测量精 达到与Vr等同的测量精 度,但增加了测量时间
1.零位误差校正 零位误差校正 一个测量过程: 一个测量过程: 先选定增益
把输入接地(即使输入为零) 把输入接地(即使输入为零),此时整个测量 通道的输出即为零位输出N 一般不为零) 通道的输出即为零位输出N0(一般不为零) ; 再把输入接基准电压Vr测得数据Nr 并将N Vr测得数据Nr, 再把输入接基准电压Vr测得数据Nr,并将N0 Nr存于内存 存于内存; 和Nr存于内存; 然后输入接Vx 测得Nx Vx, Nx, 然后输入接Vx,测得Nx,则测量结果可用下 式计算出来. 式计算出来.
Vx =A1*Nx +A0
A1=Vr/(Nr-N0) =Vr/(Nr N Nr) A0=Vr N0/(N0-Nr) Nr 校正系数A 校正系数A1,A0 当通道是程控增益, 当通道是程控增益, 每个增益档有一组系数. 每个增益档有一组系数.
二,系统复杂关系建模算法
传感器的输出电信号与被测量之间的关系呈非 比例关系(非线性); );仪器采用的测量电路是 比例关系(非线性);仪器采用的测量电路是 非线性的 . 传统仪器的模拟表头或数字显示输出结果: 传统仪器的模拟表头或数字显示输出结果:
在表4.1中所列的数据中取三点( 在表4.1中所列的数据中取三点(0,0), 4.1中所列的数据中取三点 10.15,250),(20.21,490), ),(20.21 ),并用 (10.15,250),(20.21,490),并用 经过这三点的两个直线方程来近似代替整 个表格.通过计算得: 个表格.通过计算得:
提高插值多项式的次数可以提高校正准确度. 提高插值多项式的次数可以提高校正准确度. 考虑到实时计算这一情况, 考虑到实时计算这一情况,多项式的次数一般 不宜取得过高, 不宜取得过高,当多项式的次数在允计的范围 内仍不能满足校正精度要求时, 内仍不能满足校正精度要求时,可采用提高校 正精度的另一种方法— 正精度的另一种方法
x( x 20.21) x ( x 10.15) × 250 + × 490 P2 ( x ) = 10.15(10.15 20.21) 20.21( 20.21 10.15) = 0.038 x 2 + 25.02 x
可以验证,用此方程进行非线性较正, 可以验证,用此方程进行非线性较正,每点误 差均不大于3℃ 最大误差发生在130℃ 3℃, 130℃处 差均不大于3℃,最大误差发生在130℃处,误 差值为2.277℃ 差值为2.277℃
Pn ( x ) = a n x + a n 1x
n
n 1
+ + a 1x + a 0
i = 0, 1, , n
去逼近f(x), (x)在节点 在节点x 去逼近f(x),使Pn(x)在节点xi处满足 f(x)
Pn (xi ) = f (xi ) = yi
系数a 系数an,…,a1,a0应满足方程组 ,
线性插值举例
0～490℃的镍铬 镍铝热电偶分度表如表4.1.若允 490℃的镍铬—镍铝热电偶分度表如表4.1. 的镍铬 镍铝热电偶分度表如表4.1 许的校正误差小于3℃, 许的校正误差小于3℃,分析能否用直线方程进行非 3℃ 线性校正. 线性校正. 0) 490)两点, 取A(0, 0)和B(20.12, 490)两点,按式 (4.23)可求得a1 = 24.245,a0 = 0,即P1(x) = 24.245, 0, 4.23)可求得a 24.245x,此即为直线校正方程. 24.245x,此即为直线校正方程.显然两端点的误差 11.38mV时 为0.通过计算可知最大校正误差在x = 11.38mV时, 通过计算可知最大校正误差在x 此时P 275.91.误差为4.09℃ 另外, 4.09℃. 此时P1(x) = 275.91.误差为4.09℃.另外,在 240～360℃范围内校正误差均大3℃. 240～360℃范围内校正误差均大3℃.即用直线方程 范围内校正误差均大3℃ 进行非线性校正不能满足准确度要求. 进行非线性校正不能满足准确度要求.
T 25° C
为热敏电阻在温度为T的阻值. RT为热敏电阻在温度为T的阻值.
ln R T = ln(α R 25°C ) + β / T
T = β / ln[(R T /(α R 25°C )] = F(R T )
z = T = F( N / k ) = β / ln[ N /(k α R 25°C )]
系统误差: 系统误差: 是指在相同条件下多次测量同一量时, 是指在相同条件下多次测量同一量时 , 存在着其大小和符号保持不变或按一定 规律变化的误差. 规律变化的误差.
恒定系统误差: 恒定系统误差:校验仪表时标准表存在的固有 误差,仪表的基准误差等; 误差,仪表的基准误差等; 变化系统误差: 仪表的零点( 或基线) 变化系统误差 : 仪表的零点 ( 或基线 ) 和放大 倍数的漂移,温度变化而引入的误差等; 倍数的漂移,温度变化而引入的误差等; 系统非线性(非比例)误差:传感器及检测电 系统非线性(非比例)误差: 如电桥) 路 ( 如电桥 ) 被测量与输出量之间的非比例 关系; 关系; 线性系统动态特性误差: 线性系统动态特性误差:
第四章
智能仪器的基本数据处理算法
基本数据处理算法之二
减小系统误差的算法: 减小系统误差的算法:
减小零位误差与增益误差的方法 复杂函数关系问题:如何建模, 复杂函数关系问题:如何建模,标准数据表 非理想系统动态特性误差修正 传感器的温度误差
工程量的标度变换: 工程量的标度变换:
第二节 减小系统误差的算法