第五章线性微分方程组

第五章线性微分方程组

教学目的

讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法）

教学要求

理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。

教学重点

解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。

教学难点

向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。

教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

课题导入

前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程,但在许多实际问题(如工程,物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和常数变易线性方程组的解法.

§5.1 存在唯一性定理

教学目的

讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。

教学要求

理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。 教学重点

存在唯一性定理及其证明 教学难点

向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。

教学方法

讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。

1. 线性微分方程组的有关概念

例,多回路的电路问题,如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压,I 是电感,C 是电容器的电路1R 和2R 是两个电阻,1i 是通过电感L 的电流,2i 是通过电容C 的电流,其中L,C, 1R 和2R 是常数,E(t)是已知函数,所列出1i 及2i 应满足的微分方程. 解:根据基尔霍夫第二定理,得:

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++-=-+⎰t ds s i C i R i i R t E i i R dt di L 022*********)(1)()()(

即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=-+01)()()(22212121111i C dt di R dt di dt di

R t E i i R dt di L

故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++-++-=++-=)()()()()(12112212112121221111

t L R R R i R R L C R i R R R dt di t L i L R i L R dt di φφ

以上就是一个关于21,i i 的线性微分方程组.

1. 线性微分方程组的定义: a 形为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111

t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n n

n n n n :

(5.1)

的微分方程组,形为一阶线性微分方程组,其中ij a (i,j=1,2 ```n) i f (t)(i=1,2`````n)在

b t a ≤≤ 上连续.

b 设函数组

)2,1)((1n i t x i = 在b t a ≤≤上可微,且

)()

(2211t f x a x a x a dt t dx i n in i i i ++++= )2,1(n i =

则称函数组

)(,),(),(21t x t x t x n 为微分方程组(5.1)的在b t a ≤≤上的一个解.

(5.1)含有n 个独立常数为n c c c ,,,21 的解

n i c c c t x n i i ,,2,1),,,,,(21 ==ϕ

称为(5.1)的通解.

2. 函数向量和函数矩阵

在线性微分方程组的讨论中,向量,矩阵及其用到是非另有用的,下面我们将介绍有关函数向量和函数矩阵(即向量,矩阵元素为函数)的一些基本性质. (1) 函数向量和函数矩阵 n 阶函数列向量定义为

⎪

⎪⎭⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)

()()()(2

1t x t x t x t x n 每一),,2,1)(9n i t x i =在区间内Ie 有定义.

n n ⨯函数矩阵A(t)定义为

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=)

()()

()()()()()()()(2122212121

11t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nn n

n n n

每一)(t a ij 在Ie 有定义

注:关于向量或矩阵的代为运算的性质,对于以上函数作为元素的矩阵同样成立.

(2) 函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念

如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一个元素都是区间b t a ≤≤上的

⎪⎩

⎪

⎨⎧可积函数可微函数连续函数,则

称x(t)或A(t)在b t a ≤≤上

⎪⎩

⎪

⎨⎧可积可微连续

此时,它们的导数与积分分别定义为:

⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'''=')()()()(2

1

t x t x t x t x n

,

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫

''''''⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'''=)()()(),(),(),(),(),(),()(2122212121

11

t a t a t a t a t a t a t a t a t a t A nn n

n n n

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰t

t n

t t t t t t ds s x ds

s x ds

s x ds s x 0000)()()()(21

,,

⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎬⎫

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

t t nn t t n t

t n t t n t t t t t t n t t t t t

t ds

s a ds

s a ds s a ds s a ds s a ds s a ds s a ds s a ds s a ds s A 00

00000000

)()()(,,,,)(,)(,

)(,)(,)(,)()(21222121

2111

注:关于函数向量及矩阵的概念,积分运算法法则和普通及值函数类型.

(3)矩阵向量的基数

定义:对于n 阶列列向量T

n x x x x ),,,(21 =及n n ⨯矩阵n n ij a A ⨯=)(,定义它们的基数为

∑∞

==1

i i

x x ,

∑==

n

j i ij

a

A 1

,,

设A,B 是n n ⨯矩阵,x 和y 是n 阶列向量,A(t),x(t)是在[a,b]上,可数的函数矩阵和向量,则易验证

有下面的性质.

o 1B A AB ∙≤,x A A ∙≤⨯1 02B A B A +≤+,y x y x +≤+

3ds

s x ds s x b

a

b

a

⎰⎰

≤)()(,

ds

s A ds s A b

a

b

a

⎰⎰≤)()(,)(b a ≤

(4)向量与矩阵序列的收敛性

a 向量序列}{k x ,T nk k k k

x x x x ),,,(21 =称为在b t a ≤≤上收敛(一致收敛)的.如果对于

每一个),,2,1(n i i =,函数序列}{)(t x k

在b t a ≤≤上收敛(一致)收敛的.