第五节 极限的存在性定理

lim 5 5
所以 原式 5.
常见的建立不等式的方法
(1)分母变大分数值变小,分母变小 分数值变大.
(2)去掉小项和变小,小项变大和变大.
( A) 存在且等于零 (B ) 存在但不一定等于零
(C ) 一定不存在
(D) 不一定存在.
答案 (D).
例3 求 lim( n 解
n n n
2
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
因为

1 n 1
2

1
1 n 2
2

1 n n
2

n n2 1
n n 2 n 且 lim n 1
x n 1 A x n 1 A x n 2 A 2 4 4 Axn1 x1 A 2 1 n 1 n 1 4 4 2 1 2 1 1 只需 n log4 1 取 N log4
故极限存在.
定理2.15 如果数列 xn , yn , zn 满足下列条件 (1)从某项开始有 xn yn zn (2)
lim x n lim z n A n
n
则 数列 yn 极限存在,并且lim yn A n 证 由已知, 对 0, N Z ,当n N时 xn A 同时成立 zn A


x n yn z n
此时 A xn yn zn A
故对一切正整数 n 有 yn 3 ,所以 数列有界. 综上所述, 数列极限存在.
(2)求值 设 lim yn A n 将 yn 3 yn1 两边求极限 得 lim yn 3nlim yn1 n 即 A 3A 故 A3
1 例2 设 x1 2, xn1 2 , n 1 ,求 lim xn . n xn
n
lim
n
所以 原式 1 .
n2 1
例4 求 lim(1 2 3 4 5 ) . n
n n n n
1 n n
解
因为
1 n n
1 n n
(1n 2n 3n 4n 5 ) 5 (5 )
(5 5 )
1 n n
55
1 n
n 且 1 lim(5 5 n ) 5 n
第五节 极限的存在性定理
定理2.14 单调有界数列必有极限. 例1 求数列 3 , 3 3 , 3 3 3 , 的极限.
解 令 y1 3 , y2 3 3 , y3 3 3 3 , (1)存在性
a ) 单调性 n 1 时 3 1 3 3 3 3 3 3 y1 y2 设 n k 时 yk yk 1
n k 1时 yk yk 1 3 yk 3 yk 1 yk 1 yk 2
故对一切正整数 n 有 yn yn1 , 所以数列递增.
b) Leabharlann Baidu界性
n 1时 y1 3 3
设 n k 时 yk 3 n k 1时 yk 3 3 yk 32 3 yk 3 yk 1 3
所以 yn A 因此 lim yn A. n
成立
注 (1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理. (2)不等式两边极限必须存在且相等. (3)此定理对一般函数极限仍然成立.
补充 (00年考研真题3分)
设对任意的 x , 总有 ( x ) f ( x ) g( x ), 且 lim[ g( x ) ( x )] 0, 则 lim f ( x ) x x
解
(1)求值
则 即
n
假设 lim xn A n
1 2 lim x n
n
lim x n 1
1 A 2 A 1 A
2
因 xn 2 故 A 1 2.
(2)存在性
要使
对 0,
1
1 1 1 xn A ( 2 x ) ( 2 A ) x n 1 A n 1