人教版数学高一学案第三章章末复习课

章末复习课

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核心归纳

1．两角和与差的正余弦、正切公式 cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

2．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

3．半角公式 sin α2＝±1－cos α

2 cos α2＝±

1＋cos α

2

tan α2

＝±1－cos α1＋cos α＝sin α

1＋cos α

＝1－cos αsin α

4．辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，tan φ＝b

a

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －φ)，tan φ＝a

b

要点一 三角函数式的化简

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

【例1】 化简：(1)(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2

－cos θ22＋2cos θ

(0<θ<π)；

(2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2． 解 (1)原式＝

⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2

＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫

sin θ2－cos θ24cos 2

θ2

＝cos θ

2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2

－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2

＝－cos θ2

·cos θ

⎪⎪⎪⎪cos θ2．

因为0<θ<π， 所以0<θ2<π

2，

所以cos θ

2>0，

所以原式＝－cos θ．

(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α

2cos α2

＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin

α

2cos αcos α2

＝

2cos αsin α·cos α2

cos αcos

α2

＝2

sin α

． 【训练1】 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋

1

2

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ．

解 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋

1

2

2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭

⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x

＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 2

2x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x

＝1

2

cos 2x ． 要点二 三角函数求值 三角函数求值的三种情况

(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

【例2】 (1)sin 110°sin 20°

cos 2155°－sin 2155°的值为( )

A ．－1

2

B ．12

C ．

32

D ．－

32

解析 原式＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝1

2sin 40°

sin 40°＝1

2．

答案 B

(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π

2<α<0，则2sin 2

α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭

⎫α－π4＝( )

A ．－255

B ．－3510

C ．－31010

D ．255

解析 因为tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝1

2，

所以tan α＝－1

3，

因为－π

2<α<0，

所以sin α＝－

1010

， 则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)2

2(cos α＋sin α)

＝22sin α＝－255．

答案 A

【训练2】 已知sin(π4－α)＝513，0<α<π4，求cos 2α

cos (π

4＋α)

的值．

解 ∵cos(π4＋α)＝sin(π4－α)＝513，0<α<π

4，

∴sin(α＋π4)＝12

13

，

又∵cos 2α＝sin(π2＋2α)＝sin2(π

4

＋α)，

∴cos 2αcos (π4＋α)＝2sin (π4＋α)cos (π4＋α)

cos (π4

＋α)

＝2sin(π4＋α)＝24

13.

利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤： (1)运用和、差、倍角公式化简；

(2)统一把f (x )化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式；

(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质． 方向1 利用三角恒等变换研究函数的性质