非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解

非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。

薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。

随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。

1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。

非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：
其中为常数。

因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。

1 分步傅里叶法计算演化过程
对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。

上述方程中做
2
β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。

对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。

可以得到
2
k
k k k k
dA
i A i a a
dz
βγ
=∆+F.
其中2
2
2
k
i
β
β
∆=Ω
令()
exp
k k
A B i z
β
=∆可以得到
()
2exp
k
k k k
dB
i a a i z
dz
γβ
=-∆
F
以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。

()()
()()()
2
exp
k k
k k k
B z z B z
i a z a z i z
z
γβ
+∆-
=-∆
∆
F
再利用()
exp
k k
A B i z
β
=∆可以得到
()()()()
()()()
2
2
exp
exp exp
k k k k k
k k k
A z z A i a z a z z i z
a z i a z z i z
γβ
γβ
⎡⎤
+∆=+∆∆∆
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
≈⨯∆⨯∆∆
⎣⎦
F
F
然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果
()()()()
2
1exp exp
-
k k k k
a z z a z i a z z i z
γβ
⎡⎤
+∆=⨯∆⨯∆∆
⎣⎦
F F
这样，只需要知道()0k a z =就可以得到最终的()k a z 。

在不考虑增益和损耗情况下，孤子为非线性薛定谔方程的一个稳定解，我们可以得到光孤子的解析解的表达形式。

()0
0t a t T ⎛⎫=
⎪⎝⎭
我们可以根据功率的不同，产生不同的孤子脉冲。

通过MA TLAB 简单仿真，我们可以的到脉冲在光纤中的传输情况。

图1光孤子在光纤中的传输情况
2 (2+1)维非线性薛定谔方程的怪波解
怪波最初是描述海洋上出现的一种奇怪的水波，它以其出现的突然性和异常陡峭的高水波得名。

怪波发生之前没有任何预示，海洋中突然出现具有很深的沟或出现一些连续的高波，其破坏力极大，造成很多航海灾难。

怪波是一种新的非线性现象，与孤立子很类似，都是一种特殊解，不同的是它同调制不稳定性能够很好的结合起来。

近些年许多学者对怪波进行了大量的研究：Akhmediev 教授小组对(1+1)维的非线性薛定谔方程(NLS)的怪波进行了很全面的分析，指出怪波是“Ma ”解(MS)或“Akhmediev 呼吸子”(Abs)的极限情形，实际上是一种非奇异的有理解；Xu 、He 以及Wang 、Porsezian 与He 利用Darboux 变换得到许多(1+1)维高阶薛定谔型方程的怪波解。

但现有的文献对高维薛定谔方程的怪波解研究甚少。

直到最近，YasuhiroOhta 教授和杨建科教授利用Hirota 双线性方法得到(2+1)维DSI 和DSII 方程的Grammian 解，再利用sato 算子理论将其转化为非奇异的有理解，从而得到高维的薛定谔型方程也具有有理分式的怪波解。

考虑(2+1)维非线性薛定谔方程：。

当时，上述方程退化为(1+1)维NLS 方程：
，方程则进一步可以简化为Sine-Gordon 方程。

通过参考文献得，其具有Painleve 性质并且
给出了奇异结构分析。

通过相关文献给出的分析可以最终将(2+1)维非线性薛定谔方程整理为：
在此基础上可以对周期解和怪波解进行探讨。

2.1周期解
为了简单起见，我们直接引用参考文献中给出的Akhmediev 呼吸子的解，并在此基础上可以对周期解
和怪波解进行探讨。

通过式子我们可以看出该解是含有空间维周期结束的，当参数取特定值的时候，我们可以看出解的周期性特征。

图2参数取Akhmediev呼吸解的形式
考虑另一种呼吸子解——Ma解，亦即具有空间周期性且含时间的周期解，作变换令，这意味着
式：
2.2 怪波解
为了得到怪波解，我们让，则有：
显然，当在平面上任何一点都趋向于常数时，能够取得
最大的振幅，是平常振幅的3倍，因此该解为xy平面的怪波解。

图3参数取
应用Hirota双线性方法，给出(2+1)维非线性薛定谔方程的呼吸子即周期解和其极限情形的解———一阶怪波解，推广了(1+1)维非线性薛定谔方程NLS的空间变量。

研究结果说明了高维的非线性薛定谔方程具有有理分式的怪波解，这些方法同样适用于其他的高维薛定谔型方程,如Mel' nikov方程、Fokas系统等。

非线性薛定谔方程还有更多有趣的现象，例如耗散孤子，孤子分子以及孤子等现象，都对于光信息处理和光通信的研究具有重要的理论与应用价值。

参考文献
[1]程丽, 张翼. (2+ 1) 维非线性薛定谔方程的怪波解[J]. 长江大学学报自然科学版: 理工(上旬), 2016,
13(3): 35-39.
[2] Akhmediev N, Ankiewicz A, Taki M. Waves that appear from nowhere and disappear without a trace[J]. Physics Letters A, 2009, 373(6): 675-678.
[3] Agrawal G. Applications of nonlinear fiber optics[M]. Academic press, 2001.。