高考数学第一轮基础复习 正弦定理和余弦定理课件
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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件新人教版
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
由③c＝ 3b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
应用正、余弦定理的解题技能
技能 边化
角
角化 边
和积 互化
解读
将表达式中的边利用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C化为角的关系
得cos A·(sin B＋sin C)＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，
则cos A＝0，所以△ABC为直角三角形．
判断三角形形状的常用技能 若已知条件中既有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形 的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
＝
43 3
.由余弦定理DC2＋BC2－
2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4
3 ·BC－5＝0，解得BC＝
3 3
或
BC＝－5 3 3(舍去)．故BC的长为
3 3.
求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”， 将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决 平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重 要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根 据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到 △BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长.
解析：选条件①. 由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝ 23. 由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b. 于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23， 由此可得b＝c. 由①ac＝ 3，解得a＝ 3，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】
cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝
高考数学一轮总复习 4.6 正弦定理、余弦定理精品课件 理 新人教版
1-sin2 A
1
10 2
3
27
= .因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=
.
答案
答案
(dá àn)
第十二页，共27页。
探究(tànjiū)
突破
方法提炼
(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量
关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.
)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
关闭
依据题设条件的特点,边化角选用正弦定理,有 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,
则 sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的意义,得 sin(B+C)=sin2A=1,关闭
A A=π ,选 A
所以
2
考点(kǎo diǎn)一
diǎn)三
第二十二页，共27页。
探究
(tànjiū)突
破
解:(1)由已知及正弦定理得
sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①
又 A=π-(B+C),故
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②
由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B,
1
2
(1)S= ah(h 表示边 a 上的高).
1
2
1
2
(2)S= bcsin A= absin C
=
1
acsin
2
1
2
B .
(3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径).
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第4章 §4.8 正弦定理、余弦定理
教材改编题
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为4，
a＝2，B＝30°，则c等于
√A.8
83 C. 3
B.4 43
D. 3
由 S△ABC＝12acsin B＝12×2c×12＝4，得 c＝8.
教材改编题
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝ 2， c＝2，则C＝ 45°或135° .
知识梳理
(1)a＝2Rsin A， b＝ 2Rsin B ，
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c＝ 2Rsin C ；
变形 (2)sin A＝ a ， 2R
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
知识梳理
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A< a<b 两解
a≥b 一解
a>b 一解
知识梳理
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12aha(ha 表示边 a 上的高)；
因为 a＝5，c＝7，C＝π3，故 cos C＝12＝252＋×b52×－b49，得 b2－5b－24＝0，
解得b＝8(b＝－3舍去).
在△ABC 中，由余弦定理可得 cos∠ABC＝522＋×752×－782＝17，
所以
sin∠ABC＝4
7
3 .
第五章 第七节正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
= .故选D.
D)
D. 41
− = − ,由余弦定理得,
− × × × − = ,所以
（2）在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a = 6,b = 2c,cos A =
1
− .
4
①求c的值；
1
2
解 因为a2 = b2 + c 2 − 2bccos A,所以6 = b2 + c 2 + bc,而b = 2c,代入得
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ；
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .
⋅ − = ,所以 = 或 = ,所以 = 或 = 或
= − （舍去）,所以△ 为等腰三角形或直角三角形.
（2）（多选题）已知a,b,c分别是△ ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个说法中,正确
的有( ACD )
=
故选B.
. ∵
∈ , ,∴ > ,∴ = ,即 =
,∴△
为直角三角形.
（2）在△ ABC中,已知a + b =
D)
D. 41
− = − ,由余弦定理得,
− × × × − = ,所以
（2）在△ ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a = 6,b = 2c,cos A =
1
− .
4
①求c的值；
1
2
解 因为a2 = b2 + c 2 − 2bccos A,所以6 = b2 + c 2 + bc,而b = 2c,代入得
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ；
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .
⋅ − = ,所以 = 或 = ,所以 = 或 = 或
= − （舍去）,所以△ 为等腰三角形或直角三角形.
（2）（多选题）已知a,b,c分别是△ ABC三个内角A,B,C的对边,下列四个说法中,正确
的有( ACD )
=
故选B.
. ∵
∈ , ,∴ > ,∴ = ,即 =
,∴△
为直角三角形.
（2）在△ ABC中,已知a + b =
余弦定理正弦定理课件高三数学一轮复习(1)
图形
关系式 a=bsin A bsin A<a<b
解的个数 _一__解__
_两__解_t;b _一__解__
a≤b _无__解__
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) 提示:(1)已知三角时,不可求三边. (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ ) (3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.( × ) 提示: (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识 考法
点进行综合考查. 预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的 预测 图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳 1.正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径
内容 ===2R
(1)a=__2_R_s_in__A__,b=__2_R_s_in__B__,c=_2_R__si_n_C__; 变形
(2)sin A=,sin B=,sin C=.
微点拨 已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可 能有一解、两解或无解.
2.余弦定理 条件
内容
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c a2=_b_2_+_c_2_-2_b_c_c_o_s_A__; b2=_c_2_+_a_2_-2_c_a_c_o_s_B__; c2=_a_2_+_b_2_-_2_a_b_co_s__C_
关系式 a=bsin A bsin A<a<b
解的个数 _一__解__
_两__解_t;b _一__解__
a≤b _无__解__
基础诊断·自测
类型 辨析 改编 易错 高考 题号 1 3 2 4
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) 提示:(1)已知三角时,不可求三边. (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( √ ) (3)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.( × ) 提示: (3)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
式在解三角形中的应用,同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识 考法
点进行综合考查. 预计高考仍以利用正弦定理、余弦定理解三角形为主,与三角函数的 预测 图象及性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳 1.正弦定理
条件 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径
内容 ===2R
(1)a=__2_R_s_in__A__,b=__2_R_s_in__B__,c=_2_R__si_n_C__; 变形
(2)sin A=,sin B=,sin C=.
微点拨 已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可 能有一解、两解或无解.
2.余弦定理 条件
内容
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c a2=_b_2_+_c_2_-2_b_c_c_o_s_A__; b2=_c_2_+_a_2_-2_c_a_c_o_s_B__; c2=_a_2_+_b_2_-_2_a_b_co_s__C_
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
【2022届高考数学一轮复习】《正弦定理余弦定理》-精品PPT课件
-
1
-
第6讲 正弦定理、余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题．
基础自查
正弦定理、余弦定理及相关知识
定 理
正弦定理
余弦定理
内 容
a sin
＝b A sin
＝c B sin
C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝ c2＋a2－2ca·cos_B ，
c2＝ a2＋b2－2ab·cos_C ．
1 -
单击此处进入 限时规范训练
所以12absin C＝ 3，得 ab＝4.
联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2. (2)由正弦定理，已知条件化为 b＝2a，
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得
a＝2
3
3，b＝43
3 .
∴S△ABC＝
1 2ab·sin
C＝2
3
3 .
1
- 反思感悟：善于总结，养成习惯
1 - 迁移发散
2．在△ABC 中，已知 sin C＝2sin(B＋C)·cos B，那么△ABC 的形状是________．
解析：由 sin C＝2sin(B＋C)cos B，得 sin C＝2sin Acos B.
再结合正、余弦定理得：2cR＝2·2aR·a2＋2ca2c－b
2
，
整理得 a2＝b2，所以△ABC 一定是等腰三角形．也可由 sin C＝
即sin 2A＝sin 2B.
因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝ π ， 2
即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
1
-
第6讲 正弦定理、余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题．
基础自查
正弦定理、余弦定理及相关知识
定 理
正弦定理
余弦定理
内 容
a sin
＝b A sin
＝c B sin
C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝ c2＋a2－2ca·cos_B ，
c2＝ a2＋b2－2ab·cos_C ．
1 -
单击此处进入 限时规范训练
所以12absin C＝ 3，得 ab＝4.
联立方程组aa2b＋＝b42，－ab＝4， 解得 a＝2，b＝2. (2)由正弦定理，已知条件化为 b＝2a，
联立方程组ab2＝＋2ba2，－ab＝4，
解得
a＝2
3
3，b＝43
3 .
∴S△ABC＝
1 2ab·sin
C＝2
3
3 .
1
- 反思感悟：善于总结，养成习惯
1 - 迁移发散
2．在△ABC 中，已知 sin C＝2sin(B＋C)·cos B，那么△ABC 的形状是________．
解析：由 sin C＝2sin(B＋C)cos B，得 sin C＝2sin Acos B.
再结合正、余弦定理得：2cR＝2·2aR·a2＋2ca2c－b
2
，
整理得 a2＝b2，所以△ABC 一定是等腰三角形．也可由 sin C＝
即sin 2A＝sin 2B.
因为A、B为三角形内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
所以A＝B或A＋B＝ π ， 2
即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
2025年高考数学一轮复习-4.6-正弦定理和余弦定理【课件 】
_ _______; _ _______; ________
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
（注： 为 外接圆的半径）
2.三角形常用面积公式
（1） （ 表示边 上的高）.
（2） __________=__________.
（3） （ 为三角形内切圆半径）.
（4） .
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
2.(2023·福建泉州模拟)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，则 _ _.
解析：由题意，得 ，又 ,所以 .
核心考点 师生共研
02
考点一 利用正、余弦定理解三角形（自主练透）
1.在 中，已知 , , ，则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定
解析：选C.在 中，设 , ， ，由余弦定理得 ,因为 为 的内角，所以 .故选C.
√
3.已知 中， , , ，则 ( )A. B. C. D.
解析：选D.由正弦定理，得 ，得 .又 ,所以 ,所以 .故选D.
√
4.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ，若 , , ,则 ____, ___.
解析：选C.由正弦定理得 ,所以 ，所以 不存在，即满足条件的三角形不存在.
√
2.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 _ _， ___.
5
解析：在 中，由正弦定理得 ,所以 ，所以 .在 中，由余弦定理得 ，得 ，即 ，解得 或 ，经检验， 不符合要求，所以 .
3.(2023·甘肃省第一次诊断考试)在 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，且 , , ，则 ___.
2
解析：因为 ，所以由正弦定理得 ,又 ，所以 ，因为 ,所以 .由余弦定理 ,得 ,化简得 ，解得 或 （舍去），故 .
高考数学第一轮基础复习 正弦定理和余弦定理课件
＝153×35－1123×45＝－3635.
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理的应用
[例 1] (1)在△ABC 中，若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则
b＝________.
∴∠A＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理得 sinB＝bsianA，
∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsicnB＝b2saicnA＝sin60°＝
3 2.
解法 2：(求∠A 同解法 1)在△ABC 中，由面积公式
得
12bcsinA＝12acsinB. ∵b2＝ac，∴csinA＝bsinB.
∴bsicnB＝sinA＝
在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角 或直角
图 形
关系式
解的个 数
A为锐角
a<bsin A
a＝ bsin
A
无解 一解
bsinA<a <b
两解
A为钝角 或直角ຫໍສະໝຸດ a≥ ba>b
a≤ b
一 一无 解解解
误区警示 1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一 边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情 况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解 的情况，作出正确取舍．
第 六节
正弦定理和余弦定理
重点难点 重点：正余弦定理及三角形面积公式． 难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下 解的讨论． 知识归纳 1．正弦定理 sinaA＝sinbB＝sincC＝2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半 径)．
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理的应用
[例 1] (1)在△ABC 中，若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则
b＝________.
∴∠A＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理得 sinB＝bsianA，
∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsicnB＝b2saicnA＝sin60°＝
3 2.
解法 2：(求∠A 同解法 1)在△ABC 中，由面积公式
得
12bcsinA＝12acsinB. ∵b2＝ac，∴csinA＝bsinB.
∴bsicnB＝sinA＝
在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角 或直角
图 形
关系式
解的个 数
A为锐角
a<bsin A
a＝ bsin
A
无解 一解
bsinA<a <b
两解
A为钝角 或直角ຫໍສະໝຸດ a≥ ba>b
a≤ b
一 一无 解解解
误区警示 1．在利用正弦定理解决已知三角形的两边和其中一 边的对角解三角形问题时，可能出现一解、两解或无解情 况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解 的情况，作出正确取舍．
第 六节
正弦定理和余弦定理
重点难点 重点：正余弦定理及三角形面积公式． 难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下 解的讨论． 知识归纳 1．正弦定理 sinaA＝sinbB＝sincC＝2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半 径)．
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
3
3
(6)在斜△ ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .
(7)在△ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B
(射影定理).
二、基础题练习
c2＝② a2＋b2－2ab cos C
；
.
＝
＝
＝③
sin sin sin
2R
.
定理
余弦定理
2
cos A＝
＋
变形 cos B＝④
cos C＝⑤
2 −2
2
2
正弦定理
(1)a＝2R sin A，b＝⑥ 2R sin B ，
c＝⑦ 2R sin C ；
；
(2) sin
＋
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(4)在△ ABC 中， sin ( A ＋ B )＝ sin C ； cos ( A ＋ B )＝－ cos C ；tan( A ＋ B )＝
－tan C ；
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ，解得 = （负值已舍去）.
方法一：由正弦定理，得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ，所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析：选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
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第 六节
正弦定理和余弦定理
重点难点 重点：正余弦定理及三角形面积公式． 难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下 解的讨论． 知识归纳 1．正弦定理 sinaA＝sinbB＝sincC＝2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半 径)．
2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 或 cosA＝b2＋2cb2c－a2， cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2.
解析：由条件得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 23，∴B＝π6. 答案：A
(理)(2011·大连统考)△ABC 的内角 A、B、C 的对边
分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且 c＝2a，则 cosB
＝( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
解析：由题意得 b2＝ac，又 c＝2a，由余弦定理得 cosB ＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa2×－2aa×2a＝34，故选 B.
∴∠A＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理得 sinB＝bsianA，
∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsicnB＝b2saicnA＝sin60°＝
3 2.
解法 2：(求∠A 同解法 1)在△ABC 中，由面积公式
得
12bcsinA＝12acsinB. ∵b2＝ac，∴csinA＝bsinB.
∴bsicnB＝sinA＝
3 2.
答案：60°；
3 2
点评：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余 弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．
(文)(2011·南昌调研)在△ABC 中，角 A、B、C 的对
边分别为 a、b、c，若 a2＋c2－b2＝ 3ac，则角 的值为
()
π
π
A.6
B.3
C.π6或56π
D.π3或23π
所以
S＝12×5×3×sin120°＝154
3 .
答案：154 3
综合应用
[例 5] (文)已知△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，a＝ 3，求 A→B·A→C的最大值．
分析：所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故 化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解．
(2011·福建三中期末)若 a、b、c 是△ABC 的三边， 直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝1 相离，则△ABC 一定 是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：由题设知 a2|c＋| b2>1， 即 a2＋b2<c2，即 a2＋b2－c2<0， 于是 cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， 所以∠C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．
＝153×35－1123×45＝－3635.
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理的应用
[例 1] (1)在△ABC 中，若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则
b＝________.
答案：B
三角形形状的判定
[例 3] 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)若 acosA＝bcosB，则△ABC 形状为________． (2)若coasA＝cobsB＝cocsC，则△ABC 形状为________．
解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b2＋2cb2c－a2)＝b·(a2＋2ca2c－b2)⇒a2c2 －a4－b2c2＋b4＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0 ∴a2－b2＝0 或 c2－a2－b2＝0 ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
答案：D
三角形的面积公式
[例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的
对边，且 a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，
则△ABC 的面积为( )
3 A. 4
B．3 3
33
3
C. 4
D.4
解析：∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC)⇒ 1t－antBan＋Bt·atannCC＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120，∴A＝60°， 将 A＝60°，a＝4，b＋c＝5 代入 a2＝b2＋c2－2bccosA，
[例 1] 在△ABC 中，sinA＝153，cosB＝45，求 cosC. 解析：∵sinA＝153，∴cosA＝±1123 当 cosA＝1123时，满足 cosA＋cosB>0 当 cosA＝－1123时，cosA＋cosB<0，∴cosA＝－1123舍去 ∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB
解时只有一解
已知条件
三边 (a，b，c)
两边和其 中
一边的对 角
(如a，b， A)
应用 定 理
余弦 定 理
正弦 定 理
一般解法
由余弦定理求出角A、B，再利 用A＋B＋C＝180°求出角C， 在有解时只有一解
由正弦定理求出角B，由A＋B ＋C＝180°求出角C，再利 用正弦定理求出c边，可有 两解，一解或无解，详见下 表.
(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，
B＝45°，则角 A 等于( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
解析：(1)已知两角和一边只有一解，由 B＝30°，C ＝105°得，A＝45°，
由正弦定理得，b＝assiinnAB＝4ssiinn4350°°＝2 2. (2)根据正弦定理得sin1A＝sin425°， ∴sinA＝12， ∵a<b，∴A 为锐角，∴A＝30°，故选 D.
(2)由正弦定理得csionsAA＝csionsBB＝csionsCC 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C， ∴△ABC 为等边三角形．
答案：(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形
点评：根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化 角为边，进行边角互化，是解决这类问题的基本途径．
一、判断三角形形状的方法 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径： (1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法： ①通过正弦定理实施边角转换； ②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系； ④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性 的讨论； 注意：在△ABC 中，b2＋c2－a2>0⇔A 为锐角，b2＋ c2－a2＝0⇔A 为直角，b2＋c2－a2<0⇔A 为钝角．
4．解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件
应用定 理
一般解法
一边和两角 (如a，B，
C)
正弦定 理
由A＋B＋C＝180°求出角A； 由正弦定理求出b与c；在 有解时只有一解
由余弦定理求出第三边c；
两边和夹角
(如a，b，
余弦定 理
C)
由正弦定理求出小边所对 的角；再由A＋B＋C＝ 180°求出另一角，在有
∴|A→B|·|A→C|＝2，
∴S△ABC＝12|A→B|·|A→C|sinA＝12×2× 23＝ 23.
答案：
3 2
(理)(2011·新课标全国文，15)△ABC 中 ，B＝120°， AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：由余弦定理知 72＝52＋BC2＋5BC，
即 BC2＋5BC－24＝0，解之得 BC＝3，
(理)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、 c.若 a、b、c 成等比数列．
2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边 角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边 边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分 解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要 移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
3．一般地，sinα>sinβ⇔/ α>β，但在△ABC 中， sinA>sinB⇔A>B.
解析：∵3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，由正 弦定理得 3b2＋3c2－2bc＝3a2，即 3b2＋3c2－3a2＝2bc， 再由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝13.
∵a＝ 3，∴3b2＋3c2－2bc＝9≥6bc－2bc＝4bc， ∴bc≤94，当且仅当 b＝c 时等号成立． ∴A→B·A→C＝c·b·cosA＝b3c≤34， 故A→B·A→C的最大值为34.
分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求∠A， 需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理．由 b2＝ac 用正弦 定理可求bsicnB的值．
解析：解法 1：∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac.
又 a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC 中，由余弦定理得
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，
解析：(1)C＝180°－(A＋B)＝45°，由正弦定理得， sincC＝sinbB，∴sin645°＝sinb30°，∴b＝6ssiinn4350°°＝3 2. (2)∵4sin30°＝2<3<4，∴此三角形有两解，如图．
答案：(1)3 2 (2)B
余弦定理的应用
[例 2] 在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的 对边长．已知 a，b，c 成等比数列，且 a2－c2＝ac－bc，则∠ A＝________，bsicnB＝________.
正弦定理和余弦定理
重点难点 重点：正余弦定理及三角形面积公式． 难点：在已知三角形的两边和其中一边对角的情况下 解的讨论． 知识归纳 1．正弦定理 sinaA＝sinbB＝sincC＝2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半 径)．
2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC 或 cosA＝b2＋2cb2c－a2， cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2.
解析：由条件得 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝ 23，∴B＝π6. 答案：A
(理)(2011·大连统考)△ABC 的内角 A、B、C 的对边
分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列，且 c＝2a，则 cosB
＝( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
解析：由题意得 b2＝ac，又 c＝2a，由余弦定理得 cosB ＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋24aa2×－2aa×2a＝34，故选 B.
∴∠A＝60°.
在△ABC 中，由正弦定理得 sinB＝bsianA，
∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bsicnB＝b2saicnA＝sin60°＝
3 2.
解法 2：(求∠A 同解法 1)在△ABC 中，由面积公式
得
12bcsinA＝12acsinB. ∵b2＝ac，∴csinA＝bsinB.
∴bsicnB＝sinA＝
3 2.
答案：60°；
3 2
点评：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余 弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．
(文)(2011·南昌调研)在△ABC 中，角 A、B、C 的对
边分别为 a、b、c，若 a2＋c2－b2＝ 3ac，则角 的值为
()
π
π
A.6
B.3
C.π6或56π
D.π3或23π
所以
S＝12×5×3×sin120°＝154
3 .
答案：154 3
综合应用
[例 5] (文)已知△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，a＝ 3，求 A→B·A→C的最大值．
分析：所给条件式为角的关系，又均为“二次”式，故 化角为边后可利用余弦定理寻求联系求解．
(2011·福建三中期末)若 a、b、c 是△ABC 的三边， 直线 ax＋by＋c＝0 与圆 x2＋y2＝1 相离，则△ABC 一定 是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解析：由题设知 a2|c＋| b2>1， 即 a2＋b2<c2，即 a2＋b2－c2<0， 于是 cosC＝a2＋2ba2b－c2<0， 所以∠C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形．
＝153×35－1123×45＝－3635.
点评：可利用大边对大角讨论：由 cosB＝45得 sinB＝35>153＝sinA， ∴b>a，即 B>A，∴A 为锐角，∴cosA＝1123，以下略．
正弦定理的应用
[例 1] (1)在△ABC 中，若 a＝4，B＝30°，C＝105°，则
b＝________.
答案：B
三角形形状的判定
[例 3] 根据所给条件，判断△ABC 的形状． (1)若 acosA＝bcosB，则△ABC 形状为________． (2)若coasA＝cobsB＝cocsC，则△ABC 形状为________．
解析：(1)由余弦定理得 acosA＝bcosB⇒a·(b2＋2cb2c－a2)＝b·(a2＋2ca2c－b2)⇒a2c2 －a4－b2c2＋b4＝0， ∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0 ∴a2－b2＝0 或 c2－a2－b2＝0 ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
答案：D
三角形的面积公式
[例 4] 已知△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的
对边，且 a＝4，b＋c＝5，tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC，
则△ABC 的面积为( )
3 A. 4
B．3 3
33
3
C. 4
D.4
解析：∵tanB＋tanC＋ 3＝ 3tanB·tanC， ∴tanB＋tanC＝－ 3(1－tanB·tanC)⇒ 1t－antBan＋Bt·atannCC＝－ 3⇒tan(B＋C)＝－ 3， ∴B＋C＝120，∴A＝60°， 将 A＝60°，a＝4，b＋c＝5 代入 a2＝b2＋c2－2bccosA，
[例 1] 在△ABC 中，sinA＝153，cosB＝45，求 cosC. 解析：∵sinA＝153，∴cosA＝±1123 当 cosA＝1123时，满足 cosA＋cosB>0 当 cosA＝－1123时，cosA＋cosB<0，∴cosA＝－1123舍去 ∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB
解时只有一解
已知条件
三边 (a，b，c)
两边和其 中
一边的对 角
(如a，b， A)
应用 定 理
余弦 定 理
正弦 定 理
一般解法
由余弦定理求出角A、B，再利 用A＋B＋C＝180°求出角C， 在有解时只有一解
由正弦定理求出角B，由A＋B ＋C＝180°求出角C，再利 用正弦定理求出c边，可有 两解，一解或无解，详见下 表.
(2)(2011·北京西城区期末)已知△ABC 中，a＝1，b＝ 2，
B＝45°，则角 A 等于( )
A．150°
B．90°
C．60°
D．30°
解析：(1)已知两角和一边只有一解，由 B＝30°，C ＝105°得，A＝45°，
由正弦定理得，b＝assiinnAB＝4ssiinn4350°°＝2 2. (2)根据正弦定理得sin1A＝sin425°， ∴sinA＝12， ∵a<b，∴A 为锐角，∴A＝30°，故选 D.
(2)由正弦定理得csionsAA＝csionsBB＝csionsCC 即 tanA＝tanB＝tanC， ∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C， ∴△ABC 为等边三角形．
答案：(1)等腰或直角三角形 (2)等边三角形
点评：根据已知条件，适当选取定理，化边为角或化 角为边，进行边角互化，是解决这类问题的基本途径．
一、判断三角形形状的方法 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两条途径： (1)化边为角；(2)化角为边．具体有如下四种方法： ①通过正弦定理实施边角转换； ②通过余弦定理实施边角转换；
③通过三角变换找出角之间的关系； ④通过三角函数值符号的判断及正、余弦函数有界性 的讨论； 注意：在△ABC 中，b2＋c2－a2>0⇔A 为锐角，b2＋ c2－a2＝0⇔A 为直角，b2＋c2－a2<0⇔A 为钝角．
4．解斜三角形的类型 解斜三角形有下表所示的四种情况：
已知条件
应用定 理
一般解法
一边和两角 (如a，B，
C)
正弦定 理
由A＋B＋C＝180°求出角A； 由正弦定理求出b与c；在 有解时只有一解
由余弦定理求出第三边c；
两边和夹角
(如a，b，
余弦定 理
C)
由正弦定理求出小边所对 的角；再由A＋B＋C＝ 180°求出另一角，在有
∴|A→B|·|A→C|＝2，
∴S△ABC＝12|A→B|·|A→C|sinA＝12×2× 23＝ 23.
答案：
3 2
(理)(2011·新课标全国文，15)△ABC 中 ，B＝120°， AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．
解析：由余弦定理知 72＝52＋BC2＋5BC，
即 BC2＋5BC－24＝0，解之得 BC＝3，
(理)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、 c.若 a、b、c 成等比数列．
2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边 角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或边 边的关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分 解、配方等)求解．注意等式两边的公因式不要约掉，要 移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
3．一般地，sinα>sinβ⇔/ α>β，但在△ABC 中， sinA>sinB⇔A>B.
解析：∵3sin2B＋3sin2C－2sinBsinC＝3sin2A，由正 弦定理得 3b2＋3c2－2bc＝3a2，即 3b2＋3c2－3a2＝2bc， 再由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝13.
∵a＝ 3，∴3b2＋3c2－2bc＝9≥6bc－2bc＝4bc， ∴bc≤94，当且仅当 b＝c 时等号成立． ∴A→B·A→C＝c·b·cosA＝b3c≤34， 故A→B·A→C的最大值为34.
分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求∠A， 需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理．由 b2＝ac 用正弦 定理可求bsicnB的值．
解析：解法 1：∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac.
又 a2－c2＝ac－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC 中，由余弦定理得
cosA＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12，
解析：(1)C＝180°－(A＋B)＝45°，由正弦定理得， sincC＝sinbB，∴sin645°＝sinb30°，∴b＝6ssiinn4350°°＝3 2. (2)∵4sin30°＝2<3<4，∴此三角形有两解，如图．
答案：(1)3 2 (2)B
余弦定理的应用
[例 2] 在△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的 对边长．已知 a，b，c 成等比数列，且 a2－c2＝ac－bc，则∠ A＝________，bsicnB＝________.