人教A版高中数学必修两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件

合集下载

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(24张)

a sin x b cos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
cos sin
a2 b2 b
a2 b2
b
cos x
a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin
2
2
sin cos - cos sin
两角和与差的正弦公式
sin sin cos cos sin
简记：S( )
sin( ) ? 用代
sin( ) sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
复习
cos ( – ） =cos cos + sinsin cos( ) ? cos cos – sin sin
sin( ) ?
sin( ) ?
二、公式的推导
sin
cos
2
sin( ) ? 用代
cos
2
cos cos sin sin
tan 1 1 tan
4
3 1
4 1 (
3)
7
4
例3：利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1)sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。;
(2) cos 20。cos 70。 sin 20。sin 70。;
1 tan15。 (3) 1- tan15。.
解：（1)由公式得：
sin72。cos 42。 cos 72。sin 42。
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28

数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .

人教A版高中数学必修4 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件

tan
45
15
tan 30 3 3
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
3 tan15
例3:利用和角公式计算 3
的值
3 tan15
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
两角和的正切公式Ｔ（α+ β）
tan(α β) sin(α β)
(这里有什么要求？）
cos(α β)
sin α cos β cos α sin β 提问：能否化简？
cos α cos β sin α sin β
S( ) , T() , T( ) .
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
新课导入
知识与能力
能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
两角和与差的余弦函数
人教 A 版高中数学必修 4 3 . 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件
两角和的正弦公式Ｓ（α+β）
cos sin 2
sin
cos
1- sin2α =
1
-
-
5 13

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1，
P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP
与 A1P1 重合，从而 AP A1P1，所以
AP= A1P1.
根据两点间的距离公式，得
cos 12 sin2 cos cos 2 sin sin 2
化简得 cos cos cos sin sin
A. 2 2
B. 3 2
C. 1 2
D. 2 2
3
2. cos 40 cos 70 cos 20 cos 50 ___2____
分析：原式= cos 40 cos 70 sin 70 sin 40 cos(70 40 ) cos 30
例1、利用公式 C ( ) 证明：
(1) cos( ) sin
视察诱导公式，可以发现它们都是特殊角
与任意角α的和（或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系.如果把特殊角换为任意角β，那么任意角α与β的和（或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？下
面来研究这个问题.
思考：
你认为 cos( ) cos cos 成立吗？
一般不成立.
72 10
cos
4
cos
4
cos
sin
4
sin
24 25
2 2
3 5
72 10
tan
4
tan tan
4
1 tan tan
tan 1 1 tan
4
3 1
4 7
1
3 4
那如何用角 , 的正弦、余弦来表示
cos( ) 呢？
下面，我们来探究cos(α-β)与角α，β的正弦、余弦之间的关系. 不妨令α≠2kπ+β, k∈Z.

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(40张)

__α_，__β_为__任__意__角_____.
数学必修3
第三章三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α＋β)＝ _s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β___
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．理解两角和与差的正、余弦公式的结构特征，体会诱导公式在推导 S(α－β) 中的作用．
2．掌握并能运用两角和与差的正、余弦公式化简或求值．
数学必修3
第三章三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
两角和的余弦公式 cos(α＋β)＝__c_o_s_α_c_o_s_β__－__si_n__α_si_n__β__，简记为_C__(α_＋_β_) _，使用的条件为
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
1．求值：(1)sin(－15°)；
(2)化简scions
7°＋cos 7°－sin
15°sin 15°sin
8° 8°.
数学必修3
第三章三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： (1)sin(－15°)＝sin(30°－45°)
＝－sin 30°＝－12. 答案： A
数学必修3
第三章三角恒等变换
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
3．sin 75°＝．解析： sin 75°＝sin(45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin30°＝ 22·23＋ 22·12

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件——高中数学人教A版必修第一册

1 tan15
分析：解此类题第一要学会视察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
解：
（1）sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 sin 72 42
sin 30 1 ； 2
（2） cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 cos 20 70 cos90 0 ；
cos 12 sin2 cos cos 2 sin sin 2
化简得
cos cos cos sinsin
2k ， k Z ，上述公式还成立
对于任意角, ，有
cos cos cos sin sin
我们把此公式称为差角的余弦公式.简记为C .
则 sin BOx 1 ， cos BOx 3 ，sin AOx 3 ，cos AOx 2 ，
10
10
13
13
故 cos AOB cos(AOx BOx) cos AOx cos BOx sin AOxsin BOx
3213 9 ， 10 13 10 13 130
故
cos
2AOB
2
证明：
（1）
cos(
2
)
cos
2
cos
sin
2
sin
0cos 1sin sin .
（2） cos( ) cos cos sin sin
(1)cos 0sin cos .
例2
已知
sin
4 5
，
2
,
，
cos
5 ，
13
是第三象限角，求 cos 的
值.
解：由 sin
4 5
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2sin cos ；

5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦公式(课件)

辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公
式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响。
辅助角公式的步骤:
第一步：提常数，提出 a2＋b2，
得到aΒιβλιοθήκη ＋b2 a a2＋b2sin
x＋
第二步：定角度，确定一个角 φ
a满2b＋足bc2ocsosφ＝x；a2a＋b2，sin
φ＝
a2b＋b2，
得到 a2＋b2(cos φsin x＋sin φcos x)；
1 复习回顾
两角差的余弦公式：
cos( ) cos cos sin sin
那么，两角差的其它三角函数有类似公式吗？两角和有三角函数公式吗？
2 两角和的余弦公式 cos( ) ?
两角和的余弦公式
C 简记：（）
3 两角和的正弦公式 sin(α+β)= ?
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数据分析逻辑推理数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归类比思想逆向思维
解：原式 sin(14 74 ) sin(60 ) 3 .
2
化简求值：sin1π2－ 3cos1π2
【解析】法一
原式＝212sin1π2－
3π 2 cos12
＝2sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二原式＝212sin1π2－ 23cos1π2 ＝2cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2 ＝－2sinπ3－1π2 ＝－2sinπ4＝－ 2.
于是有sin(
)

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第二课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

＝sin（72°－42°）＝sin 30°＝ 1 ； 2
（2）由公式C（α＋β），得cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70° ＝cos（20°＋70°）＝cos 90°＝0；
新知探究
立德树人和谐发展
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（3） sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°；
如果α是第四象限角，则所求的三个三角函数值依次是
72 10
，7 2 10
，7．
头脑风暴
立德树人和谐发展
思考：由以上解答可以看到，在本题的条件下有sin( ) cos( ),
4
4
那么对于任意角，此等式都成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
解：方法一、sin( ) cos[ ( )] cos( )
解：（3）方法一：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝cos24°cos 36°－sin 36°sin 24°，
由公式C（α＋β），原式＝cos（36°＋24°）＝cos60°＝
1 2
．
方法二：sin 66°sin 54°－sin 36°sin 24°
＝sin 66°cos36°－cos 66°sin 36°，
所以 sin
+π
π
π
=sinθcos +cosθsin
4
4
4
= 2× 2 2 + 1 =4+ 2,
2
3
3
6
sin - π =sinθcosπ-cosθsinπ
6
66Leabharlann =2 2× 3-1×1=2 . 6-1
3
23 2 6

【课件】两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第2课时)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

(5)∵(1+tan 21°)(1+tan 24°)=1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24°
=1+tan(21°+24°)(1-tan 21°tan 24°)+tan 21°tan 24°
=1+(1-tan 21°tan 24°)tan 45°+tan 21°tan 24°
4
变式训练1
sin50°-sin20°cos30°
求
的值.
cos20°
解
sin(20°+30°)-sin20°cos30°
原式=
cos20°
sin20°cos30°+cos20°sin30°-sin20°cos30°
=
cos20°
cos20°sin30°
=
=sin
cos20°
1
30°= .
2
探究点二利用两角和与差的三角函数公式解决给值求值问题
角和与差的正弦吗？
π

π

sin(α＋β)＝cos 2－α＋β ＝cos 2－α－β 利用两角差的余弦公式展开

即可，或者
π

sin(α＋β)＝－cos2＋α＋β利用两角和的余弦展开即可.

对于 sin(α－β)我们可利用已知的三种表示方法得到 sin(α－β)＝sin[α＋
也称为角的拆分变换,如α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β)等,从某种意义上来说,
是一种整体思想的体现,如cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=

高中数学人教A版必修第一册两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

tan(4530)=
tan45o - tan30o 1+ tan45o tan30o
1
3 3 3
3 12 6
3 2
3
1 3 3 3
6
3
1
tan75= tan(45+30)=
1
3 3 3 3 3
3 12 6
3
6
3
3
=2+ 3
复习练习
2、化简： (1)tan(α+β)(1- tanαtanβ) (2) tan(α-β)+ tanβ 1- tan(α-β)tanβ
解：1原式=
tan 45 tan 75 1 tan 45 tan75
tan(45 75 ) tan120
3
2
∵ tan(17
28
)
tan17 tan 28 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28)
=1 tan17tan28
∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
答案: (1)tanα+ tanβ (2)tanα
3、求值： (1) tan71o - tan26o 1+ tan71otan26o
(2)1- 3tan75o 3 + tan75o
答案: (1) 1
(2) -1
典型例题
(1) 1 tan 75 1 tan75
求下列各式的值：
(2) tan17+tan28+tan17tan28
( T(+) ) 正切：符号上同
( T(-) ) 下不同

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册

π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

α
O

β

α-β

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:

（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点的坐标
y
问题2:已知为角β的终边，

5.5.1第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件高一数学人教A版必修第一册

解：tan (α + β) =
sin (α + β)
cos (α + β)
=
sin α · cos β + cos α · sin β
cos α · cos β − sin α · sin β
=
sin α · cos β + cos α · sin β
cos α · cos β
cos α · cos β − sin α · sin β
T(α + β)：tan (α + β) =
tan α + tan β
1 – tan α · tan β
T(α – β)：tan (α – β) =
tan α – tan β
1 + tan α · tan β
S(α – β)、C(α – β)、T(α – β)；
思考：仔细视察左侧和(差)
角公式，说说它们间有怎样
回顾：两角差的余弦公式的推导过程！
两点的距离公式： PQ =
1 − 2 2 + 1 − 2
2
P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P ( cos(α – β)，sin(α – β) )，A(1，0)；
[cos(α – β) – 1]2 + sin2(α – β) = (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2
（C(α + β)）
思考：上述推出的都是余弦公式，想一想，正弦公式又该如何推导？
学习目标
课堂总结
新课讲授
例 2：请根据 C(α − β)、C(α + β) 及诱导公式五（或六），用任意角 α、β 的正弦、

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第1课时两角差的余弦公式)课件高一上数学人教A版2019必修第一册

2
=
1+2 6
.
6
5.cos(α+30°)cos α+sin(α+30°)sin α=
3
2
.
解析 cos(α+30°)cos α+sin(α+30°)sin α=cos[(α+30°)-α]=cos 30°=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3
.
2
17 2
π
12
3π
6.若 cos θ=-13 ,θ∈ π, 2 ,则 cos θ- 4 =
角恒等变换.学习过程中,应逐步体会单元内容的研究路径:特殊→一般→
证明公式→公式变形→新公式→公式应用.这也是我们学习本单元的知识
明线.本单元具体内容结构如图所示:
本学习单元的最终目标是掌握三角恒等变换公式,通过对公式的推导,
运用对称性得出新的公式并加以证明,并能解决实际问题.在此单元的学习
过程中,培养逻辑推理、数学运算等核心素养.
问题 1 特殊角的三角函数值如
π
sin
3
=
3
π
,cos
2
3
=
1
是根据三角函数的定义,借
2
π
助单位圆得知,在单位圆中可否通过特殊角来构造的角的终边,并据此求
12
π
出角所对应的三角函数值?
12
问题2对于问题1进行一般化处理,对于任意角α,β,可否构造出(α-β),并利用
角α,β的三角函数值,求出cos(α-β)的值?
因此
π
0<α-β<2.故
π
α-β=4.
β=
10
,求α-β的值.

新教材高中数学两角和与差的正弦余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式pptx课件新人教A版必修第一册

某个三角函数值
• (2)求所求角的______________：根据角的范围选择求哪一
个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在
的象限．
求角
• (3)____：结合三角函数值及角的范围求角．
• [跟进训练]
• 3．已知α，β均为锐角，且cos
[解]
∵α，β均为锐角，cos
∴sin α＝
5
，sin
cos 30°
sin 60°
sin 30°
cos (120°－60°) cos 120°
cos 60°
sin 120°
sin 60°
从中你能发现cos (α－β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？
•
•
•
•
知识点两角差的余弦公式
公式：cos (α－β)＝_____________________．
5
2 5
α＝，cos
5
2 5
α＝，cos
5
β＝
10
，求α－β的值．
10
β＝
10
，
10
3 10
β＝
，
10
∴cos (α－β)＝cos αcos
又sin α<sin β，∴0<
2 5
．
[解]
Hale Waihona Puke 已知sin α＝因为sin
1
2
sin ＝．
7
13
π
(α－β)＝，且0＜β＜α＜，
14
2
π
所以0＜α－β＜，
2
13
14
π
2
(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小

数学必修Ⅳ人教新课标A版3-1-2两角和与差的正弦-余弦-正切公式课件(27张)

第三章 §3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
学习目标
1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究点点落实Fra bibliotek知识点一两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？
sinα＋β sin αcos β＋cos αsin β 答 tan(α＋β)＝cosα＋β＝cos αcos β－sin αsin β，分子分母同除以 cos αcos β，便可得到.
答案
思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到.
名称简记符号
公式
使用条件
两角和的正切
T(α＋β)
tan(α＋β)＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
α，β，α＋β 均不等于 kπ＋ π2(k∈Z)
两角差的正切
T(α－β)
tan(α－β)＝
反思与感悟解析答案
跟踪训练3 (1)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)等于
(B )
A.2
B.4
C.8
D.16
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°) ＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2. 同理(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2. 故原式等于4.
反思与感悟解析答案

两角和与差的余弦、正弦、正切公式课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

容易得到 = 1 1 .
新知探究
探究1：已知任意角，的正弦、余弦，探究 − 的三角值与其的关系？
(( − )， ( − ))，(1,0)，1 ( ， )，
根据两点间的距离公式，得：

1 ( ， )，
|| = [( − ) − 1]2 +2 ( − ) = 2 − 2( − )
=
(2)( − ) = +
= (−1) × + 0
= −
典例精析
例2：已知 =
解：由 =
又由 =
4
,
5
4
，
5

5
∈ ( , ), = − , 是第三象限角，求( − )的值
(−)
两角和的余弦公式：( + ) = −
(+)
( +

) = [ − ( + )] = [( − ) − )]
2
2

= ( − ) + ( − )
2
2
= + .
4
4
2
解析：由结论 1 知 tan 1°＋tan 44°＝1－tan 1°tan 44°，
(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°
＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 1°tan 44°＝2．
所以(1＋tan 1°)·(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝222．故选 A．
|1 1 | = ( − )2 +( − )2
= 2 − 2 − 2
化简得：( − ) = + .

5.5.1 第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

5.5.1 三角恒等变换第2课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标
素养目标
学科素养
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切
公式和两角和的余弦公式．
1.逻辑推理
2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征． 2.数学运算
3.能灵活运用公式进行化简和求值.
自主学习
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
函数使用．例如：12cosα－ 23sinα＝sin6πcosα－cosπ6sinα＝sin(6π－α)．
注意：在利用两角和差的正切公式时要注意常值代换：如 tan4π＝1，tanπ6＝ 33， tan3π＝ 3等.还要注意 tan4π＋α＝11＋－ttaannαα，tanπ4－α＝11－＋ttaannαα.
因为 α∈(0， )，β∈(0， )，则 α＋β∈(0，π)，故 α＋β＝ .
经典例题
题型三给值求角
总结给值求角的方法
一般先求出该角的某个三角函数值，再确定该角的取值范围，最后
得出该角的大小．至于求该角的哪一个三角函数值，这要取决于该角的取值范围，然
后结合三角函数值在不同象限的符号来确定，一般地，若若角的取值范
解：(2)∵0<α< <β< ，
∴cos (α＋β)＝sin [ ＋(α＋β)]＝sin [( ＋α)－( －β)]
∴ < ＋α<π，－ < －β<0.
＝sin ( ＋α)cos ( －β)－cos ( ＋α)sin ( －β)
＝
又∵sin ( ＋α)＝，cos ( －β)＝，
－(－ )×(－ )＝－ .
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

例2：cos175ºcos55º+sin175ºsin55º
解：原式＝cos(175º－55º) ＝cos(120º)
＝- 1 2
知识点:1.根据CCSS识别两角差的余弦公式 2.公式的逆运算应用.
例3：利用公式 C(α-β)证明：
(1) cos( ) sin；
2
(2) cos( ) -cos
1 2
三角函数三角函数值
cos30°
3 2
sin45°
2 2
cos45°
2 2
sin60°
3 2
cos60°
1 2
问题1：如何计算cos15º？
cos15º= cos(45º－30º) = ? cos15º= cos(60º－45º) = ?
问题2：设α,β为两个任意角，那么 cos(α-β) = cosα-cosβ 恒成立吗？
α-β
o
Ax
化简得
cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
当角α，β终边相同时，上式是否成立？
代入验证：∵角α，β终边相同 ∴α=β+2kπ，k∈Z
∴左式=cos(α-β)=cos2kπ=cos0=1 ∴右式=cos(β+2kπ) cosβ + sin(β+2kπ)sinβ=cos2β+sin2β =1 ∴左式=右式 ∴当角α，β终边相同时，也满足公式
5.5.1两角差的余弦公式
授课老师：某某某
学习目标
重点难点
1.通过探究，了解两角差的余弦公式的推导过程 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算
两角差的余弦公式的应用

人教A版高中数学必修43.两角和与差的正弦、余弦、正切公式PPT课件

s i n ( ) s i n c o s c o ss i nS
练习：
1、利用和（差）角公式，求下列各式的值：
⑴sin15s i n ( 4 5 3 0 ) s i n ( 6 0 4 5 )
6 4
2
⑵ cos15= c o s ( 4 5 1 5 ) c o s ( 6 0 4 5 )
同学们来总结公式的特点： 1、两角和、差角的余弦公式
c o s ( ) c o sc o s s i n s i nC
c o s ( ) c o sc o s s i n s i nC
2、两角和、差角的正弦公式
s i n ( ) s i n c o s c o ss i nS
p
cos( 4
+α)=cosp
4
cosα-sin p
4
sinα=
242(3)72, 2 5 2 5 10
例1 变式
已知s i n 3 , 求sin(p),cos(p)的值。
5
4
4
解析：讨论α的范围
1、当α在第三象限时
2、当α在第四象限时
小组合作探究
pp p p 已知 0 4 3 4 ,c o s 4 5 3 ,s in 4 1 5 3
第三章三角恒等变换
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、公式
教学目标
1、知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，培养学生的运算能力及逻辑推理能力.
2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，提高学生分析问题解决问题的能力.
3、情感、态度与价值观：通过本节学习，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

知识回顾
复习引入：
上一节学过的公式 C( )（1）它的结
构特点是什么？（2）它的正用逆用；（3）这里、可以是怎样的角？
新课导入
在数学解题过程中，换元的思想广泛应用，在公式的推导过程中，有时候也应用到这种思想。
问题：由公式 C( ) 出发，你能推导出两角和与差的其它公式 C() , S() ,
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
两角和的正切公式Ｔ（α+ β）
S( ) , T() , T( ) .
新课导入
知识与能力
能利用两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式、正切公式。
过程与方法
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。
情感态度与价值观
通过公式的推导，了解它们内在的联系．进一步培养学生的逻辑推理能力。
=
- 5 -1 12
1
+
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 12
1
=
- 17 7
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
两角差的正弦公式Ｓ（α- β）
S : sin sin cos cossin
用代替得到
sin sin cos() cossin()
S : sin sin cos cos sin
两角差的正切公式Ｔ（α- β）
tan( ) tan tan 1 tan tan
公式成立的条件是： α β kπ π，
α kπ π , 2
β kπ π 2 2
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
两角和的正弦公式Ｓ（α+β）
cos sin 2
sin
cos
2
cos
2
cos
2
cos
sin
2
sin
sin cos cossin
S : sin sin cos cossin
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
tan(α β) sin(α β)
(这里有什么要求？）
cos(α β)
sin α cos β cos α sin β 提问：能否化简？
cos α cos β sin α sin β
sin α cos β cos α sin β
cos α cos cos α cos
β β
cos α cos β sin α sin β
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
两角和与差的余弦函数
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
教学重难点
重点
两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
难点
两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用。
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
两角差的余弦公式 C（α-β）
cos（ – ）=cos cos +sin sin 在上式中，若将β替换成-β，则可得:
是第四象限角，得
cosα =
1- sin2α =
1
-
-
5 13
2
=
12 13
tanα
=
sinα cosα
=
-5 13 12
=
-5 12
13
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
例1：已知 sinα = - 5 ,α 是第四象限角，求
13
sin
π 4
-
α
,cos
π 4
+
α
,
tan
α
-
π 4
的值.
解：因为
sinα = - 5 ,α 13
cos（-（-））=coscos（-）+sinsin（-）
即：
两角和的余弦公式 C（α+ β）
cos（+）=coscos–sinsin
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
于是有
sin
π 4
-
α
=
sin
π 4
cosα
-
cos
π 4
sinα
=
2 12 2 13
2 2
-5 13
=
17 2 26
cos
π 4
+
α
=
cos
π 4
cosα
-
sin
π 4
sinα
=
2 12 2 13
2 2
-5 13
=
17 2 26
tan
α
-
π 4
=
tanα - tan π 4
1 + tanαtan π 4
(又有什么要求？）
cos α cos β cos α cos β
tan α tan β
1 tan α tan β
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)
人教 A 版高中数学必修 4 第三章 3 .1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学课件( 共35张 PPT)