充分条件与必要条件(教学设计)

充分与必要条件（1）（教学设计）

1.2.1充分条件与必要条件

教学目标

知识与技能：

正确理解充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．进一步会判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

过程与方法：

充分感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生现问题的能力，通过对充分条件、必要条件的判定，提高分析问题、解决问题的能力；学会观察，敢于归纳，关于建构；充分培养学生的发散思维能力，挖掘学生的创新思维能力。

情感、态度与价值观

通过“p⇒q”与“q⇒p”的判断，感受对立，统一的思想，培养辩证唯物主义观；通过学习本节课体验成功的愉悦，激发学习的兴趣；通过探究学习培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质。

教学重点与难点

重点：充分条件、必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念．

(解决办法：对这三个概念分别先从实际问题引起概念，再详细讲述概念，最后再应用概念进行论证．)

难点：判断命题的充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件。

关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。

教学过程：

一、复习回顾

1、四种命题的形式与关系

二、创设情境，新课引入

当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.

三、师生互动，新课讲解

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若x＝y，则x2＝y2

（2）若ab = 0，则a = 0

（3）若x2>1，则x>1

（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0

推断符号“⇒”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p q.

简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；

“若p则q”为假，记作p q（或q p）.

命题(1)、(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“p⇒q”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“p q.”

说明：“p⇒q”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q成立，即表示“p蕴含q”，理解为“p”为“q”的子集。

1.什么是充分条件？什么是必要条件？

一般地，如果已知p⇒q，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知p⇒q，且q⇒p，那么就

说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知p q，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；

回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系.

命题(1)中因x＝y⇒x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；x2＝y2x ＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；

命题(2)中因a = 0⇒ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0 a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；

命题(3)中，因“x>1⇒x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件.x2>1x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件.

命题(4)中，因x＝1或x＝2⇔x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件.

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

2.充分条件与必要条件的判断

例1（课本P9例1）下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？

（1）若x ＝1，则x2－ 4x ＋ 3 ＝ 0；

（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；

（3）若x为无理数，则x2为无理数．

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．

解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的p是q的充分条件。

3．充分条件与必要条件的判断方法：

（1）直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）（2）利用等价命题关系判断：“p⇒q”的等价命题是“⌝q⇒⌝p”。即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”。

例２（课本P10例2）下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?

(1)若x ＝ y，则x2＝ y2；

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

(3)若a ＞b,则ac＞bc．

分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．

解：命题（1）（2）为真命题，命题（3）为假命题，所以，命题（1）（2）中的q是p的必要条件。

例3：指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.

（2） p：两条直线平行；q：内错角相等.

（3） p：a>b；q：a2>b2

（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形.

分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.

解：⑴由p⇒q，即x-1=0⇒(x-1)(x+2)=0，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⑵由p⇒q，即两条直线平行⇔内错角相等，知p是q的充要条件，q是p的充要条件；

⑶由p q，即a>b a2>b2，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；q p，即a2>b2a>b，知q不是p的充分条件，p不是q的必要条件.

综述：p是q的既不充分条件又不必要条件。

⑷由q⇒ p，即四边形是正四边形⇒四边形的四条边相等，知q是p的充分条件，p是q的必要条件. 由p q，即四边形的四条边相等四边形是正四边形，知p不是q的充分条件，q不是p的必要条件；

综述：p是q的必要不充分条件。

以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.

学习课堂练习（课本P10练习：NO：1；2；3；4）

例4A A是B的什么条件？