二次根式典型例题

二次根式典型例题讲解

【知识要点】

10)a ≥的式子叫做二次根式。

注意：这里被开方数a 可以是数，也可以是单项式，多项式，分式等代数式，其中0a ≥为二次根式的前提条件。

2、二次根式的性质：

（10(0)a ≥ （2）2

(0)a a =≥ （3a =

（4）)0b ,0a (b a ab ≥≥⋅= （50,0)

a b ≥> 3、二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。

即)0b ,0a (ab b a ≥≥=⋅。

4、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变。

0,0)

a b =≥>。

5、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）根号下不含分母，分母中不含根号。 6、分母有理化：把分母中的根号化去的方法叫做分母有理化。

分母有理化的依据是分式的基本性质和二次根式的性质公式2

(0)a a =≥。

有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就称这两个代数式互为有理化因式。

一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：

①；③a +a

④

7、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

8、二次根式的加减法

二次根式的加减，就是合并同类二次根式。 二次根式加减法运算的一般步骤：

（1）将每一个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式；（3）合并同类二次根式。

【典型例题】

例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

（1

（2 （3

（4

（5 （6

例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。

（1

（2

（3

（4

例3、（1

2

；（2

（3）设,,a b c 为ABC ∆的三边，化简

例4、化简：

（1

（2

（3

0,0,0)x y z >>>

（4）)56(1031

-⋅

例5、把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内。

（1

）

（2

）

-（3

）(x -

（4

）

(1x -

例6、计算：

（1）)484(456-⋅-

（2）)

1021(32531-⋅⋅ （3）

648

（4）

545

)321(÷

- （5）125

31

110845-++

【模拟试题】

一、填空题：

1、计算：0)15(-=________；1

3

-=________；32

=________；2)3(-=________。

2、计算：131

3+-=________；1

)12(--+8=_________。

3、计算：20－

515

=__________；

326

-=_________.

4、若a a =2

，则a __________；若a a -=2

，则a __________。

5、若22)32()5(++-b a =0，则2ab =__________。

6、当x_______时，x --23

有意义；在2||--x x 中x 的取值范围是___________。

二、选择题：

7、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）。

（A ）x 9 （B ）32

-x （C ）

x y

x - （D ）b a 23 8、当a <－4时，那么|2－2

)2(a +|等于（ ）

（A ）4+a （B ）－a （C ）－4－a （D ）a 9、化简|a －2|+2

)2(a -的结果是（ ）。

（A ）4－2a （B ）0 （C ）24-a （D ）4

10、231

-与23+的关系是（ ）。

（A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）相等 （D ）互为有理化因式 11、5+2倒数是（ ）。

（A ）5－2 （B ）－5－2 （C ）－5+2 （D ）251

-

12、下列各组中互为有理化因式的是（ ）。 （A ）b a +与a b -- （B ）a -

2与2-a

（C ）32+a 与a 23- （D ）a 与a 2

13、如果1

b ab 2a b a 1

22-=+-⋅-，则b a 和的关系是（ ）。

（A ）b a ≤ （B ）b a < （C ）b a ≥ （D ）b a >

14、把

3a 1

a -

根号外的因式移入根号内，得（ ）。

（A ）a 1 （B ）

a 1- （C ）－a 1 （D ）－a 1

-

15、设4－2的整数部分为a ，小数部分为b ，则

b a 1

-

的值为（ ）。

（A ）1－22 （B ）2 （C ）

22

1+

（D ）－2

三、计算题

16、214

18122

-+- 17、x

3)x 1

x 24x 6(÷-

四、解答题

18、已知：的值求代数式2x

y

y x 2x y y x ,211x 8x 81y -+-+++

-+-=．

二次根式的灵活运用

1、化简代数式322322++-的结果是（ ） A. 3 B. 12+ C. 22+

D. 22

2、已知-1

3、已知实数a 满足11=--a a ，那么()22

1a a +-等于