灰色预测法GM(1,1)总结

灰色预测模型

一、灰色预测的概念

1. 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介于白色系统

和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。

2. 灰色预测，是指对系统行为特征值的发展变化进行的预测，对既含有已知信息又含有不

确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

二、灰色预测的类型

1. 灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，

预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

2. 畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时

区内。

3. 系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众

多变量间的相互协调关系的变化。

4. 拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定

值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点

三、GM( 1，1)模型的建立

1. 数据处理

为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。

i. 设x0i・x 01 ,X 02 ,X 03 ,...X 0n 1是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级

比'(t)二学才,t =2,3,L ,n。如果绝大部分的级比

-2 2

都落在可容覆盖区间(e^’e百)内，则可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰色

1

预测。否则，对数据做适当的预处理。方法目前主要有 数据开n 方、数据取 对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑，具体可以按照下式处 理

X 0 (t)二［X 0 t-1 2X 0 t X 0 t 1

/4

X 0 ⑴=3X 0 1 X 0 2

/4

X 0 (n) J X 0 n 一1 3X 0 n /4

ii.预处理后对数据作一次累加生成处理，即：将原始序列的第一个数据作为生 成列的第一个数

据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据 上，其和作为生成列的第二个数据。按此规则进行下去，便可得到生成列。

k

根据X (1)(k) X (0)(n)，得到一个新的数列

X 1 -「X 1 1 ,X 1 2 ,X 1 3 ,...X 1 n /

这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。

2. 新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。

(1

)

dX (1)

aX () =u

dt

其中：a 称为发展灰数；u 称为内生控制灰数。

3. 模型求解。

令乂 二［X (0)(2),X (0)(3),…，X (0)(n)］T ，:?为待估参数向量,

[-1(X ⑴(1) + X ⑴(2)) -2(X ⑴(2) + X ⑴⑶) 2

” (n 「) X ⑴(n))

于是模型可表示为

Y n -B ：?

通过最小二乘法得到:

T 4 T

:? h[B T

B

B T Y n

求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数:

)?1 t 1

* 1 一寸/存心-2

^?1 t 1为所得的累加的预测值，将预测值还原即为:

00)(t 1) = )?(1)(t 1)-)?(1)(t)

注：若数据经过预处理，则还需经过相应变换才能得到实际预测值

4、模型检验

灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验

1) 残差检验

X?(o)

(t )= ^(t)-X ⑴(t-1)

小t )=|/)(t )—x C )(d

绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度

2) 关联度检验 i.定义关联系数(t)

min *t )+Pmax 人(° g t ) (t)= 也)(t )+ max 也(° X t )

其中：①厶0 t 为第t 个点x 0与的绝对误差；

② 「称为分辨率，Ov 「＜1,一般取=0.5；

③ 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始

化，即将该序列所有数据分别除以第一个数据

n

；(t )二 心U t ) x (0

)(t )

,t = 1,2,L , n 分别求出预测值、 是否理想。

ii.定义关联度r — t ,称为X 0t与>?0t的关联度n t 二

根据上述方法算出X° k与原始序列X0k的关联系数，然后计算出关联

度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满足检验标准。

3) 后验差检验

计算原始序列标准差和绝对误差序列的标准差分别为

计算方差比，小误差概率P = t -A0 <0.6745S^?，令

S

q =卜卩址)-原0]，S0 =0.6745S i，则p = p{e vS。}

检验指标P和C与灰色预测精度检验等级标准如下表所示:

四、残差模型修正

若用原始经济时间序列X 0建立的GM( 1,1)模型检验不合格或精度不理想时，要对建立的GM( 1,1)模型进行残差修正或提高模型的预测精度。修正的方法是建立GM( 1，1)的残差模型。

设；(0)=(；(0)(1), ；(0"2)，…，；(0)( n))其中，；(k)=x(0)(k)-0)(k)为X ⑴的残差序列。若存在k°,满足

1. -k _k°, ；(0)(k)的符号一致；

2. n- k。—4，则称(| ；(0)(k°)|,| ；(0)(k° 1)|,…；(0)( n) |)为可建模残差尾段，

仍记为；(0) =C(0)(k°), ；(0)(k°1),...,^(0)(n))

设；(0)=( ；(0)(«), ；(0)(k°1),..., ；(0)(n))为可建模残差尾段，其一次累加序列

；(1)=(；⑴(k°), ；(1)(k°1),..., A1)(n))的GM(1,1)模型的时间响应式为

尹(k 1) = (；%)- e【-a (k 也)]

a z a z

则残差尾段的模拟序列为

严=(?(0)(k。)，?(0)(k。1),…,严(n))

其中

严(k 1) =(-a )C(0)(k o) 一里)e心(k如，k_k。

% 若用70)修正刃⑴则称修正后的时间响应式

(x(0)(i)_b)e」k* k