三角形中的边角关系 知识点学习资料
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他两边平方的和。
即a^2+b^2=c^2，其中c表示直角边，a和b分别表示斜边。
二、正弦定理正弦定理是指在任意三角形中，任意两边的比例等于它们所对的角的正弦值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正弦定理可以表示为sinA=a/c，sinB=b/c。
三、余弦定理余弦定理是指在任意三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去它们的两倍乘以它们夹角的余弦。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角边所对的边为c，则余弦定理可以表示为cosA=b/c，cosB=a/c。
四、正切定理正切定理是指在任意三角形中，两条边的比例等于它们所对的角的正切值的比例。
在直角三角形中，不包含直角的两个角分别为A和B，直角所对的边为c，则正切定理可以表示为tanA=a/b，tanB=b/a。
五、边角关系1.直角三角形中，一个角是90度，另外两个角的和是90度。
2.直角三角形中，直角边所对的角是90度，而另外两边所对的角是锐角。
3.直角三角形中，两个锐角的正弦、余弦、正切值彼此互为倒数。
4.直角三角形中，两个锐角的余弦值等于彼此的正弦值。
5.直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。
六、特殊三角形1.在直角三角形中，当两个直角边的长度相等时，该直角三角形为等腰直角三角形。
2.在等腰直角三角形中，两个锐角相等，且为45度。
3.在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根的两倍。
以上是直角三角形的边角关系的主要知识点。
通过对直角三角形的边长和角度关系的了解，我们可以应用这些关系来解决与直角三角形相关的问题。
同时，直角三角形也是三角学中一个重要的基础概念，为后续学习提供了坚实的基础。
边角关系知识点总结
边角关系知识点总结1. 任意三角形的边角关系：（1）在任意三角形中，三个内角的和等于180°，即A + B + C = 180°。
（2）三角形的外角等于其不相邻的两个内角的和。
也就是说，三角形的一个内角加上其对边的外角等于180°。
（3）在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
即AB + BC > AC、AC + BC > AB、AB + AC > BC。
2. 直角三角形的边角关系：（1）直角三角形的三个内角中，一个为90°，一个为锐角，一个为钝角。
（2）直角三角形的斜边是其它两条边的平方和的平方根。
即c² = a² + b²。
（3）直角三角形的两个锐角互余，即一个角的余角是另一个角。
3. 等腰三角形的边角关系：（1）等腰三角形的底边相等，顶角相等。
（2）等腰三角形的底角相等，顶角相等。
（3）等腰三角形的底边上的高相等。
4. 等边三角形的边角关系：（1）等边三角形三个内角相等，每个角都是60°。
（2）等边三角形的三条边相等。
（3）等边三角形的高、中线、角平分线、垂径都是同一条线段。
5. 直角三角形、等腰三角形和等边三角形的区别：（1）直角三角形有一个角是90°，等腰三角形和等边三角形没有。
（2）等腰三角形有两条边相等，直角三角形和等边三角形没有。
（3）等边三角形的三条边都相等，直角三角形和等腰三角形没有。
6. 三角形的角平分线：（1）三角形的角平分线是指从三角形的一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等的角的线段。
（2）三角形的三个角都各有一条角平分线。
（3）角平分线和对边的比例关系：AB/BD = AC/CD。
7. 外接角和内切角：（1）外接角：指与三角形的外角相对应的一个角，外接角等于两个不相邻内角的和。
（2）内切角：指与三角形的内角相对应的一个角，内切角等于两个不相邻外角的和。
8. 三角形的全等条件：（1）两个三角形的三边全相等，则这两个三角形全等。
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。
例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。
B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。
直角三角形的边角关系(精简版)
直角三角形的边角关系知识点1：锐角三角函数一、知识点讲解： 1．锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值．2．特殊角是指0°，30°，45°，60°，90°的角． 3．特殊角的三角函数值．4．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （90○－A ）= cotA cot （90○－A ）=tanA 5．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l ②倒数关系：tanA ×cotA=1③商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==④sin cos 12sin cos a a a a +=+ ⑤222tan cot (tan cot )2a a a a +=+- 二、经典例题讲解： 类型一、关于特殊的函数值 例题1、计算：()()013222sin 60-︒-+-+⋅（结果保留根号．．．．．．）中考典练1： 024cos 458(3)(1)π-+++-分值6分中考典练2：2(tan 301)____-= 中考典练3：13tan 60|2|22-+-+例题2、 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A 、 3 33. .22B C -D ．0 例题3、等腰直角三角形一个锐角的余弦为（ ） A 、12 32. .22B C D ．l 例4、点M(tan60°，－cos60°）关于x 轴的对称点M ′的坐标是（ ） 1111.(3,); .(3,); .(3,) .(3,)2222A B C D ----例5、在锐角△ABC 中，如果2sinC=sin90°，则∠C=__。
直角三角形的边角关系的讲义
直角三角形的边角关系的讲义（一）知识点梳理： 1、正切的定义的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作例1:已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示例题2：如图，水坝的横断面为梯形ABCD ，迎水坡BC 的坡角∠B 为300，背水坡AD 的坡度为65，坝顶宽DC ＝2.5m ，坝高CF ＝4.5m ，求：（1）迎水坡BC 的长；（2）坝底AB 的长（精确到0.1m ）．3、正弦、余弦的定义例3:在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义例：∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=，求CD的长。
55、30°，45°，60°角的三角函数值 1、30°，45°，60°角的三角函数值例:求下列各式的值。
（1）︒︒-︒60tan 30sin 60sin ； （2）︒-+︒-︒45sin 22460tan 460tan 2。
精选试题练习： 一、选择填空。
1.把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 2．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则sinB 的值是（ ）CB AA ．1475 B ．53C ．721 D ．1421 3. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为（ ） A．B ．15C．D．BACDE4. 如图,在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂AC=则sin ∠足为D.若ACD 的值为( )C. D. 235．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为 （ ） （A ） 2 （B ）3 （C ）2（D ）16．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥AB ，AD=CD54cos =∠DCA ，BC=10，则AB 的值是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．37．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB =，则下底BC 的长为 __________．8．如图，已知Rt ΔABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=54，则AC= ． 9．如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．60°30°D CBA10. 如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB= 11.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果AD=△ABC 的周长等于 .二、解答题。
直角三角形的边角关系复习
α 100m ┌
1）.坡面与水平面的夹角(α)叫坡角
2）.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i
(或坡比),即坡度等于坡角的正切。 3）.坡度越大,坡面越陡。
4、仰角和俯角
铅 直 线
视线
仰角 俯角
水平线
5、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
45°
南方向）
(1)问:B处是否受到台风的
北
影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响,
C
该船应在多少小时内卸完货物? 160 120 D
AD= 160 3 120
200
60°
B
320
A
160 3 120 4 3 3 3.（9 小时） 40
8.如图，是某市幸福大道上一座人行天桥示意图，天桥的高CO为 6米，坡道倾斜角∠CBO=45° ，在距B点5米处有一建筑物.为了 更加方便行人上、下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但 离新坡角A处要留出不少于3米宽的人行道。
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，tan∠AFG＝AFGG， ∴FG＝tan∠AGAFG＝AG3 .
在 Rt△ACG 中，tan∠ACG＝ACGG，∴CG＝tan∠AGACG＝ 3AG. 又 CG－FG＝40，即 3AG－AG3 ＝40， ∴AG＝20 3，∴AB＝(20 3＋1.5)m. 答：这幢教学楼 AB 的高度为(20 3＋1.5)m.
边角之间的关系（锐角三角函数）
sinA＝ a c
cosA＝
b c
直角三角形边角关系：
练习
如图：甲乙两楼相距30m.甲楼高40m，从 甲楼顶看乙楼顶仰角为30度。问乙楼有多 高。
D
E
300 C
40m
A 30m B
甲
乙
四、小结：
（1）三角函数的有关概念。 （2）用三角函数解直角三角形的
边角问题。
tanA A A的 的邻 对边 边 ba tanB B B的 的邻 对边 边 ba
2、特殊角的三角函数值
300
450
sin
1 2
2
3
2
2
cos
3
2
tan 3 3
2
1
2
2
1
3
3、性质
• •
Sin
、 tan角值度越越大大，，角函度数越值大越；大。
• cos 值越大，角度越小，
•
角度越大，值越小。
• 例1、用大于或小于号或等于号把下式连接起来
• （1）tan10 0 • • (2) sin60 0
tan350 tan700 tan600 cos600
▪ 仰角、俯角：
： ▪ 例3 古塔究竟有多高
▪ 如图,小明想测量古塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进 50m至B处,测得仰角为60°,求：（1）∠ADC, ∠BDC的度数（2）分别用∠ADC, ∠BDC的正切值表示出AC,BC的长度（3）该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精 确到1m).
B
C
三、三角函数的实际应用
► 例6、一货轮以每小时36海里的速度航行，当行驶到A处时
发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行40分钟
后到达C处女现灯塔B在它北偏东60度方向，求此时货轮
13.1.2 三角形中角的关系(课件)沪科版数学八年级上册
课堂小结
三角形中角的关系
三角
直角三角形
内角和 三个内角的 形中 按角的大
等于180° 数量关系 角的 小分类
关系
斜三角形
感悟新知
例 2 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
知2－练
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B
的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.
感悟新知
21.2-2)、剪拼(图13.1.2-3)的方法，将
三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现
了数学中的转化思想.
感悟新知
知2－讲
特别解读 “三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内
角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数， 则可以求得第三个角的度数;若已知三个角的关系或三个 角的度数之比，可以求各个角的度数.
感悟新知
知1－练
解：(1)因为三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形. (2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形. (3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形. 由角的大小判断三角形形状的方法： (1)若最大角为锐角，则该三角形为锐角三角形； (2)若最大角为直角，则该三角形为直角三角形； (3)若最大角为钝角，则该三角形为钝角三角形.
两个锐角.
2. 三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各
自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.
3. 等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类
属于直角三角形.
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2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系一、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA 122232cosA 322212tanA 331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,∠A=30°，则c=,b=.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=ac，cosA＝sinB=bc，tanA＝ab.(4)相等的角①商的关系:tanA= ;②平方关系:sin2A+cos2A=1.(5)互余的两角:若∠A+∠B=90°,则sinA=cosB, cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．二、 专题讲座专题一：锐角三角函数的概念注意：1.sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有 ，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关2.取值范围 <sinA< ； < cosA< ； tanA> 例1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______；②斜边)(cos =A ＝______， 斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．例2. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝__ ___，cos A ＝___ ___，tan A ＝____ __， sin B ＝___ ___，cos B ＝_____ _，tan B ＝___ ___．例3．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．类型一：直角三角形求值例4．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．例5.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值类型二. 利用角度转化求值：例6．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2． 求：sinB 、cosB 、tanB ．例7.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．A D ECBF例7图 例8图 例9图 例13图例8.如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5A =，则这个菱形的面积= cm 2． 例9.如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45类型三. 化斜三角形为直角三角形例10.如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例11．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ；(2)求△ABC 的面积S ；(3)求tan B ．例12．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12 B ．55 C ．1010D ．255对应训练：1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为（ ）A ．55 B ．255 C ．12D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=53，那么tan A 的值等于（ ） A ．35 B. 45 C. 34 D. 433. 如图，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( ) A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316；求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.DABC5．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）6．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．7. 在△ABC 中，∠A=60°，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 28．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.9．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为（ ） A.41 B. 31 C.21D. 110．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．5 5 B. 2 5 5 C.12D. 2CB A ABO专题二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．（1）︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 （2）︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2（3）3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°(4)30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ (5) tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒；例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α （5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是（ ） A. 0°< ∠A < 30° B. 30°< ∠A ＜60° C. 60°< ∠A < 90° D. 30°< ∠A < 90° 2. 已知∠A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°<∠ A < 60°B. 30°<∠ A < 60°C. 60°< ∠A < 90°D. 30°<∠ A < 90°例4. （三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．对应练习：1.计算：10123tan 45(2 1.41)3-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭2.计算：1201314.330sin 21）（）（-++---π3.计算：212322cos602°. 4计算：(2014－5)0－(cos60°)-2＋38－3tan30°；5.计算：6.计算：|1﹣|﹣（）﹣1﹣4cos30°+（π﹣3.14）0．7.已知α是锐角，且sin(α+15°)=32． 计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求： (1)∠BAD ； (2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．9. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．11.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB专题三：解直角三角形的应用例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）例1图例2图A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100m B．1003m C．150m D．503m例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。
②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∆)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。
知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果……，那么……。
”的形式。
为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。
3．命题由题设、结论两部分组成。
“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
4．命题分为真命题和假命题。
真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。
5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识考点知识讲解:1.锐角三角函数的概念如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：(1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝bc (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝ab (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作c ot A ， 即c ot A ＝ba 2.直角三角形中的边角关系(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°(3)边角之间的关系：sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝ba3.三角函数的关系(1)同角的三角函数的关系1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝12)倒数关系：t an A·c ot A ＝13)商的关系：t an A ＝sinA cosA ，c ot A ＝cosA sinA(2)互为余角的函数之间的关系sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinAt an (90°－A)＝c ot A ， cot (90°－A)＝t an A4．一些特殊角的三角函数值0°30° 45° 60° 90° sin α0 1 cos α1 0 tan α0 1 ----- cot α----- 15．锐角α的三角函数值的符号及变化规律.(1)锐角α的三角函数值都是正值(2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而减小.6．解直角三角形(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形.7．解直角三角形的应用，解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几个概念：(1)仰角、俯角视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角(2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，即i=hl(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝i=hl (4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。
___版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习
___版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习锐角三角函数的概念在直角三角形ABC中，∠C=90°。
根据三角函数的定义，可以得到以下公式：邻边/斜边 = cosA对边/斜边 = sinA对边/邻边 = ___一些特殊角的三角函数值根据三角函数表，可以得到30°、45°和60°角的正弦、余弦和正切值。
各锐角三角函数之间的关系1) 互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)；2) 平方关系：sinA+cosA=1；3) 倒数关系：___(90°—A)=1；4) 商的关系：___。
锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，正切值随着角度的增大而增大。
解直角三角形解直角三角形就是根据已知元素求解未知元素的过程。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c。
1) 三边之间的关系：a²+b²=c²（勾股定理）；2) 锐角之间的关系：tanA=b/a，tanB=a/b；3) 边角之间的关系：sinA=b/c，cosA=a/c，tanA=b/a；4) 面积公式：s=1/2ab=1/2ch（hc为c边上的高）。
解直角三角形应用将实际问题转化为直角三角形，利用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解。
另外，仰角、俯角和坡面知识也是解题的重要点。
1) 仰角是视线在水平线上方的角，俯角是视线在水平线下方的角；2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=h/l；3) 坡面与水平面的夹角叫做坡度角（或坡角）。
解直角三角形的类型与解法根据已知元素的不同，直角三角形可以分为三种类型：已知两边，已知一边和一锐角，已知两锐角。
对于不同类型的直角三角形，需要采用不同的解法来求解未知元素。
三角形中的边角关系
三角形【2 】基本常识解释：△ABC中,角A,B,C的对边分离为a,b,c,p为三角形周长的一半,r为内切圆半径,R为外接圆半径,）h a,h b,h c分离为a,b,c边上的高S△ABC表示面积.1．三角形的界说：三条线段首尾按序贯穿连接所构成的图形,个中各条线段叫做三角形的边,每两条边构成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边.角.中线.高线.角等分线.周长.面积等都叫三角形的元素．3．肯定三角形的前提：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的根本元素,个中角肯定三角形的外形（定形）,边肯定三角形的大小（定量）,三角形具有稳固性．肯定三角形的前提是：已知三角形的三边（SSS）或双方及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与个中一角的对边（AAS）,这也是断定两个三角形全等的重要办法,全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小,不能肯定三角形,具有雷同大小的三个角的两个三角形是类似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线.垂心．（2）中线.重心及其的性质.坐标公式.向量公式及其物理意义.中线长定理．（3）中垂线.外接圆.外心．（4）内角等分线.内切圆.心坎.内角等分线定理．（5）外角等分线.旁切圆.旁心.外角等分线定理．（6）中位线.中位线定理.中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情形分：三边不等的三角形.等腰三角形.等边三角形.（2）按最大角的情形分：锐角三角形.直角三角形.钝角三角形.6．等腰三角形的剖断与性质.四线合一7．等边三角形的剖断与性质.四心合一（中间）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理.②外角定理③角的性质：规模.关系．④最大角.最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：双方之和大于第三边,双方之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中,大边所对的角也较大,相等双方所对的角也相等,反之也真．②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中,任何一边的平方都等于其他双方的平方和减去这双方与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中,任何双方在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的接洽）．④含30º角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：依据三角形中已知的元素求其它未知的元素,叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch ===111sin sin sin 222ab C ac B bc A ===2sin sin 2sin a B C A =C B A c B C A b sin 2sin sin sin 2sin sin 22==22sin sin sin R A B C =(sin sin sin )Rr A B C =++4abcR =pr =．（2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==,则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ,则ABCS ∆=． 1．正弦定理：(2sin sin sin R C c B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）. 2．余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=;B ac c a b cos 2222-+=;C ab b a c cos 2222-+=3．射影定理：B c C b a cos cos +=;A c C a b cos cos +=; A b B a c cos cos +=.3．三角形中三角函数的关系：由π=++C B A ,可得.（1）C B A sin )sin(=+,…… ;C B A cos )cos(-=+,…… ; C B A tan )tan(-=+…… ;（2）2cos )2sin(C B A =+…… ;2sin )2cos(C B A =+…… ; 2tan )2tan(C B A -=+…….。
直角三角形的边角关系复习
4
3
经典回顾二：
如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE 折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处， 若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
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即时总结反思一: 1、要选准恰当的直角三角形； 2、注意问题的本质；
3、转化的思想.
知识点二：锐角三角函数的有关计算
1、特殊角的三角函数值
2、锐角三角函数值的求解
问题1：如图，在正方形网格中，∠B的正切值 是 ，∠A的正切值是 .
E
定义再回眸：
∠A确定，则直角三角形中相应 边的比值也随之确定；反之呢？
本质：锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定.
经典回顾一：
通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的 大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小 之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角 之间的联系。 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比 叫做顶角的正对（sad）.如图①在△ABC 中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这 时sadA.容易知道一个角的大小与这个角 的正对值也是相互唯一确定的.根据上述 B 角的正对定义，解下列问题：
需牢记的知识
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
2、三角函数有关计算
5 问题4：如图，在△ABC中， ∠B=90°， A ， cos 7
D是AB上一点，连接 DC，若∠BDC=60°，
BD 4 2 .试求AC的长.
优秀导学案展示
即时总结反思二: 已知一个锐角的三角函数值，可知
直角三角形的两边关系，进而可知
该三角形的三边关系，这是一种很 常见的解题技巧.
三角形中的边角关系知识点
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
专题1.6直角三角形的边角关系十大考点(老师版)
专题1.6直角三角形的边角关系十大考点【目标导航】【知识梳理】1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边除以斜边=a c（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边除以斜边=b c．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=a b．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：222a b c +=③边、角之间的关系：sinA==a c ，cosA =b c ，tanA =ab，（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）．4.解直角三角形的应用：（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5.坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．6.俯角、仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【典例剖析】【考点1】锐角三角函数的定义【例1】（2020•河池）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A ．512B ．125C ．513D ．1213【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解析】如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52+122=13，∴sinB=AC AB=1213．故选：D．【变式1.1】（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，BC＝8，则AC等于（）A．6B．16C．12D．4【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanA=BC AC=2，∴AC=12BC=12×8＝4．故选：D．【变式1.2】（2022秋•奉贤区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（）A．tanA=23B．cotA=23C．sinA=23D．cosA=23【分析】先利用勾股定理计算出AB＝213，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义求出∠A的四个三角函数值，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB=42+62=213，∴tanA=BC AC=64=32，cotA=AC BC=46=23，sinA=BC AB=6213=31313，cosA=AC AB=4213=21313．故选：B．【变式1.3】（2022•沈阳模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，∠ADC＝30°，则tan∠CAB的值为（）A．3B．1C．32D．33【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，进而求出∠CAB，再根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝∠ADC＝30°，∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠CAB＝tan60°=3，故选：A．【考点2】特殊角的三角函数值【例2】（2018•西湖区校级二模）在△ABC中，若|sinA−22|32−cosB|2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．105°B．90°C．75°D．120°【分析】直接利用绝对值性质以及特殊角的三角函数值分别得出∠A＝45°，∠B＝30°，进而得出答案．【解析】∵|sinA−22|+|32−cosB|2＝0，∴sinA=22，32=cosB，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C的度数是：180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：A．【变式2.1】（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．【解答】解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ=12，∴∠β＝60°．故选：B．【变式2.2】（2022秋•浦东新区校级期中）已知α为锐角，且sinα=513，那么α的正切值为（）A．512B．125C．513D．1213【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则利用正弦的定义得到sinA＝sinα=BC AB=513，于是可设BC ＝5x，AB＝13x，利用勾股定理计算出AC＝12x，然后根据正切的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sinA＝sinα=BC AB=513，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC=AB2−BC2=(13x)2−(5x)2=12x，∴tanA=BC AC=5x12x=512，即α的正切值为512．故选：A．【变式2.3】（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°−(1−tan60°)2的值是（）A．0B．23C．2D．﹣2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而结合二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝2321﹣（3−1）=3−1−3+1＝0．故选：A．【考点3】锐角三角函数的增减性【例3】锐角α满足sinα22，且tanα＜3，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案．【解析】∵sinα22，且tanα＜3，∴45°＜α＜60°．故选：B．【变式3.1】（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．【解答】解：tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3，∵tanA＝3，∴3＜3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．【变式3.2】（2022秋•莱芜区期中）已知sina32，那么锐角a的取值范围是（）A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a＜30°【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵sin60°=32，sinα32，一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大，∴α＞60°，∵α为锐角，∴60°＜α＜90°，故选：A．【变式3.3】（2021秋•新邵县期末）下列说法中正确的是（）A．sin45°+cos45°＝1B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α）C．对于锐角β，必有tanβ2=tanβ2D．若α为锐角，则sinα＞cosα【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可．【解答】解：A．sin45°+cos45°=22+22=2，故A不符合题意；B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α），故B符合题意；C．对于锐角β，当β＝60°时，tanβ2=tan30°=33，tanβ2=tan60°2=32，此时tanβ2≠tanβ2，故C不符合题意；D．若α为锐角，当α＝45°时，sinα＝cosα=22，故D不符合题意；故选：B．【考点4】同角三角函数【例4】（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinα＝（）A．23B．105C．31010D．1010【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则sinα=a c，tanα=a b，a2+b2＝c2，∵tanα=13知，∴可设a＝x，则b＝3x，∴c=a2+b2=10x．∴sinα=a c=x10x=1010，故选：D．【变式4.1】（2022春•巴东县期中）x为锐角，sinx=23，则cosx的值为（）A．79B．73C．7D．23【分析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x＝1解答即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，sinx=23，∴cosx=1−sin2x=1−29=73．故选：B．【变式4.2】（2022•内黄县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，则tanA＝（）A．53B．43C．45D．34【分析】根据题意设BC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，∴sinA=BC AB=45，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC=AB2−BC2=(5a)2−(4a)2=3a，∴tanA=BC AC=4a3a=43，故选：B．【变式4.3】（2020秋•黄浦区期末）对于锐角α，下列等式中成立的是（）A．sinα＝cosα•tanαB．cosα＝tanα•cotαC．tanα＝cotα•sinαD．cotα＝sinα•cosα【分析】根据锐角三角函数的定义，分别验证每个选项的正误即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，有sinα=a c，cosα=b c，tanα=a b，cotα=b a，于是：A．cosα•tanα=b c•a b=a c=sinα，因此选项A符合题意；B．tanα•cotα=a b•b a=1≠cosα，因此选项B不符合题意；C．cotα•sinα=b a•a c=b c=cosα，因此选项C不符合题意；D．sinα•cosα=a c•b c=ab c2≠cotα，因此选项D不符合题意；故选：A．【考点5】锐角三角函数的新定义问题【例5】（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN 中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB=13，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是．【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，解直角三角形求出BK，CKAK，再利用相似三角形的性质求出DH，AH，想办法求出EH，即可解决问题．【解析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB=BJ AB=13，∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB=BK BC=13，∴BK＝2，CK=BC2−BK2=62−22=42，∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴AD AC=AH AK DH CK，∴69=AH7=DH42，∴AH=143，DH=823，∵四边形DBCE是三等角四边形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B=1EH，设EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴（3m）2＝m2+（823）2，∴m=43或−43（舍弃），∴EH=43，∴AE＝AH﹣EH=143−43=103，∴CE＝AC﹣AE＝9−103=173．故答案为：173．【变式5.1】（2021秋•冷水滩区月考）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ（其中：1﹣tanαtanβ≠0）例如：sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30℃os60°+cos30°sim60°=12×12+32×32=1．利用上述公式计算下列三角函数：①sin105°=6+24②sin15°=6−24③cos90°＝0，④sin15°+tan105°＝2﹣2364．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据上述公式把一般角转化为特殊角的和或者差，然后进行计算即可．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=22122232=6+24，故①正确；②sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°=322212×22=6−24，故②正确；③cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°=22×2222×22=0，故③正确；④tan105°＝tan（60°+45°）=tan45°+tan60°1−tan45°tan60°=1+31−3=−2−3，sin15°+tan105°=6−24（﹣2−3）＝﹣2−36424，故④错误；所以正确的个数为：3个，故选：C．【变式5.2】（2020•广元）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）=−12；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．【解答】解：（1）sin(−30°)=−sin30°=−12，故此结论正确；（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2232+22×12=6424=6+24，故此结论错误．所以正确的结论有3个，故选：C．【变式5.3】（2019•巴州区校级自主招生）规定：对任意角x，y，都有sin2x+cos2x＝1，sin（﹣x）＝﹣sinx，cos （﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，现给出下列等式：①sin(−60°)=−32；②cos15°=6−24；③cos2x＝1﹣2sin2x；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，其中，等式成立的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据所提供的材料解题即可．【解答】解：①﹣sin60°=sin(−60°)=−32，故正确；②cos15°＝cos（60°﹣45°）＝cos60°cos（﹣45°）﹣sin60°sin（﹣45°）＝cos60°cos45°+sin60°sin45°=122232×22=2+64，即cos15°=6−24是错误的；③cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x＝1﹣sin2x﹣sin2x＝1﹣2sin2x，故正确；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故正确；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，故正确．综上所述，其中，等式成立的个数为4个．故选：C．【考点6】三角函数与网格问题【例6】（2018秋•乐山期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA ＝45．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦为邻边比斜边，可得答案．【解析】如图，由勾股定理，得AC=AD2+CD2=42+32=5．cosA=AD AC=45，故答案为：45．【变式6.1】（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝12．【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．【解答】解：tan∠ABC=24=12，故答案为：12．【变式6.2】（2021•甘谷县一模）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为13．【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，BD=2，AD＝32，tanA=BD AD=232=13，故答案为：13．【变式6.3】（2020•铁东区四模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为1．【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．【解答】解：如图所示，连接BC，则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故答案为：1．【考点7】解直角三角形【例7】（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=AD AB计算即可；（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BE AB=EF AD=BF BD=23，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC＝9，∴AB=AD2+BD262+92=313，∴sinB=AD AB=6313=21313；（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BE=EF=BF=2，∴EF=23AD=23×6＝4，BF=23BD=23×9＝6，∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF2+DF2=42+32=5．【变式7.1】（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA=43．；求：（1）S△ABC（2）∠B的余弦值．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD ＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA=CD AD=43，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC=AD2+CD2=(3k)2+(4k)2=5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，=12AB•CD∴S△ABC=12×15×12＝90，＝90；∴S△ABC（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC=CD2+BD2=122+62=65，∴cosB=BD CB=665=55，∴∠B的余弦值为55．【变式7.2】（2022秋•浦东新区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan ∠B=23，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正切值．【分析】（1）解直角三角形求出CD＝4，再利用勾股定理求出AC即可；（2）过点E作EH⊥AB于点H．求出AH，EH，可得结论．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴tanB=CD DB=23，∵BD＝6，∴CD＝4，∴AC=CD2+AD2=42+22=25；（2）过点E作EH⊥AB于点H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∵EC＝EB，∴DH＝BH＝3，∴EH=12CD＝2，∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，∴tan∠EAB=EH AH=25．【变式7.3】（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b=12c＝43，∵tanA=a b，∴a＝btanA，∴a＝43×3=12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sinA=BC AB，∴AB=BC sinA=10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．【考点8】锐角三角函数的应用：方向角问题【例8】（2020•启东市三模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．【分析】（1）由由题意即可得出答案；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．【解析】（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝302，∴AE＝BE=22AB＝30，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB=BE CE，∴CE=BE tan60°=303=103，∴AC＝AE+CE＝30+103，∴A，C两港之间的距离为（30+103）km．【变式8.1】（2022•锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：2≈1.414，3=1.732）【分析】根据三角形内角和得到∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，求得∠ABC＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到AC＝AB＝10海里，根据平行线的性质得到∠ACF＝30°，求得∠ACD＝60．平角的性质得到∠DAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，即可求得∠DAE＝45°，解直角三角形求得CE＝5海里，AE＝DE＝53海里，即可求得CD＝5+53≈13.66（海里），进一步求得轮船航行的速度．【解答】解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE=12AC＝5海里，AE=32AC＝53海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝53海里，∴CD＝5+53≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷12=27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，【变式8.2】（2022秋•垦利区期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．【解答】解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，∴∠BOC＝30°，OB＝80km，如图，作BG⊥OC于G，∴BG=12OB＝40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，∵BG＝40km，∴EG=BE∴EF＝2EG＝60km，∵风速为40km/h，∴60÷40＝1.5（小时），∴影响时间约为1.5小时．【变式8.3】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东45°方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东30°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（1）求BC的距离；（结果保留整数）（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东75°方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿DC方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东75°方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．【分析】（1）作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，根据AF＝CF，得60+x=3x，求出x的值即可求出答案；（2）根据特殊直角三角形求出CD，CE，即可求出从D到E用的时间，和6小时相比较即可．【解答】解：如图，作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，（1）由已知得AB＝60海里，∠CAF＝45°，∠BCF＝30°，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，∵AF＝CF，∴60+x=3x，∴x=603−1=30（3+1），∴BC＝60（3+1）≈142（海里），∴BC的距离为142海里；（2）由已知得∠CBD＝∠BCD＝45°，∴CD=22BC＝30（6+2），∵∠ECF＝75°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣30°﹣75°＝30°，∴CE＝2CD＝60（6+2），∴从D到E用的时间为CD+CE60=90(6+2)60≈5.8＜6，∴渔船能在下午5点之前到达E处．【考点9】锐角三角函数的应用：坡度坡角问题【例9】（2019秋•滨海县期末）速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：3≈1.73）【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．【解析】（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，∵新坡面AC的坡度为1：3，∴tan∠CAH=13=33，∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，∴AC＝2CH＝10米；（2）新的设计方案不能通过．理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，∴BH＝CH＝5，∵tan∠CAH=33，∴AH=3CH＝53，∴AB＝53−5，∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（53−5）＝15﹣53≈6.35＜7，∴新的设计方案不能通过．【变式9.1】（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′=(5x)2−(3x)2=4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的长为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH=12OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．【变式9.2】（2022秋•高新区期中）如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）【分析】（1）作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；（2）作D′G⊥A′B于点G，求出CD′、A′B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα=CE EB，∴BE=CE tan30°=53，∴AB＝AF+FE+EB＝（172+53）米；（2）如图，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面积=12×（0.5+1.5）×5＝5，答：横截面增加的面积为5平方米．【变式9.3】（2022秋•长春期中）如图是某地铁站自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角（∠BAC）为30.5°，自动扶梯AB的长为17米．（1）求乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC．（结果精确到0.1米）（2）如果一层楼的高度为2.8米，问这个扶梯升高的高度BC相当于几层楼高？（结果保留整数）【参考数据：sin30.5°＝0.51，cos30.5°＝0.86，tan30.5°＝0.59】【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长即可；（2）直接利用（1）中所求，即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝17×0.51≈8.7（米），答：乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC约为8.7米；（2）由题意可得：8.7÷2.8≈3（层），答：这个扶梯升高的高度BC相当于3层楼高．【考点10】锐角三角函数的应用：俯角仰角问题【例10】（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB 的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解析】∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，∴∠BAM＝∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20（米），∴在Rt△ABM中，AM＝202（米），作AE⊥MC于E，∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，∵∠HAM＝45°，∴∠CAM＝75°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝202（米），∵sin∠AME=AE AM，∴AE＝sin60°•202=32202=106（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝106（米），∴sin∠ACE=AE AC，∴AC=AE sin45°=10622=203≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【变式10.1】（2021秋•临泉县期末）如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC的高度．（参考数据：3≈1.732）【分析】过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH，再解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°=∴CF =3EF ＝503=86.6（米），∴BC ＝BF+CF ＝136.6（米）．答：建筑物BC 的高度约为136.6米．【变式10.2】（2022秋•蓬莱区期中）如图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tan α=12，tan β=32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，若水面上升1m ，水面宽为多少？【分析】过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，由OA ＝4m ，可求出x 值，进而可得出点P 的坐标；根据点O 、P 、A 的坐标利用待定系数法，可求出抛物线的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y ＝1时x 的值，两值做差即可得出结论．【解答】解：过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示．设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，∴OA ＝OH+HA ＝6x+2x ＝4，解得：x =12，∴OH ＝6x ＝3，PH ＝3x =32，∴点P 的坐标为（3，32）．设拱桥所在抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、B （4，0）、P （3，32）代入y ＝ax 2+bx+c ，c =016a +4b +c =09a +3b +c =32，解得：a =−12b =2c =0，∴拱桥所在抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．当y =−12x 2+2x ＝1时，x ＝2±2，∴2+2−（2−2）＝22（m ）．答：水面上升1m ，水面宽22m ．【变式10.3】（2022秋•莱阳市期中）如图，某物业楼上竖立一块广告牌，高CD＝3m，小亮和小伟要测量广告牌底部D到水平地面AH的距离，小亮在水平地面A处安置测倾器，测得广告牌底部D的仰角为22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得广告牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾器的高度AE＝BF＝1.2m，测点A和测点B之间的距离AB＝9m，请根据以上信息，求广告牌底部D到水平地面AH的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，EF＝AB＝9m，AE ＝BF＝GH＝1.2m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，FG＝EF+FG＝（9+FG）m，利用锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，∴EF＝AB＝9m，AE＝BF＝GH＝1.2m，∵∠CFG＝45°，∴∠FCG＝45°，∴FG＝CG，∴GD＝CG﹣CD＝（CG﹣3）m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，EG＝EF+FG＝（9+FG）m，∵DG＝EG•tan22°，∴CG﹣3≈（9+CG）×0.40，∴CG＝11m，∴DG＝CG﹣3＝8（m），∴DH＝DG+GH＝8+1.2＝9.2（m）．答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m．。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点1. 直角三角形的一个重要知识点就是勾股定理呀！你看，就像一个稳固的架子，两直角边的平方和等于斜边的平方，这好神奇的呢！比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边不就可以通过 3 的平方加上 4 的平方等于 25，开个根号得到 5，对吧。
2. 还有呢，直角三角形中锐角的正弦值。
哎呀，这就像一把钥匙，可以打开很多解题的大门哟！比如在一个直角三角形中，一个锐角的对边是 5，斜边是 13，那这个锐角的正弦值不就是 5 除以 13 嘛。
3. 直角三角形里锐角的余弦值也很重要呀！就像是给你指引方向的指南针呢！像是一个直角三角形中，一个锐角相邻的直角边是 12，斜边是 13，那这个锐角的余弦值就是 12 除以 13 呀。
4. 那锐角的正切值呢，这可不能落下呀！它就像一个小火箭，能快速让你找到答案呢！比如一个直角三角形中，一个锐角的对边是6，相邻直角边是8，正切值不就是 6 除以 8 嘛。
5. 直角三角形中还有互为余角的三角函数关系呢！哇哦，这可太有意思了，就像好朋友互相帮助一样。
比如一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值是相等的呢。
6. 斜边与直角边的比例关系也很关键呢！这就像找到了一个巧妙的规律！例如，一个斜边是 10，直角边是 5 的直角三角形，它们之间的比例不就很明显嘛。
7. 直角三角形特殊角的三角函数值，那可是必须要知道的呀！好比是特别的宝藏。
比如 30 度角的正弦值是二分之一，是不是很特别。
8. 你知道吗，直角三角形中角和边是相辅相成的呀！这就像一对好搭档。
边的长度变化，角也会跟着变呢。
9. 直角三角形的这些知识点真的非常有用呀，在生活中很多地方都能用得到，不管是建房子还是算距离，都离不开它们呢！所以一定要好好掌握啊！。
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系知识点
1.两个锐角的和为90度：
在直角三角形中，除了一个直角为90度外，另外两个锐角的和也是90度。
这是因为三角形的内角和为180度，所以剩余的两个角相加等于180度减去直角的度数，即90度。
2.勾股定理：
勾股定理是直角三角形边角关系中的一个重要定理，它表示直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a²+b²=c²
其中，a和b是直角三角形的两条直角边的长度，c是直角三角形的斜边长度。
勾股定理可以用来求解直角三角形中的边长，或者验证一个三边长组成的三角形是否为直角三角形。
3.边角关系的应用：
-求解未知边长：通过已知两边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
例如，已知直角三角形的一个锐角为30度，斜边的长度为10，求解另外两条边的长度。
-应用于测量：直角三角形的边角关系在测量中广泛应用，尤其是在实际工程测量中。
通过利用已知边长和角度，可以计算出其他未知边长和角度，以帮助进行准确的测量。
-平面几何证明定理：直角三角形的边角关系也可以用于证明平面几
何中的一些定理。
例如，利用勾股定理可以证明勾股数列的性质，或者证
明两条线段垂直等。
总结：
直角三角形的边角关系是直角三角形中两个锐角的和为90度，以及
勾股定理成立。
这些边角关系在数学中有广泛的应用，包括求解未知边长、测量、定理证明等。
熟练掌握直角三角形的边角关系，对于解决相关几何
问题非常重要。
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第十四章三角形中的边角关系
一、三角形的分类
1、按边分类：
2、按角分类：
不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形
二、三角形的边角性质
1、三角形的三边关系：
三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边。
2、三角形的三角关系：
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
三角形外角和定理：三角形的三个外角的和等于360°。
3三角形的外角性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三、三角形的角平分线、中线和高
（说明：三角形的角平分线、中线和高都是线段）
四、命题
1、命题：凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题。
2、命题分类
真命题：正确的命题
命题假命题：错误的命题
3、互逆命题
4、反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子称为反例。
原命题：如果p，那么q；
逆命题：如果q，那么p。
（说明：交换一个命题的条件和结论就是它的逆命题。
）。