离散数学复习提纲(图论)1

离散数学复习提纲（图论）

1. 判别图6－1的两幅图是否可以一笔画出？

解 在图6－1(a ) 中，

deg(v 1)=deg(v 2)=deg(v 3)＝3

有两个以上的结点的度为3. 故在(a )中不存在欧拉通路，不能一笔画出.

在图6－1(b ) 中，deg(A )=2, deg(B ) =deg(C )= deg(D )=4，deg(E ) =deg(F )=3

只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF .

2． 画出具有下列条件的有5个结点的无向图.

(1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图； (2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路； (3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路； (4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图6－3(不唯一).

(1) (2) (3) (4) 在图(1)中，可以走遍5个点，但不是回路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图。无论指定怎样的方向，可以走遍所有边，但不是回路，不能构成欧拉路。

在图(2)中，容易找出走遍5个点的回路，即有哈密顿回路，故是哈密顿图。但是构成

回路，要么出现重复边，要么漏掉边，即不存在欧拉回路，因此不是欧拉图。

在图(3)中，不重复地走遍5个点是不可能的，故不是哈密顿图。如指定右边垂直边方

向向上，就可以画出一个走遍所有的边，又不重复的回路，所以有欧拉回路，故是哈欧拉图。

v 4 v 5 E F

A

v 2 v 3 B C v 1 D （a ） (b ) 图6－1

第1个面，边界为a b e a ，次数为3；第2个面，边界为b d e b ，次数为3； 第3个面，边界为a b c a ，次数为3；第4个面，边界为a d e a ，次数为3； 第5个面，边界为a c b d a ，次数为4。

（b ）图中共有两个面，第1个面，边界为 g f c d e f g ，次数为6； 第2个面，边界为 a b c d e f c b a ，次数为8。

4．在具有n 个结点的完全图K n 中，需要删去多少条边才能得到树？

解 n 个结点的完全图共有2

)

1(2

-=

n n C n 条边，而n 个结点的树共有n －1条边. 因此需要删去2

)2)(1()1(2

--=--n n n C n 条边后方可得到树.

5．设G 是图，无回路，但若外加任意一条边于G 后，就形成一回路. 试证明G 必为树.

证明 由树的定义可知，只需证G 连通即可. 任取不相邻两点u ,v , 由题设，加上边就形成一回路，于是去掉边,从u 到v 仍有路u ,…,v ，即u ,v 连通，由u ,v 的任意性可知，G 是连通的，故G 必是树.

6．如图6－5是有6个结点a ,b ,c ,d ,e ,f

的带权无向图，各边的权如图所示. 试求 其最小生成树.

解 构造连通无圈的图，即最小生成树，

b ∙ 23 1 15

c ∙ 25 ∙ a 4 ∙ f 28 9 16 3

d ∙ 15 ∙

e 图6－5

用克鲁斯克尔算法：

第一步： 取ab ＝1；第二步： 取af =4；第三步： 取fe =3；第四步： 取ad =9； 第五步： 取bc =23.

如图6－6。权为1+4+3+9+23=30

7．试画出一棵带权1，2，2，3，4，5，5，6，7，8，10的最优二叉树。

解：最优二叉树如下：

9．试证明下图中两个无向图是不同构的。

10．一个简单无向图同构于它的补图，称为自补图，证明其结点必是4k 或者4k+1.

11．非平凡的树至少有两个叶子。

12．证明: 在任何n (n ≥2)个顶点的简单图G 中，至少有两个顶点具有相同的度。

证 如果G 有两个孤立顶点，那么它们便是具有相同的度的两个顶点。

如果G 恰有一个孤立顶点，那么我们可对有n – 1 个顶点但没有孤立顶点的G’（它由G 删除孤立顶点后得到）作下列讨论。

不妨设G 没有孤立顶点，那么G 的n 个顶点的度数应是：1，2，3，…，n –1 这n –1种

b ∙ 23 1

c ∙ ∙ a 4 ∙ f 9 3

d ∙ ∙

e 图6－6

可能之一，因此必定有两个顶点具有相同的度。

13．n 个城市间有m 条相互连接的直达公路。证明：当2)

2)(1(-->

n n m 时，人们便能通

过这些公路在任何两个城市间旅行。

证 用n 个顶点表示n 个城市，顶点间的边表示直达公路，据题意需证这n 个城市的公路网络所构成的图G 是连通的。反设G 不连通，那么可设G 由两个不相关的子图（没有任何边关联分别在两个子图中的顶点）G1，G2组成，分别有n 1，n 2个顶点，从而，n = n 1+n 2，n 1 ≥1，n 2 ≥1。

由于各子图的边数不超过2)

1(-i i n n ，因此G 的边数m 满足： ))

1()1((21

)1(2122111-+-=-≤∑=n n n n n n m k i i i

))

1)(1()1)(1((21

21--+--=n n n n

)

2)(1(21

)2)(1(21

21--=-+-=n n n n n

与已知2)2)(1(-->

n n m 矛盾，故图G 是连通的。

14．有7人a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 分别精通下列语言，问他们7人是否可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。 a 精通英语。

b 精通汉语和英语。

c 精通英语、俄语和意大利语。

d 精通日语和英语。

e 精通德语和意大利语。

f 精通法语、日语和俄语。

g 精通法语和德语。

解 下图中7个顶点表示7个人，关联两个顶点的边表示两个人同时精通某一种语言：

由于该图是连通的，因此他们7人是可以自由交谈（必要时借助他人作翻译）。

15．证明：恰有两个奇数度顶点u,v 的无向图G 是连通的,当且仅当在G 上添加边（u ，v ）后所得的图G*是连通的。

证 必要性是显然的。

a

b d

c e g f