求二面角的方法收集

二面角

一．二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱

的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

二．二面角的平面角的特点：① 顶点在棱上；② 两条边分别在两个平面内；③ 与棱都垂

直。

三．二面角的平面角的范围：(

]0

0180

,0∈α

四．求二面角的平面角的方法：1.定义法（或垂面法） 图 A

2.三垂线法 图B

3.射影面积法 图C

典型例题： 方法一：定义法

1． 已知090=∠AOB ，过点O 引AOB ∠所在平面的斜线OC 与OA ，OB 分别成045，

60角，求二面角B OC A --的大小。

b

a

P

图A

R

Q

P 图C

图B

B

A

Q

P

2．D 是ABC ∆所在平面外一点，连接a AB CD BD AD 2,,,=

，

a CD BD AD BC AC =====,则二面角B CD A --的余弦值是_________________.

3．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为棱1CC 的中点，那么截面BD A 1和截面EBD 所成的二面角为______________

4．在ABC ∆中，ABC ,平面⊥⊥SA BC AB ,DE 垂直平分SC ,且分别交SC AC ,于E D ,，又BC SB AB SA ==,,求二面角C BD E --的大小。

O

C

B

A

E

D1

B1

C1

A1 D C

B

A S

E

D

C

B

A

5．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角P BD A --1的大小。

6．如图，已知点P 为正方体1111D C B A ABCD -的棱11B A 的中点，求二面角1D AC P --的余弦值。

方法二：三垂线法：

7．如图所示，平面⊥ABC 平面ABD CB CA ACB ABD ∆==∠,,90,0

是正三角形，则二

面角A BD C --的平面角的正切角为___________________ （

3

3

2） D1

B1

C1

A1 D C

B

A

P D1

B1

C1

A1 D C

B

A P

8．如图，矩形ABCD 中，32,6==BC AB ，沿对角线BD 将ABD ∆向上折起，使点A 移至点P ，且P 在平面BCD 的射影O 在DC 上。 （1）求二面角C DB P --的平面角的余弦值。 （3

1） （2）求直线DC 与平面PBD 所成角的正弦值。 （

3

2）

9．如图，已知A 是BCD ∆所在平面外一点，连接AD AC AB ,,后，

⊥=∠===∠AC ABC BD AD ADB ,30,2,9000平面BDC ，求二面角C AB D --的

大小。 （答案：3

3

arccos

）

10．已知棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，M 是棱1CC 的中点，N 是BC 的中点，

D

C

B

A

P

O

D

C

B

A D C

B

A

求截面1ANMD 和底面ABCD 所成的角。

11．如图，已知ABC Rt ∆,斜边BC 在平面α内，点A 不在α内。AC AB ,分别与平面α成

030角、045角，求ABC ∆所在平面与平面α所成的角。

12．如果二面角βα--l 的平面角是锐角，点P 到βα,和棱l 的距离分别为24,4,22，求二面角的大小。

13．如图，已知直二面角βα--l ，βα∈∈B A ,,线段AB a AB ,2=与α成0

45的角，

与β成0

30的角，过B A ,分别作l 的垂线D C BD AC ,,,分别是垂足，求二面角D

AB C --的大小。

14．如图，B A ,是二面角βα--l 的棱l 上的两点，在面α内，以AB 为直径的半圆上有一点P ，若PB PB PA ,6,3==

和β成030的角，求二面角βα--l 的大小。

N M

D1 C1

B1

A1

D C

B

A

C

B

A

l

D C

B

A

综合问题：

1． 如图，二面角N CD M --的平面为α，A 为M 上一定点，且ADC ∆的面积为

a DC S =,，过点A 作直线AB ，使DC AB ⊥，且AB 和平面N 成030的角，当α变

化时，求DBC ∆面积的最大值。

2．ABCD 是边长为1的正方形，N M ,分别是边BC DA ,上的点，MN ∥AB ，交AC 于

O ，沿MN 折成直二面角CD MN AB --。

l

P

B

A

N

M

D

C

B

A