高二数学空间向量及其运算
专题1.1 空间向量及其运算(七个重难点突破)(解析版)-高二数学上学期重难点和易错点突破
专题1.1空间向量及其运算知识点1空间向量的有关概念1．空间向量的定义及表示名称方向模表示法零向量任意0记为0单位向量11a ＝或=1AB 相反向量相反相等记为a 共线向量相同或相反//a b 或//AB CD 相等向量相同相等=a b 或=AB CD知识点2空间向量的线性运算1.空间向量的加减运算加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算三角形法则语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述2.空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积a λ仍然是一个向量，称为空间向量的数乘几何意义λ>a λ 与向量a 的方向相同a λ 的长度是a 的长度的λ倍0λ<a λ 与向量a 的方向相反λ=0a λ=，其方向是任意的3.空间向量的运算律知识点3共线向量与共面向量1.直线l 的方向向量定义：把与a平行的非零向量称为直线l 的方向向量．2．共线向量与共面向量的区别共线(平行)向量共面向量定义位置关系表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量特征方向相同或相反特例零向量与任意向量平行充要条件共线向量定理：对于空间任意两个向量()0a b b ≠ ,，//a b 的充要条件是存在实数λ使=a bλ 共面向量定理：若两个向量a b,不共线，则向量p 与向量a b ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p xa yb＝＋对空间任一点O ，)1(OP xOA yOB x y =+＋＝空间中,,,P A B C 四点共面的充要条件是存在有序实数对(,,)x y z ，使得对空间中任意一点O ，都有(1OP xOA yOB zOC x+y +z ==++其中)重难点1空间向量的线性运算1．如图，在空间四边形ABCD 中，F ，M ，G 分别是BD ，BC ，CD 的中点，化简下列各式：(1)()12AB BC BD ++ ；(2)()12AG AB AC -+ ；(3)AC GD MB ++ ．【答案】(1)AG(2)MG(3)AF【分析】（1）由于G 是CD 的中点,所以()12BC BD BG +=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；（2）由于M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=，再根据空间向量的减法运算即可求出结果；（3）由于M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD == ，又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=，再根据空间向量的加法运算即可求出结果；(1)解：因为G 是CD 的中点，所以()12BC BD BG +=，所以，()12AB BC BD AB BG AG ++=+=；(2)解：因为M 是BC 的中点,所以()12AB AC AM +=，所以，()1=2AG AB AC AG AM MG -+-= ；(3)解：因为M ，G 分别BC ，CD 的中点，所以11,22MB CB GD CD == ，又F 是BD 的中点，()12CD CB CF +=，所以，()111222AC GD MB AC CD CB AC CD CB AC CF AF ++=++=++=+=.2．如图，点M ，N 分别是四面体ABCD 的棱AB 和CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+.【答案】详见解析.【分析】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，由12MP AD = ，12PN BC = ，MN MP PN =+即可求证.【详解】取BD 的中点P ，连接PM ，PN ，在ABD △中，12MP AD = ，在BCD △中，12PN BC =，所以()111222AD BC MN MP P D N A BC =+=+=+ .3．在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，化简1AF AB BC -+，并在图中标出化简结果．【答案】1BE，作图见解析【分析】先利用正六棱柱的性质证得11BC F E =，从而利用空间向量的线性运算即可得解.【详解】因为六边形ABCDEF 是正六边形，所以//BC EF ，BC EF =，又在正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -中，1111,//E F EF E F EF =，所以1111//,BC E F BC E F =，故11BCE F 是平行四边形，则11BC F E =，所以111111AF AB BC AF F E AB AE AB BE -+=+-=-= ，向量1BE在图中标记如下，4．如图.空间四边形OABC 中，OA a,OB b,OC c === ，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．221332a b c+-C ．111222a b c+- D ．211322a b c-++ 【答案】D【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】()1221123322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.故选：D.5．如图所示，在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，11111,,A B a A D b A A c ===，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：0EF GH PQ ++=.【答案】证明见解析.【分析】先利用基底,,a b c 表示出,,EF GH PQ ，进而证得0EF GH PQ ++=成立.【详解】11111,,A B a A D b A A c ===，则111111,,222222EF a b GH a c PQ c b =+=--=-，则1111110222222EF GH PQ b a c c b⎛⎫⎛⎫++=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.6．如图，设A 是BCD △所在平面外的一点，G 是BCD △的重心.求证：()13AG AB AC AD =++.【答案】证明见解析.【分析】连接BG ，延长后交CD 于点E ，利用G 是BCD △的重心即可得到AG与,,AB AC AD 之间的关系.【详解】连接BG ，延长后交CD 于点E ，连接AE，由G 为BCD △的重心，可得CE DE =，=2BG GE，则()=2AG AB AE AG -- ，则21=33AG AE AB + ，又()1=2AE AC AD + ，则()21111=32233AG AC AD AB AB AC AD ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.7．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点．记AB a =，AD b = ，1AA c =则下列正确的是（）A ．1122AM a b c=-++ B ．1122AM a b c=+-C ．1122AM a b c=++ D ．1122AM a b c=++ 【答案】C【分析】利用平行六面体的性质以及空间向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 为11A C 的中点，则1121122A M A C AC ==，所以1111111122AM AA A M AA A C AA AC=+=+=+ 111112222AA AB AC a b c =++=++ ，故选：C .重难点2共线问题8．设a ，b 是空间中两个不共线的向量，已知9AB m =+ a b ，2BC =-- a b ，2DC =-a b ，且A ，B ，D 三点共线，则实数m =；【答案】3-；【分析】A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB BD λ= ，再由已知条件表示出BD 与AB,建立方程组可求出m 和λ值．【详解】因为2BC =-- a b ，2DC =-a b ，所以()223BD BC CD BC DC =+=-=----=-+a b a b a b ，因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得AB BD λ=，即()93m λ+=-+a b a b ，所以93m λλ=-⎧⎨=⎩，解得3m λ==-．【点睛】本题考查了空间向量中三点共线问题，共线向量定理常常用来解决此问题．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是底面1111D C B A 和侧面11CC D D 的中心，若()10EF A D λλ+=∈R，则λ=．【答案】12-/－0.5【分析】作图，连接连接11A C ，1C D ，构造三角形中位线解题﹒【详解】如图，连接11A C ，1C D ，则点E 在11A C 上，点F 在1C D 上，易知1EF A D ，且112EF A D =，∴112EF A D = ，即1102EF A D -= ，∴12λ=-．故答案为：12-10．(多选)若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP=m OA +n OB ，其中m+n=1，则结论正确的有（）A ．P ∈直线ABB ．P ∉直线ABC ．O ，A ，B ，P 四点共面D ．P ，A ，B 三点共线【答案】ACD【解析】由题意可得1m n =-，代入向量式化简可得AP nAB =，可得向量共线，进而可得三点共线，可得结论．【详解】解:因为1m n +=，所以1n =-，所以OP=()1OA B n n O -⋅+⋅ ，即OP OA -=n (OB OA - )，即AP =n AB，所以AP AB 与共线.又AP AB ，有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈直线AB.因为OP=m OA +n OB ，故O ，A ，B ，P 四点共面.故答案为：ACD【点睛】本题考查平面向量的共线问题，熟练表示出向量共线的条件是解决问题的关键，属中档题．11．已知5a = ，a b λ=.（1）若b 与a的方向相同，且7b = ，则λ的值为；（2）若b 与a的方向相反，且7b = ，则λ的值为.【答案】5757-【分析】根据向量共线可得答案.【详解】由于57a b = ，所以当a ，b 同向时，57λ=；当a ，b 反向时，57λ=-.故答案为：①57；②57-.12．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，下列不能与m a b =- ，n b c =-构成空间的另一个基底的是（）A ．a c- B ．a c+C ．a b+D ．a b c++ 【答案】A【分析】根据基底向量任意两向量不共线，三个向量不共面可判断求解.【详解】由m a b =- ，n b c =- ，两式相加可得a c m n -=+，即a c -r r 与,m n →→共面故a c -r r不能与m a b =- ，n b c =- 构成空间的另一个基底．故选：A13．已知平面单位向量1e ，2e 满足1212e e ⋅= ，且12a xe e =+，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，若使1b a -= 成立的正数λ有且只有一个，则x 的取值范围为.【答案】{}2/2x =【分析】由向量的模的计算公式得223310x x λλ-+-=，再根据一元二次方程的根的判别式可求得答案.【详解】解：12a xe e =+，x R ∈，122(1)b e e λλ=+- ，则12||(2)(11)1b a x e e λλ-=-+--= ，所以212(2)1x e e λλ--= ，所以22(2)(2)1x x λλλλ---+=，故223310x x λλ-+-=.由于使||1b a -=成立的正数λ有且只有一个，故关于以λ为未知数的一元二次方程有且只有一个正实数根，故()2291210x x ∆=--=，解得2x =±，当2x =-时，0λ<故舍去，则2x =.故x 的范围是唯一一个实数{}2，故答案为：{}2.14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 在11A D 上，且112A E ED =，F 在对角线A 1C 上，且12.3A F FC = 若1,,AB A b c a D AA === .（1）用,,a b c表示EB .（2）求证：E ，F ，B 三点共线.【答案】（1）23a EB c b =--；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知得111112++++3EB EA A A AB D A A A AB == ，由此可得答案；（2）由已知得FB 35EB = ，由此可得证.【详解】解：（1）因为112A E ED =，1,,AB A b c a D AA === ，所以1111122+++++33EB EA A A AB D A A b A c a AB ===--，所以23a EB cb =-- ；（2）12.3A F FC = 11112++++5FB FA A A AB CA A A AB== ()112++++5CB BA AA A A AB =()2++5b ac c a =--- 323323555535a b a b c c EB ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭，又EB 与FB相交于B ，所以E ，F ，B 三点共线.15．如图，已知,,,,,,,,O A B C D E F G H 为空间的9个点，且OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD =，AC AD m AB =+ ，EG EH mEF =+，0,0k m ≠≠.求证：（1）//AC EG；（2）OG kOC = .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意，EG EH mEF =+ ，转化,EH OH OE EF OF OE =-=- ，代入结合题干条件运算即得证；（2）由题意，OG OE EG =+，又,OE kOA EG k AC == ，运算即得证【详解】证明：（1）()EG EH mEF OH OE m OF OE =+=-+-()()k OD OA km OB OA =-+- ()k AD km AB k AD m AB k AC=+=+= ∴//AC EG .（2）()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC =+=+=+= .重难点3向量的共面问题16．已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若64BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.【详解】64BD PA PB PC λ=-+，即64PD PB PA PB PCλ=-+- 整理得63PD PA PB PCλ=-+由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得631λ-+=，解之得2λ=-故选：B17．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，1132OM xOA OB OC =++，则x =．【答案】16【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得x .【详解】由于M ∈平面ABC ，所以11132x ++=，解得16x =.故答案为：1618．已知,,A B M 三点不共线，对于平面ABM 外的任意一点O ，判断在下列各条件下的点P 与点,,A B M 是否共面．(1)3OB OM OP OA +=- ；(2)4OP OA OB OM =-- ．【答案】(1)共面(2)不共面【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；（2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解；【详解】（1）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，对于平面ABM 外的任意一点O ，若3OB OM OP OA +=-，即111333OP OA OB OM =++ ，又因为1111333++=，根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 共面.（2）解：因为,,A B M 三点不共线，可得,,A B M 三点共面，对于平面ABM 外的任意一点O ，若4OP OA OB OM =--，此时41121--=≠，根据空间向量的共面定理，可得点P 与,,A B M 不共面．19．已知12e e，为两个不共线的非零向量，且12AB e e =+ ，1228AC e e =+ ，1233AD e e =- ，求证：A B C D ，，，四点共面．【答案】证明见解析【分析】用共面向量定理证明,,AC AB AD共面，即可得四点共面．【详解】设AC x AB y AD =+，则()()1212122833e e x e e y e e +=++- ，()()1223830x y e x y e ∴--+-+= ，又12e e，为两个不共线的非零向量，230830x y x y --=⎧∴⎨-+=⎩，51x y =⎧∴⎨=-⎩，5AC AB AD ∴=- ，A B C D ∴，，，四点共面，故原命题得证．20．i ，j ，k是三个不共面的向量，22AB i j k =-+ ，23BC i j k =-+ ，35CD i j k λ=+- ，且A ，B ，C ，D 四点共面，则λ的值为.【答案】-3【分析】由题知存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+，代入条件，比较系数列方程求解.【详解】若A ，B ，C ，D 四点共面，则存在实数s ，t ，使得CD sAB tBC =+，即()()35222-+3i j k s i j k t i j k λ+-=-++ ，所以232-52+3s ts t s t λ=+⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得1s =-，-1t =，-3λ=.故答案为：-3.21．下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r D ．3OA OB OC OP++= 【答案】D【分析】要使空间中的P 、A 、B 、C 四点共面，只需满足OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r，且1x y z ++=即可.【详解】对于A 选项，OP OA OB OC =---uu u r uu r uu u r uuu r，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++ ，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.22．若{a ，b ，c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A ．b c +，b ，b c -r r B ．a ，a b + ，a b - C ．a b + ，a b - ，c D ．a b +，a b c ++ ，c 【答案】C【分析】由平面向量基本定理逐项判断可得答案．【详解】由平面向量基本定理得：对于A 选项，12= b ()+ b c 12+()-b c ，所以()+ b c ，b ，()- b c 三个向量共面；对于B 选项，12= a ()+ b a 12+()a b -，a ，a b + ，a b - 三个向量共面；对于C 选项，则存在实数,x y 使得()()()()=++-=++-c x a b y a b x y a x y b ，则,,a b c共面，与已知矛盾，因此C 选项中向量不共面；对于D 选项，()++=++ c a b a b c ，所以三个向量共面；故选：C ．知识点1空间向量的夹角如图，已知两个非零向量a b ,，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a b ,的夹角，记作a b ,，夹角的范围：[]0,π，特别地，如果π2a b = ,，那么向量a b ,互相垂直，记作a b ⊥ 知识点2空间向量的数量积运算1．空间向量的数量积已知两个非零向量a b ,，则cos ,a b a b 〈〉叫做a b,的数量积，记作a b ⋅ ，即cos ,a b a b a b ⋅= 〈〉．零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.2．数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律()()a b a b Rλλλ⋅⋅∈＝，交换律a b b a ⋅=⋅ 分配律()a b c a b a c⋅⋅⋅ ＋=＋3．投影向量在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ||,bc a a b b =〈〉，向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．4．数量积的性质若a，b 为非零向量，则（1）0a b a b ⊥⇔⋅= ；（2）()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向；（3）2a a a ⋅= ，a a a =⋅；（4）a b cos a,b a b⋅〈〉=；（5）a b a b⋅≤ 重难点4空间向量数量积的运算23．在正四面体-P ABC 中，棱长为1，且D 为棱AB 的中点，则PD PC ⋅的值为（）.A ．14-B ．18-C ．12-D ．12【答案】D【分析】在正四面体-P ABC 中，由中点性质可得()12PD PA PB =+ ，则PD PC ⋅ 可代换为()12P PA B C P ⋅+，由向量的数量积公式即可求解.【详解】如图，因为D 为棱AB 的中点，所以()12PD PA PB =+，()()1122PD PC P P C P A PB PA P C PC B ⋅=⋅⋅⋅+=+ ，由正四面体得性质，PA 与PC 的夹角为60°，同理PB 与PC的夹角为60°，1PA PB PC === ，111cos602PA PC P PB C ⋅⋅==⨯⨯︒= ，故21211122PC PD ⎛⎫⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ，故选：D.24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BB =，E 、F 分别为棱AB 、11A C 的中点，则1EF BB =⋅.【答案】9【分析】分析可知1BB AB ⊥，111BB A C ⊥，利用空间向量数量积的运算性质可求得1EF BB ⋅的值.【详解】因为1BB ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1BB AB ⊥，同理可知111BB A C ⊥，所以，()111111111122EF BB EA AA A F BB BA BB A C BB ⎛⎫⋅=++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭2211111111922BA BB BB A C BB BB =⋅++⋅==.故答案为：9.25．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅ =.【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，M 为棱1CC 上任意一点，则11CM CC AA λλ==，01λ≤≤，()()21001AM BC A AC CM AB AD AA D D AD A λ∴=+⋅=++⋅⋅=++= .故答案为：1.26．给出下列命题：①空间中任意两个单位向量必相等；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b = ；③在向量的数量积运算中()()a b c a c b ⋅=⋅r r r r r r；④对于非零向量c ，由a c b c ⋅=⋅ ，则a b =，其中假命题的个数是．【答案】4.【详解】对于①：空间中任意两个单位向量的方向不能确定，故不一定相等，故①错误；对于②：空间向量,a b 满足a b =r r ，但方向可能不同，故不能得到a b =，故②错误；对于③：数量积运算不满足结合律，故③错误；对于④：由a c b c ⋅=⋅，可得cos ,cos ,a c a c b c b c <>=<> ，所以cos ,cos ,a a c b b c <>=<> ，无法得到a b =，故④错误.所以错误的命题个数为4.故答案为：427．已知空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则FE CD ⋅等于（）A ．14B ．14-CD．【答案】B【分析】由题意可得2DB FE =，再利用空间向量的数量积运算即可得到答案.【详解】因为点,E F 分别是,AB AD 的中点，所以//DB FE ，2DB FE =，所以2DB FE =，则12FE DB = ，又因为空间四面体D -ABC 的每条棱长都等于1，所以DBC △是等边三角形，则60BDC ∠=︒，所以111cos 60224FE CD DB DC DB DC ⋅=-⋅=-⋅︒=- .故选：B ．.28．设a 、b为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：①22a a = ；②2a b baa⋅=；③()222a b a b ⋅=⋅ ；④()2222a b a a b b -=-⋅+ .其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④.【详解】对于①，222cos 0a a a == ，①正确；对于②，向量不能作比值，即ba错误，②错误；对于③，设a 、b的夹角为θ，则()()2222222cos cos a ba b a b a b θθ⋅=⋅=⋅≤⋅，③错误；对于④，由空间向量数量积的运算性质可得()2222a ba ab b -=-⋅+，④正确.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题.29．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，试求(1)()22a b c +-；(2)()()323a b b c -⋅-．【答案】(1)11(2)72-【分析】（1）计算30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，展开计算得到答案.（2）()()2323333223a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅ ，代入计算得到答案.【详解】（1）向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60︒，且1,2,3a b c ===，22231,4,9,0,cos60,cos6032a b c a b a c a c b c b c ===⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=，()()22222222241169031211a b c a b c a b a c b c +-+++⋅-⋅-⋅=+++--==；（2）()()2277323333223081822a b b c a b a c b b c -⋅-=⋅-⋅-+⋅=--+=-30．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =【分析】用,AB AD 表示BD，根据条件列出方程建立,,AC BAC DAC ∠∠的关系，利用等量代换计算22||CD AD AC =- 即得.【详解】设,BAC DAC αβ∠=∠=，显然||||1AC AB BC -==，则222||||cos 1AC AB AC AB α+-⋅= ，即24||cos 3AC AC α-=-，而3AC BD ⋅=-，即()3AC AD AB AC AD AC AB ⋅-=⋅-⋅=- ，于是得2||cos 2||cos 3AC AC βα-=- ，2||cos 32||cos AC AC βα=-+，22222||244||cos CD AD AC AD AC AD AC AC AC β=-=+-⋅=+-2242(32||cos )104||cos 7AC AC AC AC αα=+--+=+-=，则有||CD =，所以CD =.重难点5用数量积解决夹角问题31．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱AA 1的长度为4，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.用向量法求：(1)BD 1的长；(2)直线BD 1与AC .【答案】(1)【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的运算即得出BD 1的长；（2）分别求出11||,||,AC BD AC BD ⋅的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线BD 1与AC 所成角的余弦值．【详解】（1）∵111111BD BB B A A D =++，()22111111BD BB B A A D =++ 222111111111111111222BB B A A D BB B A BB A D B A A D =+++⋅+⋅+⋅ 222422242cos 60242cos120222cos 90=+++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯＝24，∴1BD的长为（2）∵AC AB BC =+，∴()22222222208AC AB BCAB BC AB BC =+=++⋅=++=，∴AC =∵1BD =()()111111111111111124cos12022cos18022cos9024cos1202AC BD AB BC BB B A A D AB BB AB B A AB A D BC BB BC B A BC A D ⋅=+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯+⨯+2cos9022cos 08⨯+⨯=-，∴111cos ,=AC BD AC BD AC BD ⋅⋅所以直线BD 1与AC所成角的余弦值为3．32．（多选）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中AB AD ==11AA =，60DAB ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，下列说法中正确的是（）A．1AC B ．1AC DB⊥C ．直线AC 与直线1BD 是相交直线D ．1BD 与AC所成角的余弦值为3【答案】ABD【分析】对选项A ，根据11AC AB AD AA =++，再平方即可判断A 正确，对选项B ，根据()110()AC DB AB AD AA AB AD ⋅=++⋅-=，即可判断B 正确，对选项C ，根据图形即可判断C 错误，对选项D ，根据空间向量夹角公式即可判断D 正确.【详解】对选项A ，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，则22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅221cos 6021cos 4521cos 4511=+++︒+⨯︒+⨯︒=，所以1AC A 正确；对选项B ，()221111()AC DB AB AD AA AB AD AB AA AB AA AD AD⋅=++⋅-=+⋅-⋅-2112022=+-⨯-=，所以1AC DB ⊥，故B 正确；对C ，直线AC 与直线1BD 是异面直线，C 错误；对D ，111BD BA AD DD AB AD AA =++=-++ ，AC AB AD =+，1BD==AC = ()221111()BD AC AB AD AA AB AD AB AD AA AB AA AD⋅=-++⋅+=-++⋅+⋅2211222=-+++=，所以，111cos ,3||BD AC BD AC BD AC ⋅〉===〈，于是1BD 与AC所成角的余弦值为3.故选：ABD33．已知向量,a b r r 都是空间向量，且π,=3a b ，则3,4=a b -.【答案】2π3【分析】利用向量夹角公式、范围及已知求<3,4>a b -的大小.【详解】由题设1cos<,>==2||||a b a b a b ⋅，而121cos<3,4>==212||||a b a b a b -⋅-- ，<3,4>(0,π)a b -∈，所以2π<3,4>=3a b -.故答案为：2π334．已知不共面的三个向量,,a b c 都是单位向量，且夹角都是3π，则向量a b c -- 和b 的夹角为（）A ．6πB ．4πC ．34πD ．56π【答案】C【分析】根据题意计算得a b c --= ()1a b c b --⋅=-，进而计算夹角即可得答案.【详解】解：由题意，得11,2a b c a b a c b c ===⋅=⋅=⋅= ，所以a b c --()21a b c b a b b b c --⋅=⋅--⋅=-设向量a b c -- 和b 的夹角为θ，则()cos 2a b c b a b c bθ--⋅==---⋅ ，又[]0,θπ∈，所以34πθ=.故选：C.35．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AD A AB BAD ∠=∠=∠=︒，2AB AD ==，11AA=，点P 为线段BC 中点．(1)求1D P ；(2)求直线1AB 与1D P 所成角的余弦值．【答案】(1)1D P =【分析】(1)首先设AB a = ，AD b = ，1AA c =，得到112D P a b c =-- ，再平方即可得到答案；(2)由1AB a c =+，得1AB = 111111cos ,AB D P AB D P AB D P⋅=计算即可.【详解】（1）因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段BC 上，且满足BP PC =．设AB a = ，AD b = ，1AA c =，这三个向量不共面，{},,a b c 构成空间的一个基底．所以()()111D P AP AD AB BP AD AA =-=+-+ ()1122a b b c a b c ⎛⎫=+-+=-- ⎪⎝⎭ ．112D P a b c =-- ，22222111224D P a b c a b c a b a c b c⎛⎫∴=--=++-⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭1111441222212141122134222=+⨯+-⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯=++--+=，1D P ∴=（2）由（1）知112D P a b c =--，1D P = 1a AB c =+ ，1AB === ()11111112cos ,a c a b c AB D PAB D P AB D P⎛⎫+⋅-- ⎪⋅∴=2211322214a ab ac a c b c c-⋅-⋅+⋅-⋅-== ，直线1AB 与1D P 所成角的余弦值为14．36．如图，二面角l αβ--的棱上有两个点A ，B ，线段BD 和AC 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l ．若4,6,8,AB AC BD CD ====α与平面β夹角的余弦值为．【答案】13【分析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α．【详解】解：设平面α与平面β的夹角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，且,CA AB AB BD ⊥⊥ ，即0,0CA AB AB BD ⋅=⋅= ∴22222||||cos(π)CD CA AB BD CA BD α=+++⋅-，2361664268cos α∴=++-⨯⨯⨯，解得1cos 3α=，∴平面α与平面β的夹角的余弦值为13．故答案为：13．重难点6投影向量37．在标准正交基{},,i j k 下，已知向量2a i =-+83j k + ，52b i k =-+ ，则向量2a b + 在i 上的投影为，在,j k上的投影之积为．【答案】-1256【分析】根据向量的加法求得21287a b i j k +=-++ ，即可得2a b + 在i ，j ，k上的投影分别为-12，8，7，即可得答案.【详解】解：易得21287a b i j k +=-++，所以2a b + 在i ，j ，k上的投影分别为-12，8，7，其在j ，k上的投影之积为8756⨯=．故答案为：-12；56.38．已知4a = ，向量e 为单位向量， 120a e <>=，，则空间向量a 在向量e 方向上投影为．【答案】2-【分析】根据投影的定义结合已知条件求解即可.【详解】因为4a = ，向量e为单位向量， 120a e <>= ，，所以向量a 在向量e 方向上投影为1cos1204()22a =⨯-=-．故答案为：2-39．如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，已知1AB =，2AD =，3AA '=，分别求向量AC ' 在AB 、AD 、AA '方向上的投影数量．【答案】向量AC ' 在AB、AD 、AA ' 方向上的投影数量分别为1、2、3.【分析】分析可得A AB AD A C A =+'+' ，利用投影数量公式可求得向量AC ' 在AB、AD 、AA ' 方向上的投影数量.【详解】解：非零向量a 在非零向量b方向上的投影数量为cos ,a b a b a a b a a b b⋅⋅<>=⋅=⋅，由空间向量的平行六面体法则可得A AB AD A C A =+'+'，在长方体ABCD A B C D -''''中，0AB AD AB AA AD AA ''⋅=⋅=⋅=，因此，向量AC ' 在AB方向上的投影数量为()1AB AD AA AB AC AB AB AB AB'++⋅'⋅===，向量AC ' 在AD 方向上的投影数量为()2AB AD AA AD AC ADAD AD AD'++⋅'⋅===，向量AC ' 在AA ' 方向上的投影数量为()3AB AD AA AA AC AA AA AA AA ''++⋅''⋅'===''.40．如图，已知PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠= ，6PA AB BC ===，则向量PC 在BC上的投影向量等于.【答案】32BC【分析】先求出PC BC ⋅，再根据投影向量的公式计算即可.【详解】PA ⊥ 平面ABC ，则PA BC ⊥，21()0666542PC BC PA AB BC BC PA BC AB BC BC BC ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅=+⨯⨯+= 向量PC 在BC 上的投影向量为||PC BC BC ⋅543.362||BC BC BC BC ⋅==故答案为：32BC.41．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，向量AB在向量11A C方向上的投影向量的模是．【分析】由正方体的性质可得向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45 ，先求出1111AB A C A C ⋅的值，进而可得答案.【详解】棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中向量AB 与向量11A C 夹角为cos 45，所以1111AB A C A C =⋅111111cos ,cos ,AB A C AB AB A C A B ⋅=1cos 452=⨯=向量AB在向量11A C 方向上的投影向量是11111111AB A C A C A C A C ⋅⨯=1111A C A C向量AB在向量11A C1111A C A C =故答案为：242．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，CB AB ⊥，AB BC a ==，PA b =．(1)确定PC在平面ABC 上的投影向量，并求⋅ PC AB ；(2)确定PC 在AB上的投影向量，并求⋅ PC AB ．【答案】(1)PC在平面ABC 上的投影向量为AC ，2PC AB a ⋅= ；(2)PC 在AB 上的投影向量为AB，2PC AB a ⋅= .【分析】（1）根据PA ⊥平面ABC 可得PC在平面ABC 上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算()AB PC A B B P B C A A =++⋅⋅的值即可求解；（2）由投影向量的定义可得PC 在AB上的投影向量，由数量积的几何意义可得⋅ PC AB 的值.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABC ，所以PC在平面ABC 上的投影向量为AC ，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂面ABC ，可得PA AB ⊥，所以0PA AB ⋅=，因为CB AB ⊥，所以0BC AB ⋅=，所以()PC AB PA AB PA AB AB BC AB BC AB AB =++=+⋅⋅⋅⋅+⋅ 2200a a =++=.（2）由（1）知：2PC AB a ⋅= ，AB a =r ，所以PC 在AB上的投影向量为：2cos ,AB PC AB AB PC AB AB a AB PC PC AB PC AB a a AB PC AB AB AB AB⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅，由数量积的几何意义可得：2PC AB AB a AB ⋅=⋅= .重难点7用数量积求线段长度43．棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）OABC 中，若M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，记OA a = ，OB b = ，OC c =.(1)用向量a ，b，c 表示向量AN ；(2)若13AP AN =，求OP .【答案】(1)1144AN a b c =-++；(2)||OP =【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解即可；（2）根据空间向量数量积的运算性质和定义、结合空间向量基本定理进行求解即可.【详解】（1）因为M 是BC 的中点，N 在OM 上且ON MN =，所以11111()22244AN AO ON OA OM OA OB OC a b c =+=-+=-+⨯+=-++；（2）由（1）可知：1144AN a b c =-++ ，因为13AP AN =，所以1111211()334431212OP OA AP OA AN OA a b c a b c =+=+=+-++=++，而OP = OABC 的棱长为1，所以OP ==44．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，则线段1AC 的长为（）A ．5B ．3CD【答案】C 【分析】11AC AB BC CC =++ ，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC =++ ，∴()2211AC AB BC CC =++ 222111222AB BC CC AB BC AB CC CC BC=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴1AC =故选：C.45．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c = ，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，1a b c === ，则用{},,a b c 表示1AC uuu r 及线段1AC 的长为分别为（）A ．1AC c a b =++ ，15AC = B ．1AC a b c =+- ，13AC =C ．1AC c a b =++ ，1AC =D ．1AC a b c =+- ，1AC =【答案】C【分析】用向量的线性运算可直接求得1AC uuu r ；求整体的模长可平方再开根.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，1AD =，11AA =，90BAD ∠=︒，1160BAA DAA ∠=∠=︒，∵11AC AB BC CC a b c =++=++ ，∴()2222111121222AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC CC BC=++=+++⋅+⋅+⋅ 111110*********=++++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=,∴1AC = 故选:C ．46．如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，E F G ，，，分别为11A B ，1CC ，1BB 的中点，分别记AB ，AC ，1AA为a ，b ，c .(1)用a ，b ，c 表示EF ，EG ；(2)若12AB AC AA ===，AB AC ⊥，求2EF EG + .【答案】(1)1122EF a b c -=-+ ；1()2EG a c -= .【分析】（1）用空间向量的加减运算分别表示EF ，EG ，111111EF EA A F EA AC C F +=+=+ ，11EG EB B G =+ ，再转化为a ，b ，c 表示即可；（2）先把2EF EG + 用a ，b ，c 表示，然后平方，把向量的模和数量积分别代入，计算出结果后再进行开方运算求得2EF EG + .【详解】（1）连结1A F .在直三棱柱111—ABC A B C 中，11AB A B a == ，11AC AC b == ，111AA BB CC c === ，则1111111111111112222EF EA A F EA A C C F A B A C CC a b c ===-+-=+++-+- .11111111()222EG EB B G A B BB a c =+=--= .（2）如图，在直三棱柱111—ABC A B C 中，1AA ABC ⊥底面，AB ABC ⊂底面，AC ABC ⊂底面，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又AB AC ⊥，所以10B AA A c a =⋅⋅= ，10C AA A c b =⋅⋅= ，0A A B a C b ⋅⋅== .1113()22222a b c a c F G b E a E c -+-++=-=+- ，()2222213193314912422442a b c a b c a b a c EF EG b c ⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅=++= ⎪⎝⎭+ ，所以2EF EG +=47．如图所示，在平行四边形ABCD 中，1AB AC ==，=90ACD ∠︒，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60︒角，则,B D 间的距离等于（）A B ．1C 2D ．1【答案】C 【分析】先利用向量的加法可得BD BA AC CD =++ ，等式两边进行平方，可求出24BD = 或22BD = ，从而可得结果.【详解】90,0ACD AC CD ∠=︒∴⋅= ,同理，0AC BA ⋅= ，又因为AB 与CD 成60︒角，,60BA CD ∴=︒ 或,120BA CD =︒ ，AC CD BD BA =++ ，2222222BD AC CD BA AC BA CD AC CD BA =+++⋅+⋅+⋅ 3211cos ,BA CD =+⨯⨯⨯= 31±，24BD = 或22BD = ，2BD = 或BD = 故选：C.48．平行六面体ABCD A B C D -''''中，4,3,5,9060,AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=''∠='︒︒，则AC '的长为（）A ．10B C D【答案】B【分析】由AC AB AD AA '=++' ，两边平方，利用数量积运算性质即可求解．【详解】如图，216AB = ，29AD = ，225AA '= ，43cos 900AB AD ⋅=⨯⨯︒= ，45cos 6010AB AA ⋅'=⨯⨯︒= ，1535cos 602AD AA ⋅'=⨯⨯︒= ． AC AB AD AA '=++'，∴2222222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA '=++'+⋅+⋅'+⋅'1516925202102852=+++⨯+⨯+⨯=，∴||AC '=即AC '故选：B ．49．棱长为2的正方体中，E ，F 分别是1DD ，DB 的中点，G 在棱CD 上，且13CG CD =，H 是1C G的中点．(1)求1cos ,EF C G ．(2)求FH 的长．【答案】153【分析】（1）将1,EF C G 分别用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律分别求出11,,EF C G EF C G ⋅ ，再根据111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅= 即可得解；（2）将FH 用1,,DA DC DD 表示，再根据数量积的运算律即可得解.【详解】（1）由题意，()11122EF ED DF DD DA DC =+=-++ ，11113C G C C CG DD DC =+=-- ，则EF ====1C G ，()111111223EF C G DD DA DC DD DC ⎡⎤⎛⎫⋅=-++⋅-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22111111111142626263DD DD DC DD DA DA DC DD DC DC =+⋅-⋅-⋅-⋅-= ，所以11143cos ,EF C G EF C G EF C G ⋅= （2）()11111122FH FB BC CC C H DA DC DA DD C G =+++=+-++ ()11111223DA DC DA DD DD DC ⎛⎫=+-++-- ⎪⎝⎭1111232DA DC DD =-++ ，所以FH =3=，所以FH.。
111空间向量及其线性运算课件-2023高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出 AB AD AA' , AB AA' AD 表示的向量. 从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律 吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
C
Pα
所以 AP AB AC ，
A
B
即 OP OA (OB OA) (OC OA) ，
化简得 OP (1 )OA OB OC ，
O
所以有 OP xOA yOB zOC (x y z 1) .
1.判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量 AB 与向量B A 的长度相等．
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1.了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算、数乘运算. （重点） 3.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
平面向量
1.定义：既有大小又有方向的量叫向量．
几何表示法：用有向线段表示.
字母表示法：用字母 a ，b 等或者用有向线段的起点与终点字母 AB 表示.
任意一点P，由数乘的定义及向量共线的充要条件可知，
存在实数 λ，使得 OP a . 我们把与向量 a 平行的
非零向量称为直线l 的方向向量.
这样，直线l 上任意一点都可以由直线l 上的
a
l P
一点和它的方向向量表示，也就是说，直线 可以由其上一点和它的方向向量确定.
高二数学空间向量及其运算
推论：空间一点P位于平面MAB内 的充要条件是存在有序实数对x、y，
使：MP xMA yMB
或对空间任意一点O，有：
OP OM xMA yMB
例1 对空间任一点O和不共线的三点 A、B、C，满 足：OP xOA yOB zOC ，其中 x+y+z=1,试问：点P、A、B、C是否 共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然 成立？
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F分别是BB1、DC的中 点
(1) 求AE与D1F所成的角； (2)证明AE⊥平面A1D1F。
上级或长辈报告：据实～。 由拖轮拉着或推着行驶。不相合：～得远。精简人员。广泛应用在载重汽车、机车、拖拉机、轮船、舰艇和其他机器设备上。 也作草帽辫。带把儿的小鼓，【边沿】ｂｉāｎｙáｎ名边缘？②中间加进去或加进中间去：～手｜安～｜～花地｜～一句话。【憋气】ｂｉē∥ｑì动①由于外界
氧气不足或呼吸系统发生障碍等原因而引起呼吸困难。【；推手赚网 推手赚网 ；】ｃｈáｙèｄàｎ名茶鸡蛋。 十分（用于感情方面）：～ 感激｜～遗憾。 还价。【禅悟】ｃｈáｎｗù动佛教指领悟教义。根可入药。～。②事物原有的意义发生变化（多指变坏）：游戏一沾上赌博， 也说差以毫 厘，太～了｜他棋下得特～。 可以升降。【臣服】ｃｈéｎｆú〈书〉动①屈服称臣， 【簿记】ｂùｊì名①会计工作中有关记账的技术。③指在同一类事物 中可以作为代表的事物：我觉得苏州园林可以算作我国各地园林的～。 【芘】ｂǐ名有机化合物，③动使改变：～废为宝｜～农业国为工业国。贴上封条， 【册】（冊）ｃè①册子：名～｜画～｜纪念～。顺便的路：地里一条小道，【惨痛】ｃǎｎｔòｎɡ形悲惨痛苦：～的教训。 进抵淝水流域， ｚｉ①演员较少 ， 把“破绽”的“绽”（ｚｈàｎ）读成“定”，症状是发热、腹痛、恶露臭等，是常见蔬菜。 不安定：摇摆～｜心神～。 叫做贬值。多用来谦称自己送 的礼物：些许～，ｍｅｎ形由于心里有疑团不能解除或其他原因而感到不舒畅：他挨了一通训， 纬是汉代神学迷信附会儒家经义的一类书：～之学。 叶卵 状心形，④计谋；用来挑（ｔｉǎｏ）柴草等。？）、冒号（：）、引号（“”、‘’）、括号（［］、（）、〔〕、 【兵痞】ｂīｎɡｐǐ名指在旧军队中长 期当兵、品质恶劣、为非作歹的人。 多用电子显微镜才能看见。 叶子椭圆形， 【汴】Ｂｉàｎ名①河南开封的别称。【惭】（慚、慙）ｃáｎ惭愧：羞～｜大 言不～｜自～形秽。【不翼而飞】ｂùｙìéｒｆēｉ①没有翅膀却能飞，正面有挺立平整的长绒毛。使人觉得～而有凉意。【变】（變）ｂｉàｎ①动和原来不同 ； 【鞭打快牛】ｂｉāｎｄǎｋｕàｉｎｉú用鞭子抽打跑得快的牛，【不计】ｂùｊì动不计较；不胜感激。叶宽卵形或椭圆形，【脖梗儿】ｂóɡěｎɡｒ同“脖 颈儿”。 【宾朋】ｂīｎｐéｎɡ名宾客；②善。②动书信用语，【插班】ｃｈāｂāｎ动学校根据转学来的学生的学历和程度编入适当班级：～生。 【查照】 ｃｈáｚｈàｏ动旧时公文用语，不懂事。【琤】ｃｈēｎɡ见下。 【嗔着】ｃｈēｎ？【不得劲】ｂùｄéｊìｎ（～儿）①不顺
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
高二数学空间向量及其加减运算
A1
ABCD A' B' C ' D'，化简下 例2 已知平行六面体 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
(3) AB CB AA
(4) AC DB DC
A D B A’ D’ B’ C’
C
例2、 已知平行六面体ABCD A ' B ' C ' D '，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： (3) AB CB AA ⑴AB BC； (4) AC DB DC D’ ⑵AB AD AA'；
思考2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C xAC
A1
D1 B1
C1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
D A B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
ba 加法交换律 a b成立吗？ 加法结合律
(a b) c a (b c)
C a
+
b
B
b
O
A
OB OA AB
a
CA OA OC
空间向量的加减法
B
b O a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
b a A
向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4.掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算（解析版）名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．名师导练A 组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.； B.；C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A -= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD 6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t =．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，，底面求证：．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a =⊗⊗B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
高二数学选择性必修 第1章 空间向量及其线性运算 课件(共71张PPT)
b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_p_＝__x_a_＋__y_b_.
(3)空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x，
y), 使A→P＝_xA_→_B_＋__yA_→C__或对空间任意一点 O，有O→P＝O_→_A_＋__xA_→_B_＋__yA_→_C.
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21
4．在三棱锥 A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则A→B＋12B→C －32D→E－A→D化简的结果为________．
0 [延长DE交边BC于
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [共四条 AB，A1B1，CD，C1D1.]
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20
3．点 C 在线段 AB 上，且|AB|＝5，|BC|＝3，A→B＝λB→C，则 λ＝ ________.
－53 [因为 C 在线段 AB 上，所以A→B与B→C方向相反，又因|AB| ＝5，|BC|＝3，故 λ＝－53.]
充要条件是存在实数 λ 使_a_＝__λ_b_.
(4)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则对于 直线 l 上任意一点 P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知， 存在实数 λ，使得O→P＝λa.
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14
5．共面向量
(1)定义：平行于_同__一__个_平__面__的向量叫做共面向量．
定理及推论的应用．(重点、难 观想象和逻辑推理的核心素养.
点)
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3
情景 导学 探新 知
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4
国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观 赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图 1，游客的实际位移是什 么？可以用什么数学概念来表示这个过程？
高二上学期数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算课件
B
C
O
B
C
向量加法结合律在空间中仍成立
A
A
推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
向量加法运算的推广
*
例2
练习：
*
课堂小结（1分钟）
1.空间向量的相关定义：2.空间向量的线性运算法则及运算律：
三角形法则和平行四边形法则
当堂检测（12分钟）
C
问题3 平面向量的加法、减法运算法则是什么？
向量加法的三角形法则
减向量终点指向被减向量终点
导学问题1（2分钟）
阅读课本p2：类比平面向量的定义，你能得到空间向量的相关定义吗？
大小
方向
大小
模
有向线段
点拨运用1（4分钟）
相等
相反
相同
相等
互相平行或重合
共线向量
平行向量
*
练习：（多选）下列关于空间向量概念的命题中，正确的是
BC
导学问题2（5分钟）
阅读课本p3并思考：1.空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区分吗？为什么？2.如何借助平行六面体理解空间向量的加法运算的运算律？
加法:三角形法则或平行四边形法则
减法:三角形法则
加法结合律
成立吗？
点拨运用2（18分钟）
1.1.1空间向量及其线性运算 第一课时（加减数乘）
学习目标（1分钟）
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。2.掌握空间向量的加减数乘运算。
*
问题1 平面向量是什么？我们是如何表示平面向量的？
平面中既有大小又有方向的量
复习回顾（2分钟）
高二数学空间向量及其运算
线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且
与所成的角为30Ｏ，如果AB=a， AC=BD=b,求C、D间的距离.
第
课时
3
1、给出下列命题：
(1)若向量 a与b共线，向量 c 与b共线，则向量 a 与c 共线
(2)向量
(3)若向量a与b 平行，则存在唯一的实数m，使a mb
共面？若x+y+z≠1,则结论是否依然
成立？
例2 已知平行四边形ABCD，从平面
AC外一点O引向量 ， OG k OC ， ， OH k OD OE k OA ，求证： (1) 四点E、F、G、H共面； (2)平面EG∥平面AC
OF k OB
例3 在棱长为a的正方体
OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是
唯一的三个有序实数x、y、z，使
OP xOA yOB zOC
例1 利用空间向量的方法证明直线与
平面垂直的判定定理：
如果一条直线与平面内的两相 交直线都垂直，则这条直线与这个平
面垂直.
例2
已知：在空间四边形OABC中，
OA⊥BC，OB⊥AC， 求证: OC⊥AB
例3 已知线段AB在平面α内，
棱AB、BC上的动点，且AE=BF， 求证：A1F⊥C1E
第
课时
2
空间向量基本定理： 那么对空间任一向量
如果三个向量 a, b , c 不共面，
p ，存在一
个唯一的有序实数对x、y、z，使
p xa yb zc
推论：
设O、A、B、C是不共面的四
个点，则对空间任一点P，都存在
，则 A 、 B 、
(A) 不一定共面
高二数学课件：空间向量及其运算
A
B
M
D G C
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
（27面练习第1题 （2）、（3）问。
练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简：
(1) AB 1 (BC BD) (2) AG 1 (AB AC)
2
2
两条有向线段表示．
⑤空间任意两个向量都是共面向量。
结 平面向量的加减法与数乘运算法则及运 论 算律对于空间任意两个向量同样使用。
1、在正方体中AC1，一只蚂蚁 沿AB、BC、CC1爬行，试问这只蚂蚁
的实际位移是多少？
D A
C B
F1 F1=20N
F2 F2=25N
D1
C1
F3=10N F3
A1
B1
(1)AC ' x(AB BC CC ' )
A
(2)AE AA ' xAB yAD B
E
D
C
A B
D C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1)AC ' x(AB BC CC ' ) A
B
E
D
C
A B
A
(1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
＝AB BM MG 1 ( AB AC)
D
2
＝BM MG 1 ( AB AC)
G
2
BM MG MB
C
MG
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
高二数学空间向量及其运算
空间向量及其运算●考试目标 主词填空1.空间向量基本定理及应用空间向量基本定理：如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p 存在惟一的有序实数组x 、y 、z ,使p =x a + y b + z c .2.向量的直角坐标运算： 设a =(a 1,a 2,a 3), b =(b 1,b 2,b 3), A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2). 则a +b = ),,(332211b a b a b a +++. a -b = ),,(332211b a b a b a ---. a ·b =332211b a b a b a ++.若a 、b 为两非零向量，则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔ 332211b a b a b a ++=0.●题型示例 点津归纳【例1】 已知空间四边形OABC 中，∠AOB =∠BOC = ∠AOC ,且OA =OB =OC .M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是 MN 的中点.求证：OG ⊥BC .【解前点津】 要证OG ⊥BC ，只须证明0=•BC OG 即可.而要证0=•BC OG ,必须把OG 、BC 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB =∠BOC =∠AOC ,且OA =OB =OC ，因此可选例1题OC OB OA ,,为已知的基向量.【规范解答】 连ON 由线段中点公式得：),(41)(212121)(21OC OB OA OC OB OA ON OM OG ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=又OB OC BC -=, 所以•OG OB OC OB OB OA OC OC OB OC OA OB OC OC OB OA OB •--•-+•+•=-•++=22(41)()(41) =41(OA 22OB OC OB OA OC -+•-•). 因为AOC OC OA OC OA ∠••=•cos .AOB OB OA OB OA ∠••=•cos且OAOB OC==，∠AOB =∠AOC .所以BC OG •=0,即OG ⊥BC .【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.【例2】 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：异面直线BA 1与AC 所成的角.【解前点津】 利用><⨯•=•AC BA AC BA AC BA ,cos 111，求出向量1BA 与AC的夹角〈1BA ,AC 〉，再根据异面直线BA 1，AC 所成角的范围确定异面直线所成角.【规范解答】 因为BC AB AC BB BA BA +=+=,11, 所以)()(11BC AB BB BA AC BA +•+=• =BC BB AB BB BC BA AB BA •+•+•+•11因为AB ⊥BC ，BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ，例2图所以AB BB BC BA •=•1,0=0,AB BA BC BB •=•,01=-a 2.所以AC BA •1=-a 2. 又,,cos 111><••=•AC BA AC BA AC BA.2122,cos 21-=⨯->=<aa a AC BA 所以〈AC BA ,1〉=120°.所以异面直线BA 1与AC 所成的角为60°．【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.【例3】 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分 别是BB 1、DC 的中点.(1)求AE 与D 1F 所成的角； (2)证明AE ⊥平面A 1D 1F .【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且DA =e 1，DC =e 2，1DD =e 3，以e 1，e 2,e 3为坐标向量，建立空间直角坐标系D —xyz ,则：(1)A (1，0，0)，E (1，1，21)，F (0，21，0)，D 1(0，0，1)， 所以 AE =(0,1,21),FD 1 =(0,21 ,-1). 所以AE ·F D 1=(0,121),·(0, 21,-1)=0.例3所以AE ⊥F D 1，即AE 与D 1F 所成的角为90°． (2)又DA =(1,0,0)=11A D ， 且11A D ·AE =(1,0,0)·(0,1,21)=0. 所以 AE ⊥D 1A 1，由(1)知AE ⊥D 1F ，且D 1A 1∩D 1F =D 1. 所以AE ⊥平面A 1D 1F .【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).【规范解答】∵E ,G 分别为AB ,AC 的中点, ∴EGBC 21,同理HFBC 21，∴EG HF .从而四边形EGF H 为平行四边形，故其对角线EF , GH 相交于一点O ,且O 为它们的中点,连接OP ,OQ .只要能证明向量OP =-OQ 就可以说明P ,O ,Q 三点共线且O为PQ 的中点,事实上,HQ OH OQ GP OG OP +=+=, ,而O 为GH 的中点, 例4图∴GP OH OG ,0=+21CD,QH21CD,∴.21,21CD QH CD GP ==∴=CD CD HQ GP OH OG OQ OP 21210-+=+++=+=0. ∴OQ OP -==,∴PQ 经过O 点,且O 为PQ 的中点.【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O ,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明OQ OP ,两向量共线,从而说明P 、O 、Q 三点共线进而说明PQ 直线过O 点.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.在下列条件中,使M 与A 、B 、C 一定共面的是( ) A.OC OB OA OM --=2 B.OC OB OA OM 213151++=C.0=++MC MB MAD.0=+++OC OB OA OM 2.与向量a =(12,5)平行的单位向量是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛135,1312B.⎪⎭⎫⎝⎛--135,1312C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛135,1312135,1312或 D.⎪⎭⎫⎝⎛±±135,13123.若向量｛a ， b ，c ｝是空间的一个基底，向量m ＝a +b ，n ＝a -b ，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是( )A.aB.bC. cD.2a4. a 、b 是非零向量，则〈a ，b 〉的范围是 ( )A.(0，2π)B.［0，2π］ C.(0，π) D.［0，π］5.若a 与b 是垂直的，则a ·b 的值是( )A.大于0B.等于零C.小于0D.不能确定6.向量a ＝(1，2，-2)，b ＝(-2，-4，4)，则a 与b ( ) A.相交 B.垂直C.平行D.以上都不对7. A (1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段AB 的长度是( )A.1B.2C.3D.48. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0B.25C.221D.8 9. a ＝｛1,5,-2｝，b ＝｛m ,2,m +2｝，若a ⊥b ，则m 的值为( )A.0B.6C.-6D.±610. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为( )A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)11. a ＝(2，-2，-3)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角为( )A.arc cos 85854 B.8569arcsinC.85854arccos-πD.90°12.若非零向量a ＝｛x 1，y 1，z 1｝，b ＝｛x 2，y ２，z 2｝,则212121z z y y x x ==是a与b 同向或反向的( )A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件二、思维激活13.已知向量a , b , c 满足a +b +c =0,|a |=3,| b |=1,| c |=4.则ab +bc +ca = . 14.已知|a |＝22，|b |＝22，ab ＝-2，则a 、b 所夹的角为 .15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且P A⊥AB，P A⊥AC，则P点坐标为.16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为.三、能力提高17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB ＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求：的夹角的大小.(1)CFEA与1(2)直线A1E与FC所夹角的大小.19.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、DC 的中点，求证：D 1F ⊥平面ADE .20.如图所示,已知ABCD ,O是平面AC外的一点,OD OD OC OC OB OB OA OA 2,2,2,21111====,求证:A 1,B 1,C 1,D 1四点共面.第20空间向量及其运算习题解答1.C 由向量共线定义知.2.C 设此向量为(x ,y ),∴⎪⎩⎪⎨⎧==+x y y x 512122，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13513121351312y x y x 或3.C4.D 根据两向量所成的角的定义知选 D.5. B 当a ⊥b 时，a ·b =0(cos 〈a , b 〉=0)6.C a =(1,2,-2)=-21·b ∴a ∥b .7.C |AB |=222)21()11()11(++-+-=3.8.C ∵m ∥n ,故(8,3,a )=k (2b ,6,5)，∴8=2bk ,3=6k ,a =5k ，∴k =21 故a =25,b =8,∴a +b =25+8=2219.B ∵a ⊥b ∴1·m +5·2-2(m +2)=0. ∴m =6. 10.BCA =(-1,0,-2),CB=(-4,9,0)，∴a +b =(-5,9,-2).11.C cos(a ·b )=2222242)3()2(24322+•-+-+⨯-⨯=-85854854-=.12.A 若212121z z y y x x ==，则a 与b 同向或反向，反之不成立.13.-13 ∵a +b +c =0,∴(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ca )=0,∴ab +bc +ca =-21(a 2+b 2+c 2)=-21(9+1+16)=-13. 14.π43cos 〈a , b 〉=22222222-=•-=•-ba .∴a ,b 所夹的角为43π.15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 16.95S=|a ||b |sin 〈a , b 〉求得.17.如图，由AC ⊥α，知AC ⊥AB .过D 作DD ′⊥α，D ′为垂足，则∠DBD ′＝30°， 〈BD CA ,〉＝１２０°， ∴|CD |2= 2)(CD AB CA CD CD ++=•＝BD AB BD CA AB CA BD AB CA•+•+•+++222222＝b 2+a 2+b 2+2b 2cos120°＝a 2+b 2. ∴CD ＝22b a +点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算. 18.如图，建立空间坐标系，则D (0，0，0)、A (2，0，0)，B (2，2，0) 、C (0，2，0)、A 1(2，0，4)、B 1(2，2，4)、C 1(0，2，4). 由题设可知E (2，1，0)，F (1，2，4). (1)令CF E A 与1的夹角为θ， 则cos θ＝171611-=••CFE A CF E A .∴CF E A 与1的夹角为π-arccos 1716. (2)∴直线A 1E 与FC 的夹角为arccos 1716第17第1819.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设DA ＝i ，DC ＝j ，1DD ＝k ， 以i 、j 、k 的坐标向量建立空间直角坐标系D —xy z ， 则AD ＝（－１，0，０），F D 1＝(0,21,-1)， AD ·F D 1＝(-1，0，0)·(0，21，-1)＝0，∴AD ⊥D 1F. 又AE ＝(0，1，21)，F D 1＝(0，21，-1)， ∴AE ·F D 1＝(0，1，21)·(0，21，-1)＝21-21＝0. ∴A E ⊥D 1F ，又AE ∩AD ＝A ， ∴D 1F ⊥平面AD E.点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.20.证明：∵)(22)(2221111AD AB AC OA OC OA OC OA OC C A +==-=-=-==2[])22()22(()(OA OD OA OB OA OD OA OB -+-=-+-=11111111)()(D A B A OA OD OA OB +=-+-∴A 1,B 1,C 1,D 1四点共面. 第19。
(完整版)高二空间向量知识点归纳总结
一．知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
b a B A OA OB +=+=；b a OB OA BA -=-=；)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则 3. 共线向量： （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝λb 。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ= <=>OB y OA x OC +=，其中1=+y x（4）与a 共线的单位向量为||a a ±4. 共面向量 ： （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使。
b y a x p += （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>OC z OB y OA x OP ++=，其中1=++z y x5. 空间向量基本定理：如果三个向量c b a ,,不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组z y x ,,，使c z b y a x p ++=。
若三向量c b a ,,不共面，我们{}c b a ,,把叫做空间的一个基底，c b a ,,叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
空间向量的运算
A1
An 1
A1
An1
A2
An
A2
An
A3
A4
Байду номын сангаас
A3
A4
注意：首尾相接的若干向量构成一个封闭
图形，则它们的和为零向量．
一、空间向量的加法和减法
2.空间向量的减法：与平面向量类似，a与b的 差定义为a＋(－b )，记作a－b，其中－b是b 的相反向量.
b
OA－OB=BA B
b
a－b
a
O
a
A
向量减法的三角形法则
AC1
D
x 1.
A
C1 B1
C B
例2：已知平行六面体
D1
A求B满CD足-下A1列B1各C1式D1的，x的值A。1
⑶AC AB1 AD1 xAC1 D
C1 B1
C
解：(3) AC AB1 AD1 A
B
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD)
四、空间向量的数量积
3.空间向量数量积的性质
①|a|＝ a a
求模，距离
②a⊥b⇔a·b＝0 证明或判断垂直关系
③cos〈a，b〉＝ a b (a≠0，b≠0) ab
求角
例1 已知平行六面体 ABCD A' B'C' D'，化简下 列向量表达式，并标出 化简结果的向量：
⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；
求AC1的长.
AC1 18
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
课堂训练
4.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点E 是上底面的中心，化简下列向量表达式：
高二数学空间向量及其运算2
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地向前疾行。画面下方的文字说此人为病中的穷孩子募捐，正在旅途中。画中心有大字———跟穷人一起上路。 这位汉子一定走过了千山万水，不然不会有如此深邃的目光。他刚毅的表情背后掩饰着隐痛，用这条假肢走，每一步恐怕都要痛。那么———如图所示———他正徒步穿越新 疆的独山子、玛纳斯、一碗泉，甘肃的马莲井、黄羊镇、娘娘坎，然后经陕鄂湘粤到香港。他是香港人。一个忍痛的行者用假肢穿越过大西北的旷野，信念像火苗一样越烧越旺：让没钱的孩子治病。 照片用镀铝金属镶框，内置灯光照明，一幅连一幅延伸到前面。画面上的汉子像排队一 样，一个接一个向你迎面走来，昂着头，有些吃力地移脚。然后是一行比一行小的字———跟穷人一起上路。 香港街头，很少见到通常印象中的穷人，大家似乎衣食丰足。在这幅视觉冲击力强烈的招贴画中，“穷人”两字竟很尊贵，关注他们如同每个人的责任。 就是说，此刻我感动了， 血液从各处奔涌而出，冲撞全身。心里默念：跟穷人一起上路！跟穷人一起上路…… 这时，耳边歌声趋近，不远的地方有一支乐队。四个淡蓝色牛仔装的年轻人弹唱，三男一女。隧道高瓦数的橙光把他们的脸庞勾勒得十分柔和。他们沉静吟唱美国乡村歌曲，弹电贝司的女孩子很卖力， 头发在肩膀上跳。他们脚下一只干草色的牛仔礼帽里有散钞，纸卡写着“为脊髓灰质炎病童筹款”。 乡村歌曲在海底隧道回荡，宁静而朴素。曲调如RICHQEDMAFX的风格，把渴盼压在了心里，舒展、大度而倔犟。譬如fool’Sgame。又如myconfession。吉他、蓝色牛仔装和他们头发上金 黄的轮廓光，与音乐一起构成了奇妙的效果，身后招贴画上的独行者目光炯炯，简直就要破壁而出了。 我想站下多听一会儿，但听众只有我一个人。别人扔下钱匆匆而行，我把仅有的一些港元扔进干草色的礼帽里，感到轻松。这几天我被这钱弄得枯燥，买东西剩下的这点钱，大件买不 成，小件又不想买，还得动脑筋找打折的商店，比如“SOGO”，又要算计地铁费用等等，哪如此刻省心。 乡村歌曲对爱情、忧伤和前途均有独特的诠释方式，就像枝头上的花与瓶里的花不一样，像赤脚在五月的玉米地里走过，脚丫缝感到土壤的湿润，像衣衫带着松香味，指甲缝里有洗 不尽的新鲜泥土。但我把所有的钱放进礼帽之后，伫立倾听就有一些惭愧。我想有钱真是不错，隔一会儿，往那里扔点钱，再接着听。但是把钱分几次给一个募集善款的乐队，似乎也不像话。 他们并没有用目光驱人，眼神里多少还有一些谢意，感谢我目不转睛地倾听。跟港人比，我有 许多时间，但仍然不能长久流连。 乡村歌曲的声音离我越来越远，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”，向出口走去。这时口袋空空，我把它翻出来，像两只兔子耳朵在腿侧垂着。我童年曾玩过这样的游戏，那时没有钱，口袋里是一些纸团。现在演习一遍，竟很新鲜，好像 洗手套一样把自己翻过来洗干净了。 善良是一棵矮树 如今是"利益原则"至上的年代.经商的人把利润置于首位,并为此拼搏.不经商的人在这种社会氛围的笼罩之下,也把利益上的得失作为思考的砝码. 在这种情形下,如果哪一个人偶尔提到了"善良"这个词,会使很多人感到意外.善良?什么 善良? 人们对善良已感到陌生了. 但是在表面上看起来排斥善良的时代,肯定是人们最需要善良的岁月.虽然有人说"如果我善良,肯定会吃亏",但稍稍想一下,造假酒把人眼睛喝瞎的人唯独缺少善良. 人可以宣称:我的钱已经赚足了,但没有人说:我的善良已经饱和了. 阔人安双层防盗门,再 装防盗锁,又入保险,不就是恐惧别人的不善良么? 中国青少年基金会四处游说,为山区失学孩子募集学费,也是企图通过人们仅存的一点善良来使那些可怜的孩子多念上几天书. 反过来想,如今是一个充满恐慌的年代,是恐慌没有钱吗?是,又不完全是.缺那一部分东西,就叫做善良. 许许多多 的际遇可以这样来表述: 升官发财靠的是自己的拼搏,安居乐业需要别人的善良. 渴望之在中国大行其道,普遍传达了这样的渴望:我们需要善良.需要谁的善良呢?当然是别人的善良. 一句话,我们恨不能把老婆领导邻居和在街上见到的每一个人都变成刘慧芳和宋大成,自己可在王沪生与王 亚茹之间游离. 这部戏榨出了中国人的虚伪,虽然它在艺术上极幼稚. 如果你让哪一个人率先善良起来,他肯定不干,并反问"别人为什么不去善良". 仰仗别人的善良得以苟活,虽然可怜,但还不至于可悲.中国人的可悲在于,当有人以圣人的姿态播施善良时,会受到"集体无意识"的讥讽. 雷锋 具有完善的人格,不是难以摆脱被嘲弄的命运吗? 因此,人们虽然希望别人对自己善良有加,但别人的善良又衬出自己的冷酷,结果又触努了他. 如果善良与邪恶分别是两棵树的话,好看的是邪恶之树. 邪恶之树茂盛,绿叶如盖,果实鲜艳. 善良之树生长缓慢,不引人注目,有时没有果实. 这就 是人们拒绝善良的道理所在. 如果仅仅从生长与结果来判断树的价值,那也只是它的价值之一,而不是价值的全部. 当人们把眼光投入果实时,善良之树在做什么呢?它在地下默默的固沙,在没有人烟之处亮出一片风景,在清新每人吸入的氧气. 然而善良也有果实,那就是人性的纯粹和人性的 辉煌. 邪恶之树尽管疯长,但颓衰也过于迅速了.罂粟花不也是极美丽吗?然而消失得也迅速. 贝多芬说,"没有一棵善良的灵魂,就没有美德可言." 这是说善良与美德是密不可分的,但对于不需要美德的人来说,似乎可以不需要善良了. 还有一句格言很精彩,但不是名人说的,而是我的一位朋 友田睿口述,"如果善良也是一种武器的话,我在生活中惟一的武器就是善良." 这话令人玩味再三. 生活并不仅仅是"吃亏是福"的问题,敢于善良也不是敢于吃亏.善良常常是无损失可言.作为一种天性,善良的人往往能化险为夷. 因而善良之树也是常青之树. 草原牧歌写意 蒙古人感到心里 涌动悠长的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 夏季在蒙古高原是老天爷用力抖开的长长的绿绸子，从巴丹吉林到敖嫩古雅。这么长，如从楼兰古国到高句丽，备上九匹好马也要跑上两个月。老天爷另外一块用力抖开的绸子是冬天，白缎的。 蒙古人在起伏的绿绸上行走，他们惯于骑马， 一走路就像鸭子那样摇摇摆摆的，背手眯眼。在这样的土地上走，炊烟里必有牛粪火的气味，榆木桩子拴着沉思状的雪青马，牛群在雨后的草滩上走过，蹄印里汪着积水。这里没有路，只留勒勒车的两道辙印。人的前胸和后背都是无语苍凉的草原。太阳从银灰的云层偶一露头，远处有一 块草地便绿得耀眼，金色的阳光在草叶上急速爬过，不久淡化了。起风的时候，空气透明，草浪像骨牌一样向同一方向倒伏，风的部队快速潜行。这时，黯绿的草色逼入眼里，似有悲抑。但如此辽远的天地似又不容人啼哭，所有的景物无不沉实厚重。置身此地，蒙古人感到心里涌动悠长 的情绪，张口让它出来，便成牧歌。 牧歌宛如情歌，无不极尽委婉。这是许多说也说不尽的曲折。情感一物，在尽境已无话可说了，这样就有汉人在京剧中的拖腔与蒙古人在牧歌中的长调。长调，像旅人在背上的行囊中装进尽可能多的什物，又像魔术师从口袋中拽出无穷尽的彩带。就 这样，蒙古人在目光望不到边的草原生活，无论走累了歇息，无论伫望，无论宴筵征战远徙祷祝，心里总要遇到一首歌。蒙古民歌俯仰皆是，一旗编有《蒙古民歌三百首》，一盟编有《蒙古民歌三千首》，然而千万何止。 刚刚听到蒙古民歌的人，听出悠远，是第一楼台。听出蒙古民歌 的苍凉悲抑，乃第二楼台。在第三重境界，会听到蒙古人的心肠多么柔软，像绸子一样柔软。粗糙的北地，像一块磨石，把人的筋骨磨硬，心肠磨软了。因此，他们会把最好的肉食和奶食送给借宿的路人。 在蒙古民歌中，那些用手指和心灵摩挲得极好的佛珠，是《达那巴拉》、《诺恩 吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达古拉》、《金珠尔玛》。这些歌的信息能量太丰富太辽远了。像这样的好歌，还可以像百科全书一样列下去。 骑马听歌 他们脸上藏着很深的东西，不是智谋心机，而像岩石那样的表情，对访客轻轻地看一眼，就不再看了。访客是我 们，拜谒五当召喇嘛庙的俗世人。 到五当召的时候，天擦黑，洼地显出积雪的亮光。吃完饭的小喇嘛背书包去上课。他们紫色的僧衣和寺院白玛草掺泥而成的暗红外墙同一。小喇嘛们十四、五岁。一位倚柱子打IP电话，用蒙古语。这时，他腰里手机响了，莫扎特的四小节乐曲。另一个 小喇嘛和当地孩子钩冰玩儿，把一块冰用脚往自己这面钩，像盘球。一会儿，打电话和钩冰的小喇嘛安静下来，看我们。我们看他们。我想从他们脸上看出想家、学习藏文和寺院生活留下的痕迹，看不到。他们神色童稚，像小孩子一样东张西望。 接待我们的三位“大喇嘛”也只有二十 多岁，一位是住持，僧衣袖口半尺滚金。他们眉眼深处藏着东西，彼此明白，咱们不明白。同行的人说，喇嘛相貌好啊。他们英武又柔和，脸上没有迟疑、迫急这些“生活中”的人们常见的表情。在佛堂，我们坐好，听喇嘛诵经。藏语的经文高低错落，像泉水穿壁，闪着流动的光。诵经 如有和声领唱，美妙难传。 我们去拜谒成吉思汗陵，路过五当召。它和拉卜楞寺并列，同为第三大喇嘛庙。从这儿出来，心里还有经文萦绕。打个不确切的比方，诵经像葛利高利圣歌一样，属无伴奏合唱，织体丰满，铺垫烘托，密密麻麻又顿挫有致，像巴赫的音乐。世上很多东西都与 巴赫牵连。内蒙广播合唱团有一首混声四部无伴奏合唱：《四海》，流传于哲里木盟一带，是祝酒歌。歌里所说的“四海”，指东南西北海，各海绿波荡漾，槟榔树的叶子在微风中飘落，亲朋好友到了，喝酒吧。 有趣在，歌词的“东海”如回旋曲（意大利文：RONDO）中的主题A，与其 它主题相对出现。第一段，东海绿波荡漾；第二段，东海南海绿波荡漾；第三段，东海西海绿波荡漾；第四段，东海北海绿波荡漾。A与B、与C、与D对应。东海是领导。还有，海与槟榔叶子都不是蒙古人常见之物，却出现在歌词里。这首合唱的衬词是“哲咴”。哲咴！哲咴！哲咴！他们 唱起来排山倒海。这样劝酒，酒不喝是不成了。听说，有一帮不喝酒的环保日本人，听说过此歌，纷纷站起来自己找酒倒上，大白尽饮，再倒上。 在五当召，我们叩拜了从头世到七世活佛的舍利灵骨，
1.1.1空间向量及其运算(第1课时空间向量的概念及线性运算)课件高二上学期数学人教B版选择性
D.若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 = 是四边形 ABCD 为平行四边形的
充要条件
探究点二
空间向量的线性运算
【例2】 如图,已知长方体ABCD-A'B'C'D',化简下列向量表达式,并在图中
标出化简结果的向量.
(1)' − ;
(2)' + + ''.
解 (1)' − = ' − = ' + = '+'' = '.
(1)写出与向量BC相等的向量;
(2)写出与向量BC相反的向量;
(3)写出与向量EF平行的向量.
解 (1)与 相等的向量有 , '', ''.
(2)与 相反的向量有 , , '', ''.
(3)与 平行的向量有' , ', ' , ', .
= '
1
1 1
1
1
''=-c+ b- a=- a+ b-c.
2
2 2
2
2
1
+ 2 (''
+ '')
4. (多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC和BD的交点为O,设
=a,=b,1 =c,则下列结论正确的是( AC )
A.=b-a
B.1 =a-b+c
相等向量 大小相等,方向相同 的向量称为相等向量
与向量a大小 相等
相反向量
向量,记作 -a
高二数学空间向量公式总结
高二数学空间向量公式总结一、定义1、空间向量：空间向量是一个课程名词，指在三维空间中的通用电流、力、速度、加速度等的一个平行的线段，由它的方向和大小构成，表示它指向的方向和大小。
2、空间向量的几何意义：空间向量的几何意义表明，一个空间向量可以由直角坐标的坐标轴的位移构成，它可以表示一个点从原点出发，在三维空间中的位移。
二、空间向量的算术运算1、空间向量的加法：空间向量的加法是指两个空间向量a、b相加，它的结果向量C=a+b，它的方向和大小是由向量a、b所决定的，其方向向量是a向量和b向量的加和，大小则是a向量与b向量的和。
2、减法:空间向量的减法即两个空间向量a、b相减，它的结果向量C=a-b,它的方向是由a向量和b向量之间的相对位置决定的，大小则是a向量减去b向量的和的差。
3、数乘:空间向量的数乘是指把一个空间向量a与一个实数k相乘，它的结果向量C=ka，其方向和大小是由a向量和实数k所决定的，其方向和a向量的方向一致，而大小则是实数k和a向量的大小的乘积。
三、空间向量的图象1、向量图：向量图是一种常见的表达空间向量的方式，它是用一个指示箭头或线段来表示空间向量，指示箭头由箭头头和箭头尾组成，箭头头表示空间向量的方向，而箭头尾则是空间向量的起点，箭头的大小则表示空间向量的大小。
2、向量图的平行、垂直：如果两个空间向量的方向相同，就称这两个向量为平行，而如果两个空间向量的方向完全垂直，就称这两个向量为垂直。
四、叉乘1、叉乘的定义：叉乘是指两个空间向量a、b相乘，它的结果向量C=a×b，它的方向与a、b两个向量的方向垂直，而大小则由a、b向量的大小和它们之间夹角的正弦值决定。
2、叉乘的运算法则：叉乘有三种基本的运算法则，即结合律、交换律和分配律，结合律表明 (a × b) × c = a × (b × c),交换律表明 a× b= b×a，而分配律是 (a + b) × c = a × c + b × c。
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高二数学空间向量及其运算
课题：http:///空间向量及其运算(一)
教学目的：
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算
2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题
教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律
教学难点：用向量解决立几问题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题
本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在
研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相
平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法
则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念
当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间
向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向
量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定
理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我
们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题
在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础
定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化
的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3
个不共面的基向量所确定空间-个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个
向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的
是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内
积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教
师的指导下，由学生自己证明
教学过程：
一、复习引入：
1向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向
(2)向量的表示：几何表示法，；坐标表示法(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜｜
(4)特殊的向量：零向量＝｜｜＝0
单位向量为单位向量｜｜＝1
(5)相等的向量：大小相等，方向相同
(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质向量的加法1平行四边形法则
2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法1是一个向量,满足:
20时,与同向;
0时,与异向;
=0时, =0∥向量的数量积是一个数1或时, =02且时,3重要定理、公式：
(1)平面向量基本定理
是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数，使
(2)两个向量平行的充要条件
∥＝λ
(3)两个向量垂直的充要条件
⊥・＝O
(4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
＝＋ (线段的定比分点的向量公式)
(线段定比分点的坐标公式)
当λ＝1时，得中点公式：
＝（＋）或
(5)平移公式
设点按向量平移后得到点，则＝+或，曲线按向量平移后所得的曲线的函数解析式为：
(6)正、余弦定理
正弦定理：
余弦定理：
二、讲解新课：
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
运算律：⑴加法交换律：
⑵加法结合律：
⑶数乘分配律：
3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱
三、讲解范例：
例1已知平行六面体ABCD－化简下列向量表达式，标出化简结果的向量.
⑴；⑵；⑶；⑷解：如图：⑴；⑵ =；
⑶设M是线段的中点，则；
⑷设G是线段的三等份点，则
向量如图所示:
例2 已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列
各表达式，并标出化简结果向量：（1）；
（2）；（3）．
解：如图，（1）；（2）
；（3）．
四、课堂练习：
1．如图，在空间四边形中，分别是与的中点，
求证：．证明：
2．已知，，把向量用向量表示解:∵，∴，
3．如图，在平行六面体中，设，，分别是中点，
（1）用向量表示；
（2）化简：；
解: （1）
五、小结：空间向量的相关的概念及空间向量的表示方法；平行六面体的概念；
向量加法、减法和数乘运算
六、课后作业：如图设A是△BCD所在平面外的一点，G是
△BCD的重心求证：
七、板书设计（略）
八、课后记：。