最新-2018年中考北师大版数学第一轮复习专题训练精品

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高考数学(北师大版理)一轮复习文档：第六章+数列+第1节

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)； 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N + (或它的有限子集)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法. 2.数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. [常用结论与微点提醒]1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2.在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的. (3)不是所有的数列都有通项公式. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n （n ＋1），…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A.135B.142C.148D.154解析 n ＝6时，16×（6＋1）＝142为数列中的第6项.答案 B3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15B.16C.49D.64解析当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A4.(教材习题改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝________.解析由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳a n＝5n－4.答案5n－45.(2017·福州八中质检)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N+)，则a2 018＝________.解析∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.答案0考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1，7，－13，19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….解(1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数.故所求数列的一个通项公式为a n＝2n（2n－1）（2n＋1）. (2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n＝(－1)n(6n－5).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察.即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n－1).规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想. 【训练1】 (1)(2018·长沙模拟)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A.a n ＝(－1)n －1＋1B.a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C.a n ＝2sin n π2D.a n ＝cos(n －1)π＋1(2)(2018·青岛模拟)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是( ) A.a n ＝n 2－(n －1) B.a n ＝n 2－1C.a n ＝n （n ＋1）2D.a n ＝n （n －1）2解析 (1)对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意. (2)设此数列为{a n }，则由题意可得a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6， a 4＝10，a 5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现： 1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …所以第n 项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n （n ＋1）2，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式为a n ＝n （n ＋1）2.答案 (1)C (2)C考点二由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(教材习题改编)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝14n 2＋23n ＋3，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝4712，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14n 2＋23n ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（n －1）2＋23（n －1）＋3＝12n ＋512，经检验a 1＝4712不满足上式所以这个数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案(1)⎩⎪⎨⎪⎧4712，n ＝1，12n ＋512，n ≥2(2)(－2)n －1规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.易错警示在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形. 【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________. 解析 (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合上式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式. ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)4n －5 (2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2 考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)若a 1＝1，na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________. 解析 (1)由题意，得a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋5＋2 ＝n （3n ＋1）2.即a n ＝32n 2＋n2.(2)由na n －1＝(n ＋1)a n (n ≥2)，得a n a n －1＝n n ＋1(n ≥2). 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·n －2n －1·…·34·23·1 ＝2n ＋1，又a 1也满足上式. 所以a n ＝2n ＋1.(3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3).令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)32n 2＋n 2 (2)2n ＋1(3)2n ＋1－3规律方法 1.形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.2.形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项.3.形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键. 【训练3】在数列{a n }中， (1)若a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1），则通项公式a n ＝________.(2)若a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.(3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，以上(n －1)个式子的等号两端分别相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n . (2)由a n ＋1＝2n a n ，得a na n －1＝2n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2n （n －1）2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2n （n －1）2.(3)因为a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2n ＋1(n ∈N +).答案 (1)4－1n (2)2n （n －1）2 (3)2n ＋1基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cosn ＋12πD.cos n ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确. 答案 D2.(2018·湘潭一中、长沙一中联考)已知数列{a n }满足：任意m ，n ∈N +，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝( )A.132B.116C.14D.12解析由题意，得a 2＝a 1a 1＝14，a 3＝a 1·a 2＝18，则a 5＝a 3·a 2＝132. 答案 A3.(2017·黄山二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N +)，则S 5＝( ) A.31B.42C.37D.47解析由题意，得S n ＋1－S n ＝S n ＋1(n ∈N +)，∴S n ＋1＋1＝2(S n ＋1)(n ∈N +)，故数列{S n ＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S 5＋1＝3×24，所以S 5＝47. 答案 D4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.4解析依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题6.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 ⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥27.(2018·西安调研改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1，则a 5＝________. 解析依题意得a n ＋1－a n ＝2n ＋1，a 5＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 答案 258.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N +，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N +，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1).(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞) 三、解答题9.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N +). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)由S n ＝12a 2n＋12a n (n ∈N +)可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1， S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2，同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝a n 2＋12a 2n ，①当n ≥2时，S n －1＝a n －12＋12a 2n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1，又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }为首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .10.已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1·a n ＝2n ，求a n .解因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋2·a n ＋1＝2n ＋1，a 2＝23，故a n ＋2a n＝2，所以数列{a n }的奇数项构成以3为首项，以2为公比的等比数列；偶数项构成以23为首项，以2为公比的等比数列.当n 为偶数时，a n ＝a 2·2n 2－1＝23·2n 2－1，即a n ＝13·2n 2；当n 为奇数时，a n ＝3·2n －12.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3·2n －12，n 为奇数，13·2n 2，n 为偶数(n ≥1，n ∈N +). 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.数列{a n }的通项a n ＝n n 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.310 B.19 C.119 D.1060解析令f (x )＝x ＋90x (x >0)，得f (x )≥290，当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N +，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝119最大.答案 C12.(2017·湘中名校联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n ∈N +恒成立，则实数k 的取值范围为________. 解析由H n ＝2n ＋1，得n ·2n ＋1＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ①，(n －1)·2n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1②，①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，所以a n ＝2n ＋2，a n －kn＝(2－k )n ＋2，又S n ≤S 5对任意的n ∈N +恒成立，所以⎩⎨⎧a 5≥0，a 6≤0，即⎩⎨⎧5（2－k ）＋2≥0，6（2－k ）＋2≤0，解得73≤k ≤125. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125 13.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N +，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N +，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N +，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N +). 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4，a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N +).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N +，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8).精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【精品课件】新教材一轮复习北师大版第10章第3讲变量间的相关关系、统计案例课件

求得回归方程^y＝0.67x＋54.9.
零件数 x(个) 10 20 30 40 50
加工时间 y(min) 62
75 81 89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为__6_8__.
第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
[解析] 由－x ＝30，得－y ＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为 a，则 62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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5．(2019·高考全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意不满意男顾客 40 10 女顾客 30 20
第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
考点一
相关关系的判断——自主练透
(1)(2021·四川资阳模
拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关
系的研究中，研究人员获得了一组样
本数据，并制作成如图所示的人体脂
肪含量与年龄关系的散点图．根据该
图，下列结论中正确的是 ( )
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第十章统计、统计案例
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作
为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计
20
20
20
算得xi＝60，yi＝1 200，

2018届中考北师大版数学一轮复习第32讲：图表信息问题课件 (共26张PPT)

难点突破
②缆车到山顶的线路长为3 600÷2=1 800(m),
缆车到达终点所需时间为1 800÷180=10(min). 小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(min). 把x=60代入y=55x-800,得y=55×60-800=2 500. 所以,当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是
难点突破
解:(1)3 600 20
(2)①当50≤x≤80时,设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0), 根据题意,当x=50时,y=1 950; 当x=80时,y=3 600.
所以
k = 55, 1 950 = 50k + b, 解得 3 600 = 80k + b. b = -800.
所以,当50≤x≤80时,y与x的函数关系式为y=55x-800.
数图象是一条线段,所以点M不符合题意.若教练在点N处,小翔从点A跑到点B的过程中,其对应的函数图象是一个轴对称图形,从点B跑到点C的过程中,其对应的函数图象也是一个轴对称图形,所以点N不符合题意.若教练在点P处,小翔从点A跑到点B的过程中,其对应的函数图象是一个轴对称图形;从点B跑到点C的过程中,小翔离点P的距离越来越近,其对应的函数图象一直向下,所以点P也不符合题意.教练在点Q时,符合题意. 答案:D
难点突破
2、小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合,已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发50 min后才乘上缆车, 缆车的平均速度为180 m/min.设小亮出发x min后行走的路程为y m,图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系. (1)小亮行走的总路程是 m,他途中休息了 min; (2)①当50≤x≤80时,求y与x的函数关系式; ②当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?

北师大版数学一轮复习第2章第1节

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下面有四个命题： ①函数 y＝2x＋1(x∈Z)的图像是一条直线； x2 ②f(x)＝|x|与 g(x)＝|x|是同一函数； ③函数 y＝f(x)(x∈R)图像上任意两点连线的斜率都存在； ④若函数 y＝f(x)的最大值与最小值分别为 M 与 m，则函数 y＝f(x) 的值域为[m，M]．
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菜

北师大版数学,一轮复习第1章第1节

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集合P＝{m2|m∈N ＋ }，若a，b∈P，则a⊗b∈P，那
么运算⊗可能是( )
1．(教材改编题)已知集合 M＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下面结论中正确的是( A．{a}⊆M C．{a}∈M ) B．a⊆M D．a∉M
【解析】∵M＝{x∈N|x≤ 10}＝{0,1,2,3}，∴a∉M.故选 D.
【答案】D
菜
单
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【答案】B
菜
单
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3．设全集U是实数集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|x≥3或x<1}都是U
的子集，则图1－1－1中阴影部分所表示的集合是( )
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2．设集合 A＝{x|log2x＋1>0}， B＝{y|y＝3x， x∈R}， RA)∩B＝( 则(∁ 1 A．(0， ) 2 C．(0,1) 1 B．(0， ] 2 D．(0,1]
)
1 1 【解析】由 A＝(2，＋∞)，得∁RA＝(－∞，2]，又 B＝(0，＋∞)， 1 所以(∁RA)∩B＝(0， ]． 2

近年高考数学复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大版(

2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文北师大版的全部内容。

第三节函数的奇偶性与周期性［考纲传真] 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义。

2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性。

3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．奇（偶）函数的性质(1）对于函数f （x)，f (x）为奇函数⇔f （－x)＝－f （x）；f (x）为偶函数⇔f （－x)＝f (x）．(2）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．（3）如果奇函数y＝f （x）在原点有定义，则f （0）＝0。

3．函数的周期性(1)对于函数f (x),如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x＋T)＝f （x），则f (x)为周期函数．（2）最小正周期：如果在周期函数f (x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f （x）的最小正周期．（3）若T是函数y＝f (x）的一个周期，则nT（n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f （x)的一个周期．1．（思考辨析)判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×"）（1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．（)(2)若函数y＝f (x＋a）是偶函数,则函数y＝f (x)关于直线x＝a对称．( )(3）若函数y＝f （x＋b）是奇函数,则函数y＝f （x)关于点（b，0)中心对称．（）（4)函数f (x)在定义域上满足f (x＋a)＝－f （x)，则f (x)是周期为2a(a＞0）的周期函数．（）[答案] (1)×(2）√（3)√(4）√2．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）【导学号：66482035】A．－错误!B．错误!C．错误!D．－错误!B［依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝错误!，则a＋b＝错误!。

2018届中考北师大版数学一轮复习第33讲：阅读理解问题课件 (共27张PPT)

2、阅读材料：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果a∥b，则x1· y2＝x2· y1.根据该材料填空：已知a＝(2，3)，b＝(4，m)，且a∥b，则m＝____. 6 3、一个整数的所有正约数之和可以按如下方法求得．如：6＝2×3，则6的所有正约数之和(1 ＋3)＋(2＋6)＝(1＋2)×(1＋3)＝12；12＝22×3，则12的所有正约数之和(1＋3)＋(2＋6)＋(4＋ 12)＝(1＋2＋22)×(1＋3)＝28；36＝22×32，则36的所有正约数之和(1＋3＋9)＋(2＋6＋18)＋ (4＋12＋36)＝(1＋2＋22)×(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，那么200的所有正约数之和为( D ) A．420 B．434 C．450 D．465
的问题．基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”．
随堂检测
1、定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.
12 函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝ x 的解为( A ) 2
A、0或 2 B、 0或 2 C、 1或 - 2 D、2或 - 2
随堂检测
难点突破
难点突破
1 1 1 1 1 解 : 令。。。 t 2 3 4 5 2017 1 1 则原式（ 1 t )(t ) (1 t )t 2018 2018 1 1 1 2 2 t t t t t t 2018 2018 2018 1 2018
对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1；
解：(1)证明：对任意一个完全平方数m，设m＝n2(n为正整数)． ∵|n－n|＝0为最小，∴n×n是m的最佳分解．
n ∴对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝＝1. n

北师大版2018巩固数学初三训练

北师大版2018巩固数学初三训练
北师大版20192019年巩固数学初三训练
完成了小学阶段的学习，进入紧张的初中阶段。

这篇北师大版20192019年巩固数学初三训练，是查字典数学网特地为大家整理的，欢迎阅读~
一、判断题
1.如果y是x的反比例函数，那么当x增大时，y就减小
2.当x与y乘积一定时，y就是x的反比例函数，x也是y的反比例函数
3.如果一个函数不是正比例函数，就是反比例函数
4.y与x2成反比例时y与x并不成反比例
5.y与2x 成反比例时，y与x也成反比例
6.已知y与x成反比例，又知当x=2时，y=3，则y与x的函数关系式是y= 二、填空题1.y= (k0)叫__________函数.x的取值范围是__________. 2.已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h=__________,这时h是a的__________. 3.如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成__________.
4.如果函数y=是反比例函数，那么k=________,此函数的解析式是________. 三、辨析题 (1)兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：兄(y) 29 28 27 26 25 24 23 22 3 2 1 逐渐减少弟(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 27 28 29 逐渐增多①写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式(不要求写xy的取值范围). ②虽然当弟吃的饺子个数增多。

数学北师大版高中三年级必修1 高三数学一轮领航(集合、逻辑)

8.设集合A={(x,y)|x+a2y+6=0},B={(x,y)|(a-2)x+3ay+2=0},若A∩B=Ø,则实数a的
值为【】
A.3或-1B.0或3C.0或-1D.0或3或-1
9.对于两个非空集合P、Q,定义P⊙Q= ,若集合
M={-1,2,3,4 },N={-1,1,2,},则M⊙N中元素的个数为【】
21.(12分)已知p:函数f(x)=(x-2)ex(e是自然对数的底数)在(m,2m)上是单调函数;q:
“x2-2x≤0”是“x2-2mx-3m2≤0”的充分不必要条件.若p∨q为真,p∧q为假,求实数
m的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=2x-1,g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2,函数g(x)的零点为α,β且α<β,设
22.解:(1)g(x)=(f(x)-1)(f(x)-2)=0得,f(x)=1,或2,即2x-1=1或2,∴α=1或β=log23,则
A=[1, 2],∴C=[1,3].又G(x)=(x+1)2+t-1上,x∈[0,1]得B=[t,t+3],
由A B得得t的取值范围是[0,1];
(2)由f(log2x)=2log2x-1=x-1,得(x-1)2+2a(x-1)+a>-5,令λ=x-1,则λ=∈[0, 1] ,有
A∩B=(- ,-1),CU(A∪B)=[1,3],∴[CU(A∪B)]∪(A∩B)=(- ,-1)∪[1,3];
8.D;A、B集合均表示直线上的点集,即两线平行即可.l1//l2(不重合) A1B2=A2B1,故
3a=a2(a-2),即a=1,或0,或3,经检验知无重合情况.

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练：对数运算和对数函数(含解析)

2025届高考数学一轮复习北师大版多选题专题练：对数运算和对数函数A.C. D.4．设,当时,对这三个函数的增长速度进行比较,下列结论中,错误的是( )A.的增长速度最快, 的增长速度最慢B.的增长速度最快, 的增长速度最慢C.的增长速度最快, 的增长速度最慢D.的增长速度最快, 的增长速度最慢5．已知函数，则下列说法正确的是( ).A.B.函数的图象与x 轴有两个交点C.函数的最小值为-434log 9log 2+=212log 3=+5log 3259=225511log 25log log 8log 252⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22,2,log x f x x g x h x x ===(4,)x ∈+∞()f x ()h x ()g x ()h x ()g x ()f x ()f x ()g x ()2222()log log 3f x x x =--(4)3f =-()y f x =()y f x =D.函数的最大值为46．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则7．下列运算正确的是( ).A. B.C.若，则 D.若，则8．已知，且，下列说法中错误的是( ).A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则9．下列运算错误的是( ).A. B.C. D.10．下列运算错误的是( )A.B.C.D.11．若,,且,则( )A. B.C. D.12．下列式子中正确的是( )()y f x =lg(lg10)0=lg(ln e)0=lg 10x =10x =ln e x =2e x=1232=129ln e 4+=3log (lg )1x =1000x=log a c =7cb a =0a >1a ≠M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=23511log 25log log 16169⨯⨯=lg 2lg 5010+=11552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⋅⋅=lg 2lg 5010+=((2225log (2log 4-=-1a >1b >lg()lg lg a b a b +=+lg(1)lg(1)0a b -+-=11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭lg(1)lg(1)1a b -+-=11lg 1a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A.若，则B.若C.D.13．在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足的星的亮度为.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，南极星的星等是-0.72，则( )A.天狼星的星等大约是南极星星等的2倍B.太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是10.1C.天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是D.天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是14．已知且A. B. C. D.15．下列运算正确的是( )A. B.C. D.16．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.17．下列运算正确的是( )A. B.C. D.18．下列运算中正确的是( )A. B.C. D.552log 10log 0.252+=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg 2lg5010+=ln 2ln3e 6+=10lg x =10x =25log x =5=±lg(lg10)0=24log 5280+=2152m m -=k ()1,2k E k =10,110-0,29210-0a b >>ln a =22log log a b>2e ab >122ab a b ++<a b b aa b a b >lg 5lg 21+=42log 32log 3=ln πe π=5lg 5lg 2log 2÷=lg5lg 21+=ln πe π=42log 32log 3=2lg 5lg 2log 5÷=52log 10log 0.252s +=42598log 27log 8log 59⨯⨯=lg2lg5010+=ln 2ln36e +=19．下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有( )A.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快B.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢C.的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢D.的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快20．已知，，则的值可能为( )A.B.C.24D.12()log f x x =1()2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()0,+∞()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ,a b ∈R 249a b ==2a b -8338124参考答案解析：对选项A:,正确;对选项C:,正确;341log 9log 222+=+=2212log 32log 3==-=+555log 3log 3log 9225559===对选项D:,正确;故选:BCD 4．答案：ACD解析：画出函数,,的图象,如图所示,结合图象,可得三个函数,,中,当时,函数增长速度最快,增长速度最慢.所以选项B 正确;选项ACD 不正确.故选：ACD.5．答案：ABC解析：对于A ，，正确；对于B ，，，令，得，即得或，所以或，即的图象与x 轴有两个交点，正确；对于C ，，，当，即时，，正确；对于D ，易知没有最大值.6．答案：AB 解析：7．答案：BCD 解析：8．答案：ACD 解析：()2222(4)log 4log 433f =--=-()222()log 2log 3f x x x =--(0,)x ∈+∞()0f x =()()22log 1log 30x x +-=2log 1x =-2log 3x =12x =2255252511log 25log log 8log log 5log 42log 5log 2252⎛⎫⎛⎫++=⨯=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2f x x =()2x g x =()2log h x x =()2f x x =()2x g x =()2log h x x =(4,)x ∈+∞()2x g x =()2log h x x =8x =()f x ()22()log 14f x x =--(0,)x ∈+∞2log 1x =2x =min ()4f x =-()f x9．答案：ABD 解析：对于A ，，故A 错误.对于B ，误.对于C ，，故C 正确.对于D ，，故D 错误.10．答案：ABC解析：对于A ，，A 错误；对于B ，对于C ，，C 错误；对于D ，故选：ABC.11．答案：AB解析:依题意,,由,得,所以,且,即,.故选AB12．答案：CD解析：若，则，故A 错误；若，故B 错误；因为，则，故C 正确；()221111115555552log 10log 0.25log 10log 0.25log 100.25log 252+=+=⨯==-4259lg 27lg8lg 53lg 33lg 2lg 5log 27log 8log 5lg 4lg 25lg 92lg 22lg 52lg 3⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=242235235112lg 54lg 22lg 3log 25log log log 5log 2log 316169lg 2lg 3lg 5----⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=lg 2lg 50lg1002+==()22111155552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==-334259222lg 312lg 533log 27log 8log 5lg 215lg 3222g g ⨯⋅⋅=⋅⋅==⨯⨯lg 2lg 50lg1002+==((22221log (2log 12⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭1a >1b >lg()lg lg lg()a b a b ab +=+=a b ab +=(1)(1)()1a b ab a b --=-++=111a b=+=[]lg(1)lg(1)lg (1)(1)lg10a b a b -+-=--==11lg 0a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭10lg x =1010x =25log x =12255x ==lg101=lg(lg10)lg10==，故D 正确.故选：CD.13．答案：AC 解析：14．答案：AD解析：对于选项A ：因为，又因为在上单调递增，所以，故A 正确；对于选项B ：因为，解得或，所以或，故B 错误；对于选项C ：因为，且，可得，同号，则有若，同正，可得，则，可得；若，同负，可得，则，可得.综上所述，，又因为在定义域内单调递增，所以，故C 错误；对于选项D ：因为，则，可得在上单调递增，可得，且，，所以，故D 正确.故选AD.15．答案：AC解析：,故选项A 正确;,故选项B 错误;根据对数恒等式可知,,选项C 正确;根据换底公式可得：,故选项D 错误．故选：AC.16．答案：AD解析：对于选项A ，，所以选项A 正确；224log 5log 5422216580+==⨯=⨯0a b >>2log y x =()0,+∞22log log a b >2(ln ln )ln ln 4a b a b +<=()2ln 14ab >()ln 2ab >()ln 2ab <-2e ab >210e ab <<0a b >>ln ln 10a b =>ln a ln b ln a ln b e 1a b >>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+ln a ln b 110ea b >>>>()()()1110a b ab a b --=-++>1ab a b +>+1ab a b +>+2x y =122ab a b ++>0a b >>0a b ->a b y x -=()0,+∞0a b a b a b -->>0b a >0b b >a b b a a b a b >()lg 5lg 2lg 52lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===ln πe π=5lg 2log 2lg 2lg 5lg 5==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==对于选项B ，误；对于选项C ，，所以选项C 错误；对于选项D ，，所以选项D 正确.故选：AD 17．答案：ABD解析：对于选项A ，，故选项A 正确；对于选项B ，根据对数恒等式可知，故选项B 正确；对于选项C ，，故选项C 错误；对于选项D ，根据换底公式可得，故选项D 正确.故选ABD.18．答案：AD解析:对于选项A,,所以选项A 正确;对于选项B,项C,,所以选项C 错误;对于选项D,, 所以选项D 正确.19．答案：ABD解析：在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示，由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢.20．答案：BC解析：由题意得，，则时，，同理时，334259222lg 3lg 2lg 533log 27log 8log 5lg 2lg 5lg 3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg 2lg50lg1002+==ln 2ln3ln 2ln3e e e 236+=⋅=⨯=lg5lg 2lg(52)lg101+=⨯==224222log 3log 31log 3log 3log 42log 22===2lg 5log 5lg 5lg 2lg 2==÷()2255552log 10log 0.25log 100.25log 52+=⨯==334259222lg3lg2lg533log 27log 8log 5lg2lg5lg3222⨯⨯⨯=⨯⨯==⨯⨯lg2lg50lg1002+==ln 2ln 3ln 2ln 3236e e e +=⋅=⨯=()f x ()g x ()f x ()g x 42log 9log 3a ==3b =±3b =23228a a bb -==3b =-22242a a bb -==故选：BC.。

北师大版数学一轮复习第1章第3节

菜
单
高考一轮复习 · · B 数学（理科）
典例探究 · 提知能高考体验 · 明考情课时 · 知能 · 训练
【思路点拨】从以下两点考虑： (1)对全(特)称命题的否定方法；
自主落实 · 固基础
(2)全(特)称命题真假的判断方法．
【尝试解答】(1)綈p：存在x≥0，使x2≤0，为真命题． (2)綈q：存在实数a0，b0，使方程a0x＋b0＝0没有唯一解，为真命题． (3)綈r：对任意α，使sin2α＋cos2α＝1，为真命题． (4)綈s：对任意x∈R，x2＋1≠0，为真命题．
【答案】B
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菜
单
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π 2．已知命题：p：存在x∈(0， )，使sin x＋cos x<1，命题q：对任 2 意x∈(－∞，0)，2x>3x.则下列命题为真的是(
1．逻辑联结词
命题中的“或” 、
自主落实 · 固基础
“且” “非” 叫逻辑联结词．、
2．全称量词与全称命题 (1)全称量词：“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切” 等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词． (2)全称命题：含有全称量词的命题叫作全称命题．
典例探究 · 提知能高考体验 · 明考情课时 · 知能 · 训练单
则在命题q1：p1且p2，q2：p1或p2，q3：(綈p1)或p2和q4：p1且(綈
自主落实 · 固基础

第2节常用逻辑用语--2025北师大版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)

(2)每个正方形都是平行四边形;
(3)∃m∈N,√m2 + 1∈N;
(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°.
解 (1)∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0,没有实根.假命题.
(2)有些正方形不是平行四边形.假命题.
(3)∀m∈N,√2 + 1 ∉N.假命题.
(4)所有的四边形ABCD,其内角和等于360°.真命题.
考点三全称量词与存在量词(多考向探究预测)
考向1含有一个量词的命题的否定
例

4(1)(2024·安徽合肥模拟)命题“∀α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α>2”的否定为
( C )

A.∀α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α≤2

B.∃α∈(0,4 ),sin2α+tan
2α>2

C.∃α∈(0,4 ),sin2α+tan
件的是( C )
A.x2<y2
B.xz<yz
C.xz2 024<yz2 024
D.x+x5<y+y5
解析若x2<y2,可能有y<x<0,不能推出x<y,充分性不成立,故A错误;若xz<yz,
当z<0时,有x>y,此时x<y不成立,充分性不满足,故B错误;由xz2 024<yz2 024得
z≠0且z2 024>0,此时x<y成立,反之若x<y,当z=0时,xz2 024<yz2 024不成立,故C正
题组二连线高考
5.(2022·天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的( A )

九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式北师大版知识精讲

九年级数学中考第一轮复习—方程和不等式北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：复习三：方程和不等式1. 整式方程和分式方程．2. 二元一次方程组．3. 一元一次不等式（组）．4. 方程与不等式的应用问题．二、知识要点：1. 等式及其性质表示相等关系的式子，叫做等式．等式的性质：①等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个等式，所得的结果仍是等式；②等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式．2. 不等式和不等式的基本性质用不等号连接起来的式子叫做不等式．不等式的基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3. 一元一次方程（1）在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．ax＋b＝0（a≠0）是一元一次方程的标准形式．（2）解一元一次方程的一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1．4. 一元一次不等式（组）的解法解不等式和解方程的步骤基本一样，相同点是：去分母，移项，合并同类项．不同点是：当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，要注意改变不等号的方向；在数轴上表示不等式的解集时，要注意包括的点用实点，不包括的点用虚点．解不等式组的步骤：（1）分别求出各个不等式的解集；（2）借助数轴确定不等式的公共解集．5. 二元一次方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．任何一个二元一次方程都有无数个解．二元一次方程组的常用解法是：代入消元法和加减消元法．6. 分式方程的解法解分式方程去分母时，方程两边要同时乘各分母的最简公分母，确定最简公分母时，如果分母能够因式分解的要先分解，这样才能确保公分母为最简；去分母时要注意防止漏乘不含分母的项．解分式方程时必须检验，检验时只要代入最简公分母看其是否为0即可，若能使最简公分母为0，则该解是原方程的增根；否则，该解是原方程的解．7. 一元二次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程就是一元二次方程，其一般形式为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．（2）解法：①直接开平方法：其理论依据是平方根的定义，这种方法适合解左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的方程，即形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程．②配方法：其理论依据是完全平方公式．一般步骤是：（a ）二次项系数化为1，也就是在方程左右两边同除以二次项系数；（b ）移项，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；（c ）配方：在方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成（x ＋m ）2＝n 的形式；（d ）开方，若n ≥0，则用直接开平方法求解；若n ＜0，则原方程无解．③公式法：该方法由配方法推导而来，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的求根公式为x ＝－b ±b 2－4ac2a．当b 2－4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．④分解因式法：其理论依据是几个数的积为0，那么这几个数中至少有一个为0．一般步骤是：（a ）将方程右边化为0；（b ）将方程左边分解成两个因式的积；（c ）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（d ）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．三、重、难点：解方程或不等式是本讲的重点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是本讲的难点．四、考点分析：本讲内容一直是中考的热点和重点，以方程和不等式的概念、解法为基本考点，多以填空题、选择题的形式出现；而考查方程和不等式的应用时多以解答题的形式出现，且与一次函数、二次函数等知识紧密结合，难度较大．今后几年中考仍会延续这一趋势．【典型例题】例1. 选择题：（1）关于x 的方程ax 2＋5x ＋b ＝0一定是（） A ．一定是一元二次方程B ．一定是一元一次方程 C ．一定是整式方程 D ．也可能是分式方程分析：当a ≠0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元二次方程；当a ＝0时，方程ax 2＋5x ＋b ＝0是一元一次方程，因为一元一次方程和一元二次方程都是整式方程，所以原方程一定是整式方程．故选C ．（2）已知关于x 的方程4x －3m ＝2的解是x ＝m ，则m 的值是（）A ．2B ．－2C ．27D ．－27解析：由方程的解的定义知，把x ＝m 代入方程4x －3m ＝2中，得4m －3m ＝2，所以m ＝2．故选A（3）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax －by ＝4ax ＋by ＝2 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ，则2a －3b 的值为（）A ．4B ．6C ．－6D ．－4解析：将方程组的解代入方程组中转化为关于a 、b 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝42a ＋b ＝2 ，再求出a 、b ．选B ．（4）不等式－x －5≤0的解集在数轴上的表示正确的是（）ABCD解析：解不等式－x －5≤0，得x ≥－5，故选B（5）已知关于x 的一元二次方程（m －2）2x 2＋（2m ＋1）x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值X 围是（）．A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠2解析：方程有两个不相等的实数根，则b 2－4ac ＞0．即（2m ＋1）2－4（m －2）2×1＞0．解得m ＞34．又∵二次项的系数（m －2）2≠0，∴m ≠2．∴m 的取值X 围是m ＞34且m ≠2．故选C ．例2. 填空题：（1）已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3＋2x ≥1x －a ＜0无解，则a 的取值X 围是__________．解析：由不等式3＋2x ≥1，得x ≥－1，由不等式x －a ＜0，得x ＜a ，依据不等式组解集的确定法则，可知a ≤－1．解不等式组要熟记其确定法则（大大取大；小小取小；大小小大取中间；大大小小取不了）．（2）已知方程14－x 2＋2＝kx －2有增根，则k ＝__________．解析：∵方程14－x 2＋2＝kx －2有增根，∴由4－x 2＝0或x －2＝0得其增根可能为x 1＝2，x 2＝－2，分别将x 1＝2，x 2＝－2代入1＋8－2x 2＝－k （x ＋2）中，知当x ＝－2时，等式不成立．∴x ＝－2不是增根，∴方程的增根是x ＝2．∴k ＝－14．（3）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，由甲队单独完成此项工程需__________天，乙队单独完成需__________天．解析：设甲施工队单独完成此项工程需x 天，则乙队单独完成此项工程需45x 天，根据题意得10x ＋1245x ＝1．解这个方程得x ＝25．经检验：x ＝25是所列方程的根．当x ＝25时，45x＝20．所以甲、乙两队单独完成此项工程分别需要25天和20天．例3. 若0是关于x 的方程（m －2）x 2＋3x ＋m 2＋2m －8＝0的解，某某数m 的值，并讨论此方程解的情况．解：由题意知，（m －2）·02＋3×0＋m 2＋2m －8＝0， ∴m 2＋2m －8＝0，即（m ＋4）（m －2）＝0． ∴m 1＝－4，m 2＝2，当m ＝2时，原方程为3x ＝0，此时方程只有一个解，为0；当m ＝－4时，原方程为－6x 2＋3x ＝0．即3x （－2x ＋1）＝0．∴x 1＝0，x 2＝12，即此时方程有两个解，分别为0，12．评析：这是一道易错题，既确定选定系数m ，又讨论方程解的情况，不要一看到方程解的情况，就考虑b 2－4ac ，而应审明题意，当已知方程的一个解时，往往以把解代入原方程作为切入点．例4. 已知m 、n 为两圆的半径（m ≠n ），d 是两圆的圆心距，且方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根，求证：这两个圆相外切．证明：∵方程x 2－2mx ＋n 2＝d （n －m ）有两个相等的实数根，该方程整理，得x 2－2mx ＋n 2＋（m －n ）d ＝0，∴b 2－4ac ＝（－2m ）2－4×1×[n 2＋（m －n ）d ]＝4m 2－4n 2－4（m －n ）d ＝0，即4（m －n ）（m ＋n －d ）＝0．又∵m ≠n ，即m －n ≠0， ∴m ＋n －d ＝0，即d ＝m ＋n ， ∴两圆相外切．评析：证明两个圆相外切，就是证明两圆圆心距等于两圆半径之和，即d ＝m ＋n ，根据题意可由b 2－4ac ＝0来证明d ＝m ＋n ．例5. 晓跃汽车销售公司到某汽车制造厂选购A 、B 两种型号的轿车，用300万元可购进A 型号轿车10辆，B 型号轿车15辆；用300万元也可以购进A 型轿车8辆，B 型轿车18辆．（1）求A 、B 两种型号轿车每辆分别为多少万元？（2）若该汽车销售公司销售1辆A 型号轿车可获利8000元，销售1辆B 型号轿车可获利5000元，该汽车销售公司准备用不超过400万元购进A 、B 两种型号轿车共30辆，且这两种轿车全部售出后总获利不低于20.4万元，问有几种购车方案？在这几种购车方案中，该汽车销售公司将这些轿车全部售出后，分别获利多少万元？分析：本题中的问题（1）应用方程组解答．（2）中应根据条件，用不等式组的整数解来解答．解：（1）设A 型号的轿车每辆为x 万元，B 型号的轿车每辆为y 万元．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋15y ＝3008x ＋18y ＝300 ．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15y ＝10 ．所以A 、B 两种型号的轿车每辆分别为15万元、10万元．（2）设购进A 种型号轿车a 辆，则购进B 种型号轿车（30－a ）辆．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧15a ＋10(30－a )≤400a ＋0.5（30－a ）≥．解此不等式组得18≤a ≤20，∵a 为整数，∴a ＝18、19、20，∴有三种购车方案．方案一：购进A 型号轿车18辆，购进B 型号轿车12辆；方案二：购进A 型号轿车19辆，购进B 型号轿车11辆；方案三：购进A 型号轿车20辆，购进B 型号轿车10辆．汽车销售公司将这些轿车全部售出后：方案一获利18×0.8＋12×0.5＝20.4（万元）；方案二获利19×0.8＋11×0.5＝20.7（万元）；方案三获利20×0.8＋10×0.5＝21（万元）．答：有三种购车方案，在这三种购车方案中，汽车销售公司将这些轿车全部售出后获利分别为20.4万元、20.7万元、21万元．例6.2009年4月7日，国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案（2009~2011年）》，某市政府决定2009年投入6000万元用于改善医疗卫生服务，比2008年增加了1250万元．投入资金的服务对象包括“需方”（患者等）和“供方”（医疗卫生机构等），预计2009年投入“需方”的资金将比2008年提高30%，投入“供方”的资金将比2008年提高20%．（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是多少万元？（2）该市政府2009年投入“需方”和“供方”的资金各多少万元？（3）该市政府预计2011年将有7260万元投入改善医疗卫生服务，若从2009~2011年每年的资金投入按相同的增长率递增，求2009~2011年的年增长率．分析：本题为列方程（组）解应用题，解题关键是审题，弄清已知量与未知量之间的数量关系，列出方程，并求解．解：（1）该市政府2008年投入改善医疗卫生服务的资金是：6000－1250＝4750（万元）．（2）设市政府2008年投入“需方”x 万元，投入“供方”y 万元，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4750（1＋30%）x ＋（1＋20%）y ＝6000 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3000y ＝1750 ．∴2009年投入“需方”资金为（1＋30%）x ×3000＝3900（万元），2009年投入“供方”资金为（1＋20%）y ×1750＝2100（万元）．答：该市政府2009年投入“需方”3900万元，投入“供方”2100万元．（3）设年增长率为x ，由题意得6000（1＋x ）2＝7260，解得x 1＝0.1，x 2＝－2.1（不合实际，舍去）．答：从2009~2011年的年增长率是10%．【方法总结】1. 本讲主要的数学思想方法有两个：一个是解方程和方程组时要注意消元和降次的思想；另一个是解决方程和不等式实际问题时的建模思想．2. 本讲有几个问题要格外注意：①方程变形时，两边尽量不要同除以一个含有未知数的式子；②不等式两边都乘以或除以一个负数时，注意不等号的方向要改变；③分式方程的验根．【预习导学案】（复习四：函数）一、预习前知1. 什么叫平面直角坐标系？2. 什么叫常量、变量、函数？3. 若两个变量x 、y 之间的关系为__________（k 、b 为常数，k ≠0），我们称y 是x 的一次函数．当b ＝0时，我们称y 是x 的__________函数．4. 若两个变量x 、y 之间的关系可以表示成__________（k 为常数，k ≠0）的形式，我们称y 是x 的反比例函数．5. 形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数）的函数中，若a __________，则其为二次函数．二、预习导学1. 分四种情况讨论一次函数的图像所经过的象限与k 、b 的符号的关系？2. 反比例函数图像的两个分支在平面直角坐标系中的分布情况与k 的符号有何关系？3. 写出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值．反思：（1）平面直角坐标系中各象限内以及坐标轴上点的坐标有何特征？体会坐标平面内的点和有序实数对的一一对应关系．（2）如何用函数的观点看方程（组）和不等式（组）？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 如果5x －7与4x ＋9互为相反数，则x 等于（）A. 92B. －92C. 29D. －292. 已知y ＝1是方程2－（13m －y ）＝2y 的解，那么关于x 的方程m （x －3）－2＝m （2x－5）的解是（）A. x ＝10B. x ＝0C. x ＝43D. 以上答案都不对3. 方程x （x ＋3）＝x ＋3的解是（） A. x ＝1 B. x 1＝0，x 2＝－3 C. x 1＝0，x 2＝3 D. x 1＝1，x 2＝－34. 当x ＝2时，式子ax 3＋bx ＋1的值为6，那么当x ＝－2时，ax 3＋bx ＋1的值为（） A. 6 B. 5 C. －4 D. 15. 如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值X 围在数轴上表示正确的是（）50kgABDC6. 关于x 的方程x 2－kx ＋k －2＝0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 不能确定*7. 甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）A. 8B. 7C. 6D. 58. 一副三角板按如图所示方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x °，∠2＝y °，则可得到的方程组为（）A. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝180B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝180C. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y －50x ＋y ＝90D. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＋50x ＋y ＝9012*9. 如图所示，两个天平平衡，则3个球体的重量等于（）个正方体的重量． A. 2B. 3C. 4D. 5**10. 已知1－a a 2＝1－aa，则a 的取值X 围是（） A. a ≤0B. a ＜0C. 0＜a ≤1D. a ＞0二、填空题1. 将方程54x －14x 变形为5x －1＝6x 的依据是__________，把方程两边都__________．2. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________（写出二次项系数不同的两个方程）．3. 如果x ＝1是方程ax －b ＋1＝－c 的根，则（a －b ＋c ）2009的值为__________，a －bc ＋1的值为__________．*4. 阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－ b a ，x 1·x 2＝ca．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1x 2的值为__________．5. 若ax 2－2x －3＝0是一元二次方程，不等式2a ＋4＞0的解集是__________．*6. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55cm ，此时木桶中水的深度是__________cm ．**7. 已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，则m 的取值X 围为__________．**8. 如果2x ＋3y ＋z ＝130，3x ＋5y ＋z ＝180，迅速求出x ＋2yx ＋y ＋z 的值是__________．三、解答题1. 解下列各题．（1）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2）x －1＜23x ；（2）解分式方程：x 3x －2＋1＝22－3x ；（3）解方程：3x 2－5x ＋1＝0．2. 已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且b ＝a －2＋2－a －3，求方程14y 2－c ＝0的根．3. 若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －7＝02x ＋y －5b ＝0 和二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋ay －13＝0x －2y ＋5＝0 的解相同，求a 、b 的值．4. 在课程改革实验中，重视学生能力的培养，初一阶段就有48人次在高级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到三年级结束共有183人次在高级以上得奖，求这两年中得奖的平均增长率．5. 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元．则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【试题答案】一、选择题1. D2. C3. D4. C 【当x ＝2时，式子ax 3＋bx ＋1的值为6，∴ax 3＋bx ＝5．当x ＝－2时，ax 3＋bx ＝－5】5. C6. A7. A 【设计划用x 天完成，则2x ＋2×x －2－3x ＝1，解得x ＝8】8. D9. D 【设球体、柱体、正方体的重量分别为x 、y 、z ，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝5y3y ＝2z ，整理得3x ＝5z ，即3个球体的重量等于5个正方体的重量}10. C 【由1－aa 2知a ≤1且a ≠0，又1－a a 2＝1－aa，∴a ＞0．∴0<a ≤1】二、填空题1. 等式的性质2，乘以42. x 2＋2x －3＝0；2x 2－2＝0，答案不唯一3. －1 －14. 10【根据题意x 1＋x 2＝－6，x 1x 2＝3．∴x 2x 1＋x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝（－6）2－2×33＝10】5. a ＞－2且a ≠06. 20【设两木棒长度分别为x 和y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55（1－13）x ＝（1－15）y，解得x ＝30，∴水深为23x ＝20（cm ）}7. m ≥－6且m ≠－4【解原分式方程x ＝m ＋6，∴m ＋6＞0，即m ＞－6．分式方程分母不能为0，x ≠2，得m ≠－4，∴m ＞－6且m ≠－4】8. 58【由2x ＋3y ＋z ＝130①，3x ＋5y ＋z ＝180②，令②－①得x ＋2y ＝50③，把①变形为x ＋（x ＋2y ）＋y ＋z ＝130，将③代入得x ＋y ＋z ＝80，∴原式＝58】三、解答题1. （1）－1≤x ＜3；（2）x ＝0；（3）x ＝5±136．2. ∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，∴a ＋b ＋c ＝0．由b ＝a －2＋2－a －3，得a＝2，b ＝－3．∴c ＝1．∴方程14y 2－c ＝0的根是y ＝±2．3. a ＝1，b ＝2．提示：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay －7＝03x ＋ay －13＝0 解得x ＝3，代入x －2y ＋5＝0中，得y ＝4，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4代入任意一个方程组中即可求得a 、b 的值． 4. 设这两年中得奖的平均增长率为x ，则48＋48（1＋x ）＋48（1＋x ）2＝183，整理得16（x 2＋3x ）＝13，解得x ＝－134（舍去）或x ＝14＝25%．5.（1）设每个乙种零件进价为x 元，则每个甲种零件进价为（x －2）元．由题意得80x －2＝100x，解得x ＝10．检验：当x ＝10时，x （x －2）≠0．∴x ＝10是原分式方程的解，10－2＝8（元）．答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y 个，则购进甲种零件（3y －5）个，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧3y －5＋y ≤95（12－8）（3y －5）＋（15－10）y ＞371 ．解得23＜y ≤25．∵y 是整数，∴y ＝24或25．∴共有2种方案．分别是：方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．。

2018年北师大版中考数学模拟试卷(一)(有答案和详细解析)

2018年北师大版中考数学模拟试卷（一）（有答案和详细解析）一、选择题（共12题；共24分）1. ( 2分) 小胖同学买了3袋标注质量为200克的食品，他对这3袋食品的实际质量进行了检测，检测结果（用正数记超过标注质量的克数，用负数记不足标注质量的克数）如下：+10、﹣16、﹣11，则这3袋食品的实际质量为（）A.600克B.593克C.603克D.583克2. ( 2分) （2015•聊城）图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格，这时小正方体朝上一面的字是（）A. 梦B. 水C. 城D. 美3. ( 2分) 下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（）A. 23和32B. ﹣53和（﹣5）3C. ﹣|﹣5|和﹣（﹣5）D. （﹣）3和﹣4. ( 2分) （2017•江西）下列图形中，是轴对称图形的是（）A.B.C.D.5. ( 2分) 保护水资源，人人有责．我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为899000亿m3，数据899000用科学记数法表示为（）A. 8.99×105B. 0.899×106C. 8.99×104D. 89.9×1046. ( 2分) 如图1，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（）A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°7. ( 2分) （2017·金华）某校举行以“激情五月，唱响青春”为主题的演讲比赛．决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，则甲、乙同学获得前两名的概率是（ )A. B. C. D.8. ( 2分) 下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. ( 2分) 甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（）A. B. C. D.10. ( 2分) 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是完全对称式．下列三个代数式：①（a-b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a．其中是完全对称式的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③11. ( 2分) 如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A. 18 ﹣9πB. 18﹣3πC. 9 ﹣D. 18 ﹣3π12. ( 2分) 在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点与点B关于AE对称，与AE交于点F，连接，，FC。

中考数学查漏补缺第一轮基础复习-第4讲-分式课件-北师大版

11
第4讲┃ 归类示例
► 类型之三分式的化简与求值
命题角度： 1. 分式的加减、乘除、乘方运算法则； 2. 分式的混合运算及化简求值．
[2012·六盘水]
先化简代数式
1－a＋3 2
÷
a2－2a＋1 a2－4
，
再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．
12
第4讲┃ 归类示例
解：原式＝aa－＋12×（a＋（2a）－（1）a－2 2）＝aa－－21 ，当a＝0时，原式＝aa－－21＝－－12＝2. (提醒：此题原式中的分母为a＋2，a2－4，当a＝±2时，原分式无意义，所以a不能取±2)
通分
AB＝AB× ×MM， AB＝AB÷ ÷MM(M是不为零的整式)
把分式的分子与分母中的公因式约去，叫做分式的约分
利用分式的基本性质，使___分__子___和 ___分__母___同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，这样
的分式变形叫做分式的通分
3
第4讲┃ 考点聚焦考点3 分式的运算
(1)[2012·宜昌] 若分式a＋2 1有意义，则 a 的取值范
围是
(C )
A．a＝0
B．a＝1
C．a≠－1
D．a≠0
[解析] ∵分式有意义，∴a＋1≠0，∴a≠－1.
7
第4讲┃ 归类示例
(2)[2012·温州] 若代数式x－2 1－1 的值为零，则 x＝ ____3____．
[解析] x－2 1－1的值为零，则x－2 1＝1，x－1＝2，所以x＝3.
＝（x＋1x）－（1x－1）＋（x＋1x）＋（1x－1）·(x2－1) ＝（x＋x－1）1＋（x＋x－11）·(x＋1)(x－1) ＝x－1＋x＋1＝2x. 当x＝12时，原式＝2×12＝1.

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三角形
一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）
１、△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝50°，则∠A ＝＿＿＿＿。

２、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，c ＝5，则 sinA ＝＿＿＿＿。

３、等腰三角形一边长为 5cm ，另一边长为 11cm ，则它的周长是＿＿＿＿cm 。

４、△ABC 的三边长为 a ＝9，b ＝12，c ＝15，则∠C ＝＿＿＿＿度。

５、已知 tan α＝0.7010，利用计算器求锐角α＝＿＿＿＿（精确到1'）。

６、如图，木工师傅做好门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木条（即图中的AB 、CD 两个木条），这样做的数学道理是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

７、如图，DE 是△ABC 的中位线，DE ＝6cm ，则BC ＝＿＿＿。

８、在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，再添加一个条件＿＿＿＿就可确定，△ABD ≌△ACD 。

９、如果等腰三角形的底角为15°，腰长为6cm ，那么这个三角
形的面积为＿＿＿＿＿＿。

10、有一个斜坡的坡度记 i ＝1∶3，则坡角α＝＿＿＿＿。

11、如图，△ABC 的边BC 的垂直平分线MN 交AC 于D ，若AC ＝6cm ，AB ＝4cm ，则△ADB 的周长＝＿＿＿。

12、如图，已知图中每个小方格的边长为 1，则点 B 到直线 AC 的距离等于＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）１、下列哪组线段可以围成三角形（）
A 、1，2，3
B 、1，2，3
C 、2，8，5
D 、3，3，7
２、能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的（） A 、中线 B 、高线 C 、边的中垂线 D 、角平分线３、如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，则图中全等的三角形共有（）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
４、如图，在固定电线杆时，要求拉线AC 与地面成75°角，现有拉线AC 的长为8米，则电线杆上固定点C 距地面（）
A C
B D
A
D E B C
D
A B N C M
A 、8sin75°(米)
B 、
8sin75°(米) C 、8tcm75°(米) D 、8
tan75°
(米)
５、若三角形中最大内角是60°，则这个三角形是（）
A 、不等边三角形
B 、等腰三角形
C 、等边三角形
D 、不能确定
６、已知一直角三角形的周长是 4＋26，斜边上的中线长为 2，则这个三角形的面积是( ) A 、5 B 、3 C 、2 、1 三、解答题：（每题 9 分，共 54 分）
１、已知：CD 平分∠ACB ，BF 是△ABC 的高，若∠A ＝70°，∠ABC ＝60°，求∠BMC 的度数。

２、等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝13，底边BC 边上的高AD ＝5，求△ABC 的面积。

３、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ＝CD ，E 是BC 中点
求证：△ABE ≌△DCE 。

４、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知 a ＝6，∠A ＝30°，解直角三角形(边长精确到0.01)
A
D
F C
B └
M A B
D C A D
B E C
５、BE 、CD 是△ABC 的高，F 是BC 边的中点，求证：△DEF 是等腰三角形。

６、已知：△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，BF ＝2，AB 的垂直平分线EF 交AB 于
E ，交BC 于
F ，求CF 的长。

四、（12分）一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，这时测得BD 的长为0.5米，求梯子顶端A 下滑了多少米？
五、（13分）已知：ABC 在同一直线上，BE ⊥AC ，AB ＝BE ，AD ＝CE
求证：①∠A ＝∠E ②AF ⊥CE
A
D E C F B
┘
┘ B E F A C
A B C
F D E ┌
六、（13分）下表是学校数学兴趣小组测量教学楼高的实验报告的部分内容。

测量值∠α∠β
第一次30°16′59°42′
第二次29°50′60°10′
①完成上表中的平均值数据。

②若测量仪器高度为1.52m，根据上表数据求教学楼高AB。

答案：
（十）
一、1、80°2、4
5
3、27
4、90
5、35°2′
6、三角形具有稳定性
7、12cm
8、BD＝DC9、910、30°11、10cm12、22
二、1、B2、A3、D4、A5、C6、C
三、1、∵∠ACB＝50°∴∠ACD＝1
2
∠ACB＝25°∴∠BMC＝90°＋25°＝115°
2、解：∵AB＝13，AD＝5，是AD⊥BC∴BD＝AB2－AD2＝12
∴S△ABC＝1
2BC·AD＝1
2
×24×5＝60
3、解：∵AD∥BC，AB＝CD∴∠B＝∠C又∵BE＝EC∴△ABE≌△DCE
4、解：∠B＝60°b＝63≈10.39c＝12
5、证明：∵DF＝1
2BC EF＝1
2
BC∴DE＝EF
6、∵∠FAC＝90°BF＝AF＝2，∠C＝30°∴CF＝2AF＝4
四、AC＝AB2－BC2＝2EC＝BE2－DC2＝1.5AE＝2－1.5＝0.5米
五、∵BE⊥AC AB＝BE AD＝CE∴△ABD≌△EBC（HL）∴∠A＝∠E
又∵∠E＋∠C＝90°∴∠A＋∠C＝90°∴AF⊥CE
六、①30°，60°，50m②44.82m。

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