测试与控制基础一页纸开卷

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ω2 n

������ ������

������ ������
响应: ξ=0 无阻尼,ξ(0,1)欠阻尼,ξ=1 临界阻尼,ξ>1 过阻尼.ξ越小,衰 减越慢振荡频率ω������ = ω √1 − ������ 越大。 二阶系统单位阶跃响应: ξ<1 时 函数的过渡过程为衰减振荡, 且随着阻尼比的减小, 其振荡特性表 现得越加明显。二阶系统性能指 标:①上升时间:第一次达到稳态 输 出 值 的 时 间 ������������ = ������−������ (������ = ω
结论: ①阻尼比ξ越大,系统的超调量越小,响应平稳;阻尼比ξ越
小,系统的超调量越大,响应的平稳 性越差;当ξ=0 时,系统的响应频率 为 ωn 的等幅振荡,系统无法进入平 衡 工 作 状 态 , 不 能 正 常 工 作 .② ξ =0.707 时的典型二阶系统称为最
五、 系统的稳定性: 定义: 若系统在初态的影响下,由它所引起的系 统的时间响应随着时间的推移 , 逐渐衰减并趋于零 ( 即回到平衡位 置),则称该系统为稳定的;反之,若在初态影响下,由它所引起的系 统的时间响应随时间的推移而发散( 即偏离平衡位置越来越远),则 称该系统为不稳定的。系统是否稳定,取决于系统本身(结构,参 数) ,与输入无关;不稳定现象的存在是由于反馈作用;稳定性是 指自由响应的收敛性; 线性定常系统是否稳定, 完全取决于系统的 特征根 。 线性 定常系统稳定 的充要条件: 若系统的全部 特征根(传递 函数的全部极 点)均具有负 实部(位于 [s] 平面的左半平面) ,则系统稳定。反之不稳定,若有部分极点位于 虚轴上,其余均在[s]左半平面则系统临界稳定。Routh 稳定判据: 系统稳定的必要条件:各特征方程的各项系数都不为 0,且符号相 等。充要条件:Routh 表中第一列各元素符号均为正且不为 0。 Nyquist 稳定判据:Z=P-N Z: 闭环传递函数在右半平 面的极点数, P: 开环传递函数在右半平 面的极点数 N: 当由-∞到 + ∞时,在 [GH]平面上的开环频率特 性 G(jω)H(jω)包围(-1, j0) 点的圈数,逆时针包围 N 取正值,顺时针包围 N 取负值。对于闭 环稳定系统:当ω由-∞到+∞时,若[GH]平面上的开环频率特性 G(jω)H(jω)逆时针方向包围(-1,j0)点的圈数 N 与 G(s)H(s)在[s]平面 的右半平面的极点数 P 相等,则闭环系统稳定(N=P)。对于开环稳 定的系统,有 P=0,此时闭环系统稳定的充要条件是,系统的开环 频率特性 G(jw)H(jw) 不 包围(-1,j0)点。Bode 稳定判据:Nyquist 图上 的 单位圆 →Bode 图上 的 0dB 线, 单位圆之外 →0dB 线之上。Nyquist 图上的负实轴→Bode 图上-180°线。闭环 系统稳定的充要条件:在 Bode 图上,当 ω 由 0 变到+∞时, 在开环对数幅频特性为正 值的频率范围内, 开环对数相频特性对-180°线的正穿越与负穿越
U(t)单位阶跃函数 δ(t)单位脉冲函数 K(常值函数) t(单位斜坡函数) t (指数函数) ⅇ−at
n
1/s 1 K/s 1/s
2
t n ������ −at 1 − ������ ������ ������ T sinωt cosωt ⅇ−at sinωt ⅇ−at cosωt
n! sn+1 1 s+a
ln2 ������������ ts 2������/ω
������
������������ = ������ −������������/√1−������
Hale Waihona Puke Baidu
2
(
4
ξ=
3
√������2+ln2 ������ )④ 调整时间 : ������ ������ ≈ ξω (Δ = 2%); ξω (Δ = 5%) ⑤ 振荡次数 : ������ = ������ n n
2 n
s2 +2ξωn s+ω2 n
【阻尼比ξ,无阻尼固有频率ωn】二阶系统单位脉冲
������
������������������������������������
√1−������ 2 ) ������
②峰值时间:达到第一
������
������
个峰值所需时间 ������������ = ω ③ 最大超 调 量 :
佳二阶系统,此时超调量为 4.3%,调节时间为 3/ωn。系统误差分析 与计算:稳态误差 ⅇ������������ = lim
������∗������������ (������) ������→0 1+������(������)������(������)
单位反馈时,稳态偏差εss=稳
态误差 ess。 减小系统误差: 在保证系统稳定的前提下增大开环放大 倍数,提高反馈通道的精度,避免引入干扰【例】单位负反馈系统 2 ������ 的开环传函为:������(������) = ������(������+������)(������+������)求系统输入分别为 1(t),10t,3t 时,系
n! (s + a)n+1 1 Ts + 1 ω s 2 + ω2 s s 2 + ω2 ω (s + a)2 + ω2 s+a (s + a)2 + ω2
微分定理
积分定理
→ 典型环节的传递函数:①比例环节 K(放大系数或增益)(输入输出成 正比,不失真也不延时 )② 积分环节: 1/Ts( 滞后作用 )③ 微分环节 Ts( 不能单独存在 )④ 惯性环节 1/(Ts+1)( 输出正比于对时间的积 分)⑤震荡环节
化 为 标 准 式 ������(������) = ������(������������) =
������(������.������������+������) (������.������������+������)(������.������������������������+������) ������(������������.������������+������)

(������������.������������+������)(������������.������������������������+������)

转角频率ωT=2,0.4,40。
(T=1/ωn)⑥延时环节ⅇ−τs。传递函数框图:
公式法化简: 【系统只有一条前向通道且各局部反馈回路间存在公 共的传函】 【如果反馈信号为相加则取负号,如果反馈符号位相减 取正号】 闭环系统的 开环传递函数 :前向通道 传递函数与反馈通道传递函数的乘积 称为该闭环控制系统的开环传递函 数。记为 GK(s)=G(s)*H(s).闭环传函: 三、系统的时间响应分 析: (时域分析) 时间响应 由瞬态响应和稳态响应 组成。 一阶系统闭环传函 G(s)=
传递函数G(s) 比例������ 积分1/s 微分 s 惯性������������+1 一阶微分������������ + 1 ω2 n s2 + 2ξωn s + ω2 n 延时ⅇ−τs
������
2
频率 特性 G(jω) ������ 1/jω jω
幅频 A=|G(jω)| ������ 1/ω ω ������ √1 + ������ 2 ω2 √1 + ������ 2 ω2 1 √(1 − ������2 )2 + 4������ 2 ������2 1(λ=ω/ωn)
控制: 一、 绪论: 控制系统的分类: 按反馈情况, 开环 (结构简单, 容易实现,成本低;但是精度低,抗干扰能力差)/闭环(抗干扰能 力强,稳态精度高;但是存在稳定性问题,并且结构复杂,实现不 易,成本高。 ) 【开环与闭环优缺点比较:开环系统:1.结构简单, 成本低 2.动作快,比较稳定 3.有了误差无法自动调整。闭环系统: 1.可以自动的纠正和补偿输出误差,提高控制精度 2.结构复杂,成 本高 3.参数选择不适当,会引起系统的不稳定,甚至无法工作。 】 按输出变化规律,自动调节系统 (闭)/随动系统(闭)/程序控制系统 (闭/开)。按系统性能:线性/非线性、定常/时变。对控制系统的基 本要求: 稳定性: 动态过程的震荡倾向和系统重新恢复平衡工作状 态的能力。对控制系统最基本的要求。快速性:动态过程(过渡过 程)进行的时间长短。准确性:指系统过渡到新的平衡工作状态以 后,或系统受扰动重新恢复平衡之后,最终保持的精度,反映了动 态过程后期的性能。常用系统的稳态误差来表示。 二、系统的数学模型:传递函数定义:输入、输出的初始条件为零 时,线性定常系统、环节或元件的输出 x0(t)的 Laplace 变换 X0(s)与 输入 xi(t)的 Laplace 变换 Xi(s)之比,称为该系统、环节或元件的传 递函数 G(s)=X0(s)/Xi(s)。 传递函数特点: 1. X0(s): 同外界联系 Xi(s):
������.������ 统的稳态误差 : 化为标准式: ������(������) = ������(������+������)(������.������������+������) , 得开环放大倍数
K=2.5,为Ⅰ型系统,由表得:1(t)时,ess=0,10t 时为 10/K=4,3t 时 为∞。 四、系统的频率特性分析: (频域分析)将系统的传递函数 G(s)中 的 s 用 jω 取代,得到的 G(jω)就是系统的频率特性,典型环节的频率 特性:
ω2 n
2 s2 +2ξωn s+ωn
典型环节 Nyquist 图①比例环节(K,j0)②积分环节: 虚轴下半轴, 无 穷远指向原点③微分环节: 虚轴上半轴, 原点指向无穷远④惯性环 节:正实轴下半圆,圆心(K/2,j0)⑤一阶微分环节:始于(1,j0),平行于 虚轴⑥振荡环节:ω=0(1,0°)ω=ωn(1/2ξ,-90°)ω=∞(0,-180°)⑦延时 环节:单位圆。典型环节 Bode 图①比例环节:过点(1,20logK)的水 平线②积分环节:过点(1,0),斜率-20dB/dec 的直线③微分环节:过 点(1,0),斜率 20dB/dec 的直线④惯性环节: 转 角 频 率 ω T=1/T, 斜 率 20⑤ 一阶微分环节 : 斜 率+20⑥振荡环节:斜 率 -40⑦ 二 阶 微 分 环 节:斜率+40。叠加法①G(s)→标准形(常数项为 1)→G(jω)②求典型 环节的转角频率ωT=1/T(振荡环节ωT=ωn)③作出各环节的对数幅频 特性的渐近线④ 将各环节的对数幅频特性叠加(不包括系统总的增 益 K)⑤将叠加后的曲线垂直移动 20lgK,得到系统的对数幅频特性。 对系统响应速 度而言,带宽越 大,响应快速性 越大,过渡上升 时 间 越 小 ts*ωb= 常 数 。 【 例 】 ������(������) =
1 ������������+1
一阶 系统 单位
������ ������ ������ ������
1 − 1 ������ 脉冲响应T ������ ������ 【瞬态项T ������ −������ 稳态项 0】 单位阶跃响应1 − ������ −【瞬态项 −������ −������
稳态项 1】单位斜坡响应t − T + T������ 【瞬态项T������ 稳态项 t-T】单位 阶跃函数、单位脉冲函数分别为单位斜坡函数的一阶和二阶导数。 一阶系统性能指标: 时间常数 T 反映了一阶系统的固有特性, 值越 小,惯性越小系统响应越快。调整时间 ts=4T。二阶系统闭环传函 G(s)=
������������(������.������������������+������.������) (������������+������)(������.������������������+������)
次数之差为 P/2, 【P=0 时, 若 ωc<ωg, 闭环系统稳定; ωc>ωg, 闭环系统不稳定; ωc=ωg, 闭环系统临界稳定】 相位裕度γ :在ω=ωc 时, GK(jω)的相频特性 φ(ωc)距 -180°线的相位差, 【稳定 系统 > 0 对数相频特性图 横轴以上,极坐标图负实轴以下,有正的稳定性储备】 【不稳定系 统<0 对数相频特性图横轴以下,极坐标图负实轴以上,有负的 稳定性储备】幅值裕度 (增益裕度)Kg: 在ω=ωg 时,开环幅频特性 │GK(jωg)│的倒数,或以分贝值表示 Kg(dB)=-20lg│GK(jωg)│ 【稳 定系统 Kg>1,Kg(dB)>0,Kg(dB)在 0dB 线以下,正幅值裕度, 有正的稳定性储备】 【不稳定系统 Kg<1, Kg(dB)<0, Kg(dB)在 0dB 线以上,负幅值裕度,有负的稳定性储备】对于最小相角系统,只 有当相角裕度和幅值裕度都是正值时, 系统才是稳定的。 不能只用 幅值裕度或相角裕度说明系统的相对稳定性。 控制系统的相角裕度 和幅值裕度是系统靠近稳定边界程度的度量。 这两个裕度指标以及 开环截止频率可以作为分析和设计的频域指标。 为了得到满意的性 能,要求相角裕度 γ=30°~60°幅值裕度 Kg>6dB。 六、系统的性能指标与矫正:时域性能指标:瞬态性能指标:上升 时间,峰值时间,最大超调量,调整时间(或过渡过程时间) 稳态性 能指标:稳态误差。频域性能指标:相位裕度,幅值裕度,复现频 率/复现带宽, 谐振频率/谐振峰值, 截止频率/截止带宽(简称带宽)。 在系统中增加新的环节, 以改善系统性能的方法称为校正。 ①串联 校正比较经济,易于实现,且设计简单,在实际应用中大多采用此 校正方法。②反馈矫正。③顺馈矫正。 测试:零、绪论:
相频φ= ∠G(jω) 0° -90° 90° −arctanTω arctanTω −arctan 2������������ 1 − ������2 −τω
系统本身固有特性。 2. 若输入已经给 定,则系统的输入完全取决于其传递 函数。3.分母(n)≧分子(m),因为实际系 统或元件总具有惯性。 4.传递函数可以 是有量纲的, 也可以是无量纲的。 5. 物 理性质不同的系统、 环节、 或元件, 可 以具有相同类型的传递函数。
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