硕士齿轮啮合原理考试作业

*************学校硕士学位课程考试试卷》考试科目：齿轮啮合原理考生姓名：考生学号：学院：机械工程学院专业：机械制造及自动化考生成绩：任课老师(签名)。

~一 基本概念1．解释齿轮的瞬心线？两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的，也可以是恒定的，传动比函数将确定两齿轮的瞬时角速度比，后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dtd dt d i === 类似的 ()121121ϕωf i ==在1ϕ的变化范围内，函数()112ϕf i =取有限的正值。

假定从1o 轴向2o 轴传递回转运动（如图）， 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内，构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动，这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。

在齿轮啮合原理中，把瞬心P 称为啮合节点。

传动比恒定时，节点P 固定不动；传动比是变数时，节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。

每个齿轮的瞬心线，就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹，因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。

"2. 解释共轭齿廓？凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓，共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。

共轭齿廓在接触点处的公法线（简称为齿廓法线）必须通过瞬心线的瞬时切点。

这是齿廓啮合的基本定理，确定了一对共轭齿廓的几何条件。

共轭齿廓的曲线:在已知一条齿廓曲线)(1Γ和两构件相对运动的条件下，与)(1Γ相共轭的齿廓曲线)(2Γ的曲率2k 可用下式求得：)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωυ （1） 式中 )1(n——齿廓)(1Γ的幺法矢；1k ——)(1Γ的相对曲率。

\当)(1Γ以方程式1111)1()()(j u y i u x r+=给出时，1k 由下式计算：2/3212111111)(y x y x y x k '+''''-'''=（2）3．解释Willis 定理？Willis 定理也称为啮合基本定理，起表述如下：按给定角速比变化规律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓，其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。

Willis 定理确定了按给定传动比规律传递运动的一对齿廓共轭的几何条件。

不论对定传动比的平面啮合，还是对变传动比的平面啮合都是正确的。

Willis 定理的证明：设两齿轮的瞬心线在p 点相接触（如右图），与瞬心线固连一对齿廓，并且要这对齿廓传递两轴1o 和2o 间具有给定瞬时角速比的回转运动，该瞬时角速比由下式确定po p o i 1212=nn 线是两齿廓接触点处的公法线。

根据前面建立的关系，第二个齿轮齿廓上2B 点相对于第一个齿轮齿廓上1B 点的速度，等于瞬时角速度*21ω与回转半径2pB 的乘积。

相对速度12B B v 的方向应当和两齿廓在B 点的公切线方向重合，因为如果这个条件不成立，两齿廓将彼此嵌入或者脱开。

由此可以得到结论：瞬时回转半径PB 的方向与两齿廓在接触点处的公法线的方向重合。

Willis 定律（轮齿齿廓正确啮合的条件 ）在定传动比中的表述：要使一对齿轮的传动比为常数，那么其齿廓的形状必须是不论两齿廓在哪一点啮合，过啮合点所作的齿廓公法线都与连心线交与一定点P 。

P ——节点 ； *节圆 ：节点P 在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。

（轮1的节圆是以O1为圆心，O1P 为半径的圆。

） 设节圆半径 21,r r '' 12122112r r P O P O i ''===ωω4．解释齿廓渐屈线？一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心 的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（见右图）。

齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此， 齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。

齿廓渐屈线的确定%在齿轮的瞬心线给出的情况下（见下图），齿轮齿廓的渐屈线可由下式确定PC r p += （1）式中p ——齿廓渐屈线的径矢；r ——瞬心线的径矢。

PC 的模l 由下式确定：u d d rl PC sin 1)sin(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ϕλμλ （2） 式中 r r =在图示的直角坐标系中，齿廓的渐屈线方程为~⎭⎬⎫++=++=)sin(sin )cos(cos λϕϕλϕϕl r y l r x （3）5. 写出Eulor-Savary 的方程式？212111sin 11r r a x x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±+ρρ 在两瞬心线内切的情况下，方程式中凹形瞬心线的曲率半径应取负值。

类似的，在凸齿和凹齿共轭的情况下，凹齿齿廓的半径也应取负值。

这个公式表明了平面啮合中共轭齿廓在接触点处的曲率半径1ρ、2ρ与两齿轮节圆半径1r 、2r 以及接触点位置（由a '、x 确定）之间的关系。

在已知1r 、2r 、a '和x 的情况下，可通过一个齿廓的曲率半径1ρ求得另一个齿廓的曲率半径2ρ。

6．用齿廓啮合方程式的运动学法，写出啮合方程式？用啮合函数0)2(==Φυn 来确定共轭齿廓的方法，通常称为运动学法。

设有三个坐标系σ、)1(σ、)2(σ，其中σ为固定坐标系，)1(σ和)2(σ是分别与构件1、2相固连的动坐标系。

若构件1的齿廓)(1Γ在)1(σ里的方程式为1111)1()()(j u y i u x r +=~式中 u ——参数。

则)(1Γ上啮合点的方程式为⎭⎬⎫==Φ+=0),()()()12(1111)1(υn t u j u y i u x r （1）在)2(σ中，与)(1Γ相共轭的齿廓)(2Γ由下式确定：⎭⎬⎫=Φ=0),()1(21)2(t u r M r （2）式中 21M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。

啮合线的方程为⎭⎬⎫=Φ=0),()1(01t u r M r （3）式中 01M ——由)1(σ到)2(σ的坐标变换矩阵。

？二 采用数学软件推导微分的方法1，确定微分方程的类型2，确定所求是解析解还是数值解。

Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve()；微分方程求数值解的方法：（1）欧拉公式（2）龙格-库塔法求通解的命令格式：dsolve(‘微分方程’，‘自变量’)求特解的命令格式：dsolve(‘微分方程’,‘初始条件’,‘自变量’) 微分方程组命令格式：dsolve(‘微分方程1，微分方程组2’)&3，采用软件提供的合适的算法求解三 简述曲线族包络的方程式在相对运动中，两个齿轮的齿廓是相互包络的。

设固定瞬心线——2，沿瞬心线2滚动的动瞬心线——1，αα是和动瞬心线1相固连的齿廓。

当两条瞬心线相互滚动时，将形成齿廓αα的曲线族；所求的齿廓ββ就是齿廓αα的曲线族的包络。

微分几何中采用的求曲线族包络的解析方法：设在坐标系11,y x 中，给出了第一个齿轮的齿廓方程式 ()0,111=y x F ——（1）。

假定曲线（1）仅由正常点组成。

坐标系1s 分别与齿轮1和2相固连。

每个齿轮绕自身轴线回转；转角分别用21ϕϕ和来表示。

坐标系22,y x 到11,y x 的变换: ()()12122111212211,,,,,,i y x y y i y x x x ϕϕ==把这两个表达式代入（1），得到 ()()[]0,,,,,,,1212211212211=i y x y i y x x F ϕϕ。

则，给定齿廓在坐标系2s 中的曲线族的方程式为()0,,,121222=i y x F ϕ ——（2）。

在此方程中，取1ϕ为给定齿廓是曲线族的参数，而2ϕ随1ϕ变化，因为:⎰=11212ϕϕϕi d 式中212112:ϕϕϕϕd d dt d dt d i ==。

当常数=12i ，1212i ϕϕ=。

当参数1ϕ的值给定时，方程式（2）将确定第一个齿轮在坐标系22,y x 中转过1ϕ角后的齿廓。

曲线族的包络由下述方程式表达: 、()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=0),,,(0,,,x 1212212121222i y x F i y F ϕϕϕ （3） 当1ϕ值给定时，方程式（3）表示坐标系22,y x 中这样的一个点，在该点共轭齿廓ββαα和彼此接触。

显然，当参数1ϕ取各个不同的数值时，所得到的点集就是要求的齿廓ββ。

方程（3）可以解释为共轭齿廓接触点的集合在坐标系22,y x 中的解析表达式。

如果把方程式（3）写于固定坐标系y x ,，那么在这个坐标系中，接触点的集合将是两齿廓的啮合线。

在坐标系11,y x 中写出的方程式（3），表示在这个坐标系中的接触点集合，并且每一个接触点的位置将由第一个齿轮的转角1ϕ决定。

四 计算题解：已知: x 1k ，y 1k —— 圆心K 的坐标，圆的半径为ρ齿条的齿廓方程式111111sin cos u y y u x x k k ρρ+=+= ——（1）求:根据接触点M 的法线必须通过啮合节点P 这一条件，可以求得齿条和齿轮的啮合方程式。

由此得到 22111tg ϕγμ+=x y ——（2）将方程式（1）代入（2）得()()0,12211211=-+=k k y x tg f ϕγμϕμ——（3）现给出方程式 02211111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν——（4） ~方程式（4）的证明：如果在包络齿廓上存在奇异点，则方程式()0,111=ϕμf ；()121111x dt d d dx νμμ-=；dtd f dt d f 111111ϕϕμμ∂∂-=∂∂成立，并且构成的线性方程组是相容的，即可以求出一个值dt d 11μη=，使其满足方程式。

21121111b a b a ==ηη 式中 ()dtd f b b dt d f a d dx a x 111212111111121111,,,,ϕϕνμημμ∂∂-=-==∂∂==由线性代数可知，如果含有n 个未知量的n+1个线性方程式组成的方程组相容，则用各自由项和未知量的系数构成的行列式，应当等于零。

则有0212111=b a b a 得到：0112211=-b a b a 或 01111111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν 本题中情况公式应为: 02211111121=∂∂-∂∂dtd f d dx f x ϕϕμμν, 即公式（4）得证。

相对运动速度矢量为:()()()()()[]()()[]122111212211122111121sin cos j i j x i y h h ϕγαμαμωϕγωννν++-=++-=-=——（5）由公式（5）和（1）得：()()()11212121sin μρωων+-=-=k x y y ——（6）；对方程式（3）微分，得：1111222111cos sin cos μμμϕγμkk y x f =+=∂∂——（7）1221μγϕtg f =∂∂——（8） 对方程式（1）微分，得到：111sin μρμ-=d dx ——（9）将（6）（7）（8）（9）代入方程式（4），得到确定被包络齿廓界限点的方程 0sin sin 22112113=--ργμγμkky y解此微分方程，去除界限点，就是满足不根切的条件。