硕士齿轮啮合原理考试作业
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*************学校
硕士学位课程考试试卷》
考试科目:齿轮啮合原理
考生姓名:考生学号:
学院:机械工程学院专业:机械制造及自动化考生成绩:
任课老师(签名)
。
~
一 基本概念
1.解释齿轮的瞬心线?
两平面啮合齿轮的传动比可以是可变的,也可以是恒定的,传动比函数将确定两齿轮的瞬时角速度比,后者随第一个齿轮的转角1ϕ而变化 )(2:112112ϕϕϕωωf dt
d dt d i ==
= 类似的 ()
121121ϕωf i ==
在1ϕ的变化范围内,函数()112ϕf i =取有限的正值。假定从1
o 轴向2o 轴传递回转运动(如图), 在垂直于轴线1o 和2o 的平面内,
构件1 和构件2的相对运动可以归结为两条共轭曲线的相互滚动,这两条相互滚动的共轭曲线叫瞬心线。
在齿轮啮合原理中,把瞬心P 称为啮合节点。传动比恒定时,节点P 固定不动;传动比是变数时,节点P 在连心线21O O 上作相应的变动。每个齿轮的瞬心线,就是节点p 在与该齿轮相固连的坐标系中的轨迹,因而两齿轮的相对运动可以归结为它们的瞬心线作纯滚动。 "
2. 解释共轭齿廓?
凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称共轭齿廓,共轭齿廓的齿廓曲线称为共轭曲线。 共轭齿廓在接触点处的公法线(简称为齿廓法线)必须通过瞬心线的瞬时切点。这是齿廓啮合的基本定理,确定了一对共轭齿廓的几何条件。 共轭齿廓的曲线:
在已知一条齿廓曲线)
(1Γ
和两构件相对运动的条件下,与)
(1Γ
相共轭的齿廓曲线)
(2Γ
的曲率
2k 可用下式求得:
)1()12()1(11)12()1(12n dt r d k dt r d k ⨯-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ωυ (1) 式中 )
1(n
——齿廓)
(1Γ
的幺法矢;
1k ——)
(1Γ
的相对曲率。
\
当)
(1Γ
以方程式1111)
1()()(j u y i u x r
+=给出时,1k 由下式计算:
2/32121
1111
1)(y x y x y x k '+''''-'''=
(2)
3.解释Willis 定理?
Willis 定理也称为啮合基本定理,起表述如下:按给定角速比变化规
律传递平行轴之间的回转运动的两个齿廓,其接触点处的公法线应当通过瞬时啮合节点。
Willis 定理确定了按给定传动比规律传递运动的一对齿廓共轭的几何条件。不论对定传动比的平面啮合,还是对变传动比的平面啮合都是正确的。
Willis 定理的证明:设两齿轮的瞬心线在p 点相接触(如右图),与瞬心线固连一对齿廓,并且要这对齿廓传递两轴1o 和2o 间具有给定瞬时角速比的回转运动,该瞬时角速比由下式确定
p
o p o i 1212=
nn 线是两齿廓接触点处的公法线。根据前面建立的关系,第二个齿轮齿廓上2B 点相对于第
一个齿轮齿廓上1B 点的速度,等于瞬时角速度*21ω与回转半径2pB 的乘积。相对速度12B B v 的方向应当和两齿廓在B 点的公切线方向重合,因为如果这个条件不成立,两齿廓将彼此嵌入或者脱开。由此可以得到结论:瞬时回转半径PB 的方向与两齿廓在接触点处的公法线的方向重合。
Willis 定律(轮齿齿廓正确啮合的条件 )在定传动比中的表述:要使一对齿轮的传动比为常数,那么其齿廓的形状必须是不论两齿廓在哪一点啮合,过啮合点所作的齿廓公法线都与连心线交与一定点P 。 P ——节点 ; *
节圆 :节点P 在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。(轮1的节圆是以O1为圆心,O1P 为半径的圆。) 设节圆半径 21,r r '' 12122112r r P O P O i '
'===
ωω
4.解释齿廓渐屈线?
一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心 的轨迹,也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹(见右图)。 齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切,因此, 齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。 齿廓渐屈线的确定
%
在齿轮的瞬心线给出的情况下(见下图),齿轮齿廓的渐屈线可由下式确定
PC r p += (1)
式中
p ——齿廓渐屈线的径矢;
r ——瞬心线的径矢。
PC 的模l 由下式确定:
u d d r
l PC sin 1)sin(⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-==ϕλμλ (2) 式中 r r =
在图示的直角坐标系中,齿廓的渐屈线方程为
~
⎭
⎬
⎫++=++=)sin(sin )cos(cos λϕϕλϕϕl r y l r x (3)
5. 写出Eulor-Savary 的方程式?
212111sin 11r r a x x +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±+ρρ 在两瞬心线内切的情况下,方程式中凹形瞬心线的曲率半径应取负值。类似的,在凸齿和凹齿共轭的情况下,凹齿齿廓的半径也应取负值。
这个公式表明了平面啮合中共轭齿廓在接触点处的曲率半径1ρ、2ρ与两齿轮节圆半径1r 、2
r 以及接触点位置(由a '、x 确定)之间的关系。在已知1r 、2r 、a '和x 的情况下,可通过一个齿廓的曲率半径1ρ求得另一个齿廓的曲率半径2ρ。 6.用齿廓啮合方程式的运动学法,写出啮合方程式?
用啮合函数0)
2(==Φυ
n 来确定共轭齿廓的方法,通常称为运动学法。
设有三个坐标系σ、)
1(σ、)
2(σ
,其中σ为固定坐标系,)
1(σ和)
2(σ
是分别与构件1、2相
固连的动坐标系。若构件1的齿廓)
(1Γ
在)
1(σ
里的方程式为
1111)1()()(j u y i u x r +=
~
式中 u ——参数。 则)
(1Γ
上啮合点的方程式为
⎭
⎬
⎫==Φ+=0),()()()12(1111)1(υn t u j u y i u x r (1)
在)
2(σ
中,与)
(1Γ
相共轭的齿廓)
(2Γ
由下式确定:
⎭
⎬
⎫=Φ=0),()1(21)2(t u r M r (2)
式中 21M ——由)
1(σ
到)
2(σ
的坐标变换矩阵。啮合线的方程为
⎭
⎬
⎫=Φ=0),()1(01t u r M r (3)
式中 01M ——由)1(σ到)
2(σ的坐标变换矩阵。
?
二 采用数学软件推导微分的方法
1,确定微分方程的类型
2,确定所求是解析解还是数值解。
Matlab 软件求解微分方程解析解的命令dsolve();微分方程求数值解的方法:(1)欧拉公式
(2)龙格-库塔法
求通解的命令格式:dsolve(‘微分方程’,‘自变量’)
求特解的命令格式:dsolve(‘微分方程’,‘初始条件’,‘自变量’) 微分方程组命令格式:dsolve(‘微分方程1,微分方程组2’)