(完整版)机械优化设计习题参考答案孙靖民第四版机械优化设计
机械优化设计课后习题答案
机械优化设计课后习题答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章习题答案1-1 某厂每日（8h 制）产量不低于1800件。
计划聘请两种不同的检验员，一级检验员的标准为：速度为25件／h ，正确率为98％，计时工资为4元／h ；二级检验员标准为：速度为15件／h ，正确率为95％，计时工资3元／h 。
检验员每错检一件，工厂损失2元。
现有可供聘请检验人数为：一级8人和二级10人。
为使总检验费用最省，该厂应聘请一级、二级检验员各多少人 解：（1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡二级检验员一级检验员21x x ；（2）建立数学模型的目标函数；取检验费用为目标函数，即：f (X ) = 8*4*x 1+ 8*3*x 2 + 2（8*25* +8*15* ） =40x 1+ 36x 2（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) = 40x 1+ 36x 2 X ∈R 3·. g 1(X ) =1800-8*25x 1+8*15x 2≤0g 2(X ) =x 1 -8≤0 g 3(X ) =x 2-10≤0g 4(X ) = -x 1 ≤0 g 5(X ) = -x 2 ≤01-2 已知一拉伸弹簧受拉力F ，剪切弹性模量G ，材料重度r ，许用剪切应力[]τ，许用最大变形量[]λ。
欲选择一组设计变量T T n D dx x x ][][2321==X 使弹簧重量最轻，同时满足下列限制条件：弹簧圈数3n ≥，簧丝直径0.5d ≥，弹簧中径21050D ≤≤。
试建立该优化问题的数学模型。
注：弹簧的应力与变形计算公式如下322234881,1,(2n s s F D FD D k k c d c d Gd τλπ==+==旋绕比）， 解： （1）确定设计变量；根据该优化问题给定的条件与要求，取设计变量为X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n D d x x x 2321； （2）建立数学模型的目标函数；取弹簧重量为目标函数，即：f (X ) =322124x x rx π（3）本问题的最优化设计数学模型：min f (X ) =322124x x rx π X ∈R 3·. g 1(X ) = ≤0g 2(X ) =10-x 2 ≤0 g 3(X ) =x 2-50 ≤0 g 4(X ) =3-x 3 ≤0 g 5(X ) =[]τπ-+312218)21(x Fx x x ≤0 g 6(X ) =[]λ-413328Gx x Fx ≤01-3 某厂生产一个容积为8000 cm 3的平底、无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型。
机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版第6章习题解答-1教学内容
第六章习题解答1．已知约束优化问题：2)(0)()1()2()(min 21222112221≤-+=≤-=⋅-+-=x x x g x x x g ts x x x f试从第k 次的迭代点[]T k x21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。
并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。
[解] 1）确定本次迭代的随机方向：[]T TRS 0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.5622222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=2) 用公式：R k k S x xα+=+)()1( 计算新的迭代点。
步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。
到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111=-⨯+=+==⨯+-=+=++R kk R k k S x x S x xαα⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+176.1822.01k X即： 该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。
2．已知约束优化问题：)(0)(025)(124)(m in 231222211221≤-=≤-=≤-+=⋅--=x x g x x g x x x g ts x x x f试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。
[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：[][][]935120101-=⇒==⇒=-=⇒=030302023314f x f x f x 经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。
为最好点，0203x x2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑≠=3325.221132103312i i i c x Lx3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-+=R R c c R f x x x x x 值为可行点，其目标函数经判断α 4）去掉最坏点1R0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R x x ，进行新的一轮迭代。
机械优化设计题目答案
1—1.简述优化设计问题数学模型的表达形式.答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式.求设计变量向量[]12Tn xx x x =使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l == ()0(1,2,)j g x j m ≤=利用可行域概念,可将数学模型的表达进一步简练.设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=和()0(1,2,)k h x k l ==的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈"表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1—2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳） 答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法.解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等）求出有化解.但是，在很多情况下,优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解;另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述,而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导,从任取一点出发通过少量试验(探索性的计算）,并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解,也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题.因此，它是实际问题中常用的方法,很受重视。
其中具体方法较多,并且目前还在发展。
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⎣ ⎦ 第一、填空题1. 组成优化设计的数学模型的三要素是 设计变量 、目标函数 和 约束条件 。
2. 可靠性定量要求的制定，即对定量描述产品可靠性的 参数的选择 及其指标的确定 。
3. 多数产品的故障率随时间的变化规律，都要经过浴盆曲线的 早期故障阶段、偶然故障阶段 和 耗损故障阶段 。
4. 各种产品的可靠度函数曲线随时间的增加都呈 下降趋势 。
5. 建立优化设计数学模型的基本原则是在准确反映工程实际问题 的基础上力求简洁 。
6. 系统的可靠性模型主要包括 串联模型 、 并联模型 、混联模型 、 储备模型 、 复杂系统模型 等可靠性模型。
7. 函数 f(x ,x )=2x 2 +3x 2-4x x +7 在 X =[2 3]T 点处的梯度为，Hession1 2 1 2 1 2 0矩阵为 。
（2.）函数 f (x , x )= x 2 + x 2 - 4x x+ 5 在 X =⎡2⎤⎡-12⎤ 点处的梯度为，海赛 12121 2⎢4⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ 2 -4⎤矩阵为⎢-4 2 ⎥ 8. 传统机械设计是 确定设计 ；机械可靠性设计则为 概率设计 。
9. 串联系统的可靠度将因其组成单元数的增加而 降低 ，且其值要比可靠 度 最低 的那个单元的可靠度还低。
10. 与电子产品相比，机械产品的失效主要是 耗损型失效 。
11. 机械可靠性设计 揭示了概率设计的本质。
12. 二元函数在某点处取得极值的充分条件是∇f (X 0 )= 0 必要条件是该点处的海 赛矩阵正定。
13. 对数正态分布常用于零件的 寿命疲劳强度 等情况。
14. 加工尺寸、各种误差、材料的强度、磨损寿命都近似服从正态分布。
15. 数学规划法的迭代公式是X k +1 = X k +kd k ，其核心是 建立搜索方向，和 计算最佳步长 。
16. 机械优化设计包括 建立优化设计问题的数学模型和 模型求解 两方面的内容。
17. 无约束优化问题的关键是确定搜索方向 。
《机械优化设计》试卷习题及答案
精选文档你我共享《机械优化设计》复习题及答案一、填空题、用最速降落法求22212的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一1)+(1-x)1f(X)=100(x-x步迭代的搜寻方向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采纳数学规划法,其中心一是成立搜寻方向二是计算最正确步长因子。
3、当优化问题是__凸规划______的状况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确立搜寻区间时，最后获取的三点，即为搜寻区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高趋向。
5、包括n个设计变量的优化问题，称为n维优化问题。
、函数1X THX BTX C的梯度为HX+B。
627、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量0，d1，知足(d0T1，d)Gd=0则d0、d1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、拘束条件、目标函数是优化设计问题数学模型的基本因素。
9、对于无拘束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处获得极小值，其必需条件是梯度为零，充足条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件能够表达为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各拘束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金切割法求一元函数f(x)x210x36的极小点，初始搜寻区间[a,b][10,10]，经第一次区间消去后获取的新区间为[-2.36,2.36]。
12、优化设计问题的数学模型的基本因素有设计变量、拘束条件目标函数、13、牛顿法的搜寻方向d k=，其计算量大，且要求初始点在极小点迫近位置。
14、将函数f(X)=x222-10x1-4x2+60表示成1XTHXTX C的形1+x2-x1x2B式。
15、存在矩阵H，向量d，向量d，当知足(d1)TGd2=0，向量d和向量d1212是对于H共轭。
16、采纳外点法求解拘束优化问题时，将拘束优化问题转变为外点形式时引入的处罚因子r数列，拥有由小到大趋于无量特色。
《机械优化设计》试题及答案解析
《机械优化设计》复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2- X12) 2+(1- x i) 2的最优解时，设X(°)=[-0.5,0.5]T，第一步迭代的搜索方向为卜47;-50] ______________ 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子 ________ 。
3、当优化问题是—凸规划______ 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高-低-高___________ 趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为__n _______ 维优化问题。
16、函数—X T HX B T X C的梯度为HX+B 。
27、设G为n>n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°, d1，满足(d°)T Gd—=0, 则d0、d1之间存在—共轭 ______ ■关系。
8、设计变量、约束条件______________ 、目标函数________________ 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(X1,X2)，若在X°(X10,X20)点处取得极小值，其必要条件是_梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定 ______________ 。
10、 ________________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f (xHx2 -10x 36的极小点，初始搜索区间[a,b] =[-10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为[-2.36236] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设_________ 、13、牛顿法的搜索方向d k= ______ ,其计算量大，且要求初始点在极小点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+X22-X1X2-10X1-4X2+60表示成-X T HX - B T X C 的形2式 ________________________ 。
完整word版机械优化设计复习题答案
《机械优化设计》复习题解答、填空题1、用最速下降法求 f(X)=1OO(x 2- X 12) 2+(1- X 1)2 的最优解时，设 X (0)=[-0.5,0.5]T ，第一 步迭代的搜索方向为 [-47,-50]T o 2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是 寻找搜索方向，二是计算最优步长。
3、当优化问题是凸规划的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成 高一低一高 ____________ 趋势。
16、 函数 -X T HX B T X C 的梯度为Bo2 - 7、 设G 为nXi 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d o )T Gd 1=O , 则d o 、d 1之间存在共轭关系。
9、对于无约束二元函数 f(X 1,X 2)，若在X o (X 1O ,X 2O )点处取得极小值，其必要条件是玳匕畑码J = 0 ____________，充分条件是」^ 乞詁 =0正定 。
10、 K-T _______________ 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各 约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f(x) x 2 1Ox 36的极小点，初始搜索区间[a,b] [ 1O,1O]，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36 1O] o 12、 优化设计问题的数学模型的基本要素有 设计变量、目标函数 、 约束条件。
13、 牛顿法的搜索方向d k =—H klk ，其计算量大，且要求初始点在极小点 附近位 置。
14、将函数 f(X)=x I 2+X 22-X I X 2-10X I -4X 2+60 表示成 1x T HX B T X C 的形式15、 存在矩阵H ，向量d 1，向量d 2，当满足d 1T Hd 2=O ，向量d 1和向量d 2是关于H 共 轭。
《机械优化设计》习题及答案1word版本
机械优化设计习题及参考答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn x x x x =L 使 ()min f x → 且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L2-1.何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(x 1,x 2)在x 0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂+∂∂=∂∂2cos 1cos 212cos 21cos 1θθθθxo x f x f xo x f xo x f xo d fρ令xo Tx f x f x f x fx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂∂=∇21]21[)0(， 则称它为函数f （x 1，x 2）在x 0点处的梯度。
（1）梯度方向是函数值变化最快方向，梯度模是函数变化率的最大值。
（2）梯度与切线方向d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。
梯度)0(x f ∇方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。
负梯度-)0(x f ∇方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。
2-2.求二元函数f （x 1，x 2）=2x 12+x 22-2x 1+x 2在T x ]0,0[0=处函数变化率最大的方向和数值。
解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量p表示，函数变化率最大和数值时梯度的模)0(x f ∇。
求f （x1，x2）在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇120122214210x x x x f x f x f 2221)0(⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∇x f x f x f =5⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∇∇=5152512)0()0(x f x f p ϖ2-3.试求目标函数()2221212143,x x x x x x f +-=在点X 0=[1,0]T 处的最速下降方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。
05机械优化设计第五章(哈工大—孙靖民)
2013年7月20日8时20分
例5 1的 数 学 模 型 可 化 为 如 标 准 形 式 ： 下 max z 2 x1 x2 s.t. 3 x1 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 0
min z 2 x1 x2 s.t. 1 5 x2 x3 15 3x 1 2 x2 x4 24 6x
约束条件为“ ”时：
如 : 6 x1 2 x2 24
6 x1 2 x2 x3 24
x3为松弛变量
Page 13
2013年7月20日8时20分
如果有不等式约束： ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 则可减去新的变量 n i 0(此时称xn i为剩余变量)，把它们全变为 x 等式约束，即 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn xn i bi
获利 地区
物资
钢材
铝材
铜材
甲 乙 丙
260 210 180
300 250 400
400 550 350
Page 8
2013年7月20日8时20分
建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生 产状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件 价格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件 价格为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件 价格为420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元， 违约金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况 见下表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
机械优化设计课后答案
机械优化设计课后答案【篇一：机械优化设计第5章习题参考答案】?4000.333?时， f(x*)??cjxj??5.567。
t第2题答案：x??2024840 0?，z??428。
*t第3题提示：求解方法可参考第四节中的应用实例。
第4题提示：如果设x1、x2、x3、x4、x5分别以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五种下料方式所用钢材的件数，则此问题的数学模型是：求一组xj(j?1,2,?,5)的值，满足下列限制条件x1?2x2 ?x4 ?100?2x3?2x4?x5 ?100???3x1?x2?2x3 ?3x5?100?xj?0 (j?1,2,?,5)??使总的尾料z?0.1x2?0.2x3?0.3x4?0.8x5 达到最小。
【篇二：《机械优化设计》复习题答案】xt>一、填空题1、用最速下降法求f(x)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最优解时，设x（0）＝[-0.5,0.5]t，第一步迭代的搜索方向为 [-47,-50]t。
2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是，二是。
3、当优化问题是的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋势。
5、包含n个设计变量的优化问题，称为维优化问题。
6、函数 1txhx?btx?c的梯度为。
28模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是10约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数f(x)?x2?10x?36的极小点，初始搜索区间[a,b]?[?10,10]，经第一次区间消去后得到的新区间为12、优化设计问题的数学模型的基本要素有、。
?1?h13、牛顿法的搜索方向dkkgk，其计算量且要求初始点在极小点置。
14、将函数f(x)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成1txhx?btx?c 的形式215、存在矩阵h，向量 d1，向量 d2，当满足t d1和向量 d2是关于h共轭。
02机械优化设计第二章(哈工大—孙靖民)
海赛矩阵的正定性：
G(x) 正定----- x为全局极小值点的充分条件 G(x ) 负定----- x为全局极大值点的充分条件
21
2024年8月30日10时36分
6 3 1 例3 判定矩阵 G 3 2 0 是否正定？
1 0 4
f (x1, x2 ) f (x10, x20 )
f
' x1
(
x10
,
x20
)x1
f
' x2
(
x10
,
x20
)x2
1 2
f
'' x12
(
x10
,
x20
)x12
2
f
'' x1x2
(
x10
,
x20
)x1x2
f
'' x22
(
x10
,
x20
)x22
1 2
f
'' x12
(
x10
,
x20
)x12
解：因为 则
f X
x1
2x1 2x2
f X
x3
f X
x2
2x3 2x2
2x2
2 x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
又因为：
故Hesse阵为：
2 f x12
2,
2 f x22
2,
2 f 2, x1x2 2 f 2, x2x3
2 f 0 x1x3
6x1 4x2
机械优化设计试题及答案
机械优化设计试题及答案一、选择题1. 机械优化设计中的“优化”指的是：A. 最小化成本B. 最大化效益B. 达到设计目标D. 以上都是答案：D2. 以下哪项不是机械优化设计的基本步骤？A. 确定设计变量B. 确定目标函数C. 确定约束条件D. 进行材料选择答案：D3. 在机械优化设计中，目标函数通常是用来衡量：A. 设计的可行性B. 设计的安全性C. 设计的经济性D. 设计的最优性答案：D二、填空题4. 机械优化设计通常采用的数学方法包括_______、_______和_______。
答案：线性规划；非线性规划；动态规划5. 机械优化设计中，约束条件可以是等式约束也可以是_______。
答案：不等式约束三、简答题6. 简述机械优化设计中目标函数的作用。
答案：目标函数在机械优化设计中的作用是量化设计目标，为设计提供评价标准，指导设计过程朝着最优解方向进行。
7. 描述机械优化设计中设计变量、目标函数和约束条件之间的关系。
答案：设计变量是优化设计中可以调整的参数；目标函数是设计过程中需要优化或最小化/最大化的量；约束条件是设计过程中必须满足的限制，它们共同定义了优化问题的边界和可行性。
四、计算题8. 假设有一个机械部件的重量W与其尺寸L和宽度H的关系为W = 2LH，成本C与重量W和材料单价P的关系为C = 10W + P。
若L和H 的取值范围均为[1,5]，材料单价P为常数，求在满足强度要求的前提下，如何确定L和H的值以最小化成本C。
答案：首先，根据题目给出的关系式，我们可以将成本C表示为C = 10 * 2LH + P = 20LH + P。
由于P为常数，我们只需考虑如何最小化20LH。
由于L和H的取值范围相同，我们可以令L = H，此时C = 20L^2。
在[1,5]的范围内，当L = 1时，C达到最小值，即C_min = 20。
五、论述题9. 论述机械优化设计在现代机械工程中的重要性及其应用前景。
《机械优化设计》试题及答案解析
《机械优化设计》试题及答案解析《机械优化设计》复习题及答案⼀、填空题1、⽤最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第⼀步迭代的搜索⽅向为[-47;-50]。
2、机械优化设计采⽤数学规划法,其核⼼⼀是建⽴搜索⽅向⼆是计算最佳步长因⼦。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应⽤进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成⾼-低-⾼趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数 C X B HX X T T ++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个⾮零向量d 0，d 1，满⾜(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、设计变量、约束条件、⽬标函数是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于⽆约束⼆元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极⼩值，其必要条件是梯度为零，充分条件是海塞矩阵正定。
10、库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处⽬标函数的梯度为起作⽤的各约束函数梯度的⾮负线性组合。
11、⽤黄⾦分割法求⼀元函数3610)(2+-=x x x f 的极⼩点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第⼀次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件⽬标函数、13、⽜顿法的搜索⽅向d k = ，其计算量⼤，且要求初始点在极⼩点逼近位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表⽰成C X B HX X T T ++21的形式。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满⾜ (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
机械优化设计题目答案
机械优化设计题目答案1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式。
答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。
在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。
求设计变量向量[]12Tn xx x x =L 使()min f x →且满足约束条件()0(1,2,)k h x k l ==L ()0(1,2,)j g x j m ≤=L利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。
设同时满足()0(1,2,)j g x j m ≤=L 和()0(1,2,)k h x k l ==L 的设计点集合为R ，即R 为优化问题的可行域，则优化问题的数学模型可简练地写成求x 使 min ()x Rf x ∈ 符号“∈”表示“从属于”。
在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化()min f x →或目标函数极大化()max f x →。
由于求()f x 的极大化与求()f x -的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。
1-2.简述优化设计问题的基本解法。
（不要抄书，要归纳）答：求解优化问题可以用解析解法，也可以用数值的近似解法。
解析解法就是把所研究的对象用数学方程（数学模型）描述出来，然后再用数学解析方法（如微分、变分方法等）求出有化解。
但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象本身的机理无法用数学方程描述，而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式，再来求其优化解，并通过试验来验证；或直接以数学原理为指导，从任取一点出发通过少量试验（探索性的计算），并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。
这种方法是属于近似的、迭代性质的数值解法。
数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化问题。
因此，它是实际问题中常用的方法，很受重视。
《机械优化设计》试卷规范标准答案
《机械优化设计》复习题一、填空1、用最速下降法求f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2的最优解时，设X （0）＝[-0.5,0.5]T ，第一步迭代的搜索方向为[-47;-50] 。
2、机械优化设计采用数学规划法,其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 。
3、当优化问题是__凸规划______的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。
4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成 高-低-高 趋势。
5、包含n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。
6、函数C X B HX X T T++21的梯度为 HX+B 。
7、设G 为n×n 对称正定矩阵，若n 维空间中有两个非零向量d 0，d 1，满足(d 0)T Gd 1=0，则d 0、d 1之间存在_共轭_____关系。
8、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化设计问题数学模型的基本要素。
9、对于无约束二元函数),(21x x f ，若在),(x 20100x x 点处取得极小值，其必要条件是 梯度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。
10、 库恩-塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。
11、用黄金分割法求一元函数3610)(2+-=x x x f 的极小点，初始搜索区间]10,10[],[-=b a ，经第一次区间消去后得到的新区间为 [-2.36,2.36] 。
12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 、约束条件 目标函数 、 13、牛顿法的搜索方向d k = ，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近 位置。
14、将函数f(X)=x 12+x 22-x 1x 2-10x 1-4x 2+60表示成C X B HX X T T++21的形式 。
15、存在矩阵H ，向量 d 1，向量 d 2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d 1和向量 d 2是关于H 共轭。
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2.黄金分割法（0.618法）
原理：提高搜索效率：1）每次只插一个值，利用一个前次的插值；2）每次的缩短率λ相同。左右对称。
程序：p52
（四）插值方法
1.抛物线法
原理：任意插3点：
算得： ； ；
要求：
设函数 用经过3点的抛物线 代替，有
解线代数方程
解得：
程序框图p57
网格法 ，缩小区间，继续搜索。
Monte Carlo方法 ， ，随机数。
比较各次得到的 得解
遗传算法(专题)
（二）区间消去法（凸函数）
1.搜索区间的确定：高—低--高（ ）则区间内有极值。
2.区间消去法原理：在区间[a, b]内插两个点a1, b1保留有极值点区间，消去多余区间。
缩短率：
（三）0.618法
可行方向—约束允许的、函数减小的方向。（图）约束边界的切线与函数等高线的切线方向形成的区域。
数学模型
用内点法或混合法，取 ，
直接方法
（一）随机方向法
1.在可行域产生一个初始点 ，因 （约束），则
--（0，1）的随机数。
2.找k个随机方向，每个方向有n个方向余弦，要产生kn个随机数 ， ， ，随机方向的单位向量为
3.取一试验步长 ，计算每个方向的最优点
4.找出可行域中的最好点 得搜索方向 。以 为起点， 为搜索方向得 。最优点必须在可行域内或边界上，为此要逐步增加步长。
得
穷举下去得递推公式
3.算例
p73
4.框图p72
5.特点
作业：1. 2.
（六）变尺度法
1.引言
坐标变换
二次函数
令 为尺度变换矩阵
有
因 为正定对称矩阵，存在 ，使得
； --尺度矩阵
2.变尺度矩阵的建立
牛顿法
--不用求逆得到，在迭代中逐步趋近。
正定对称；
。 --校正矩阵；
满足拟牛顿条件
迭代公式
；
3.框图p77
1.人字架优化
已知：2B=152cm, T=0.25cm, E=2.1×105Mpa,ρ=7.8×103kg/m3,σ=420Mpa,
2F=3×105N
求：min [m(D,h)]满足强度和稳定要求
解：变量D,h
载荷 --单杆内力
应力
临界应力
强度条件
稳定条件
目标函数：
解析法：
不考虑稳定条件，由强度条件建立D,h关系
2.3次曲线插值方法
已知： ； ； 。
设：近似曲线
取正号得极小值
方程：
解出A,B
3.牛顿法（已知导数）
作业：
推导3次曲线插值法
四无约束优化方法(unconstrained optimization methods)
（一）引言
1.必要性：存在少量无约束问题；有约束问题可以变为无约束问题。
2.策略：多维问题变为多个一维问题
--Hess矩阵
（三）极（小）值条件
1.一元函数
驻点，极小，极大
2.二元函数
；
3.多元函数
梯度为零；
Hess矩阵正定的（各阶主子式的行列式大于零）。
（四）凸规划—convex programming
1.全局最优和局部最优（极值）--global optimum and local optimum
2.凸集—convex set
其中
第l行 ， ，
非l行 ，
例2
不是基本可行解（因系数是负的）；
是基本可行解，但不一定是最优解。
2.基本可行解的转换
已选好一组基本变量（ ），想转换到另一组，用 代换某一个 ，有
时才能做转轴元素；
将 （入基）代替 （出基）后得
，（ ）
因 是出基元素，应有
得
θ法则—取l行中[ ]里最小的定为入基元素 。
2）单形替换法：中小规模，收敛较快；
3）格点法：非凸问题；
4）Monte Carlo法：非凸问题。
计算一阶导数方法
1）梯度法：中小规模，开始快；
2）共轭梯度法：中大规模，收敛快，程序简单；
3）变尺度法：中大规模，收敛快；
4）Powell方法：中大规模，收敛快。
计算二阶导数方法
1）Newton方法：收敛快，计算难度大；
因 ，
则 ，
2.基本算法
1）二维问题
坐标轮换法 沿新方向
沿 得 沿共轭方向 沿共轭方向
2）多维问题（自做）
3.改进算法
每轮产生的新沿共轭向量代替原向量中最坏的向量。
4.框图p85
5.算例p86
（九）单形替换法
1.原理
单（纯）形—n+1个顶点构成的封闭图形。
二维问题
设
中点 ，
反射点
1）扩张若
，
若 ，保留 。
3.Kuhn—Tucker条件
问题
Kuhn—Tucker条件说明
引入松弛因子
求极值
(1)
(2)
(3)
(3)—满足约束方程；
(2)-- 极值点在边界上；
极值点不在边界上，在可行域内，可作为无约束问题处理。
(1)可写为
--表示各梯度向量和“平衡”。
或
可以证明，
Kuhn—Tucker条件
定义：J—起作用的约束的集合。
数学模型
或
对于基本可行解，有
目标函数
六非线性规划（约束优化）
（一）引言
1.约束规划问题
2.方法
a.直接方法
b.间接方法
（二）数学基础
1.消元法（降维法）--等式约束
grange乘子法—等式约束
新目标函数
极值条件
，
, --l个约束方程
说明：因为满足l个约束方程，此时 ，则极值相同。
例题：p39, 148
3.初始基本可行解的求法—令松弛变量等于右端项，其余为零。
（三）单纯形法
1.从基本可行解最后转换到最优解
对一组基本可行解，有
转换到另一基本可行解后，得
对应的目标函数为
令
得
--相对价值系数
要求 下降（越多越好），希望 为负（越小越好），有
2.单纯形法两规则
规则—基本可行解转换规则
最速下降规则
3.框图
4.矩阵运算
窄义—承受载荷、维持系统几何形状不变的部分，如梁杆板壳及其组合。结构是用来支承有效载荷的。
设计(design)完成一项新产品、新工程前的方案构思（如大小、尺寸、形状、材料、工艺过程等）。数据—数字化--CAE
优化(optimization)从几种方案中选出最好的—优选；从设计空间中的无数种方案中用计算机选出最好的—优化。
2）目标函数(objective function)
3）约束(constrains ) s.t.
（ ）
4）例：标准模型管理例
s.t. (subject to)
作业：
二.数学基础
矢量代数，数学规划
（一）方向导数和梯度
1.方向导数（direction derivative）
偏导数
方向导数
定义：梯度（gradient）
（四）共轭方向法(conjugate direction method)
1.共轭方向
二次函数 （4-1）
--正定对称，有极小值。等值线（面）是椭圆（球）。对二元二次函数
一维搜索
是极值ห้องสมุดไป่ตู้，其方向导数为0，应与等值线相切，与梯度方向垂直。有
要求找 不沿梯度方向，直指 ，有
由（4-1）知
极值点
上式左乘 得
结构优化设计
structural optimaldesign(optimum structural design)
参考书：1.孙靖民：机械优化设计，机械工业出版社，2003
2.孙德敏：工程最优化方法和应用，中国科大出版社，1997
3.施光燕：最优化方法，高教出版社，1999
绪论
1.内容
基本概念：
结构(structure)广义—系统组成；
几何解释：图
任选 ， ， ，
有线段
则A为凸集。
凸集的性质：
A为凸集，α为实数，则αA也是凸集；
A、B为凸集,则 也为凸集；
A、B为凸集,则A,B的交集也是凸集。
3.凸函数
函数 在定义域 内是凸函数的必要条件是：域内任选 ，有
4.凸性条件
函数在定义域内是凸函数的条件是Hess矩阵正定或半正定。
5.凸规划
5.方法框图p126
（二）复合形法
1.复合形-- 个顶点构成的封闭图形，它是由若干个单纯形组成的。
2.初始复合形的产生
在可行域内产生k个随机点
若可行域为凸集，则k个顶点在可行域内。否则内缩p128。
3.搜索
计算各顶点目标函数，得
计算重心
反射点
若 --不动
若 --扩张
若 --收缩（内缩、外缩）
缩边
（三）可行方向法
2.工程中的优化问题
1）桥梁
2）等强度梁，铁塔
3）飞机、航天器
4）其他领域（控制、化工）
3.发展史:牛顿，计算机，钱令希；MATLAB—优化工具箱；遗传算法
MATLAB—面向工程的高级语言
Optimization Toolbox主要功能：
1）线性规划 ——
2）二次规划 ——
一、概述（入门实例）
一、举例
保留 。
2）收缩
若
，
保留
否则
3）缩边
若
，
2.多元函数
1）选初始单纯形（i=0,1,2,…n）
2）计算各顶点值