三角形全等的判定

三角形全等的判定

三角形全等的判定

类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。

类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。

A

B

C

证明：

类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF

类型之四:综合

已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。求证：∠B= ∠E。证明：

1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。证明：

2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。

A

EC

D

B

1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由．

审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．

本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了．

相等．

证明：∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB＝∠AOC＝90°

∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）∴BO＝CO

2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。

本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。

D

CE

证∠C+∠1=90°，而∠2+与△ADC全等，而这由

证明：∵AD⊥BC

∴∠BDA=∠ADC=90°

∴∠1+∠2=90°

在R t△BDF和Rt△ADC中

BF AC

FD CD

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C

∴∠1+∠C=90°

∴∠BEC=90°

∴BE⊥AC

1. 已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。

由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。

证明：在△ABC和△BAD中，

AB AB(公共边)

CAB DBA(已知) AC BD(已知)

∴△ABC≌△BAD（SAS）

∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）

∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。

2. 已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。求证：△BIH≌△

IBJ

从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。证明：∵HI∥BC ∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）

∵JI∥BA

∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）

HIB JBI(已证)

∴在△BIH与△BIJ中BI BI(公共边)

HBI JIB(已证)

∴△BIH≌△BIJ（ASA）

1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。

要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。证明：∵CE=FB ∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：

A

F

EC

D

AB CD

AE DF BE CF

∴△AEB ≌△DFC（SSS）∴∠B= ∠C

在△AFB和△DEC中：

B

AB CD

B C BF CE

∴△AFB ≌△DEC（SAS）∴AF=DE

说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。 2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。

此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。

证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）∵D是BC的中点∴BD=CD

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中

BD CD

DE DF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE=CF 同理可证AE=AF

∴AE+BE=AF+CF即AB=AC

课时作业：

A等级

1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥

AC

2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。OA=OB，

OC=OD

3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D

4、判断

( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.

( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.

5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条