三角形全等的判定
三角形全等的判定定理
三角形全等的判定定理
有两条边相等的三角形是等腰三角形;三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三
角形;有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形。
其中，构成直角的两边叫做直角边，
直角边所对的边叫做斜边。
全等的条件：
1、两个三角形对应的'三条边成正比，两个三角形全系列等，缩写“边边边”或“sss"。
2、两个三角形对应的两边及其夹角相等，两个三角形全等，简称“边角边”或“sas”。
3、两个三角形对应的两角及其夹边成正比，两个三角形全系列等，缩写“角边角”
或“asa”。
4、两个三角形对应的两角及其一角的对边相等，两个三角形全等，简称“角角边”
或“aas”。
5、两个直角三角形对应的一条斜边和一条直角边成正比，两个直角三角形全系列等，缩写“直角边、斜边”或“hl”。
注意，证明三角形全等没有“ssa”或“边边角”的方法，即两边与其中一边的对角
相等无法证明这两个三角形全等，但从意义上来说，直角三角形的“hl”证明等同“ssa”。
完整版三角形全等的判定
完整版三角形全等的判定在数学的世界里，三角形全等的判定是一个非常重要的知识点。
它不仅是解决几何问题的基础，也是培养我们逻辑思维和空间想象力的关键。
接下来，让我们深入探讨三角形全等的判定方法。
三角形全等，简单来说就是两个三角形的形状和大小完全相同。
要判定两个三角形全等，有以下几种常见的方法。
第一种是“边边边”（SSS）判定法。
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如说，有三角形 ABC 和三角形DEF，AB 等于 DE，BC 等于 EF，AC 等于 DF，那么就可以判定三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
为什么“边边边”能够判定三角形全等呢？我们可以通过制作两个三边长度分别相等的三角形模型，然后将它们叠放在一起，会发现它们能够完全重合，这就直观地说明了“边边边”判定法的正确性。
第二种是“边角边”（SAS）判定法。
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，AB 等于 DE，∠A 等于∠D，AC 等于 DF，那么三角形 ABC 就全等于三角形 DEF。
这个判定法也很好理解。
想象一下，我们先确定一条边的长度和一个夹角的大小，然后以这条边的一个端点为顶点，按照给定的夹角和另一条边的长度画出第二条边，最后连接两个端点，得到的三角形是唯一确定的。
接下来是“角边角”（ASA）判定法。
当两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等时，这两个三角形全等。
比如，在三角形 ABC 和三角形 DEF 中，∠A 等于∠D，AB 等于 DE，∠B 等于∠E，那么三角形ABC 与三角形 DEF 全等。
同样地，我们可以通过实际操作来理解这个判定法。
先确定一条边，然后分别以这条边的两个端点为顶点，按照给定的两个角的大小画出另外两条边，得到的三角形也是唯一确定的。
还有“角角边”（AAS）判定法。
如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形的判定方法
全等三角形的判定方法全等三角形是指具有相同且完全重合的三边和三角形的一种特殊形态。
在几何学中，判断两个三角形是否全等是一个重要的问题。
本文将介绍全等三角形的判定方法，并对每种方法进行详细说明。
全等三角形的判定方法有以下几种：三边全等判定法、两边一夹角全等判定法、两角一边全等判定法、正方形外接圆判定法和恒等变换法。
首先，我们来介绍三边全等判定法。
当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就是全等的。
这是最简单的判定方法，只需要通过测量三个边的长度即可判断。
接下来，是两边一夹角全等判定法。
当两个三角形的两边与夹角分别相等时，这两个三角形也是全等的。
根据这个条件，我们只需要测量两边的长度和夹角的大小，就可以判断是否全等。
第三种判定方法是两角一边全等判定法。
当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，这两个三角形是全等的。
在使用这个方法时，我们需要测量两个角的大小和一条边的长度来进行判断。
正方形外接圆判定法是第四种方法。
只要两个三角形的外接圆相同，那么它们就是全等的。
这个方法主要通过测量三角形外接圆的半径来判断。
最后，我们来介绍恒等变换法。
恒等变换是指对一个图形进行平移、旋转或镜像等变换后，图形保持不变。
基于恒等变换的思想，我们可以通过将一个三角形的顶点对应到另一个三角形的顶点，来判断两个三角形是否全等。
通过以上五种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
根据实际情况和题目要求，我们可以选择合适的方法来进行判定。
在判断过程中，需要准确地测量边长和角度，并仔细观察三角形的属性。
需要注意的是，判定全等三角形时，不能简单地凭借肉眼观察或估算。
必须使用准确的测量工具和数学方法来判断，以确保结果的准确性。
总结起来，判定全等三角形的方法有三边全等判定法、两边一夹角全等判定法、两角一边全等判定法、正方形外接圆判定法和恒等变换法。
每种方法都有其特点和适用范围，需要根据题目要求和具体情况进行选择。
在进行判定时，需要准确测量边长和角度，并小心观察三角形的属性。
全等三角形的五个判定定理
全等三角形的五个判定定理
《全等三角形的五个判定定理》
一、定理一：在平面上，三条直线（线段）间的夹角相等，则它们三者所构成的三角形为全等三角形。
二、定理二：在平面上，三角形的三边（线段）长度相等，则它们之间构成的三条直线夹角也相等，因而它们构成的三角形也为全等三角形。
三、定理三：在平面上，它们三者间的角的平分线互相重合，则它们之间构成的三角形为全等三角形。
四、定理四：在平面上，两条直线（线段）的垂直平分线（垂线）互相重合，则它们之间构成的三角形为全等三角形。
五、定理五：在平面上，它们三者之间有两条线段垂直于同一垂直平分线（垂线），则它们构成的三角形也为全等三角形。
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三角形全等的定义与判定方法
三角形全等的定义与判定方法三角形是几何学中的基本图形之一，研究三角形的性质和关系是几何学的重要内容之一。
在几何证明中，我们经常会遇到需要判定两个三角形是否全等的问题。
本文将介绍三角形全等的定义和常用的判定方法。
一、三角形全等的定义两个三角形全等的定义如下：如果两个三角形的对应的三边全部相等，那么它们是全等的。
记作ΔABC≌ΔDEF。
二、SAS判定法（边角边法）SAS判定法是指，如果两个三角形的一个边和两个非邻边的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
三、SSS判定法（边边边法）SSS判定法是指，如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。
四、ASA判定法（角边角法）ASA判定法是指，如果两个三角形的两个夹角和它们对应的边分别相等，那么这两个三角形全等。
五、AAS判定法（角角边法）AAS判定法是指，如果两个三角形的两个角和它们的一个边分别相等，那么这两个三角形全等。
六、HL判定法（斜边高）HL判定法是指，如果两个三角形的一个斜边和一个高分别相等，那么这两个三角形全等。
在实际问题中，我们经常使用这些判定法来解决三角形全等的证明问题。
下面将通过一些例题来进一步说明这些判定法的应用。
例题1：已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=60°，△DEF中，DE=EF，∠DEF=60°，证明△ABC≌△DEF。
解析：根据SAS判定法，我们可以得知：因为AB=DE，∠ABC=∠DEF，BC=EF，所以根据SAS判定法，△ABC≌△DEF。
例题2：已知△ABC中，AC=BC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中点，E是AC的中点，证明△BDE≌△ABC。
解析：根据ASA判定法，我们可以得知：因为∠BDE=∠ABC，BE=BC，DE=DA，所以根据ASA判定法，△BDE≌△ABC。
通过以上两个例题，我们可以看出，在解决三角形全等的问题时，选择合适的判定法可以简化证明的过程。
综上所述，三角形全等的判定方法有SAS判定法、SSS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
全等的判定条件
全等的判定条件
全等的判定条件是指在平面几何中，判断两个三角形是否全等的条件。
全等的意思是两个三角形的所有对应边和对应角都相等。
在平面几何中，有以下四种判定条件可以用来判断两个三角形是否全等：
1. SSS判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形
全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两条边和夹角分别相等，则这两个
三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的一条边和两个夹角分别相等，则这
两个三角形全等。
4. RHS判定法：如果两个三角形的一条直角边和另一条边分别相等，
则这两个三角形全等。
需要注意的是，这四种判定法只能用于判断两个三角形是否全等，不
能用于判断两个三角形是否相似。
相似的意思是两个三角形的对应角
度相等，但对应边的长度不一定相等。
在实际应用中，全等的判定条件可以用来解决各种几何问题，例如计算三角形的面积、判断两个图形是否重合等。
因此，学好全等的判定条件对于学习和应用平面几何知识都非常重要。
全等三角形的判定方法
关于三角形的知识点有很多，本篇文章主要介绍全等三角形的五种判定方法，同学们要深刻体会。
三角形全等判定方法：1.三边对应相等的两个三角形全等，简称SSS（边边边）举例：在△ABC中，AC=BD，AD=BC，求证∠A=∠B.证明：在△ACD与△BDC中{AC=BD，AD=BC，CD=CD.∴△ACD≌△BDC.（SSS）∴∠A=∠B.（全等三角形的对应角相等）2：三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
简称SAS（边角边）。
举例：如下图，AB平分∠CAD，AC=AD，求证∠C=∠D.证明：∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD，∠CAB=∠BAD，AB=AB.∴△ACB≌△ADB.（SAS）∴∠C=∠D.（全等三角形的对应角相等）3：三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
简称ASA（角边角）。
举例：如下图，AB=AC，∠B=∠C，求证△ABE≌△ACD.证明：在△ABE与△ACD 中{∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.（ASA）4：三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
简称AAS（角角边）。
举例：如下图，AB=DE，∠A=∠E，求证∠B=∠D.证明：在△ABC与△EDC中{∠A=∠E，∠ACB=∠DCE，AB=DE.∴△ABC≌△EDC.（AAS）∴∠B=∠D.（全等三角形的对应角相等）5：在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简称HL（斜边、直角边）。
定义举例：如下图，Rt△ADC与Rt△BCD，AC=BD，求证AD=BC.证明：在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD，CD=CD.∴Rt△ADC与Rt△BCD.（HL）∴AD=BC.（全等三角形的对应边相等）相关概念及性质能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。
判定三角形全等定理
判定三角形全等定理三角形全等定理是指，如果两个三角形的三边和三角度分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理是几何学中最基本的定理之一，也是解决三角形相关问题的重要工具。
三角形全等定理的主要内容可以分为以下几个方面：1. 三边相等定理如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SSS定理，其中SSS代表Side-Side-Side，即三边相等。
2. 两边一角相等定理如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
3. 两角一边相等定理如果两个三角形的两角和夹边分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为ASA定理，其中ASA代表Angle-Side-Angle，即两角一边相等。
4. 直角三角形全等定理如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SRT定理，其中SRT代表Side-Right-Angle，即斜边和一个锐角相等。
5. 等腰三角形全等定理如果两个等腰三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
这个定理也被称为SAS定理，其中SAS代表Side-Angle-Side，即两边一角相等。
三角形全等定理的应用非常广泛，可以用于解决各种三角形相关问题，例如求解三角形的面积、周长、角度等。
在实际应用中，我们可以根据题目所给出的条件，选择合适的全等定理进行运用，从而得到正确的答案。
总之，三角形全等定理是几何学中最基本的定理之一，它为我们解决各种三角形相关问题提供了重要的工具和方法。
我们需要熟练掌握这些定理，并能够灵活运用它们，从而在解决实际问题时取得良好的成果。
判断三角形全等的五种方法
判断三角形全等的五种方法
1.经典方法：三角形的三边长度相等即可判定为等边三角形。
2.比例判断：计算出三角形的三条边比值，如果比值相等，则表明三角形是等边的。
3.勾股定理：用勾股定理对三角形的三条边进行比较，如果满足勾股定理的要求，则可以判断该三角形为等边三角形。
4.外接圆半径：将三角形外接一个圆，计算出该圆的半径，如果三角形的三条边长度等于半径长度，则可以判断该三角形为等边三角形。
5.面积判断：将三角形的三条边分别带入公式计算出三角形的面积，如果三角形的三条边长度相等，则面积也相等，因此可以判断该三角形为等边三角形。
三角形全等的判定方法推理过程
三角形全等的判定方法推理过程三角形的全等是指两个三角形的形状和大小完全相同，也就是它们的三个角度和三边的长度都相等。
现在我们来看一下三角形全等的判定方法推理过程。
1. SSS法（边边边）：若两个三角形的三边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明：若两个三角形ABC和DEF，它们的三边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。
要证明这两个三角形全等，我们需要证明它们的三个角度也完全相等。
由正弦定理可知：∠A=arcsin(sin∠A)，因此可以得到：sin∠A=sin∠D，因此∠A=D由此可知，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
由余弦定理可知：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠A，因此可以得到：同理，可以得到：cos∠D=(DE²+DF²-EF²)/2DE×DF因为∠A=∠D，所以cos∠A=cos∠D。
因此，(AB²+AC²-BC²)/(2AB×AC)=(DE²+DF²-EF²)/(2DE×DF)，即(AB/DE)=(AC/DF)，因此∠B=∠E。
由正弦定理可知：sin∠B=BF/AB，sin∠E=EF/DE，因此BF/AB＝EF/DE，即BF/EF=AB/DE，因此∠C=∠F。
因此，两个三角形的三个角度都相等，所以它们全等。
综上所述，全等的判定方法主要有四种：SSS法、SAS法、ASA法和AAS法。
这些方法都是基于三角形的三边和三角的关系来推导的，是数学学习中的基本知识点之一。
掌握全等的判定方法不仅有助于理解三角形的性质，还能够帮助我们解决各种数学题目。
三角形全等的判定
1. 全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。
2. 全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3. 全等三角形判定3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
4. 全等三角形判定4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
5. 全等三角形判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
典型例题知识点一：全等三角形判定1例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
知识点二：全等三角形判定2（2）由（1）知△OAB≌△OCD∴AB＝CD例3：已知：如图，AB∥CD，AB＝CD，求证：AD∥BC，AD＝BC综上：AD∥BC，AD＝BC例4：（1）在图1中，△ABC和△DEF满足AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D，这两个三角形全等吗？（2）在图2中，△ABC和△ABD满足AB＝AB，AC＝AD，∠B ＝∠B，这两个三角形全等吗？。
解答过程：（1）全等；（2）不全等。
解题后的思考：有两边和一角相等的两个三角形不一定全等，要根据所给的边与角的位置进行判断：（1）当两个三角形满足两边及夹角对应相等即“SAS”时，这两个三角形全等；（2）当两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”时，这两个三角形不一定全等。
在证明题中尤其要注意这一点。
知识点三：全等三角形判定3 例5：如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。
求证：AM是△ABC的中线。
解答过程：∵BE⊥AE，CF ⊥AE∴∠BEM＝∠CFM＝90°在△BME和△CMF中，解题后的思考：要证明AM是△ABC的中线，需要证明M是BC的中点，因此，转化为证明BM＝CM，结合已知条件，应考虑证明与这两条相等线段有关的可能全等的两个三角形，结合题目中已有的条件和能够求出的相等关系，选择正确的判定方法来解决相关问题。
三角形全等的判定
三角形全等的判定一、概述在几何学中，我们经常会遇到判定两个三角形是否全等的问题。
判定三角形全等的方法有多种，包括SSS、SAS、ASA、AAS和HL等。
本文将介绍这些方法，并给出相应的判定条件和证明过程。
二、SSS法则SSS法则是指当两个三角形的三边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的三边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，并且满足AB = DE，AC = DF和BC = EF，则可判定这两个三角形全等。
三、SAS法则SAS法则是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的边和夹角分别为AB、AC、∠BAC和DE、DF、∠EDF，并且满足AB = DE，AC = DF和∠BAC = ∠EDF，则可判定这两个三角形全等。
四、ASA法则ASA法则是指当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的角和夹边分别为∠BAC，∠BCA，AC和∠EDF，∠EFD，DF，并且满足∠BAC = ∠EDF，∠BCA = ∠EFD和AC = DF，则可判定这两个三角形全等。
五、AAS法则AAS法则是指当两个三角形的两个角和一个非夹边的长度分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个三角形的两个角和非夹边的长度分别为∠BAC, ∠BCA, AB和∠EDF, ∠EFD, DE，并且满足∠BAC = ∠EDF, ∠BCA = ∠EFD和AB = DE，则可判定这两个三角形全等。
六、HL法则HL法则是指当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体地说，如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别为AC, BC和DF, EF，并且满足AC = DF和BC = EF，则可判定这两个直角三角形全等。
七、其他注意事项•在判定三角形全等时，两个三角形的对应边和对应角必须一一对应。
•如果两个三角形的边和角都相等，则这两个三角形必定全等。
判定三角形全等的条件
判定三角形全等的条件一、边边边（SSS）内容：三条边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三条线段的长度(满足三角形三边关系)，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出三条线段长度AB=c，BC=a，AC=b，确定过程如下：①先确定一边AB；②分别以AB为圆心，分别做半径为b，a长的圆，交于C点；③最后连接AC，BC。
这样三角形的大小，形状就都被确定出来了。
二、边角边（SAS）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
理解：若确定两条公共端点线段的长度，及它们的夹角，即可确定出的三角形形状，大小。
若给出AB=c BC=a ∠B=α，确定过程如下：①画∠EAD=α；②在射线AE上截取AC=c，在射线AD上截取AB=c；③连接BC。
这样，三角形的.大小形状同样被确定了。
三、角边角（ASA）内容：两角和他们的夹边分别相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和它们的夹边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠CBA=β，确定过程如下：①先确定一边AB=c；②在AB同旁画∠DAB=α，∠EBA=β，AD，BE交于点C。
这样，三角形的大小形状同样被确定了。
四、角角边（AAS）内容：两边分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
理解：若给出三角形的两个角的大小和其中一个角对边的长度了，即可确定出的三角形形状，大小。
若有AB=c，∠CAB=α，∠ACB=β，确定过程如下：由三角形的内角和为180度可得出剩下一角∠CBA的度数，这样，利用角边角的思路即可确定三角形形状大小。
相关定理：三角形内角和为180度五、斜边，直角边（HL）内容：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
(HL)理解：若确定一个三角形为直角三角形，同时得到其一个直角边和斜边的长度，即可确定出三角形的形状大小。
若确定三角形为直角三角形，还得到其一直角边和斜边，则可勾股定理得出剩下一边，再通过SSS或SAS 即可确定三角形形状大小。
全等三角形的判定
全等三角形的判定一、判定定理：☐SSS 定理：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（边边边定理）☐SAS 定理：在两个三角形中，如果有两条边相等及其夹角对应相等，那么这两个三角形全等。
（边角边定理）☐AAS定理：在两个三角形中，如果有两个角相等及其一条边对应相等，那么这两个三角形全等。
（角角边定理）☐ASA定理：在两个三角形中，如果有两个角相等及其夹边相等，那么这两个三角形全等。
（角边角定理）即：两个三角形只要找到两对角，一条边对应相等，就可以判定两个三角形全等，无非是根据具体情况来判断是选择AAS 还是ASA而已二、例题讲解：1.如图所示：已知△ABC与△DEF中，AB=DE, BC=EF, AC=DF求证：△ABC≌△DEF证明：2、如图所示：已知△ABC与△DEF中，已知：①AB=DE, BC=EF,∠B=∠E, 求证：△ABC≌△DEF②AB=DE, AC=DF, ∠A=∠D, 求证：△ABC≌△DEF③BC=EF, AC=DF, ∠C=∠F, 求证：△ABC≌△DEF证明：注：以上情况的角都是两边的夹角对应相等，否则无法用SAS来证明，切记3、如图所示：已知△ABC与△DEF中，已知AB=DE，请在不添加角和线的情况下，请问添加什么条件可以证明：△ABC≌△DEF ？并证明。
三、练习：1、已知：AB=AC，AE是角平分线。
试问图中有几对全等三角形？并分别证明总结：性质1：等腰三角形的两底角相等性质2：等腰三角形的中线、角平分线、高线互相重合2、如图所示：已知AC=BD,AD=BC，则△ABC≌△BAD吗？说明理由3、如图所示，O是AB的中点，∠A=∠B,求证：△AOC≌△BOD4、如图所示，已知AC=AD,AB平分∠CAD,试说明△ACB≌△ADB5如图所示，AB=DF, AC=DE, BE=CF, 试说明△ABC≌△DEF6、如图所示，AC, BD相交于点O,AB=CD,AC=DB,那么∠A=∠D吗？试说明理由7、如图所示，∠BAC=∠DAE, ∠ABD=∠ACE,BD=CE,试说明AB=AC,AD=AE8、如图所示：AB=AE,C,D分别是边AE,AB的中点，试说明△ABC≌△AED9、如图所示：AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,试说明ED=BC四、能力提升：1、如图所示：点E在边AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，则AC=AD，为什么？2、如图所示：∠ACB=90°，AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N，AC=BC,试说明MN=AM+BN3、如图所示：AB⊥AC于点A,AB=AC,AD=AE,BD=CE,试说明AD⊥AE4、如图所示：已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，试说明AB=AD5、如图所示：AB=AD,AC=AE, ∠BAD=∠CAE,试说明：BC=DE6、如图AD∥BC, ∠1=∠2，∠3=∠4，点E在DC上，求证，AD+BC=AB。
三角形全等的判定定理是什么
经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
而该两个三角形的
三条边及三个角都对应相等。
全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。
三角形全等的判定定理
(1)三边对应相等的三角形是全等三角形。
SSS(边边边)
(2)两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
SAS(边角边)
(3)两角及其夹边对应相等的三角形全等。
ASA(角边角)
(4)两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
AAS(角角边)
(5)在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。
RHS(直角、斜边、边)
三角形全等顺口溜：全等三角形，性质要搞清。
对应边相等，对应角也同。
角
边角，边角边，边边边，角角边，四个定理要记全。
全等三角形的应用
1.性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
在写两个三角形全
等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
2.当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
3.用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。
以及相等的角，可以用
于工业和军事。
4.三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。
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三角形全等的判定三角形全等的判定类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。
求证：△ABC≌△DEF。
类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。
求证：AB=DC。
ABC证明：类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。
求证：CE=BF类型之四:综合已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A= ∠D。
求证：∠B= ∠E。
证明：1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
证明：2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
AECDB1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由．审好题目相当于做对这道题的一半！所以，实际应用的题目一定要仔细审清题目，找出各个量之间的关系．本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系．“由长度相同的绳子”可知AB＝AC，而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系，即求证BO＝CO．有了明确的已知、求证，剩下的就是纯粹的全等证明了．相等．证明：∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB＝∠AOC＝90°∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）∴BO＝CO2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。
本题考察“HL”公理的应用。
要证BE⊥AC，可∠1=90°，只需证∠2=∠C。
从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。
DCE证∠C+∠1=90°，而∠2+与△ADC全等，而这由证明：∵AD⊥BC∴∠BDA=∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°在R t△BDF和Rt△ADC中BF ACFD CD∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C∴∠1+∠C=90°∴∠BEC=90°∴BE⊥AC1. 已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。
求证：∠CAD=∠DBC。
由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC与△BAD全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。
证明：在△ABC和△BAD中，AB AB(公共边)CAB DBA(已知) AC BD(已知)∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。
2. 已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。
求证：△BIH≌△IBJ从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。
证明：∵HI∥BC ∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）∵JI∥BA∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）HIB JBI(已证)∴在△BIH与△BIJ中BI BI(公共边)HBI JIB(已证)∴△BIH≌△BIJ（ASA）1. 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。
要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。
证明：∵CE=FB ∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE 在△AEB和△DFC中：AFECDAB CDAE DF BE CF∴△AEB ≌△DFC（SSS）∴∠B= ∠C在△AFB和△DEC中：BAB CDB C BF CE∴△AFB ≌△DEC（SAS）∴AF=DE说明：本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。
2. 已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。
此题看起来简单，其实不然。
题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。
因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。
证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵∠1= ∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）∵D是BC的中点∴BD=CD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F ∴∠BED=90°，∠CFD=90° 在Rt△BDE和Rt△CDF中BD CDDE DF∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE=CF 同理可证AE=AF∴AE+BE=AF+CF即AB=AC课时作业：A等级1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
OA=OB，OC=OD3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。
△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D4、判断( )1.三个角对应相等的两个三角形全等. ( )2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等. ( )3.全等三角形对应的中线相等.( )4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件ABC≌△B′C′A′(ASA). 6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC 上，且BE=EA. ∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____. 7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______. 8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠.9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形.10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在.B等级11、判断( )1.全等三角形的对应角相等，反之也成立. ( )2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等. ( )3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等. ( )4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC 于C，若∠ADP=35°，则∠。
13、若△ABC≌△A′B′C′,且AB=10cm，BC=6cm,则A′C′的取值范围为14、在△ABC和△DEF中，∠C=∠D，∠B=∠E，要使两三角形全等，需增加条件( ) A.AB=ED B.AB=FD C,AC=FD D. ∠A=∠F 15、下列条件能判断△ABC≌△DEF的是( )A. ∠A=∠D, ∠C=∠F, ∠B=∠EB. ∠A=∠D,AB+AC=DE+DFB. ∠A=∠D, ∠B=∠E,AC=DF D. ∠A=∠D,AC=DF,BC=EF16、△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为( ) A.18cm B.16cm C.14cmD.12cm17、∠MON的边OM上有两点A、C，ON上有两点B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，则①△OAD≌△OBC，②△ACE≌△BDE，③连OE.则OE平分∠AOB，以上结论( )A.只有一个正确B.只有一个不正确C.都正确D.都不正确18、△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD为角平分线，DE⊥AB 于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为( ) A.4cm B.6cm C.8cmD.10cm19、B为AC上一点，在AC同侧作等边△EAB及等边△DBC,那么下列式子错误的是( ) A.△ABD≌△EBC B. ∠BDA=∠BCEC.△ABE≌△BCDD.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么△NBC≌△MBD20、线段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，∠COD=60°，∠C=25 ，AC，BC交于E，则∠BED的度数是( )A.C等级21、已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。
求证：△ADE≌△EFC60° B.70° C.80° D.50°22、已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。
求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。
23、已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。
24、已知：AB=CD，AB∥DC。
求证：△ABC≌△CDA。
25、已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD。
求证：DE=BC。
26、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。
求证：∠ABE=∠ACD。
27、已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。
求证：∠CAD=∠DBC。
28、如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD．29、如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.30、我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等(证明略) 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.证明：△ABC≌*****.(请你将下列证明过程补充完整)证明：分别过点B、B1，作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，则∠BDC=∠B1D1C1=90.∵BC=B1C1，∠C=∠C1.∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1.⑵归纳与叙述：由⑴可得到一个正确结论，请你写出这个结论.A等级答案1．3对，△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF，△BDA≌△CDA 2．3对，△OEC≌△OED，△ECA≌△EDB，△OEA≌△OEB 3．3对，△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABE≌△ACF 4．1.）× 2.）√ 3.）√ 4.）× 5．∠B=∠C′ 6．70° 7．5cm 8．140° 9．3 10．A、B B等级答案11．1.）× 2.）× 3.）× 4.）√ 12．7.145° 13．4＜A′C′＜16 14．C 15．C16．C 17．C 18．B 19．C 20．B C等级答案ADE EFC21．在△ADE与△EFC中DE FCAED ACB∴△ADE≌△EFC（ASA）22．∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CAGAB HBC在△ABG与△BCH中AB BCGBA HCB∴△ABG≌△BCH（ASA）同理可证：△BCH≌△CAD ∴△ABG≌△BCH≌△CAD23．∵∠ABC与∠3互补，∠ABD与∠4互补，又∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD1 2在△ABC与△ABD中AB ABABC ABD∴△ABC≌△ABD（ASA）24．∵AB∥CD ∴∠1=∠2AB CD在△ABC与△CDA中1 2AC CA∴△ABC≌△CDA（SAS）25．∵DA⊥AB，CA⊥AE ∴∠DAB=∠EAC ∴∠CAB=∠DAE ∴在△CAB与△EAD中CA ADCAB EAD AB AE∴△CAB≌△EAD（SAS）∴DE=BC26．∵AB=ACD、E分别为AB、AC中点∴AD=AE∴在△ADC与△AEB中AD AEA A AC AB∴△ADC≌△AEB（SAS）∴∠ABE=∠ACDAB AB(公共边)27．证明：在△ABC和△BAD中，CAB DBA(已知)AC BD(已知)∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠C BA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。